ÜBER EINE WÜNSCHENSWERTE BERICHTIGUNG AM HARTUNG-REGULATOR. Von Fr. Dubois, Dipl.-Ing., Assistent für Maschinenbau an der eidgen. Techn. Hochschule in Zürich. (Fortsetzung von S. 621 d. Bd.) DUBOIS: Ueber eine wünschenswerte Berichtigung am Hartung-Regulator. In dem vorhergehenden Teil dieser Arbeit habe ich bei der Aufstellung der Momentengleichung stillschweigend angenommen, daß das Gewicht der Muffe Q resp. $$\frac{Q}{2}$$ für eine Regulatorhälfte, am Endpunkt des unteren Armes des Winkelhebels stets in senkrechter Richtung angreift. Sollte diese Voraussetzung wirklich ganz genau treffen, so sollten die beiden Hängestangen, welche die Verbindung zwischen Muffe und Hebel bilden, theoretisch genommen, unendlich lang sein. Da man aber diese Bedingung aus konstruktiven Gründen nicht erfüllen kann, vielmehr, damit der Regulator nicht gar zu hoch ausfällt, die Hängestangen ziemlich kurz hält, so wirkt am unteren Hebelarm des Winkelhebels nicht mehr die senkrechte Kraft $$\frac{Q}{2}$$, sondern die Komponente derselben nach der Achse der Hängestange, welche ihrer Richtung und Größe nach mit der Regulatorstellung veränderlich ist, und man könnte mir mit vollem Recht die prinzipielle Weglassung dieses Faktors in meinen Gleichungen vorwerfen.

Fig. 14.

Ich habe mir ferner die wohl zulässige Annäherung gestattet, die Komponente G tg α gegen die Kraft P zu vernachlässigen, und ich habe gezeigt, daß diese Vernachlässigung einen Fehler von rd. 6½ v. H. bedingt. Ziel dieses Nachtrages ist es, diese beiden von mir in meiner ersten Veröffentlichung weggelassenen Faktoren in Rechnung zu ziehen. Ich führe als neue Bezeichnung den Winkel β ein, welchen die Hängestange mit der Vertikalen einschließt; der Winkel β ist, ebenso wie der Winkel a als algebraische Größe aufzufassen: wir sehen β als positiv an, wenn es rechts von der Vertikalen abzutragen ist, als negativ im entgegengesetzten Falle. Das halbe Gewicht $$\frac{Q}{2}$$ der Muffe ruft in der Achse der Hängestange eine Zugkraft Z hervor, die sich aus dem Kräfteparallelogramm zu $$Z=\frac{\frac{Q}{2}}{\text{cos}\beta }$$ ergibt. Außerdem tritt, infolge des Schiefstehens der Hängestange eine wagerechte Komponente $$N=\frac{Q}{2}\text{tg}\beta$$ auf, die von der Führung der Muffe „durch Nut und Feder“ als Normalkraft aufgenommen wird (siehe Fig. 14 und 15).

Fig. 15.

Nenne ich z den senkrechten Abstand des Drehpunktes des Winkelhebels nach der Achse der Hängestange, so lautet, mit den Bezeichnungen des vorangehenden Aufsatzes und Vernachlässigung des Gewichtes der Traghebel, die genauere Momentengleichung (s. Fig. 15) (F – P) h = G p + Z z. In diese Gleichung ist einzusetzen: $$F=\frac{G}{g}{\omega }^{2}x$$ h = a cos α, p = a sin α. Es ist ferner: $$Z=\frac{Q}{2\text{cos}\beta }$$, z = b sin ζ. Beachtet man die Gleichheit der in der Fig. 15 analog bezeichneten Winkel zwischen Parallelen und gemeinsamer Schnittgeraden, so ersieht man, daß ζ = [180° – (α + γ)] – β ist, also ζ = 180° – (γ + α + β). Mithin: z = b sin [180° – (γ + α + β)] z = b sin (γ + α + β). Somit geht die Momentengleichung über in $$(\frac{G}{g}{\omega }^{2}x-P)a\text{cos}\alpha =Ga\text{sin}\alpha +\frac{Q}{2\text{cos}\beta }b\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )$$. Nach Division mit a cos α und Umstellen folgt $$\frac{G}{g}{\omega }^{2}x=P+G\text{tg}\alpha +\frac{Q}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }$$, hieraus ergibt sich $$\frac{{\omega }^{2}x}{g}=\frac{P+G\text{tg}\alpha +\frac{Q}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{G}$$ . . . . . . . . (1) Nach der Definition der Stellkraft K muß die Muffe bei einer Aenderung der Winkelgeschwindigkeit von ω auf ω + δω unbeweglich bleiben, wenn gleichzeitig ihre Belastung Q um den Betrag K vermehrt wird, d.h. es ist für eine Regulatorhälfte $$\frac{(\omega +\delta \omega {)}^{2}x}{g}=\frac{P+G\text{tg}\alpha +(\frac{Q}{2}+\frac{K}{2}).\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{G}$$ . . . . . . (2) Nach Subtrahieren von Gleichung 1 aus Gleichung 2 folgt, mit Vernachlässigung von (δω)2 $$\frac{2\omega .\delta \omega .x}{g}=\frac{\frac{K}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{G}$$ . . . . . . . (3) Aus Gleichung 1 und 3 folgt durch Division $$\frac{\frac{2\omega \delta \omega x}{g}}{\frac{{\omega }^{2}x}{g}}=\frac{\frac{\frac{K}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{G}}{\frac{P+G\text{tg}\alpha +\frac{Q}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{C}}$$ $$ϵ=\frac{2\delta \omega }{\omega }=\frac{\frac{K}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}{P+G\text{tg}\alpha +\frac{Q}{2}.\frac{b}{a}.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }}$$ $$ϵ=\frac{K}{2(P+G\text{tg}\alpha )\frac{a}{b}\frac{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}+Q}$$ . . . . . . (4) Unter Berücksichtigung der Beziehungen a cos α = h            b sin (γ + α + β) = z erkennt man, daß der Ausdruck (s. Fig. 4 S. 563 erster Teil) $$2(P+G\text{tg}\alpha )\frac{a}{b}.\frac{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}+Q=2.\frac{(P+G\text{tg}\alpha )}{\text{cos}\beta }\frac{h}{z}+Q$$ nichts anderes ist als die auf die Hülse nach Uebersetzung $$\frac{h}{z}$$, Uebertragung durch die schräge Hängestange, und Zusammensetzung mit der Reaktion Af der Führung der Muffe und mit dem Gewicht Q derselben, reduzierte statische Kraft der beiden Schwungkörper, also, wie erforderlich $$ϵ=\frac{K}{S}$$. Im Ausdruck Gleichung 4 für ε haben wir im Nenner für die Federkraft P den Wert: P = T (y0 – a tg α) einzusetzen. (Ueber die Herleitung und Bedeutung von T und y0, siehe vorigen Aufsatz und diesbezügl. Fig. 6 S. 564.) Diesen Nenner bezeichnen wir, der kürzeren Schreibweise halber mit ϕ (α, β); ϕ = Funktion von (α, β) Es ist also: $$\phi (\alpha ,\beta )=2[T(y_0-a\text{tg}\alpha )+G\text{tg}\alpha ]\times \frac{a}{b}.\frac{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}+Q$$ $$\phi (\alpha ,\beta )=2.T.\frac{a}{b}[y_0-(a-\frac{G}{T})\text{tg}\alpha ]\times \frac{\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta }{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}+Q.$$ Wir entwickeln im Nenner sin (γ + α + β), beachten, daß tg α ∙ cos α = sin α ist, und erhalten: $$\phi (\alpha ,\beta )=2.T.\frac{a}{b}.\frac{y_0\text{cos}\alpha \text{cos}\beta -(a-\frac{G}{T})\text{sin}\alpha .\text{cos}\beta }{\text{sin}\gamma .\text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}\gamma .\text{sin}(\alpha +\beta )}+Q.$$ Auf der rechten Seite formen wir den Zähler um unter Benutzung der trigonometrischen Transformationsformeln: $$\text{cos}\alpha .\text{cos}\beta =\frac{1}{2}[\text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}(\alpha -\beta )]$$ $$\text{sin}\alpha .\text{cos}\beta =\frac{1}{2}[\text{sin}(\alpha +\beta )+\text{sin}(\alpha -\beta )]$$ Wir finden dann: $$\phi (\alpha ,\beta )=2.T.\frac{a}{b}$$ $$\times \frac{y_0.\frac{1}{2}[\text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}(\alpha -\beta )]-(a-\frac{G}{T})\frac{1}{2}.[\text{sin}(\alpha +\beta )+\text{sin}(\alpha -\beta )]}{\text{sin}\gamma \text{cos}(\alpha +a)+\text{cos}\gamma \text{sin}(\alpha +\beta )}+Q$$ $$=2.T.\frac{a}{b}.\frac{1}{2}.\frac{y_0\text{cos}(\alpha +\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha +\beta )}{\text{sin}\gamma \text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}\gamma \text{sin}(\alpha +\beta )}$$ $$+2.T.\frac{a}{b}.\frac{1}{2}.\frac{y_0\text{cos}(\alpha -\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha -\beta )}{\text{sin}\gamma \text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}\gamma \text{sin}(\alpha +\beta )}+Q.$$ $$\phi (\alpha ,\beta )=T.\frac{a}{b}.\frac{y_0.\text{cos}(\alpha +\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha +\beta )}{\text{sin}\gamma .\text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}\gamma .\text{sin}(\alpha +\beta )}$$ $$+T.\frac{a}{b}.\frac{y_0\text{cos}(\alpha -\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha -\beta )}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}+Q$$ . . . . (5) Wir bezeichnen die drei auf der rechten Seite stehenden Glieder mit f1 (α, β) resp. f2 (α, β), f3 (α, β), wobei das Zeichen f ( ) die übliche Bedeutung „Funktion von ( )“ hat, und im besonderen f3 (α, β) = Q = konst. ist. Der Nenner des Ausdrucks Gleichung 4 für ε läßt sich also gemäß Gleichung 5 zerlegen in eine Summe von drei Funktionen f1, f2 und f3 der zwei Veränderlichen α und β. Φ (α, β) = f1 (α, β) + f2 (α, β) + f3 (α, β). . . . (6) Sollen ε und K konstant sein, so haben wir die Bedingung dafür zu untersuchen, daß die Summen f1 + f2  + f3 eine Konstante, unabhängig von den Werten von α und β, sei. Wir fassen zunächst die Funktion f1 ins Auge. $$f_1=T.\frac{a}{b}.\frac{y_0.\text{cos}(\alpha +\beta )-(a-\frac{G}{T}).\text{sin}(\alpha +\beta )}{\text{sin}\gamma .\text{cos}(\alpha +\beta )+\text{cos}\gamma .\text{sin}(\alpha +\beta )}$$. Setzt man für einen Augenblick cos (α + β) = X, sin (a + β) = Y, so erscheint f1 wieder als „homographische Funktion“ von der Gestalt: $$f_1=C.\frac{aX+bY}{a^{\prime }X+b^{\prime }{Y}^{\prime }}$$, C = konst. Soll sie unabhängig von den Werten der Variabelen X und Y sein, so muß, ganz genau wie vorhin, die Proportion $$\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}$$ bestehen, oder, nach Einsetzen der Werte: $$\frac{y_0}{\text{sin}\gamma }=-\frac{(a-\frac{G}{T})}{\text{cos}\gamma }$$, woraus sich $$\text{tg}\gamma =-\frac{y_0}{(a-\frac{G}{T})}$$ . . . . . . (7) ergibt. G ist eine Kraft, T ist die Federkonstante, hat also die Dimension $$\frac{\text{Zunahme der Federkraft}}{\text{Längenänderung der Feder}}$$, und mithin hat $$\frac{G}{T}$$ die Dimension einer Länge, so daß $$a-\frac{G}{T}$$ homogen ist, wie es sein sollte. Beachtet man, daß die Regulatorfeder kräftig und mit dicker Windung ist, so ist T eine große Zahl, G hingegen ist immer klein, so daß $$\frac{G}{T}$$ eine sehr kleine Größe ist gegen α, und man erhält angenähert: $$\text{tg}\gamma \stackrel{\mathrm{\infty }}{=}-\frac{y_0}{a}$$. Das war die zuerst von mir abgeleitete Formel für die Konstanz von e und K. – Will man eine größere Genauigkeit erzielen, so rechnet man mit der verbesserten Formel $$\text{tg}\gamma =-\frac{y_0}{(a-\frac{G}{T})}$$. Wir gehen zum zweiten Gliede über $$f_2=T.\frac{a}{b}\frac{y_0\text{cos}(\alpha -\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha -\beta )}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}$$. In diesen Ausdruck schieben wir den Wert $$y_0=-(a-\frac{G}{T})\text{tg}\gamma$$     $$=-(a-\frac{G}{T})\frac{\text{sin}\gamma }{\text{cos}\gamma }$$ aus Gleichung 7 ein. – Es ergibt Sich dann für den Regler mit nach Formel 7 berechneter Schränkung: $$f_2=T.\frac{a}{b}.\frac{-(a-\frac{G}{T})\frac{\text{sin}\gamma }{\text{cos}\gamma }.cos(\alpha -\beta )-(a-\frac{G}{T})\text{sin}(\alpha -\beta )}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}$$ $$f_2=-T\frac{a}{b}(a-\frac{G}{T})\frac{1}{\text{cos}\gamma }\times \frac{[\text{sin}\gamma .\text{cos}(\alpha -\beta )+\text{cos}\gamma .\text{sin}(\alpha -\beta )]}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}$$ $$f_2=-T\frac{a}{b}(a-\frac{G}{T})\frac{1}{\text{cos}\gamma }.\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha -\beta )}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}$$ Den konstanten Faktor $$-T.\frac{a}{b}.(a-\frac{G}{T}).\frac{1}{\text{cos}\gamma }$$ bezeichnen wir durchweg mit D. Es ist zu beachten, daß γ > 90° ist, also cos γ negativ, mithin die Konstante D wegen des vorangehenden Minuszeichens positiv. $$f_2=D\frac{\text{sin}(\gamma +\alpha -\beta )}{\text{sin}(\gamma +\alpha +\beta )}$$ . . . . . . . (8) Wollten wir die Veränderlichkeit dieses Ausdruckes mit der Regulatorstellung untersuchen, so hätten wir den Parameter β in Funktion von a zu eliminieren. Die Winkel α und β hängen nämlich zusammen durch die Beziehung 1 sin β + b sin [180° – (α + γ)] = d 1 sin β + b sin (γ + α) = d. (l = Länge der Hängestange), (d = Abstand des Drehpunktes des Winkelhebels von der Regulatorachse). Dieser Zusammenhang ergibt sich aus Fig. 15 unmittelbar durch Projektion des Linienzuges OBC auf die Wagerechte. Hieraus folgt $$\text{sin}\beta =\frac{d-b\text{sin}(\gamma +\alpha )}{l}$$ $$\text{cos}\beta =+\sqrt{1-{\text{sin}}^2\beta }(-{90}^{\circ }<\beta <+{90}^{\circ },\text{cos}\beta <0)$$ (9) Wollten wir nun, um β zu eliminieren, sin β und cos β aus Gleichung 9 in den Ausdruck Gleichung 8 einsetzen, so würde eine so ungeheuer verwickelte Formel entstehen, daß mit derselben praktisch absolut nichts anzufangen wäre. (Schluß folgt.)