AUSGLEICHUNG BELASTETER, IN SENKRECHTER EBENE SCHWINGENDER KRANAUSLEGER. Von Regierungsbaumeister Proetel in Saßnitz. (Schluß von S. 733 d. Bd.) PROETEL: Ausgleichung belasteter, in senkrechter Ebene schwingender Kranausleger. Berechnung der Kurvenformen. A. Ausgleichung der Last. Die Kurven sind so zu bestimmen, daß das Kurvenseil für jede Auslegerstellung in einem ganz bestimmten Abstande von dem Kurvendrehpunkt geführt wird, damit das durch die Seilkraft erzeugte Moment dem aus allen übrigen auf den Ausleger einwirkenden Kräften resultierenden Momente entgegenwirkt und es je nach Bestimmung ganz oder teilweise aufhebt.

Fig. 13.

Die erforderlichen Abstände y des Kurvenseils vom Kurvendrehpunkt können aus der Momentengleichung für den Ausleger für eine Reihe von Auslegerstellungen bestimmt werden. Schlägt man alsdann, wie in Fig. 14 geschehen, mit den gefundenen Abständen y die Kreise um den Kurvendrehpunkt, zieht die Richtungen des Kurvenseiles als Tangenten an diese Kreise und reduziert die Tangenten auf eine beliebige Auslegergrundstellung, indem man sie um den Winkel zurückdreht, um welchen die zugehörige Lage des Kurvenstückes sich gegen die zur Grundstellung gehörige Lage unterscheidet, so hüllen die zurückgedrehten Tangenten die Kurve ein; diese kann alsdann zeichnerisch leicht bestimmt werden. Da die Seilkraft in der Mitte des Kurvenseiles angenommen werden kann, sind die rechnungsmäßigen Kurven noch um die halbe Seilstärke zu schmälern. Fall 1. Die Kurvenscheibe ist nach Fig. 9 mit dem Kranausleger fest verbunden.

Fig. 14.

Es bezeichne gemäß Fig. 13: P die Last; X1 die Horizontalprojektion der Auslegerlänge vom Drehpunkt bis zum Mittelpunkt der Rollet; x2 desgl. bis zum Mittelpunkt der Rolle 6; r, den Halbmesser der Rolle 9; r2 den Halbmesser der Rolle 6; k die gewählte, in Fig. 13 nicht gezeichnete, Kraftübersetzung im Seile 8 zwischen den Rollen 9 und 11; m die gesamte Uebersetzung im Seil 13 infolge eines dort eingeschalteten und (unter Mitwirkung des etwa noch im Seil 8 vorhandenen Flaschenzuges); f das Lot vom Auslegerdrehpunkt auf das Seil 8; y den gesuchten Abstand des Kurvenseils 13 vom Kurvendrehpunkt; letzterer fällt in diesem Falle mit dem Auslegerdrehpunkt zusammen. Der Flaschenzug 2 hat n-Stück lose Rollen bei 3 und n – 1 Stück feste Rollen bei 4; also beträgt die Spannkraft im Seil 8: $$\frac{P}{2n}(2n-1)$$, und diejenige im Seil 5 $$\frac{P}{2n}$$. Das zur Winde geführte Ende des Seiles 5 geht annähernd durch den Auslegerdrehpunkt, erteilt also dem Ausleger kein merkliches Moment. Die zum Flaschenzug 2 führenden Seile können als senkrecht betrachtet werden. Soll nun die Ausgleichung so erfolgen, daß stets ein geringes Moment c • P den Ausleger nach unten zu drehen strebt, so ist die Momentengleichung in bezug auf den Auslegerdrehpunkt: $$\frac{P}{2n}(2n-1)(x_1+r_1)+\frac{P}{2n}(x_2+r_2)-k.\frac{P}{2n}(2n-1).f-m\frac{P}{2n}(2n-1).y=c.P;$$ oder nach einfacher Umformung: (2 n – 1) (x1 + r1) + (x2 + r2) – k (2 n – 1) · f – n (2 n – 1) · y = 2 n c. Hieraus ergibt sich: $$y=\frac{1}{m}[x_1+r_1+\frac{x_2+r_2-2nc}{2n-1}-k.f]$$ . . 1) x1 ist die Weite der Auslage, x2 ist ein konstanter Bruchteil von x1 und f kann aus der Zeichnung abgegriffen oder berechnet werden. Alle übrigen Größen sind konstant. In Fig. 14 ist die Konstruktion der Kurve aus den Abständen y für acht verschiedene Auslegerstellungen zwischen den Grenzwerten x2 = 0,2 l und x2 = 0,9 l durchgeführt worden. Die Tangenten sind von der Rolle 11 aus an die Kreise, die mit den Radien y um den Auslegerdrehpunkt geschlagen sind, gezogen und auf die Grundstellung 0,2 zurückgedreht worden. Fall 2. Die Kurvenscheibe ist nach Fig. 10 durch ein Doppelgetriebe mit dem Ausleger zwangläufig verbunden. Außer den bei 1 angewendeten Bezeichnungen mögen bedeuten gemäß Fig. 15: S1 die Spannkraft im Stab 17; S2 die Spannkraft im Stab 18; s und t die Lote vom Auslegerdrehpunkt bezw. von Punkt 22 auf die Achse des Stabes 17; u und v die Lote von Punkt 22 bezw. vom Kurvendrehpunkt auf die Achse des Stabes 18; φ den Winkel, welchen Seilzug 13 mit der Wagerechten bildet; e die Höhe des Rollenmittelpunkts 9 über der Wagerechten durch den Auslegerdrehpunkt; h den Abstand des Kurvendrehpunktes von der Wagerechten durch den Auslegerdrehpunkt; i den Abstand desselben von der Senkrechten durch den Auslegerdrehpunkt. Die Momentengleichung für den Ausleger in bezug auf seinen Drehpunkt ist $$\frac{P}{2n}(2n-1)(x_1+r_1)+\frac{P}{2n}(x_2+r_2)-\frac{P}{2n}(2n-1).f-S_1.s=cP.$$ Ferner ist die Gleichgewichtsbedingung für den Stab 19: S1 • t = S2 • u; daher $$S_1=\frac{u}{t}.S_2,$$ desgleichen für das Kurvenstück: $$S_2.v=m\frac{P}{2n}(2n-1).y;$$ daher $$S_2=\frac{1}{v}.m\frac{P}{2n}(2n-1).y,$$ also $$S_1=\frac{u}{tv}m\frac{P}{2n}(2n-1)y.$$ Durch Einsetzen in die Momentengleichung ergibt sich nach einfacher Umformung $$(2n-1)(x_1+r_1)+(x2+r2)-m(2n-1)f-\frac{u}{tv}.m(2n-1)ys=2nc.$$                                                  (2n – 1)y s = 2 nc. Hieraus folgt

Fig. 15.

$$y=-\frac{t}{s}.\frac{v}{u}.f+\frac{1}{m(2n-1)}\frac{t}{s}\frac{v}{u}[(2n-1)(x_1+r_1)+(x_2+r_2)-2nc]$$ . 2) Die Größen t, s, v und u können aus der Zeichnung abgegriffen oder berechnet werden; /ist dagegen von y abhängig. Mithin genügt diese Gleichung allein nicht zur Bestimmung von y. Es läßt sich aber leicht noch eine zweite Beziehung zwischen / und y herleiten. Es ist nämlich: a) f = e cos φ – x1 sin φ b) y = (e – h) cos φ – (x1 + i) sin φ. Aus a) folgt: $$\text{cos}\phi =\frac{f+x_1\text{sin}\phi }{e};$$ aus b) folgt: $$\text{cos}\phi =\frac{y+(x_1+i)\text{sin}\phi }{e-h}$$ also ist (e – h) f + (e – h) x1 sin φ = e y + e (x1 + i) sin φ woraus folgt: c) $$\text{sin}\phi =\frac{ey-(e-h)f}{x_1(e-h}-e(x_1+i).$$ Ebenso findet man: d) $$\text{cos}\phi =\frac{(x_1+i)f-x_{1}y}{e(x_1+i)-x_1(e-h)}.$$ Unter Berücksichtigung, daß sin2 φ + cos2 φ = 1, ergibt sich aus c) und d): [e y – (e – h) f]2 + [(x, + i) f – x1 y]2 = [e (x1 + i) – x1 (e – h)]2 oder nach einfacher Umformung y2(e2 + x12) – 2 y f [e (e – h) + x1(x1 + i)] + f2 [(e – h)2 + (xl + i)2] =[e (xl + i) – x1 (e – h)j2 . . . . . . . . . . . . . . . 3) Aus 2 und 3 lassen sich y und / bestimmen, da die übrigen Größen teils konstant sind, teils aus der Zeichnung abgegriffen oder berechnet werden können. Man führe noch für die aus bekannten Größen zusammengesetzten Ausdrücke einfache Symbole ein, nämlich: e2 + xl2 = A2; (e – h)2 + (xl+i)2 = B2; e (e – h) + x1(x1 + i) = C2; e (xl + i) – x1(e – h) = D2: $$\frac{t}{s}.\frac{v}{u}=\lambda$$; $$\frac{1}{m(2n-1)}.\frac{t}{s}\frac{v}{u}[(2n-1)(x_1+r_1)+(x_2+r_2)-2nc]=M$$; dann ergeben sich die übersichtlicheren Gleichungen y = – λf + M. . . . . . . . . 2a) A2 y2 – 2 y f C2 + B2 f2 = D4. . . . . . . . . . 3a) oder nach Elimination vor: y: f2 [A2λ2 + B2 + 2 C2 λ] – 2 f [A2 λ M + C2 M] = D4 – A2 M2. . . . . . . 4)

Fig. 16.

Aus dieser quadratischen Gleichung kann/ und durch Einsetzung des so gefundenen Wertes in 2 a auch y gefunden werden. Die Konstruktion der Kurve ist wie bei 1; die Tangenten sind von der Rolle 9 aus an die um den Kurvendrehpunkt mit den Größen y geschlagenen Kreise zu ziehen, und um die Winkel zurückzudrehen, um welche sich das Kurvenstück gegen die Grundstellung gedreht hat. Fall 3. Die Kurvenscheibe ist nach Fig. 11 durch ein einfaches Getriebe mit dem Ausleger zwangläufig verbunden. Es gelten dieselben Zeichen wie bei Fall 2; man betrachte Fig. 16. Die Momentengleichung für den Ausleger in bezug auf seinen Drehpunkt ist, wenn der Einfluß des nahe an dem Auslegerdrehpunkt vorbeigeführten Seiles 13 vernachlässigt wird, $$\frac{P}{2n}(2n-1)(x_1+r_1)+\frac{P}{2n}(x_2+r_2)-S.s=c.P.$$ Ferner ist die Gleichgewichtsbedingung für das Kurvenstück $$S_1.t=m\frac{P}{2n}(2n-1)y.$$ daher $$S_1=\frac{l}{t}m\frac{P}{2n}(2n-1)y.$$ Durch Einsetzung in die Momentengleichung ergibt sich nach einfacher Umformung $$(2n-1)(x_1+r_1)+(x_2+r_2)-\frac{s}{t}m(2n-1)y=2nc.$$ Hieraus folgt: $$y=\frac{l}{m}\frac{t}{s}[x_1+r_1+\frac{x_2+r_2-2nc}{2n-1}]$$ . 5) Die Konstruktion der Kurve entspricht derjenigen bei Fall 2.

Fig. 17.

Sofern bei höherer Anordnung der Rolle 23 die Seilkraft 13 nicht vernachlässigt werden darf, ergeben sich ähnliche Rechnungen wie bei Fall 2. Seil 13 kann auch über einen festen Punkt in einiger Entfernung über dem Auslegerdrehpunkt geführt werden, alsdann ist wie bei Fall 1 noch das Glied k $$k\frac{P}{2n}(2n-1)$$ in die Momentengleichung einzusetzen. B. Ausgleichung des Auslegergewichts. a) Mittels der Lastkurvenscheibe. Ist gemäß Fig. 17 das von einem senkrecht geführten Gegengewicht Q ausgehende strichpunktierte Seil 5 ohne Uebersetzung an das Seil 13 (zwischen den Rollen 9 und 11) angeschlossen, so wirkt auf das Kurvenstück die Kraft $$S_k=\frac{m}{k}.Q.$$

Fig. 18.

Bezeichnet G das Auslegergewicht, ξ die Horizontalprojektion des Abstandes seines Schwerpunktes vom Auslegerdrehpunkt, so ist die Momentengleichung, falls alle anderen Kräfte fortgedacht werden: $$G.\xi =Q.f+Q.\frac{m}{k}.y.$$ Falls Q als ein Vielfaches von G, z.B. = a G gewählt wird, ergibt sich: $$G.\xi =\alpha G.f+\alpha G.\frac{m}{k}.y,$$ woraus folgt: $$y=\frac{1}{m}[\frac{\xi k}{\alpha }-kf]$$. ξ kann als Vielfaches oder als konstanter Bruchteil von x1 betrachtet werden und = β • x1 gesetzt werden, daher wird a) $$y=\frac{1}{m}[\frac{\beta }{\alpha }.k.x_1-kf].$$ Setzt man in Gleichung 1 rx – r2 = 0, was ohne merklichen Fehler bei der Auslegergewichtsausgleichung zulässig ist, und beachtet man, daß x2 proportional x1 ist, also γ • x1 geschrieben werden kann, so wird diese Gleichung: b) $$y=\frac{l}{m}[x_1.\frac{2n-1+\gamma }{2n-1}-k.f-\frac{2nc}{2n-1}].$$ Durch Vergleich der beiden Gleichungen a und b erkennt man, daß das für die Auslegergewichtsausgleichung erforderliche Kurvenstück dem Lastkurvenstück kongruent wird, also durch letzteres ersetzt werden kann, wenn der Koeffizient a so gewählt wird, daß $$\frac{\beta }{\alpha }k=\frac{2n-1+\gamma }{2n-1},$$ oder c) $$\alpha =\frac{2n-1}{2n-1+\gamma }.\beta .k.$$ Entsprechend dem bei der Lastausgleichung festgesetzten Restmoment c • P bleibt bei der Auslegergewichts ausgleichung ein Restmoment $$k\frac{2n}{2n-1}c.Q$$ übrig, welches den Ausleger nach unten zu drehen strebt und welches, je nach Wahl von c, beliebig klein, auch gleich Null, gewählt werden kann. Die Ausgleichung des Auslegergewichts bei den Fällen 2 und 3 kann genau in derselben Weise erfolgen. Bei Fall 2 wird die Momentengleichung $$G.\xi =Q.f+\frac{s}{t}.\frac{u}{v}.Qy$$ Q =a G; ξ = β x1; daher a) $$y=-\frac{t}{s}.\frac{v}{u}$$ $$f+\frac{l}{m}.\frac{t}{s}.\frac{v}{u}.m\frac{\beta }{\alpha }{x}_1.$$ Dagegen wird Gleichung 2, wenn r1 = r2 = 0 und x2 = γx1 gesetzt wird: b) $$y=-\frac{t}{s}\frac{v}{u}f+\frac{l}{m}\frac{t}{s}\frac{v}{u}[\frac{2n-1+\lambda }{2n-1}{x}_1-\frac{2nc}{2n-1}].$$ Es ist also zu setzen $$m\frac{\beta }{\alpha }=\frac{2n-1+\gamma }{2n-1}$$ woraus folgt c) $$\alpha =m\frac{2n-1}{2n-1+\gamma }.\beta .$$ Bei Fall 3 ergibt sich entsprechend $$G.\xi =\frac{s}{t}Q.y,$$ daher a) $$y=\frac{1}{m}\frac{t}{s}.m\frac{\beta }{\alpha }{x}_1,$$ b) $$y=\frac{1}{m}\frac{t}{s}[\frac{2n-1+\gamma }{2n-1}-\frac{2nc}{2n-1}],$$ c) $$\alpha =m\frac{2n-1}{2n-1+\gamma }.\beta .$$ In beiden Fällen bleibt ein nach unten drehendes Restmoment $$m.\frac{2nc}{2n-1}.Q$$ übrig, welches Null wird, wenn man c = 0 wählt. Es ist zu beachten, daß die Annahme ξ = β • x1 nicht mehr streng zutrifft, wenn der Auslegerschwerpunkt wesentlich aus der Verbindungslinie der Rollenmittelpunkte 7 und 9 abweicht, was besonders bei Fachwerkauslegern mit gebrochener Untergurtung der Fall ist (vergl. Fig. 18). Dann ist es zweckmäßig, sowohl den Seilzug 8 als auch das zur Ausgleichung des Auslegers dienende Seil über eine Rolle o zu führen. Bei der Anordnung nach Fall 2 ändert sich die Formel 4 insofern, als die Relationen für den Winkel y sinngemäß zu berichtigen sind. Geht die Verbindungslinie der Mitte der Rolle o mit dem Auslegerdrehpunkt annähernd durch den Auslegerschwerpunkt, so läßt sich auch die Ausgleichung des Auslegergewichts auf die vorbeschriebene Weise erreichen. b) Durch eine besondere Kurvenscheibe. Die Berechnung der Abstände y, aus welchen die Kurve gefunden werden kann, wird nachstehend für Fall 2 angegeben; sie ist für die übrigen Fälle entsprechend. Es ist nach Fig. 19: G • ξ = S1 – s, S1 • t = S2 • u, $$S_1=\frac{u}{t}{S}_2$$, S2 • v = Q • y = a G • y $$S_2=\frac{\alpha G}{v}y.$$ $$G.\xi =\frac{u}{t}\frac{s}{v}y\alpha G,$$ $$y=\frac{t}{s}\frac{v}{u}\frac{\xi }{\alpha }$$ . . . 6) Es ist ersichtlich, daß auf diese Weise die Ausgleichung nicht nur des Auslegergewichts, sondern auch des Einflusses aller bewegten Teile erfolgen kann, und zwar in vollkommener Weise.

Fig. 19.

Die Form der Kurven hängt stets im hohen Maße von der geometrischen Anordnung der Seile, Rollen und Getriebe ab. Das Vorkommen von unbrauchbaren Formen (Wende- und Rückkehrpunkte, imaginäre Kurven) kann man jedoch schon nach kurzer Uebung in diesen Berechnungen leicht vermeiden.