Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Von K.Hiemenz (Fortsetzung von S. 376 d. Bd.) Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. III. Numerische Auswertung der Differentialgleichung der Grenzschicht. Wir gehen dazu über, den S. 324 gegebenen Ansatz zur Integration der Differentialgleichung für Ψ für die durch das Experiment ermittelten Verhältnisse durchzuführen; d.h. wir wollen für $$-\frac{dp}{d\xi }$$ die durch die Versuche bestimmten Werte einsetzen und zusehen, ob das Resultat mit dem Ergebnis der Beobachtung übereinstimmt, vor allem, ob die errechnete Ablösungsstelle sich mit der beobachteten deckt. Vom physikalischen Standpunkt erscheint dabei folgendes plausibel: Ersetzt man die beobachtete Druckkurve durch eine Kurve, die nur wenig von der beobachteten abweicht, so wird auch die für diese veränderten Verhältnisse errechnete Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht nur wenig von der Geschwindigkeitsverteilung unterschieden sein, die dem tatsächlichen Druckverlauf entspricht. Bevor wir mit den Rechnungen selbst beginnen, sei kurz der frühere Integrationsansatz wiederholt. Wir hatten damals zur Integration der Differentialgleichung: $$\rho (\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \eta }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial \xi \partial \eta }-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \xi }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\eta }^2})=-\frac{dp}{d\xi }+k\frac{{\partial }^3\mathrm{\Psi }}{\partial {\eta }^3}$$ einen im Scheitel der Strömung beginnenden, nach ungeraden Potenzen von ξ fortschreitenden Reihenansatz gemacht: $$\mathrm{\Psi }=\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_{2i+1}(\eta ){\xi }^{2i+1}$$, wobei Ψ2i + 1 (η) Funktionen von η allein bedeuten. Es war weiter für $$-\frac{dp}{d\xi }$$ ein Reihenansatz $$\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}{p}_{2i+1}{\xi }^{2i+1}$$ und für $$\bar{u}$$ (die äußere Strömung) ein Ansatz $$\bar{u}=\sum _{i=0}^{i=\mathrm{\infty }}{u}_{2i+1}{\xi }^{2i+1}$$ angenommen worden. Dann ergaben sich für die ersten Ψ2i + 1 folgende Differentialgleichungen, in denen zum Unterschied von S. 324 die p2i + 1 durch die u2i + 1 ersetzt sind: $${\dot{\mathrm{\Psi }}}_1^2-{\mathrm{\Psi }}_1{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_1={u_1}^2+\frac{k}{\rho }{\stackrel{...}{\mathrm{\Psi }}}_1,$$ $$4{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1{\dot{\mathrm{\Psi }}}_3-3{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_1{\mathrm{\Psi }}_3-{\mathrm{\Psi }}_1{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_3=4u_1{u}_3+\frac{k}{\rho }{\stackrel{...}{\mathrm{\Psi }}}_3,$$ $$6{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1{\dot{\mathrm{\Psi }}}_5-5{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_1{\mathrm{\Psi }}_5-3({\dot{\mathrm{\Psi }}}_3^2-{\mathrm{\Psi }}_3{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_3)-{\mathrm{\Psi }}_1\ddot{{\mathrm{\Psi }}_5}=6u_1{u}_5+3{u_3}^2+\frac{k}{\rho }{\stackrel{...}{\mathrm{\Psi }}}_5,$$ $$8{\dot{\mathrm{\Psi }}}_1{\dot{\mathrm{\Psi }}}_7-7{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_1{\mathrm{\Psi }}_7-{\mathrm{\Psi }}_1{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_7+8{\dot{\mathrm{\Psi }}}_3{\dot{\mathrm{\Psi }}}_5-2\ddot{{\mathrm{\Psi }}_3}{\mathrm{\Psi }}_5-3{\mathrm{\Psi }}_3{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_5=8(u_1{u}_7+u_3{u}_5)+\frac{k}{\rho }{\stackrel{...}{\mathrm{\Psi }}}_7.$$ Die Grenzbedingungen lauteten: 1. Für η = 0 verschwinden Ψ2i + 1 und seine erste Ableitung. 2. Für wachsendes η geht Ψ2i + 1 asymptotisch gegen u2i + 1. Die Koeffizienten u2i + 1 der Reihe für $$\bar{u}$$ sind in unserem Falle auf Grund des durch den Versuch festgelegten Druckverlaufs zu bestimmen. Für die numerische Rechnung ist es dabei wünschenswert, den experimentell bestimmten Verlauf von $$\bar{u}$$ durch eine Reihe mit möglichst wenig nicht verschwindenden Gliedern, d.h. durch ein Polynom mit möglichst geringer Gliederzahl darzustellen. Wieviel Glieder ein Polynom haben muß, damit $$\bar{u}$$ genügend genau durch es interpoliert werde, läßt sich nur von Fall zu Fall entscheiden.

Fig. 23.

Fig. 24.Geschwindigkeitsverteilung entlang der Grenzschicht. Kurve 2 gegen 1 um 1 cm verschoben.

Unseren Berechnungen hier sollte die Druckkurve für die rechte Zylinderhälfte vom 13/7 zugrunde gelegt werden. Die in Tab. 10 und in Fig. 20,2 verzeichnete Kurve ist aber zunächst noch auf c–g–s Einheiten umzurechnen. Zu diesem Zwecke sind die dort eingetragenen Werte (vergl. S. 359) mit 0,00234 • g (g = Erdbeschleunigung) zu multiplizieren; außerdem ist zu berücksichtigen, daß 1° der Winkelteilung gleich wird $$\frac{9,75}{360}=0,085$$ 1 cm. In Fig. 23 ist die umgerechnete Druckkurve eingezeichnet, und zwar nur das Stück, das wir hier brauchen. Aus dieser Kurve ist $$\bar{u}$$ mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung $$\frac{\overline{u^2}}{2}=-\frac{p}{\rho }+\frac{p(0)}{\rho }$$ berechnet; ρ ist gleich der Einheit gesetzt. Die für $$\bar{u}$$ gefundenen Werte ergeben das Kurvenbild der Fig. 24,1. Diese Kurve nun soll durch ein Polynom von möglichst geringer Gliederzahl dargestellt werden. Der einfachste Ansatz ist der, eine zweigliedrige Formel $$\bar{u}=u_1\xi +u_3{\xi }^3$$ zu versuchen. Es stellt sich jedoch heraus, daß die Abweichungen zwischen der beobachteten und der interpolierten Kurve auch im günstigsten Falle ziemlich groß bleiben. Dagegen gibt ein geeigneter dreigliedriger Ansatz sie hinreichend genau wieder. Es fanden sich folgende Koeffizienten: u1 = 7,151, u3 = – 0,04497, u5 = 0,0003300. Die daraus berechneten Werte von $$\bar{u}$$ sind in Tab. 14 wiedergegeben und außerdem in Fig. 24,2 eingetragen. Tabelle 14.

mm $$\bar{u}$$ $$\bar{u}$$ interpoliert 1   7,00   7,11 2 13,90 13,93 3 20,10 20,15 4 25,40 25,38 5 29,20 29,10 6 30,60 30,63 7 29,10 29,08

Ein Vergleich der Figuren 241 und 242 lehrt, daß die gegenseitigen Abweichungen, bezogen auf die größte Geschwindigkeit, 0,4 v. H. nicht überschreiten. Aus diesen Werten für die u2i + 1 ergeben sich folgende Werte der p2i + 1: p1 = 51,14; p3 = – 1,286; p5 = – 0,008095; p7 = + 0,0001187; p9 = 0,0000005445. Diese Werte sind in unsere Differentialgleichung der Ψ2i + 1 einzusetzen. Wir ermitteln die Integrale Ψ1, Ψ3 nicht aus den ursprünglichen Differentialgleichungen, sondern aus vereinfachten Differentialgleichungen, die sich aus jenen durch eine simultane Aehnlichkeitstransformation ergeben.11)s. die Dissertation von Blasius S. 17. Die folgenden Differentialgleichungen lassen sich nicht mehr in die simultane Aehnlichkeitstransformation einbeziehen. Wir beginnen mit der Transformation der Differentialgleichung für Ψ1. Indem wir ρ, Ψ1, η, u1, k mit Faktoren ρ0, Ψ0 . . . multiplizieren, erhalten wir die Bedingungsgleichung der Aehnlichkeit: $$\frac{{{\mathrm{\Psi }}_1}^{0^2}}{{\eta }^{02}}={u_1}^{02}=\frac{k^0{{\mathrm{\Psi }}_1}^0}{{\eta }^{03}{\rho }^0}$$, ρ0, k0, u01 sollen so gewählt werden, daß die entsprechenden transformierten Größen gleich 1 werden. Also $${\rho }^0=\frac{1}{\rho }$$, $$k^0=\frac{1}{k}$$, $${u^0}_1=\frac{1}{u_1}.$$ Dann folgt $${\eta }^0=\sqrt{\frac{\rho }{k}}$$; $${{\mathrm{\Psi }}_1}^0=\sqrt{\frac{rho}{u_{1}k}}$$. Schließlich schreiben wir für Ψ1 • Ψ10 X1, für η η0 H; dann nimmt die transformierte Differentialgleichung die Gestalt an: $${\left(\frac{d{X}_1}{dH}\right)}^2-X_1\frac{d^2{X}_1}{d{H}^2}=1+\frac{d^3{X}_1}{d{H}^3}$$ mit Grenzbedingungen: 1. Für H = 0 verschwindet X1 und X1. 2. Für wachsendes H geht X1 asymptotisch gegen 1. Die Differentialgleichung für Ψ3 lautete: $${\dot{\mathrm{\Psi }}}_1\dot{\mathrm{\Psi }}-3{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_1{\mathrm{\Psi }}_3-{\mathrm{\Psi }}_1{\ddot{\mathrm{\Psi }}}_3=4\text{m},u_1{u}_3-\frac{k}{\rho }{\stackrel{...}{\mathrm{\Psi }}}_3$$ Wir führen dieselben Multiplikatoren ein wie in der Differentialgleichung für Ψ1, soweit es sich um Größen handelt, die dort bereits vorkamen. Die Faktoren von Ψ3 und u3 seien mit Ψ03 und u03 bezeichnet. Es folgt $${{\mathrm{\Psi }}^0}_3\sqrt{\frac{k}{\rho {u_1}^3}}=\frac{{u_3}^0}{u_1}=\rho \frac{{{\mathrm{\Psi }}_3}^0}{k}\sqrt{{\left(\frac{k}{\rho u_1}\right)}^3}.$$. u30 werde gleich $$\frac{1}{4u_3}$$ gesetzt. Damit wird $${{\mathrm{\Psi }}_3}^0=\sqrt{\frac{\rho u_1}{16k{u_3}^2}}$$ Schreibt man für Ψ3 Ψ30 X3, so lautet die transformierte Differentialgleichung $$4\frac{d{X}_1}{dH}\frac{d{X}_3}{dH}-3\frac{d^2{X}_1}{d{H}^2}{X}_3-X_1\frac{d^2{X}_3}{d{H}^2}=1+\frac{d^3{X}^3}{d{H}^3}$$ mit Grenzbedingungen: 1. Für H = 0 verschwindet X3 und Ẋ3. 2. Für wachsendes H geht Ẋ3 gegen 0,25. Es liegt nahe – da man Integrale unserer Differentialgleichungen für X1 und X3 in geschlossener Form nicht kennt – zur Integration Reihen heranzuziehen, die nach Potenzen von H fortschreiten.12)Im einzelnen in der Dissertation von Blasius durchgeführt. Für die numerische Integration geeigneter ist ein schrittweiser Aufbau der Integrale mit Hilfe eines numerischen Verfahrens, etwa der Methode von Kutta,13)Kutta, Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. Z. f. Math. u. Phys. Leipzig 1901, Bd. 46, S. 435. die hier benutzt wurde. Diese Art der Integration hat den Vorteil, daß man ohne Mühe den Grad der Genauigkeit der Rechnung nachprüfen kann. Außerdem gestattet sie den Verlauf eines Integrals beliebig weit hinaus zu verfolgen, während man beim Reihenansatz zunächst auf ein nicht allzu großes Gebiet beschränkt ist. Man könnte sich allerdings auch hier helfen, indem man die Anzahl der Reihenglieder steigerte. Nach dieser Richtung sind jedoch die Grenzen ziemlich eng gezogen dadurch, daß die Rekursionsformeln für die Reihenkoeffizienten, namentlich bei den höheren Ψ2i + 1, bald so kompliziert werden, daß sie für die numerische Rechnung nicht mehr geeignet sind. Das Kuttasche Verfahren bezieht sich zunächst auf Differentialgleichungen erster Ordnung, läßt sich aber sofort auf Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen, indem man sie durch ein System simultaner Differentialgleichungen ersetzt. Sind wie in unserem Falle Differentialgleichungen dritter Ordnung von dem Typus $$\stackrel{...}{y}=F(x,\ddot{y},\dot{y},y)$$ zu integrieren, so tritt an ihre Stelle folgendes simultanes System $$\frac{dy}{dx}=u,$$ $$\frac{du}{dx}=v,$$ $$F(x,v,u,y)=\dot{v}$$ Um ein solches simultanes System zu integrieren, verfährt man folgendermaßen, wobei wir uns auf den Fall eines allgemeinen simultanen Systems dreier Differentialgleichungen beziehen: $$\frac{du}{dx}=f_1(x,u,v,\text{w}),$$ $$\frac{dv}{dx}=f_2(x,u,v,w),$$ $$\frac{dw}{dx}=f_3(x,u,v,w).$$ Die Grenzbedingungen seien: für x = x0 werde u = u0, v = v0, w = w0. Man bildet der Reihe nach die Ausdrücke: Δ u' = f1 (x0, u0, v0, w0) Δx, Δ y' = . . . , Δw' = . . . $$\mathrm{\Delta }{u}^{″}=f_1(x_0+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2},u_0+\frac{\mathrm{\Delta }{u}^{\prime }}{2},v_0+\frac{\mathrm{\Delta }{v}^{\prime }}{2},w_0+\frac{\mathrm{\Delta }{v}^{\prime }}{1}){\mathrm{\Delta }}_x,\mathrm{\Delta }{v}^{″}=...,\mathrm{\Delta }{w}^{″}=...$$ $$\mathrm{\Delta }{u}^{‴}=f_1(x_0+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2},u_0=\frac{\mathrm{\Delta }{u}^{″}}{2},v_0+\frac{\mathrm{\Delta }{v}^{″}}{2},w_0+\frac{\mathrm{\Delta }{w}^{″}}{2})\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }{v}^{‴}=...,\mathrm{\Delta }{w}^{‴}=...$$ Δu'''' = f1 (x0 + Δx, u0 + Δu''', v0 + Δv''', w0 + Δw''') Δx, Δv'''' = ..., Δw'''' = ... Und weiter $$\mathrm{\Delta }u=\frac{\mathrm{\Delta }{u}^{\prime }+2\mathrm{\Delta }{u}^{″}+2\mathrm{\Delta }{u}^{‴}+\mathrm{\Delta }{u}^{⁗}}{6};\mathrm{\Delta }v=...,\mathrm{\Delta }w=...$$ so gibt u0 + Δ u, v0 + Δ v ... die Lösung des simultanen Systems im Punkte x0 + Δ x bis Glieder vierter Ordnung einschließlich der im Punkte x = x0 gültigen Reihenentwicklung des Integrals wieder. Für die Beurteilung der Genauigkeit der Resultate ist es wichtig, daß man bei unserem Verfahren leicht die Aenderung des Fehlers (Summe der auf die fünf ersten Glieder folgenden Reihenglieder) bei Abänderung der Schrittgröße beurteilen kann. Man geht bei der Abschätzung der Fehlergröße aus von dem Satze der Lehre von den Potenzreihen, daß $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$ $$+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^3}{3!}{f}^{‴}(x_0)+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^4}{4!}{f}^{(4)}(x_0)+\frac{\mathrm{\Delta }{x}^5}{5!}{f}^{(5)}(\xi )$$               $$x_0\le \xi \le x_0+\mathrm{\Delta }x.$$ Erreicht man also die Stelle x0 + Δ x einmal mit einem Schritt Δ x, das zweite Mal mit zwei Schritten $$\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}$$, so wird bei dem einzelnen Schritt im allgemeinen der Fehler 1/32 des ursprünglichen betragen; da man aber zwei Schritte $$\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}$$ zu einem Schritt Δx zusammenfassen muß, werden die Fehler sich ungefähr verhalten wie 1 : 16. (Schluß folgt.)