Titel: | Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. |
Autor: | K. Hiemenz. |
Fundstelle: | Band 326, Jahrgang 1911, S. 407 |
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Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen
Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder.
Von K.
Hiemenz.
(Schluß von S. 393 d. Bd.)
Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom
eingetauchten geraden Kreiszylinder.
Wir wenden uns zur numerischen Berechnung der Integrale unserer
Differentialgleichungen, zunächst von X1 und X3.
Da für jede Differentialgleichung nur zwei Grenzbedingungen an der Stelle η = 0 bezw. H = 0 gegeben
sind, ist man gezwungen, eine Schar von Integralen zu konstruieren, die diesen
beiden genügt, und aus dieser Schar, die durch die verschiedenen Werte von
\ddot{\ \Psi}_{2\,i+1}\,(0) bezw. Ẍ1 (0) und Ẍ3 (0) charakterisiert wird, jedesmal
dasjenige Integral auszusuchen, das auch die dritte Grenzbedingung befriedigt. Für
die zu wählenden Werte von Ẍ1 (0) und Ẍ3
(0) war ein Anhalt bereits durch die Arbeit von Blasius
gegeben. Es fanden sich als richtige Werte für Ẋ1 (0) und Ẍ3 (0) 1,2327 und 0,7244, wobei die angegebenen
Dezimalen genau sind in dem Sinne, daß eine Aenderung der letzten angegebenen Stelle
eine merkliche Aenderung von Ẋ1 und Ẋ3 am Rande der Grenzschicht bewirkt.
Genauer sind die Integrale X1 und X3 in den Tab. 15 und 16 und in den Fig. 25 und 26
wiedergegeben. Um einen Begriff von der Art des Rechenverfahrens zu geben, sei hier
das erste Stück der Rechnung für X1 wiedergegeben, wozu noch zu bemerken ist, daß die
Differentialgleichung für X1 durch das System
v=\frac{d\,X_1}{d\,H}
z=\frac{d\,v}{d\,H}=\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2}
v^2-X_1\,z-1=\dot{z}
ersetzt war.
Die in der Tab. 16 verzeichneten Werte sind durch Aneinanderreihen von Schritten von
0,1 Länge der H-Einheit berechnet. Integrale X1 wurden für sieben
verschiedene Werte von Ẍ1 (0) berechnet. Die Abweichungen dieser Integrale voneinander blieben
sehr klein; deswegen wurde auch davon abgesehen, entsprechende Kurven in
Tabelle 15.
H
v
v
2
X
1
z
– X
1
z
(v2
– X1
z – 1) Δ H= Δ
z
z Δ H = Δ v
v Δ H = Δ ξ
0,0
0
0
0
1,232 7
0
– 0,1
0,123 27
0
0,061 635
0,003 798 9
0
1,182 7
0
– 0,099 620
0,118 27
0,006 163 5
0,059 135
0,003 496 9
0,003 081 7
1,182 9
– 0,003 645 3
– 0,100 015
0,118 29
0,005 913 5
0,11829
0,013 993
0,005 913 5
1,132 7
– 0,006 698 2
– 0,099 270
0,113 27
0,011829
0,1
0,118 28
0,013 990
0,005 997 2
1,132 9
– 0,006 794 2
– 0,099 280
0,113 29
0,011 828
0,174 92
0,030 597
0,011 911
1,083 3
– 0,012 903
– 0,098 231
0,108 31
0,017 492
0,172 44
0,029 786
0,014 743
1,083 8
– 0,015 978
– 0,098 624
0,108 38
0,017 244
0,226 66
0,051 375
0,023 241
1,034 3
– 0,024 038
– 0,097 266
0,103 43
0,022 666
0,2
0,226 64
0,023 325
1,034 5
Fig. 25 zu verzeichnen.
Der kleinste Werte von Ẍ1 (0), für den das Integral berechnet wurde, betrug 1,232, der größte
1,234; als richtiger Wert ergab sich 1,2327. Diesen drei Werten von Ẍ1 (0) entsprachen der
Reihe nach Werte von Ẋ1
bei H = 2,6, 0,991, 0,995 und 1,002. Um die Genauigkeit
der Rechnung nachzuprüfen, wurden an zwei Stellen die Integrale einmal so berechnet,
daß man vom Ausgangspunkt in einem Schritt zum Nachbarpunkt gelangte, das zweite Mal
so, daß die Integration auf zwei Schritte verteilt wurde. Für die Auswahl der
Probestellen war maßgebend, daß, gleiche Schrittlänge vorausgesetzt, das Kuttasche Verfahren im allgemeinen an Stellen stärkster
Krümmung die am wenigsten genauen Werte gibt. Es wurde als eine Probestrecke das
Intervall 0,0–0,1 gewählt.
Tabelle 16. Integrale der Differentialgleichung
\left(\frac{d\,X_1}{d\,H}\right)^2-X_1\,\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2}=1+\frac{d^3\,X_1}{d\,H^3}
und der Differentialgleichung
4\,\frac{d\,X_1}{d\,H}\,\frac{d\,X_3}{d\,H}-3\,\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2}\,X_3=1+\frac{d^3\,X_3}{d\,H^3}.
H
X
1
Ẋ
1
Ẍ
1
X
3
Ẋ
3
Ẍ
3
0,0
0,00
0,00
1,2327
0,00
0,00
0,72444
0,1
0,005997
0,1183
1,1327
0,003456
0,06746
0,62500
0,2
0,02332
0,2266
1,0345
0,01316
0,1251
0,5286
0,3
0,05100
0,3253
0,9387
0,02816
0,1734
0,4377
0,4
0,08806
0,4145
0,8464
0,04755
0,2129
0,3539
0,5
0,1336
0,4947
0,7584
0,07047
0,2444
0,2782
0,6
0,1867
0,5663
0,6752
0,09616
0,2688
0,2112
0,7
0,2466
0,6299
0,5974
0,1240
0,2869
0,1531
0,8
0,3124
0,6860
0,5252
0,1534
0,2997
0,1037
0,9
0,3836
0,7351
0,4587
0,1838
0,3080
0,0626
1,0
0,4593
0,7779
0,3981
0,2149
0,3125
0,0292
1,1
0,5390
0,8150
0,3432
0,2462
0,3140
0,0028
1,2
0,6221
0,8468
0,2939
0,2776
0,3133
– 0,0173
1,3
0,7082
0,8739
0,2499
0,3088
0,3108
– 0,0320
1,4
0,7967
0,8969
0,2111
0,3397
0,3070
– 0,0421
1,5
0,8874
0,9163
0,1771
0,3702
0,3025
– 0,0483
1,6
0,9799
0,9325
0,1475
0,4002
0,2975
– 0,0513
1,7
1,0738
0,9459
0,1220
0,4297
0,2923
– 0,0519
1,8
1,1690
0,9570
0,1001
0,4586
0,2871
– 0,0506
1,9
1,2652
0,9661
0,0816
0,4871
0,2822
– 0,0480
2,0
1,3621
0,9734
0,0660
0,5151
0,2776
– 0,0444
2,1
1,4598
0,9794
0,0530
0,5426
0,2734
– 0,0402
2,2
1,5580
0,9841
0,0423
0,5688
0,2696
– 0,0358
2,3
1,6566
0,9879
0,0334
0,5966
0,2662
– 0,0314
2,4
1,7555
0,9908
0,0263
0,6230
0,2633
– 0,0271
2,5
1,8547
0,9932
0,0205
0,6492
0,2608
– 0,0230
2,6
1,9541
0,9950
0,0159
0,6752
0,2587
– 0,0193
2,7
2,0537
0,9964
0,0122
2,8
2,1534
0,9975
0,0094
0,7266
0,2555
– 0,0131
2,9
2,2532
0,9983
0,0071
3,0
2,3531
0,9989
0,0054
0,7774
0,2533
– 0,0085
3,2
2,5529
0,9997
0,0031
X
1
Ẋ
1
Ẍ
1
1 Schritt
Δ H = 0,1
0,0059972
0,11828
1,1329
2 Schritte
Δ H = 0,05
0,0059968
0,11827
1,1329
Die zweite Probestrecke lag zwischen 1,5 und 1,6.
X
1
Ẋ
1
Ẍ
1
1 Schritt
Δ H = 0,1
0,97983
0,93249
0,14750
2 Schritte
Δ H = 0,05
0,97988
0,93249
0,14750
Man ersieht aus den angegebenen Zahlen, daß man die Werte von
X1 und seinen
beiden ersten Ableitungen an der Stelle H = 3,0 auf
mindestens vier Dezimalen genau bekommt.
Textabbildung Bd. 326, S. 408
Fig. 25. Integral X1.
Textabbildung Bd. 326, S. 408
Fig. 26. Integral X3.
Integrale X3 wurden
ebenfalls mehrere, im ganzen sieben entsprechend verschiedenen Werten von Ẍ3 (0) berechnet.Davon drei mit Schritten von 0,1 H Länge; die übrigen zur Orientierung mit
größeren Schritten. In Fig. 26
ist X3 für den
richtigen Wert Ẍ3 (0)
völlig ausgezogen wiedergegeben; außerdem aber nur stückweise, die Kurven für Ẋ3 für andere Werte Ẍ3 (0). Die Genauigkeit
der Rechnung wurde in ähnlicher Weise geprüft wie bei X1; es ergibt sich, daß für X3 und seine beiden ersten Ableitungen die drei
ersten Dezimalen bei H = 3,0 als genau angesehen werden
dürfen.
Bevor wir nun zur Integration der Differentialgleichung für Ψ5 übergehen, müssen aus X1, X3 und deren
Ableitungen dis Werte Ψ1, Ψ3 und
deren Ableitungen berechnet werden. Das geschieht nach den
Aehnlichkeitsbetrachtungen indem wir X1 mit
\frac{1}{{\Psi_1}^0}=\sqrt{\frac{u_1\,k}{\rho}}=0,2674,
\frac{d\,X_1}{d\,H} mit u1 = 7,151,
\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2} mit
\sqrt{\frac{{u_1}^3\,\rho}{k}}=191,2, X3 mit
\sqrt{\frac{16\,k\,{u^2}_3}{\rho\,u_1}}=0,01673,
\frac{d\,X_3}{d\,H} mit 4 u3 = 0,1799,
\frac{d^2\,X_3}{d\,H^2} mit
\sqrt{\frac{16\,u_1\,{u_3}^2\,\rho}{k}}=4,810
multiplizieren. Bei der Berechnung der numerischen Faktoren
ist ρ = 1, k = 0,01 c–g–s
Einheiten gesetzt. Wir sind gezwungen uns mit solchen genäherten Werten der beiden
Größen zu begnügen, da ρ und k für das benutzte Wasser
nicht bekannt sind und selbst während ein und desselben Versuchs nicht genau konstant
bleiben. Im übrigen zeigen unsere Aehnlichkeitsbetrachtungen, daß durch Aenderung
von ρ und k die Vorgänge in der Grenzschicht nicht
wesentlich beeinflußt werden. Im besonderen ergeben sich bei der Transformation die
für uns wichtigen Werte von \ddot{\ \Psi}_1\,(0) und
\ddot{\ \Psi}_3\,(0) zu 235,7 und – 3,484.
Die Differentialgleichung für Ψ5 lautete:
6\,\dot{\Psi}_1\,\dot{\Psi}_5-5\,\ddot{\Psi}_1\,\Psi_5-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_5+3\,({\dot{\Psi}_3}^2-\Psi_1\ddot{\
\Psi}_3)=6\,u_1\,u_5+3\,{u_3}^2+\frac{k}{\rho}\,\overset{...}{\Psi}_5
Grenzbedingungen sind
1. für η = 0 verschwindet Ψ5 und \dot{\
\Psi}_5,
2. mit wachsendem η geht
\dot{\ \Psi}_5 asymptotisch gegen u5. Die Differentialgleichung wurde für
fünf verschiedene Werte von \ddot{\ \Psi}_5\,(0) integriert.Für die richtige Wahl von \ddot{\
\Psi}_5 gaben ähnliche Ueberlegungen wie nebenstehend,
Abschnitt 2, einen Anhalt. Die Größe der Schritte betrug 0,015
cm, d. s. 0,4 H-Einheiten. Was die Genauigkeit der
Rechnung angeht, so wurden diesmal keine besonderen Proben angestellt. Einen Anhalt
für sie liefert ein Vergleich der Rechnungen mit den entsprechenden für Ψ1 und Ψ3. Danach kann
angenommen werden, daß man für η = 0,105 mm ( H = 2,8) Ψ5 auf sieben Dezimalen, \dot{\
\Psi}_5 auf sechs Dezimalen, \ddot{\ \Psi}_5 auf
vier Dezimalen genau bekommt. Als richtiger Wert von \ddot{\
\Psi}_5\,(0) fand sich – 0,02816. Die zu ihm gehörige Lösung ist in
Tab. 17 und in den Zeichnungen der Fig. 27
wiedergegeben.
Tabelle 17.
cm
Ψ
5
\dot{\ \Psi}_5
\ddot{\ \Psi}_5
0,000
0,00
0,00
– 0,02816
0,015
– 0,0000027
– 0,000331
– 0,0164
0,030
– 0,0000092
– 0,000497
– 0,0064
0,045
– 0,0000170
– 0,000537
0,0003
0,060
– 0,0000249
– 0,000504
0,0034
0,075
– 0,0000320
– 0,000445
0,0039
0,090
– 0,0000382
– 0,000391
0,0031
0,105
– 0,0000438
– 0,000352
0,0021
Textabbildung Bd. 326, S. 409
Fig. 27. Integral Ψ5.
Dabei sind die Werte von η Ψ5 . . . in geeignetem Maßstabe vergrößert
aufgetragen, um brauchbare Werte für die Zeichnung zu haben. Außerdem sind in der
Figur die Werte von \dot{\ \Psi}_5, die den zwei extremalen
Werten von \ddot{\ \Psi}_5\,(0) entsprechen, stückweise
eingezeichnet. Allen Integralen, sowohl Ψ1, Ψ3 wie Ψ5, ist die große Empfindlichkeit gegenüber
Aenderungen von \ddot{\ \Psi}_1\,(0) usw. gemeinsam.
Die Differentialgleichung füt Ψ7 lautet in unserem Falle
8\,\dot{\Psi}_7\,\dot{\Psi}_7-7\,\ddot{\Psi}_1\,\Psi_7-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_7+8\,\dot{\Psi}_3\,\dot{\Psi}_5-5\,\ddot{\Psi}_3\,\Psi_5-3\,\Psi_3\,\ddot{\Psi}_5=8\,u_3\,u_5+\frac{k}{\rho}\,\overset{...}{\Psi}_7
mit Grenzbedingungen.
1. Für η = 0 verschwindet Ψ7 und
\dot{\Psi}_7.
2. Mit wachsendem η geht \dot{\Psi}_7
asympotisch gegen u7 =
0. Würde hier die rechte Seite verschwinden, so hätte man als Lösung, die die
Grenzbedingungen befriedigt, die identisch verschwindende Ψ7 = 0. In unserer Differentialgleichung
verschwindet zwar die rechte Seite nicht, wohl aber ist sie sehr klein. Daraus darf
man schließen, daß die zu unserer Differentialgleichung gehörige Lösung sich nur
sehr wenig von der identisch verschwindenden entfernen wird. Aehnlich liegen die
Verhältnisse für die Integrale der folgenden Differentialgleichungen. Es erscheint
daher durchaus als möglich, daß die Abweichungen der Integrale Ψ7, Ψ9 . . . von identisch
verschwindenden Lösungen so klein werden, daß sie keinen merklichen Einfluß auf das
Resultat ausüben; oder die Verhältnisse in der Grenzschicht bis hin zur
Ablösungsstelle müßten sich genügend genau durch den Ansatz Ψ = Ψ1
ξ + Ψ3
ξ3 + Ψ5
ξ5 darstellen lassen.
Insbesondere müßte sich die aus diesem Ansatz gefundene Ablösungsstelle mit der
beobachteten decken. Setzen wir unsere Zahlen werte in die Bedingungsgleichung der
Ablösung \frac{\partial^2\,\Psi}{\partial\,\eta^2}=0 ein, so
folgt:
\ddot{\Psi}_1\,(0)\,\xi+\ddot{\Psi}_3\,(0)\,\xi^3+\Psi_5\,(0)\,\xi^5=235,7\,\xi-3,484\,\xi^3-0,02816\,\xi^5=0,
und daraus berechnet sich ξ (etwa
mit Hilfe der Newtonschen Näherungsmethode) zu 6,977 cm
oder in Bogengraden zu 82°.
Textabbildung Bd. 326, S. 409
Fig. 28.Geschwindigkeitsprofile der Grenzschicht.
Aus den Versuchen war die Ablösungsstelle auf der der Rechnung zugrunde gelegten
rechten Seite bei 82° gefunden worden; wir haben also eine völlig befriedigende
Uebereinstimmung von Rechnung und Beobachtung. Diese gute Uebereinstimmung beweist
die Berechtigung der Vernachlässigung von Ψ7, Ψ9 . . . . Weiter aber bestätigt sie ebenso wie die
aus Aehnlichkeitsbetrachtungen gezogenen und durch die Beobachtung bestätigten
Schlusse die Richtigkeit der zugrunde gelegten Theorie.
In Fig. 28 sind die aus dem dreigliedrigen
Näherungswert von Ψ berechneten Geschwindigkeitsprofile
(der u-Komponente) der Grenzschicht verzeichnet. Man
erkennt aus den Profilen, daß die Geschwindigkeit \overline{u}
der äußeren Strömung bei 3,0 H-Einheiten = 0,11 cm fast
erreicht ist. Die Dicke der Grenzschicht beträgt in unserem Falle also etwas über 1
mm.
Zum Schlusse möge noch der Ablösungswinkel (Fig. 29)
berechnet werden. In der Umgebung der Ablösungsstelle gilt folgende Entwicklung von
Ψ, für die nur die Glieder niedrigster Ordnung mit
nicht verschwindenden Koeffizienten beibehalten sind:
0=\eta^3\,(\overset{...}{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]+\overset{...}{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^3+\overset{...}{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^5)+3\,(\xi-[\xi])\,\eta^2\,(\ddot{\Psi}_1\,(0)+3\,\ddot{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]^2+5\,\ddot{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^4)+...
wo [ξ] die Koordinate des
Ablösungspunktes bedeutet. Die Gleichung wird nun einmal befriedigt durch H = 0, d.h. die feste Wand, weiter ergibt sich aus der
angegebenen Gleichung nach Division mit η2 die Gleichung der Ablösungslinie. Aus ihr findet
man:
Textabbildung Bd. 326, S. 410
Fig. 29.– – Tang. i. Ablösungspunkt.
\mbox{tg
(Ablösungswinkel)}=-\frac{3\,\ddot{\Psi}_1\,(0)+9\,\ddot{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^2+15\,\ddot{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^4}{\overset{...}{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]+\overset{...}{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^3+\overset{...}{\Psi}_5\,(6)\,[\xi]^5}
und die numerischen Werte unseres Falles eingesetzt:
\mbox{tg
(Ablösungswinkel)}=\frac{3\,.\,235,7-9\,.\,3,484\,.\,6,977^2-15\,.\,0,02816\,.\,6,977^4}{-5114\,.\,6,977+128,6\,.\,6,977^3+0,8095\,.\,6,977^5}=0,0833
oder Ablösungswinkel ∾ 5°. Auf die Uebereinstimmung dieses
Resultates mit der Beobachtung war bereits oben (S. 376) hingewiesen worden.
Zusammenfassung.
Im ersten Teile der Arbeit wird die Differentialgleichung der Grenzschicht
abgeleitet.
Der zweite Teil berichtet von Experimenten, die die quantitative Kenntnis der
Strömungsverhältnisse um einen in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten
geraden Kreiszylinder zum Ziele hatten. Als Druckanzeiger diente ein nach Angaben
von Professor Prandtl gefertigtes Mikromanometer, das
beschrieben und dessen Theorie abgeleitet wird. Als Vorbereitung der Messung der
Druckverteilung längs der Zylinderwand wurde eine Ausregulierung der
Geschwindigkeitsverteilung im hydrodynamischen Versuchsapparat vorgenommen. Die
gestaltlichen Verhältnisse der losgelösten Strömung und die Ablösungsstelle wurden
mit Hilfe von Farbstrahlen bestimmt.
Im dritten, rechnerischen Teil wird die Integration der Differentialgleichung der
Grenzschicht unter Zugrundelegung des durch die Versuche gewonnenen Materials mit
Hilfe des Kuttaschen Verfahrens ausgeführt. Als
Endresultat ergibt sich eine quantitativ sehr befriedigende Uebereinstimmung von
Beobachtung und Rechnung.