KRAFTBEDARF BEIM LOCHEN, SCHEREN UND BIEGEN. Von Georg Lindner, Professor in Karlsruhe. (Schluß von S. 420 d. Bd.) LINDNER: Kraftbedarf beim Lochen, Scheren und Biegen. Berechnung der unelastischen Biegung. Solange ein Blech (Fig. 7) von der Stärke a und Breite b nur so schwach gebogen wird, daß die Biegespannung σ unterhalb der Streckgrenze S bleibt, ist die Spannung proportional der Dehnung ϑ im konstanten Verhältnis E, nämlich σ = Eϑ. Im Abstand y von der neutralen Schicht bei dem Krümmungsradius ρ gilt $$\vartheta =\frac{y}{\rho }$$ also $$\sigma =E\frac{y}{\rho }$$.

Fig. 7. Biegespannungen.

Im Grenzfall ist σ = S in den äußeren Fasern: mit $$y=\frac{a}{2}$$ wird $${\sigma }_1=S=E\frac{a}{2{\rho }_1}$$ oder $$\frac{S}{E}=\frac{a}{2{\rho }_1}$$, somit $${\rho }_1=\frac{aE}{2S}$$. Wenn aber infolge stärkerer Biegung die Streckgrenze S überschritten wird, steigt die Spannung mit der Dehnung in geringerem Grade, dessen Maß nicht bekannt ist. Die Diagramme der Zugversuche geben darüber nicht Auskunft, weil bei der Biegung wahrscheinlich die von innen nach außen benachbarten Fasern sich gegenseitig beeinflussen, und weil hier auch die Druckspannungen mitwirken, bei denen, falls eine ausgesprochene Quetschgrenze im Material vorhanden ist, das Gesetz der Aenderungen nicht gerade mit dem der Zugversuche übereinstimmt. Der Berechnung muß, solange keine Erfahrungen hierzu vorliegen, eine wahrscheinliche Annahme zugrunde gelegt werden, in einfacher Form. Als solche möge vorläufig eine lineare Aenderung mit geringerem Verhältniswert cE eingeführt werden, wobei c ein kleiner Bruch ist (Fig. 7). Die Biegespannung er oberhalb der Streckgrenze wird nach dieser Annahme dem Ausdruck entsprechen σ = S + cE (ϑ – ϑ1). Mit $${\vartheta }_1=\frac{S}{E}$$ und $$\vartheta =\frac{y}{\rho }$$ folgt; $$\sigma =S(1-c)+cE\frac{y}{\rho }.$$ In einem Querschnitt des Blechs herrscht hierbei nahe der neutralen Schicht noch elastische Beanspruchung bis zu einer Entfernung ± y1, darüber hinaus unelastische bis $$\pm y_2=\frac{a}{2}$$. In der Grenze bei y1 wirkt die Spannung $$S=E\frac{y_1}{\rho }$$; demnach ist $$y_1=\frac{S}{E}\rho$$. Das Verhältnis k der Stärke des elastischen Kerns zur vollen Blechstärke ist $$k=\frac{y_1}{y_2}=\frac{S}{E}\rho .\frac{2}{a}=\frac{2S}{aE}.\rho =\frac{\rho }{{\rho }_1}.$$ Das Moment der Spannungen im Querschnitt beträgt $$M=2b\underset{0}{\overset{y_1}{\int }}\sigma ydy+2b\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}\sigma ydy$$     $$=2b[=\underset{0}{\overset{1}{\int }}E\frac{y}{\rho }ydy+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(S(l-c)+cE\frac{y}{\rho })ydy]$$     $$=\frac{a^{2}b}{6}S[(3-\frac{{\rho }^2}{{{\rho }_1}^2})\left(\frac{l-c}{2}\right)+c\frac{{\rho }_1}{\rho }].$$ Dem innern Moment entspricht das äußere Moment, bestimmt durch eine biegende Kraft P und den senkrecht zu ihrer Richtung liegenden Hebelarm x. Die Gleichung gilt jedoch nur, wenn das äußere Moment Px größer als das für elastische Biegung ist, dessen größter Wert bei x1 erreicht wird, mit $$P{x}_1=\frac{a^{2}b}{6}S.$$ Im Verhältnis hierzu findet sich $$\frac{x}{x_1}=(3-\frac{{\rho }^2}{{{\rho }_1}^2})\left(\frac{l-c}{2}\right)+c\frac{{\rho }_1}{\rho }.$$

Fig. 8.

Es handelt sich nun weiter um die Berechnung der „elastischen Linie“ oder Krümmungslinie nach der vereinfachten Formel $$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=\frac{1}{\rho }$$. Wollte man aus der vorstehend entwickelten Gleichung 3. Grades für $$\frac{1}{\rho }$$ die Wurzel entnehmen, so stößt man auf Schwierigkeiten, die sich durch eine Annäherung zweckdienlich umgehen lassen. Die Beziehung zwischen $$\frac{\rho }{{\rho }_1}$$ und $$\frac{x}{x_1}$$ findet man z.B. für c = 0,01 als Kurve darstellbar (Fig. 8), indem man verschiedene Werte für $$\frac{\rho }{{\rho }_1}$$ einstellt; man erkennt dabei, daß für $$\frac{x}{x_1}=1$$ bis etwa 1,5 das erste Glied der Gleichung ausschlaggebend ist, darüber hinaus das zweite. Danach läßt sich die Rechnung teilen und für jede Zone eine Näherungsgleichung ausmitteln, wie folgende:

für $$\frac{x}{x_1}=1\sim 1,5$$ möge gelten $$\frac{x}{x_1}=1,533-0,533\frac{{\rho }^2}{{{\rho }_1}^2},$$ „ $$\frac{x}{x_1}>1,5$$ „ „ $$\frac{x}{x_1}=1,44+0,015\frac{{\rho }_1}{\rho }.$$

In der Grenzlage bei $$\frac{x}{x_1}=1,5$$ ist jedesmal $$\frac{\rho }{{\rho }_1}=\frac{1}{4}$$. Man hat nun eine 1. elastische Zone von $$\frac{x}{x_1}=0\sim 1$$ mit der Ausgangsgleichung $$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=\frac{1}{\rho }=\frac{x}{x_1{\rho }_1}.$$ Wählt man den Angriffspunkt der Kraft P als Nullpunkt für x und z, so findet sich zunächst die Neigung $$\frac{dz}{dx}=\frac{x^2}{2x_1{\rho }_1}$$ von 0 bis $$\frac{x_1}{2{\rho }_1}$$ bei x1; ferner die Ordinate $$z=\frac{x^3}{6x_1{\rho }_1}$$ von 0 bis $$z_1=\frac{{x_1}^2}{6{\rho }_1}.$$ In der II. Zone von $$\frac{x}{x_1}=1\sim 1,5$$ ist weiter: $$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=\frac{1}{\rho }=\sqrt{\frac{0,533}{{{\rho }_1}^2(1,533-\frac{x}{x_1})}}$$, $$\frac{dz}{dx}=\frac{x_1}{{\rho }_1}(1,566-1,46\sqrt{1,533-\frac{x}{x_1}})$$                       von $$\frac{x_1}{2{\rho }_1}$$ bis $$1,30\frac{x_1}{{\rho }_1}$$, $$z=\frac{{x_1}^2}{{\rho }_1}(1,566\frac{x}{x_1}-1,779+0,973{(1,533-\frac{x}{x_1})}^{3/2})$$                       von $$\frac{{x_1}^2}{6{\rho }_1}$$ bis $$0,577\frac{{x_1}^2}{{\rho }_1}$$.

Fig. 9.

In der III. Zone gilt endlich $$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{0,015{\rho }_1}(\frac{x}{x_1}-1,44).$$ $$\frac{dz}{dx}=\frac{x_1}{{\rho }_1}(70,3-96\frac{x}{x_1}+\frac{x^2}{0,03{x_1}^2}).$$ $$z=\frac{{x_1}^2}{{\rho }_1}(-34,423+70,3\frac{x}{x_1}-48\frac{x^2}{{x_1}^2}+\frac{x^2}{0,09{x_1}^2}).$$ Will man als Durchbiegung h die Pfeilhöhe des gebogenen Blechs oder den Abstand des Angriffspunktes der Kraft von der Tangente der Kurve angeben, so hat man nach Fig. 6 (S. 419) zu setzen: h = x tg α – z cos α mit $$\text{tg}\alpha =\frac{dz}{dx}$$. Setzt man z cos α = z und ρ1 = 500 a, so wird für die III. Zone $$h=\frac{x^2}{a}.\frac{1}{22,5}[1,55{\left(\frac{x_1}{x}\right)}^2+\frac{x}{x_1}-2,16].$$ Im allgemeinen wird x = 0,5 d ∾ 0,6 d und $$a=\frac{d^2}{500}$$ sein, daher $$\frac{x^2}{a}.\frac{1}{22,5}=6\sim 8$$, im Mittel h = 7 [...]. Zur näheren Bestimmung des Wirkungsbereichs sind die Spannungen nachzurechnen und anzugeben. Infolge der Zerlegung der zuerst angenommenen Funktion ändert sich die Spannung oberhalb der Streckgrenze nicht mehr linear, sondern paßt sich dem Verlauf nach Fig. 9 an. Aus der Gleichung für $$\frac{x}{x_1}$$ findet sich mit $$\frac{\rho }{{\rho }_1}=k$$ $$c=\frac{\frac{x}{x_1}-\frac{1}{2}(3-k^2)}{\frac{1}{k}-\frac{1}{2}(3-k^2)}$$, und zwar mit dem Wert von $$\frac{x}{x_1}$$ für die II. Zone zu $$c=\frac{1}{15}.\frac{1-k^2}{\frac{2}{k}+k^2-3}$$ und für die III. Zone $$c=\frac{\frac{0,03}{k}+k^2-0,12}{\frac{2}{k}+k^2-3}$$ Damit ergibt sich weiter die Spannung für $$y=\frac{a}{2}$$ und $$\frac{aE}{2{\rho }_1}=S$$ $$\sigma =S5[1+c(\frac{{\rho }_1}{\rho }-1)]$$ lt. Tab. 5. Als Streckgrenze sei für Flußeisenblech gesetzt: $$S=\frac{1}{1000}E=2150\text{ kg/qcm;}$$ hierbei wird $${\rho }_1=\frac{aE}{2S}=500$$ bei x1, und die Dehnung der äußeren Faser $$\vartheta =\frac{a}{2\rho }=\frac{1}{1000}.\frac{{\rho }_1}{\rho }.$$. Die Neigung der Kraft P ist bestimmt durch $$\text{tg}\alpha =\frac{dz}{dx}=\frac{x}{500a}(70,3\frac{x_1}{x}+\frac{x}{0,03x_1}-96)$$ Für x = 0,56 d als Mittelwert und $$a=\frac{d^2}{500}$$ als Näherungswert ergibt sich der Horizontalabstand i der Anlagestelle vom Scheitel der unteren Walze (Fig. 6) mit d1 = 0,84 d zu $$i=\frac{d_1}{2}\text{tg}\alpha =0,235(70,3\frac{x_1}{x}+\frac{x}{0,03x_1}-96)$$ laut Tab. 5. Aus der Zahlenübersicht ist zu entnehmen, daß, wenn man die Biegespannung σ = 3000 kg/qcm nicht überschreiten will, das Verhältnis k nicht viel kleiner als 1/30 zu benutzen ist, anderseits nicht größer als 1/10 mit σ = 2370, weil sonst die Wirkung zu schwach wäre. Nach den gewöhnlichen Formeln hätte man also mit einer unwirklichen Spannung $$s=\frac{x}{x_1}S$$ zwischen 3000 ∾ 4000 zu rechnen, wie anfänglich eingeführt worden ist. Die Durchbiegung h ist dazu für das stärkste an der Maschine zulässige Blech beim ersten Durchgang auf 3 ∾ 12 mm einzustellen (Fig. 8). Der Krümmungsradius ρ unterhalb der Oberwalze kommt dabei auf ρ = k ρ1 = k 500 a = 50 a ∾ 17 a. Im letzten Fall erreicht er den Walzenradius, wenn die Walze über 30 cm stark ist. Das Blech behält aber diese Krümmung nicht, sondern federt zurück. Tabelle 5.

$$k=\frac{\rho }{{\rho }_1}=$$ 1 ½ ¼ 1/10 1/20 1/30 1/40 1/50 $$\frac{x}{x_1}=$$ 1 1,40 1,50 1,59 1,74 1,89 2,06 2,19 σ = 2150 2240 2230 2370 2680 3000 3330 3650 kg/qcm $$s=\frac{x}{x_1}S=$$ 2150 3010 3230 3410 3740 4070 4440 4700 „ $$h=\frac{x^2}{1000a}$$ mal 1,34 1,92 4,11 7,36 11,8 15,8 im Mittel h = 0,2 0,3 0,6 1,2 1,9 2,5 cm im Mittel $$i=\frac{d_1}{2}\text{tg}\alpha =$$ 0,2 0,3 0,5 1 1,5 2   „

Die Rückfederung (Fig. 10) erfolgt rein elastisch, wie bei Zugproben mit Entlastung nach der Ausstreckung, mit dem Verhältnis E zwischen σ und ϑ. Dabei ändern sich die Spannungen σ in σ0, die Dehnungen ϑ in ϑ0 und ρ in ρ0. Es ist $$\sigma -{\sigma }_0=E(\vartheta -{\vartheta }_0)=E(\frac{y}{\rho }-\frac{y}{{\rho }_0})=Ey(\frac{1}{\rho }-\frac{1}{{\rho }_0})$$.

Fig. 10. Rückfederung.

Die Formänderung geht so weit, bis sich in jedem Blechquerschnitt das Moment der Spannungen ausgleicht; es werden im Abstand y1 von der neutralen Schicht nach außen Zugspannungen σ01 bleiben, bei $$y_2=\frac{a}{2}$$ dagegen Druckspannungen – σ02 entstehen, nach innen zu umgekehrt (Fig. 10). In die Bedingungsgleichung $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\sigma }_{0}ydy=0$$ ist σ0 aus der vorigen Gleichung einzusetzen: $$\int \sigma ydy-\int E(\frac{1}{\rho }-\frac{1}{{\rho }_0})y^{2}dy=0$$ Das erste Glied ist bekannt als $$\frac{M}{2b}=\frac{1}{2b}\frac{a^{2}b}{6}s=\frac{a^2}{12}s.$$ Das zweite Glied beträgt für die Grenzen y = 0 bis a/2 $$E(\frac{1}{\rho }-\frac{1}{{\rho }_0})\frac{a^3}{2.2^3}.$$ Man erhält hiernach $$\frac{1}{\rho }-\frac{1}{{\rho }_0}=\frac{a^2}{12}s.\frac{24}{E{a}^3}=\frac{2S}{aE}\frac{s}{S}=\frac{1}{{\rho }_1}\frac{s}{S}=\frac{1}{{\rho }_1}\frac{x}{x_1}$$ und $${\rho }_0=\frac{{\rho }_1}{\frac{{\rho }_1}{\rho }-\frac{x}{x_1}}$$ gegenüber ρ = k ρ1 mit ρ1 = 500 a. Ueberträgt man den Wert von ρ0 in die Gleichung für σ – σ0, so findet man $${\sigma }_0=\sigma -\frac{2y}{a}s$$ und zwar für $$y=\frac{a}{2}$$ in der äußeren Faser σ02 = σ – s und für $$y=k\frac{a}{2}$$ an der Grenze des elastisch gebogenen Kernes $${\sigma }_{01}=S-ks=S(1-k\frac{x}{x_1})$$.

Für $$k=\frac{\rho }{{\rho }_1}=$$ ¼ 1/10 1/20 1/30 wird $$\frac{\rho }{a}=$$ 125 50 25 17 und $$\frac{{\rho }_0}{a}=$$ 200 60 27,5 18 fernerund σ02 =σ01 = – 1000   1340 – 1040   1785 – 1060   1960 – 1070   2010!

Biegearbeit. Wenn ein elastischer Körper durch eine von Null bis P anwachsende Kraft auf Zug, Biegung oder andere Weise so deformiert wird, daß sich der Angriffspunkt der Kraft um die Länge λ in der Kraftrichtung verschiebt, so ist die vom Material aufgenommene Arbeit $$A=12P\lambda ,$$ nämlich gleich dem Produkt aus der durchschnittlichen Kraft zwischen 0 und P mit dem Wege λ. Insbesondere hat man bei elastischer Biegung, z.B. innerhalb des elastisch gebogenen Kerns im Blech in der I. Zone, für eine einzelne Faser vom Querschnitt bdy, die sich bis zur Spannung σ = E ϑ von der ursprünglichen Länge l um λ = lϑ streckt oder staucht, die Teilarbeit $$d{A}_1=bdy.\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}\sigma ld\vartheta =bdylE\int \vartheta d\vartheta =\frac{1}{2}bdylE{\vartheta }^2$$ Für den Kern von der Stärke 2 y1 = 2 ka ist mit $$\vartheta =\frac{y}{\rho }$$ die Gesamtarbeit $$A_1=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}bdylE\frac{y^2}{{\rho }^2}=\frac{lEb{a}^3{k}^3}{24{\rho }^2}=\frac{1}{2}\frac{l}{\rho }\frac{EJ}{\rho }{k}^3.$$ Bei rein elastischer Biegung mit k = 1 und $$\frac{EJ}{\rho }=M$$ gilt $$A=\frac{1}{2}\frac{l}{\rho }M.$$ Zu demselben Ergebnis gelangt man, von den äußeren Kräften ausgehend, bei der Betrachtung der Aufwicklung eines elastischen Bandes auf eine darübergehende Rolle vom Radius ρ (Fig. 11). Ihr Mittelpunkt liegt, nach Maßgabe der elastischen Linie, stets mitten über der freitragenden Strecke x für das biegende Moment $$Px=\frac{EJ}{\rho }.$$ Die auf die Rolle drückende Kraft oberhalb P läßt sich teilen in Q und eine Umfangskraft $$U=P-Q=\frac{P\frac{x}{2}}{\rho }$$. Bei der Rollung ist die Arbeit $$A=U\rho \alpha =Ul=\frac{Px}{2\rho }l=\frac{1}{2}\frac{l}{\rho }M.$$ Walther setzt die Biegearbeit $$A=\frac{l}{\rho }M$$; das gilt für den von ihm behandelten Fall der Biegung mit einer konstanten Spannung S als Zug- oder Druckspannung je für den halben Blechquerschnitt, oberhalb der Fließgrenze.

Fig. 11.

Nach der vorstehenden Annahme einer Biegespannung, die von 0 bis y1 auf σ1 = Eϑ1 = S gleichmäßig ansteigt und von y1 bis y2 von S bis auf σ2 = S + cE ϑ2 in geringerem Grade gleichmäßig wächst, stellt sich die Berechnung wie folgt. In dem Kern mit elastischer Biegung wird die Arbeit A1 aufgenommen, die soeben berechnet wurde. In dem übrigen plastisch gebogenen Querschnitt gilt für eine Faser d AII = bdy ∫ σ ld ϑ mit dem Verlauf der Spannung σ bei allmählicher Streckung gemäß σ = Eϑ von 0 bis ϑ1 und = S + c E ϑ von ϑ1 bis ϑ. Mit $$\frac{S}{E}={\vartheta }_1$$ erhält man $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ Setzt man nun $${\vartheta }_1=\frac{y_1}{\rho }$$ und $$\vartheta =\frac{y}{\rho }$$, so findet man für die beiden Querschnittshälften durch Integration $$A_n=2\frac{lEb}{2{\rho }^2}[\frac{{y_1}^3}{3}+2y_1\frac{{y_2}^2-{y_1}^2}{2}-2{y_1}^2(y_2-y_1)+\frac{c({y_2}^3-{y_1}^3)}{3}-c{y_1}^2(y_2-y_1)].$$ Hierin ist $$y_1=\frac{1}{2}ka$$ und $$y_2=\frac{1}{2}a$$ einzuführen und $$\frac{b{a}^3}{12}=J$$ zu setzen; ferner hat man $$M_1=\frac{EJ}{{\rho }_1}$$ bei x1 und $$M=\frac{x}{x_1}{M}_1$$, daneben $$k=\frac{\rho }{{\rho }_1}$$, also $$\frac{EJ}{\rho }=M\frac{x_1}{x}\frac{l}{k}.$$ Schließlich ergibt sich die Gesamtarbeit $$A=A_1+A_n=\frac{1}{2}\frac{l}{\rho }M\frac{x_1}{x}[3+\frac{c}{k}-(2+c)(3-2k)k].$$ Den Wert von c kann man nach den Spannungen (Fig. 9) für die II. und III. Zone gemeinsam zu c = 1/80 rechnen. Danach stellt sich die Biegearbeit

für k = ¼ ⅙ 1/10 1/20 1/30 1/50 auf A = 0,6 0,7 0,80 0,85 0,84 0,80 $$.\frac{l}{\rho }M$$

Die Arbeit ist von den Unterwalzen durch die Reibungskraft 2 μP auf die Strecke l zu leisten, dazu auch die Zapfenreibung der Oberwalze. Die Zapfenstärke läßt sich zu 0,6 d ansetzen, die Reibziffer zu 0,05; dabei erfordert die Zapfenreibung die Arbeit $$A_r=0,05.2P.\frac{0,6d}{d}.l=0,06Pl.$$ Im äußersten Fall darf μ = 0,24 gesetzt werden und die Vorzahl bei A etwa 0,84. Die Maschine wird hiernach das Blech noch durchziehen können, wenn die Arbeitsgleichung erfüllt ist: 2 μ Pl = A + Ar $$$$\begin{array}{rcl}2\mu Pl& =& A+A_r\\ 2.0,24Pl& =& 0,84\frac{l}{\rho }Px+0,06Pl\\ \rho & =& 2x\end{array}$$$$ oder $$k=\frac{\rho }{{\rho }_1}=\frac{2x}{{\rho }_1}.$$ Setzt man hierin x = 0,555 d und ρ1 = 500 a mit $$a=\frac{1,5}{\sqrt{b}}(d-11)$$, z.B. für b = 225 cm, a = 0,1 (d – 11), so folgt als Mittelwert $$k=\frac{1}{45(1-\frac{11}{d})},$$ nämlich für d = 14 ∾ 33 ∾ 50 cm k = 1/10 ∾ 1/30 ∾ 1/35; Das Ergebnis stimmt gerade mit den Verhältnissen überein, die oben bereits mit Rücksicht auf die Spannung im Blech angenommen worden sind. Im Einzelfall wird man mit bestimmten Zahlen an Stelle der hier vielfach benutzten Mittelwerte rechnen können. Nachdem aber der Rechnungsgang einmal aufgestellt und durchgeführt ist, wird sich die plastische Biegung praktisch genauer bestimmen lassen, als bisher möglich war. Noch bleibt allerdings eine Reihe von Fragen zur eingehenden Untersuchung offen. Zunächst müßte die Spannungsverteilung bei der plastischen Biegung für das Material experimentell näher erforscht werden. Weiter ist noch der Fall der weiter fortgesetzten Biegungen beim zweiten und den folgenden Durchgängen des Blechs zu behandeln unter Beachtung der „Biegung krummer Stäbe“. Auch die unsymmetrische Anlage des Blechs an den Walzen infolge der stellenweisen Biegung der unter der Oberwalze soeben durchgeführten Blechstrecke und die Wirkung der schrägen Richtung des Unterwalzendruckes einschließlich ihrer Reibung harrt noch der Aufklärung.