Druck- und Knickfestigkeit.Von Fr. Natalis,
Dr.-Ing., Berlin-Siemensstadt.NATALIS: Druck- und Knickfestigkeit.Uebersicht: Bei Berechnung eines Stabes auf Druck ist
die Berücksichtigung der Stablänge in der Regel erforderlich. Nur bei sehr kurzen
Stäben ist die zulässige Druckkraft gleich dem Stabquerschnitt mal zulässiger
spezifischer Druckbeanspruchung (Würfelfestigkeit). Für lange Stäbe geben die Eulerschen Gleichungen einwandfreie Werte. Da in diesen
Gleichungen die zulässige spezifische Druckbelastung nicht vorkommt, so sind sie nur
zutreffend, wenn letztere nicht überschritten wird. Dieses ist bei Lagerung des
Stabes zwischen zwei Spitzen der Fall, wenn der Quotient ää größer als etwa
50 bei Holz und 60 bei Eisen ist.Man pflegt daher die Eulersche Formel nur bei
zu benutzen. In der Praxis sind aber gerade die mittleren Stablängen am häufigsten,
bei denen weder die Berechnung auf eine Druckfestigkeit noch diejenige auf feine
Knickung zulässig ist. Für dieses Gebiet ist nun eine Reihe von Näherungsformeln
aufgestellt, welche aber nicht den ganzen Bereich beherrschen und entweder für die
Grenzfälle oder für mittlere Stablängen unzutreffende Werte ergeben. Es wird daher
eine bessere Näherungsformel aufgestellt, die diesen Bedingungen genügt und auch mit
umfangreichen Versuchen in Einklang steht. Zur Erleichterung der Rechnung sind für
quadratische Voll- und Hohlquerschnitte in Holz und für dünnwandige Stahlrohre der
Flugzeugnormen nach dieser Formel Tafeln für die Knickkraft beigefügt.Die Untersuchung über die elastische Linie auf Knickung beanspruchter Stäbe führt zur
Ermittelung derjenigen Ausbiegung, bei welcher der Stab zu Bruch geht, und zur
Behandlung exzentrisch belasteter Stäbe.Dabei dient nicht, wie bisher in der einschlägigen Literatur, als Voraussetzung ein
geradliniger Stab, dessen rechnerische Behandlung zu komplizierten Formeln führt
oder nur näherungsweise durchführbar ist, sondern ein Stab, dessen Achse ähnlich der
elastischen Linie, d.h. nach einer Sinuslinie gekrümmt ist. Diese
vereinfachende Annahme läßt eine vollständige rechnerische Lösung ohne irgend welche
Vernachlässigungen zu und führt zur Berechnung der Ausbiegung und der zulässigen
Belastung sowie zur Klärung des scheinbaren Widerspruchs zwischen
Versuchsergebnissen und dem Resultat der Eulerschen
Formel, nach welcher bei Belastungen unterhalb der Eulerschen Knicklast eine
Ausbiegung nicht stattfinden dürfte. Die Richtigkeit dieser Schlußfolgerung wird
schließlich durch einen Knickversuch erwiesen, bei dem durch verstellbare
Druckvorrichtungen eine nahezu vollständige Beseitigung der scheinbaren
Exzentrizität des Stabes – einschließlich Unsymmetrie und mangelnder Homogenität des
Materials – erreicht wird.Knickformeln.Es bedeuten für einen zwischen Spitzen gelagerten auf Knickung beanspruchten
Stab:Pk kg Belastung im Augenblick des Knickens,E kg/cm2 Elastizitätsmodul,F cm2 Stabquerschnitt,l cm Stablänge,J cm4 Trägheitsmoment, Trägheitshalbmesser; J
= i2F; mittlerer spezifischer Flächendruck beim Ausknicken
oder Zerdrücken,k0 kg/cm2 spezifische Druckfestigkeit an
der Bruchgrenze, m > 1 die Sicherheit,P kg die zulässige Belastung, Pk= m P.Nach der Eulerschen Formel ist: . . . . (1)Die Formel ist nur gültig für . Es ist nun eine
Reihe empirischer Formeln für aufgestellt. Diese beherrschen aber meist nur
ein beschränktes Gebiet des Wertes , zum Beispiel die Formeln vonTetmajer für ,Ostenfeld für und ergeben zu reichliche Abmessungen. Ferner die Formel
vonSchwarz-Rankine . . . . (2)Wenn in dieser Formel gesetzt wird, so daß
wird, so deckt sie zwar fortlaufend den ganzen Bereich von von
0 bis ∞ und gibt für die Grenzfälle von richtige Werte, denn es ist für
und für , das ist die Eulersche
Formel, aber sie gibt für mittlere Werte von zu große Sicherheit, zum
Beispiel für .Der vorgenannte Wert hat für die nachfolgenden Berechnungen besondere
Bedeutung, denn er ist die Ordinate für den Schnittpunkt der Geraden k = k0 und der Eulerschen
Kurve . Der Wert . . . . (3)ist daher ein wichtiges Einheitsmaß für das
Schlankheitsverhältnis unter Berücksichtigung der Eigenschaften k0 und E des Materials.Für obigen Wert , für den die Schwarz-Rankinesche Formel k1 = 0,5 k0 ergibt, ist nach angestellten Versuchen sowohl für
Holz wie für Stahl zulässig.Nach der Schwarz-Rankineschen und Eulerschen Formel ergeben sich nachstehende Werte von (s.
Tabelle 1).Nachfolgend soll nun eine Formel entwickelt werden, welche einer für den ganzen
Bereich von gültigen Kurve für den Wert entspricht, die sich
im Anfang der Kurve und am Ende der Eulerschen Kurve , in ihrem übrigen Verlauf aber den Versuchswerten
anschmiegt, die sich aus den Festigkeitsprüfungen von Stäben verschiedener Länge,
aber gleichen Querschnitts ergeben haben.Da die Formel für positive und negative Werte von l
dasselbe Resultat für geben muß, so darf in ihr nur in geraden
Potenzen vorkommen.Die Formel lautet: . . . . (4)Für sehr kleine Werte von verschwindet das Glied
gegenüber dem Glied im Nenner. Soll daher die Kurve im Anfang
die Kurve berühren, so muß sein, woraus sich b = a ergibt. Soll
andererseits für sehr große Werte von die Kurve in die Eulersche übergehen, so muß, da dann die niedrigeren
Potenzen von fortfallen, sein, woraus sich ergibt.
Die Formel lautet daher jetzt: . . . . (5)Zur Bestimmung der allein noch übrig gebliebenen Konstante a werde angenommen, daß die neue Kurve die Eulersche bei der Ordinate schneidet, worin n eine beliebige Zahl, etwa > 2 ist. Dann istworaus sich ergibtTabelle 1.
Die Formel lautet daher nunmehr: (6)Es zeigt sich nun, daß man den Schnittpunkt der neuen Kurve mit der Eulerschen sehr weit hinausrücken, d.h. n sehr groß wählen kann, ohne die Formelwerte für
im mittleren Bereich der Kurve wesentlich zu verkleinern, und daß die
Formelwerte für n = ∞ am besten den Versuchswerten
entsprechen. Dann ergibt sich für n = ∞ die einfache
und praktisch besonders brauchbare Formel: (7)worin ist. undDiese Formel zeichnet sich weiterhin dadurch aus, daß sie
keinerlei empirische Beiwerte, sondern nur noch die Materialkonstanten k0 und E enthält.In Tab. 2 sind die Zahlenreihen zusammengestelltfür1. nach der Eulerschen
Formel,2. nach Gleichung (7)und für die verschiedenen Werte von bzw.
[Textabbildung Bd. 334, S. 71]
Abb. 1.Tabelle 2.
0,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,00 nach Euler =––(1,79)1,000,640,440,330,250,200,160,130,11 nach Gl. 7 = 0,9950,9550,835 0,667 0,513 0,392 0,303 0,238 0,190 0,152 0,130 0,110
In Abb. 1 sind die Kurven für nach der
Eulerschen und Schwarz-Rankine'schen Formel sowie nach der Formel (7) eingetragen.
Außerdem wurde zur Prüfung der neuen Formel eine Reihe von Versuchen vorgenommen.
Unter anderen wurde eine Reihe von Holzstäben (Kiefernholz) von gleichem Querschnitt
4 × 4 cm und verschiedener Länge und möglichst gleichmäßigem Material auf Druck bzw.
Knicken geprüft. Dabei wurden die nachstehenden Resultate, Vertikalreihe 1 und 2,
erzielt. Diese sind auf die Bezugseinheiten der Formel (7) umgerechnet, nämlich
als Ordinaten und als Abszissen, und die so erhaltenen Werte,
Vertikalreihe 3 und 4 gleichfalls in Abb. 1
eingetragen.Tabelle 3.
In Tabelle 3 sind – eingeklammert – die errechneten
Werte für 1,5 und 2,0 aufgenommen. Den Messungen entspricht
ferner der Wert k0= 525 kg/cm2, und E = 130000 kg/cm2;
F = 16 cm2; J = 21,3 cm4; i = 1,15 cm.Wie aus Abb. 1 zu ersehen ist, decken sich die
Versuchsresultate recht gut mit der Kurve nach Gl. (7). Daß die Versuchswerte keinen
ganz glatten Verlauf zeigen, ist nicht überraschend, da bei der jedesmaligen
Bruchprobe eines Stabes geringe Materialunterschiede und Unsymmetrien einen
erheblichen Einfluß ausüben.
[Textabbildung Bd. 334, S. 72]
Abb. 2.Eine weitere Versuchsreihe wurde mit einigen viereckigen Hohlstäben aus Kiefernholz
mit nachstehenden Abmessungen (Abb. 2) ausgeführt (s.
Tab. 4 und Abb. 3).Tabelle 4
k0= 525 kg/cm2; E = 130000 kg/cm2;F = 7,94 cm2; J = 15,9 cm4; i = 1,41 cm.Eine dritte Versuchsreihe, welche mit nahtlos gezogenen Stahlrohren nach den
Flugzeugnormen der Inspektion des Flugzeugwesens angestellt wurde, zeigt aber, daß
die Formel (7) auch für andere Materialien gültig ist. Es wurden Rohre 30 × 1 mm von
verschiedener Länge geprüft. Die Wandstärken der Rohre zeigten aber nicht
unwesentliche Abweichungen und schwankten zwischen 0,79 und 1,18 mm. Ferner
schwankte die Wandstärke desselben Rohres beispielsweise zwischen 1,02 und 1,18 mm.
Hierauf sind die Unregelmäßigkeiten im Verlauf der Kurve (Abb. 4) zurückzuführen.Der Wert k0 ergibt sich
als Mittelwert aus den Druckversuchen mit den beiden kürzesten Rohren zu k0 = 5200 kg/cm2. Zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls E wurden zwei Rohre auf Biegung und zwei weitere Rohre
auf Druck untersucht, wobei sich als Mittelwert E=
2000000 kg/cm2 ergab.Für das Rohr 30 × 1 mm ergibt sich fernerhin: F = 0,911
cm2; J = 0,959
cm4; . Für ist
. (s. Tab. 5).Bei den vorstehenden Berechnungen wurden außer k0 und E, F, J und l als bekannt angenommen und daraus k bezw. Pk= mP berechnet.Meistens werden jedoch außer k0 und E Pk= mP und l gegeben und F bzw. J zu berechnen
sein.Zur Vereinfachung der Rechnung werden in solchen Fällen die Tabellen 6 bis 9 dienen
für
[Textabbildung Bd. 334, S. 72]
Abb. 3.a) Quadratische volle Querschnitte in Kiefernholz,b) Quadratische hohle Querschnitte in Kiefernholz,c) Nahtlos gezogene Stahlrohre nach den Flugzeugnormen.Tabelle 5.
[Textabbildung Bd. 334, S. 72]
Abb. 4.Tabelle 6.
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
Tabelle 7.
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
a) Quadratische volle Querschnitte in
Kiefernholz. (Abb. 5.)F = h2 cm2; k0 =
525 kg/cm2; E =
130000 kg/cm2b) Quadratische hohle Querschnitte in
Kiefernholz. (Abb. 6.)k0 = 525 kg/cm2; E= 130000 kg/cm2c) Nahtlos gezogene Stahlrohre nach
den Flugzeugnormen. (Abb. 7.)k0 =
5200 kg/cm2; E =
2000000 kg/cm2
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
Abb. 5.
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
Abb. 6.
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
Abb. 7.In der nachstehenden Tabelle ist für jeden Rohrdurchmesser nur eine Wandstärke δ berücksichtigt. Da bei dünnwandigen Rohren F und J nahezu
proportional der Wandstärke sind, so sind auch die Knickkräfte nahezu proportional
der Wandstärke, also unschwer mit Hülfe der Tabellen werte zu schätzen.Tabelle 8.
[Textabbildung Bd. 334, S. 73]
Tabelle 9.
[Textabbildung Bd. 334, S. 74]