Titel: Druck- und Knickfestigkeit.
Autor: Fr. Natalis
Fundstelle: Band 334, Jahrgang 1919, S. 81
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Druck- und Knickfestigkeit. Von Fr. Natalis, Dr. Ing., Berlin-Siemensstadt. (Schluß von S. 74 d. Bd.) NATALIS: Druck- und Knickfestigkeit. Graphische Ermittelung der Knicklast. Die Knicklast Pk= mP läßt sich auch in nachstehender einfachen Weise graphisch ermitteln: Es ist mP=kF=k0Fkk0.
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Abb. 8.
In dieser Formel sind k0 und F bekannt und kk0 eine Funktion von li und Ek0. Bei Herleitung der Formel (3) wurde nun schon darauf hingewiesen, daß nicht das Verhältnis li=1, sondern der Wert l1ik0π2E=1=OA (Abb. 8) als Einheitsmaß für die Schlankheit des Stabes gewählt werden sollte. Dadurch ist es möglich, die Werte kk0 für beliebige Materialien und für alle Werte von li an einer einzigen Kurve abzulesen. Soll daher für einen beliebigen Wert li die. Knicklast ermittelt werden, so ist zunächst dieser Wert li mit k0π2E zu multiplizieren. Dieses geschieht am einfachsten graphisch nach Abb. 8. Auf der durch die Abszisse 1,0 gehenden Senkrechten AB ist eine Skala für li aufgetragen und für mehrere Werte von Ek0 sind Strahlen durch den Punkt O gelegt, zum Beispiel der Strahl für Ek0=250 (Holz). Nach den Versuchen auf S. 72 ergab sich für Kiefernholz Ek0=130000525=248 oder rund 250. Ist nun zum Beispiel li=39=AC und führt man den Linienzug CDE, so ist OE = Konstante • AC. Der Strahl OD muß nun so gelegt sein, daß die Konstante gleich k0π2E ist. Dem Schnittpunkt F des Strahles OD mit AB entspricht der Wert l1i, für welchen l1ik0π2E=1 ist; daher ist AF=l1i=πEk0. Für Ek0=250 ist daher l1i=49,7. Für andere Werte von Ek0 ergeben sich folgende Werte für l1i
Ek0= 200 250 300 350 385 400 450 (Holz) (Stahl) l1i= 44,4 49,7 54,6 58,9 61,7 62,8 66,8
so daß sich die den verschiedenen Materialkonstanten entsprechenden Strahlen teicht einzeichnen lassen. Ist mit Hilfe des in Frage kommenden Leitstrahles für einen Wert li=AC der Wert lik0π2E=EO ermittelt, so ist durch die Führung des Linienzuges DGH auch der Wert kk0 – in dem Beispiel = 0,81 – zu finden. Dieser Wert ist sodann in obige Gleichung mP=k0Fkk0=0,81k0F einzusetzen. Für einen anderen Wert li=74>AF entsprechend lik0π2E=1,5 ergibt der Linienzug JKLM den Wert kk0=LM=0,392, also mP = 0,392 k0F. Ist die Last mP, nicht aber der Querschnitt des Stabes bekannt, so muß man letzteren durch Wiederholung des Verfahrens ermitteln.
Die elastische Linie und die seitliche Ausbiegung des Stabes unter der Last. Es möge zurückgegriffen werden auf die Entwicklung der Eulerschen Formel, deren Gültigkeit für große Werte von li unbestritten ist. Die Differentialgleichung der elastischen Linie (Abb. 9), aus der sich die Eulersche Formel ergibt, lautet: d2ydx2=MEJ=PEJy . . . . (8) worin P eine Last beliebiger Größe bedeuten möge. Sie wird, wegen der Randbedingungen, x = 0, y = 0 und x = l, y = 0, und weil für x=l2 die Ausbiegung v = a beträgt, durch y=asinπxl . . . . . . (9) erfüllt. Alsdann wird d2ydx2=aπ2l2sinπxl=π2l2y. Da andererseits nach Gl. (8) d2ydx2=PEJy ist, so ergibt sich Pk=π2EJl2 . . . . . . (10) das heißt: Wenn überhaupt eine Durchbiegung des Stabes erfolgt d2ydx20, so kann sie nur unter Wirkung einer ganz bestimmten Last Pk auftreten. Die Berechnung der größten Ausbiegung a für x=l2 aus Gl. (9) ist jedoch nicht möglich. Hieraus ergibt sich erstens, daß für eine Last P < Pk überhaupt keine Ausbiegung entsteht, zweitens, daß für die ganz bestimmte Last Pk=π2EJl2 das Gleichgewicht der inneren und der äußeren Kräfte für jeden beliebigen Wert von a vorhanden ist, und drittens, daß unter einer Last P < Pk die Ausbiegung fortgesetzt zunimmt, bis der Stab zu Bruch geht. Im letzteren Falle würde sich a = ∞ ergeben. Dieses ist jedoch nicht wörtlich aufzufassen, denn die Ausbiegung des Stabes kann im Verhältnis zu seiner Länge einen gewissen praktisch begrenzten Wert nicht überschreiten. Die Schlußfolgerungen der Rechnung gelten daher nur für verhältnismäßig geringe Ausbiegungen des Stabes und für einen ursprünglich genau geraden symmetrischen und homogenen Stab. Unter diesen Voraussetzungen sind aber die Entwicklung der Formeln und die daraus gezogenen Schlußfolgerungen durchaus einwandfrei.
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Abb. 9.
Daß für die Eulersche Knicklast Pk=π2EJl2 die Ausbiegung einen beliebigen Wert annehmen kann, erscheint zunächst wunderbar, ist aber leicht durch folgende Betrachtung zu erklären: Ist bei einer bestimmten Ausbiegung a Gleichgewicht zwischen den äußeren Kraft- und den inneren Biegungsmomenten vorhanden und wird die Ausbiegung künstlich auf den Wert na vergrößert, so werden alle inneren Spannungen auf den n-fachen Betrag erhöht, aber gleichzeitig auch die äußeren Biegungsmomente für jeden Stabquerschnitt auf den n-fachen Betrag vergrößert. Der Stab befindet sich daher in einem indifferenten Gleichgewicht. Wird die Kraft um ein geringes verkleinert, so federt der Stab in seine Nullage zurück, wird Pk um ein geringes vergrößert, so wird eine kleine anfängliche Ausbiegung sich immer mehr vergrößern, bis der Bruch erfolgt. Die aus der Entwicklung der Eulerschen Formel gezogene Schlußfolgerung, daß ein auf Knicken beanspruchter Stab keine meßbare seitliche Ausbiegung erleiden darf, und daß einer allmählich wachsenden Last nicht eine allmählich steigende Ausbiegung entspricht, wird jedoch durch den praktischen Versuch scheinbar nicht in vollem Maße bestätigt. So zeigt Abb. 10 für zwei Stahlrohre von I. 304 cm Länge, 65 mm φ und 1,46 mm Wandstärke II. 294 cm Länge, 80,1 mm φ und 1,98 mm Wandstärke die seitlichen Ausbiegungen in mm als Funktion der Last. Hiernach ergibt sich, daß mit zunehmender Last die Ausbiegung, wenn auch sehr stark, aber doch nicht plötzlich bis zum Bruch anwächst. Dieser Widerspruch könnte darauf zurückgeführt werden, daß einerseits der Elastizitätsmodul E nicht absolut konstant ist, sondern sich mit zunehmender Spannung etwas ändert, andererseits darauf, daß der Stab entweder nicht völlig symmetrische Querschnitte besaß, oder inhomogen war oder schon vor der Belastung geringe Krümmungen aufwies. Die Veränderung von E ist unerheblich. Von ganz wesentlichem Einfluß sind dagegen etwaige Krümmungen des Stabes vor der Belastung oder Ungleichheiten in der Wandstärke (zum Beispiel bei einem Rohr) oder in der Qualität des Materials.
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Abb. 10.
Zunächst ist es einleuchtend, daß auch ein durchaus geradliniger Stab erst bei einer bestimmten Ausbiegung a zu Bruch geht. Diese Ausbiegung a wird für große Werte von li, bei denen die Druckspannung gegenüber der Biegungsspannung vernachlässigt werden kann, folgendermaßen berechnet: Pk=π2EJl2 aPk=k0Je, worin e der Abstand der äußersten Faser von der Mittellinie des Querschnittes ist. a=k0Jel2π2EJ=k0π2El2e . . . . (11) Für kleine Werte von li muß außer der Biegungsspannung auch die Druckspannung k berücksichtigt werden. Da beide zusammen den Wert k0 nicht überschreiten dürfen, so ergibt sich die Biegungsspannung zu k0 – k. In der Abb. 1. S. 71 ist der Wert kk0 durch den Abstand eines Punktes der Kurve kk0 von der Abszissenachse und der Wert k0kk0 durch den Abstand des Kurvenpunktes von der Geraden kk0=1 gegeben. Es ist ferner Pk = k F und aPk=(k0k)Je a=k0kkJFe=k0kki2e . . . (12) Diese Gleichung gibt denselben Wert von a wie Gl. (11), wenn – bei langen Stäben – k gegen k0 im Zähler vernachlässigt werden kann und Pk=kF=π2EJl2 gesetzt wird. Gleichung (12) führt noch zu folgender wichtigen Betrachtung: Ist für einen bestimmten Wert von li das Verhältnis kk0 nach Gl. (7) bzw. Abb. 1 bestimmt, so ist die größte zulässige Ausbiegung a proportional dem Wert i2e. Für nachstehende massive bzw. dünnwandige Querschnitte ergibt sich dieser Wert i2e zu:
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Abb. 11.
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Querschnitt
Da nun im Flugzeug seitliche Ausbiegungen durch Erschütterungen oder äußere Kräfte entstehen können, so ergibt sich aus obiger Tabelle, daß unter der Knicklast die Hohlquerschnitte eine doppelt so große Ausbiegung zulassen als die massiven und daß die quadratischen 43mal so günstig sind als die runden, da bei ihnen mehr Material in der äußeren Faser liegt. Nunmehr soll der Fall einer exzentrischen Belastung untersucht werden. Dabei soll aber nicht ein gerader Stab vorausgesetzt werden, sondern ein Stab, welcher schon vor der Belastung schwach gekrümmt war und eine geringe Ausbiegung b (Abb. 11) zeigte. Hierbei ist unwesentlich, nach was für einer Kurve der Stab gekrümmt war. Es kann daher zur Vereinfachung der Rechnung angenommen werden, daß der Stab nach einer Kurve gekrümmt war, die der Biegungskurve nach der Belastung ähnlich ist. Dann ist, wenn b die ursprüngliche Exzentrizität und a die zusätzliche elastische Durchbiegung bezeichnet: y1=ba+by; dy1=ba+bdy; d2y1=ba+bd2y. Da ferner. d2ydx2d2y1dx2=PEJy ist, wo P eine Last beliebiger Größe bedeutet, so ist d2ydx2=a+baPEJy . . . (13) Diese Gleichung wird erfüllt durch y=(a+b)sinπxl . . . . (14) Alsdann liefert: d2ydx2=(a+b)π2l2sinπxl=π2l2y. y1=bsinπal; d2y1dx2=bπ2l2sinπxl=π2l2y1. Mit Rücksicht auf Gl. (13) folgt daher aa+b=Pl2π2EJ. Als elastische Durchbiegung des Stabes kommt nicht der Wert a + b, sondern a in Frage. Dieser ergibt sich als Funktion von b und P zu a=bPl2π2EJPl2 . . . . . (15) Bei einem exzentrischen Stab ist daher die Ausbiegung a eine Funktion der Belastung P. Für P = 0 ist auch a = 0 und für P=Pk=π2EJl2 ist a = ∞. Setzt man daher die Last P = ϒPk, so ergibt sich a=bγγ1. . . . . . (16) und für
ϒ 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 ab=γγ1= 9,0 4,0 2,33 1,5 1,0 0,667 0,428 0,250 0,111 0,000
Die Exzentrizität b des Stabes läßt sich schwer messen, da in diesem Wert außer der eigentlichen Exzentrizität auch der Einfluß der Ungleichheiten in der Wandstärke und Homogenität enthalten sein soll. Rechnet man aber diesen scheinbaren Wert der Exzentrizität für einen Meßwert der Prüfkurven I bzw. II (Abb. 10) aus – für Kurve I ergab sich b = 1,1 cm und für Kurve II 1,27 cm – und bestimmt darauf für die übrigen Belastungen die zugehörigen Ausbiegungen (in Abb. 10 sind die so berechneten Werte durch Kreise bezeichnet), so findet man eine ganz überraschende Uebereinstimmung zwischen den Rechnungs- und Prüfungswerten und damit einen Beweis für Richtigkeit der Behauptung, daß das Auftreten einer mit der Last gesetzmäßig wachsenden Ausbiegung praktisch ausschließlich die Folge einer Unsymmetrie des Stabes ist, welche durch eine äquivalente Exzentrizität dargestellt werden kann.
Berechnung der zulässigen Belastung unter Berücksichtigung der Exzentrizität b. a) Berechnung für verhältnismäßig schlanke Stäbe, bei denen die mittlere Druckspannung k gegenüber der Biegungsspannung k0 – k vernachlässigt werden kann. Es ist näherungsweise P(a+b)=k0Je . . . . . (17) woraus a=k0PJeb und unter Benutzung von Gleichung (15) k0PJeb=bPl2π2EJPl2 P=π2EJl211+bπ2Ek0el2 . . . (18) b) Berechnung der zulässigen Belastung unter Berücksichtigung der mittleren Druckspannung k. Es ist P(a+b)=(k0k)Je . . . (19) Setzt man in dieser Gleichung k=PF und aus Gl. (15) den Wert für a ein, so erhält man: Pbπ2EJπ2EJPl2=k0JePFJe. Wird zur Abkürzung 1+k0Fl2π2EJ+FebJ=α gesetzt, so gibt die quadratische Gleichung P2π2EJl2αP=k0Fπ2EJl2 die beiden Werte. P=π2EJ2l2[α±α24k0Fl2π2EJ] . . . (20) Wendet man diese Formel auf das Stahlrohr 80 × 2 mm (Abb. 10, Kurve II) an, wobei l = 294 cm; F = 4,9 cm2; J = 37,3 cm4; k0 = 5200 kg/cm2; E = 2000000 kg/cm2 und b = 1,27 cm zu setzen ist, so ergibt sich die Knicklast entweder zu P1 = 33275 kg und die zugehörige Ausbiegung nach Gl. (15) zu a1 = – 1,715 cm oder zu P2 = 6635 kg und die zugehörige Ausbiegung zu a2 = 4,14 cm. Die ersteren Werte P1 und a1 kommen praktisch nicht in Frage, da die Ausbiegung a1 der Verbiegung b entgegengesetzt gerichtet ist und k > k0 würde. In Gl. (20) ist daher der Wurzelwert nur mit negativem Vorzeichen zu benutzen. Die Beziehungen sind an Hand der vorstehenden graphischen Darstellungen (Abb. 11) noch leichter verständlich. Gl. (20) kann somit benutzt werden, um nach dem Vorschlage von Müller- Breslau die Knicklast P unter Voraussetzung einer gewissen Exzentrizität des Stabes zu berechnen. Die dieser Last entsprechende zusätzliche Ausbiegung a ergibt sich dann nach Gl. (15) und die Gesamtausbiegung a+b=bπ2EJπ2EJPl2 . . . . (21) und die Biegungsspannung nach Gl. (19) k=k0P(a+b)eJ . . . . (22) Sehr übersichtlich gestalten sich die vorstehenden Berechnungen, wenn man die Momente der äußeren und inneren Kräfte, Ma bzw. Mi, zum Beispiel im gefährlichen Querschnitt als Funktion der Ausbiegung a (Abb. 11) aufträgt. Es ist Ma= P (a + b) . . . . . (23) Mi=(d2ydx2d2y1dx2)EJ . . . (24) oder da nach Gl. (14) für x=l2 d2ydx2d2y1dx2=aπ2l2 ist: Mi=aπ2EJl2 . . . . . . (25) Die Momente Ma und Mi werden daher durch die gleichbenannten Geraden in Abb. 11 dargestellt. Der Schnittpunkt der beiden Geraden entspricht demjenigen Wert der Ausbiegung a, bei welcher sich die inneren und äußeren Kräfte im Gleichgewicht befinden. Einer kleineren Kraft P1 entspricht ein Strahl Ma1 und ein kleinerer Wert von a, einer größeren Kraft P2 ein Strahl Ma2 und ein größerer Wert von a bzw. a + b. Wird P soweit vergrößert, daß Ma3Mi wird, so wird a = ∞ und P=Pk=π2EJl2. Wird P noch mehr vergrößert, so schneidet der zugehörige Strahl Ma4 den Strahl Mi auf der linken Seite, so daß a negativ wird. Dieser Wert – a entspricht daher dem oben erwähnten unbrauchbaren Wurzelwert der Gl. (20). Durch vorstehende Rechnung dürfte der Beweis erbracht sein, daß bei vorhandener Exzentrizität mit zunehmender Belastung die Ausbiegung a + b – wenn auch schnell – so doch nicht plötzlich bis zum Bruch des Stabes anwächst. Andererseits erscheint es möglich, bei der Prüfung von Stäben auf Knickung die stets vorhandene geringe Exzentrizität (worin auch alle Ungleichheiten in der Wandstärke und Materialbeschaffenheit einbegriffen sein sollen) durch geeignete Vorrichtungen zu beseitigen. Dann muß bei einer ganz bestimmten Kraft, nämlich der Eulerschen Knicklast Pk=π2EJl2 bei jeder Ausbiegung Gleichgewicht herrschen, d.h. die Kurven I, II (Abb. 10) müssen bei dieser Last plötzlich senkrecht ansteigen. P ist somit für beliebige Werte der Ausbiegung konstant. Der Verfasser hat derartige besondere Prüfeinrichtungen herstellen lassen, welche eine Einstellung der Exzentrizität auf ein beliebiges Maß ermöglichen. Zu dem Zweck wurde das zu prüfende Rohr an beiden Enden mit einer ebenen Druckplatte abgeschlossen und in die Prüfmaschine zwei schneidenförmige Druckstücke eingesetzt, deren Schneiden mit einem Radius von 5 mm abgerundet und einander parallel angeordnet wurden. Zu beiden Seiten jeder Schneide wurde eine Stellschraube vorgesehen, mit welcher das Rohrende gegenüber der Schneide millimeterweise verschoben wurde. Bei den Versuchen wurde derselbe Stab, ein Stahlrohr von 80 mm Durchmesser, 2 mm Wandstärke und 3030 mm Länge bei einer veränderlichen scheinbaren Exzentrizität zwischen + 12 mm und – 2,6 mm der Prüfung unterworfen. Dabei wurde eine Drehung des Rohres um seine Achse wie auch bleibende Veränderungen verhütet. Während die rechnungsmäßige Eulersche Knicklast sich zu P=π2.2150000.37,33032=8400 kg ergibt, zeigte sich, daß das Rohr bei einer Exzentrizität e = – 2,6 mm sogar eine maximale Knicklast von 9500 kg aushalten konnte. Bei der Last von 9600 kg stieg die Durchbiegung ohne Zunahme der Kraft unvermittelt von – 1,2 mm auf einen sehr hohen Wert, der zum Bruch geführt haben würde. Die Versuchsresultate sind in Tabelle 10 zusammengestellt; die letzte Zahlenreihe entspricht der Kurve II in Abb. 10, die gegenüber der Kurve II für ein Rohr von nahezu den gleichen Abmessungen eine wesentlich schärfere Umbiegung infolge Beseitigung der Exzentrizität zeigt. Tabelle 10.
Exzentri-zität Ausbiegung, mm bei einer Belastung, kg von mm 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 8500 9000 9500 9600 12 2,1 geknickt 10 1,7   8 1,4   6 1,1 2,8   4 0,9 2,4   2 0,5 1,3 2,4 4,0   0 0,1 0,3 0,9 1,6 2,7 4,5 –2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,6 –2,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 – 0,1 – 0,3 – 1,2
Aus den Versuchen ergibt sich, daß ein vollständig gerader Stab in Einklang mit der Eulerschen Theorie bei einer Belastung unterhalb der Eulerschen Knicklast keinerlei Durchbiegung zeigt und daß bei Erreichung dieser Last bei beliebigen Durchbiegungen unterhalb der Proportionalitätsgrenzen Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften herrscht.