Titel: | Ein Beitrag zur statischen Theorie der Regulatoren. |
Autor: | A. Pröll |
Fundstelle: | Band 326, Jahrgang 1911, S. 52 |
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Ein Beitrag zur statischen Theorie der
Regulatoren.
Von Dr.-Ing. A. Pröll,
Danzig-Langfuhr.
Ein Beitrag zur statischen Theorie der Regulatoren.
Bekanntlich pflegt man bei der statischen Ermittlung von Regulatoren mit der
Aufzeichnung der von Tolle eingeführten sogenannten C-Kurven zu beginnen, welche die Größe der Fliehkräfte
an den Schwungkugeln als Funktion des Abstandes ihrer Mittelpunkte von der Spindel
darstellen. Die C-Kurve gestattet eine bequeme
Uebersicht über die statischen Eigenschaften des Reglers, insbesondere auch eine
rasche Ermittlung des theoretischen Ungleichförmigkeitsgrades. Entsprechen nämlich
(Fig. 1) X1 und X2 den beiden äußersten Regulatorstellungen mit den
Fliehkräften C1 und C2, so erhält man (nach
Tolle) den Ungleichförmigkeitsgrad o auf zeichnerischem Wege, indem man aus dem
Koordinatenanfangspunkt O die sogenannten
Fliehkraftstrahlen OC1
und OC2 zieht, sie mit
irgend einer Ordinate – (am bequemsten nimmt man gleich die Endordinate X2C2) – zum Schnitt
bringt und dann nach der Figur den Quotient
\delta=\frac{\Delta_c}{c_m} bildet, der angenähert den
mittleren Ungleichförmigkeitsgrad in dem Bereiche des Regulatorausschlages von X1 bis X2 darstellt. Es zeigt
sich nun bei vielen Konstruktionen, daß das statische Verhalten des Reglers an
verschiedenen Punkten des benutzten Teiles der C-Kurve durchaus nicht gleich ist,
daß vielmehr einzelne Partien einen zu stark statischen Charakter haben, während
andere nahezu astatisch oder gar labil werden. Einen astatischen Punkt z.B. erkennt
man daran, daß an ihm die Tangente an die C-Kurve durch
den Anfangspunkt O geht; in der Nähe eines solchen
erfolgt die Verstellung des Reglers nahezu bei konstanter Tourenzahl.
Textabbildung Bd. 326, S. 52
Fig. 1.
Für manche Zwecke ist eine solche Verschiedenheit des statischen Charakters des
Reglers erwünscht, für andere ist sie schädlich; in sehr vielen Fällen ist es aber
zweckmäßig, die Veränderlichkeit von δ innerhalb des
Reglerausschlages zu kennen oder voraus bestimmen zu können, und dazu soll in den
folgenden Zeilen ein einfaches Verfahren angegeben werden. Vorher aber möge noch
eine bestimmte Festsetzung der Begriffe Platz greifen. Der oben definierte
Ungleichförmigkeitsgrad bezieht sich auf das ganze Gebiet von X1 bis X2, er ist ein
Mittelwert, (wie dies in der erwähnten graphischen Darstellung und in der
ursprünglichen Definition
\delta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_m} aus den
Winkelgeschwindigkeiten zum Ausdruck kommt), und als solcher angenähert und bei
nicht zu großer Verschiedenheit von ω2 und ω1 berechtigt. Wollte man nun auf sehr kleine
Aenderungen Δω zwischen zwei um Δx abstehende Reglerstellungen den Begriff des „momentanen“
Ungleichförmigkeitsgrades anwenden, so würde dieser beim Grenzübergang zu
\lim\,\left(\frac{\Delta\,\omega}{\omega}\right)_{\Delta\,\omega=0}
selbst unendlich klein werden, also verschwinden. Will man daher das statische
Verhalten einer C-Kurve an ihren einzelnen Punkten untersuchen, so scheint es zweckmäßig
zu sein, das Verhältnis dieses momentanen
Ungleichförmigkeitsgrades zum entsprechenden Zuwachs des Schwungkugelausschlages zu
beachten, welches beim Uebergang zu unendlichen kleinen Veränderungen in der Form
\delta'=\frac{d\,\delta}{d\,x} auftritt und vielleicht als
„Stabilitätsgradient“ bezeichnet werden
könnte.Analog zur
Bezeichnung „Stabilitätsgrad“, die von Tolle für den theoretischen
Ungleichförmigkeitsgrad vorgeschlagen worden ist. Dieser Begriff
ist, wie ersichtlich, strenger als der des oben definierten
Ungleichförmigkeitsgrades und verhält sich zu ihm genau so wie die momentane Geschwindigkeit
v=\frac{d\,s}{d\,t} eines Punktes zu dem während einer
endlichen Zeit mit variabler Geschwindigkeit zurückgelegten Weg s. Insbesondere ist auch der gesamte
Ungleichförmigkeitsgrad
\delta=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x. Er hat also
nur einen Sinn, wenn man ihn als bestimmtes Integral zwischen zwei Grenzlagen mit
den Abszissen x1 und
x2 auffaßt; für
einen Punkt x = x1 =
x2 der C-Kurve wird dieses aber 0, daher verschwindet δ.
Zur Berechnung von δ' gehen wir von der eingangs
erwähnten Konstruktion für δ aus und beschränken uns
dabei auf ein unendliches kleines Element \overline{A\,B}=d\,s
der C-Kurve (Fig. 2),
die wir jetzt als Kurve y = f(x) in einem x-y-Koordinatensystem gegeben denken. Es ist dann
OX = x, AX = y, AE = dy, BE = dx, und
AC = CD
Textabbildung Bd. 326, S. 53
Fig. 2.
entspricht dem Stück Δc in
Fig. 1, während CX die
dort verzeichnete Größe cm darstellt. Daher ist
d\,\delta=\frac{A\,C}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,D}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,D}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,E-D\,E}{C\,X}.
Nun ergibt sich weiter aus dem Vergleich der schraffierten ähnlichen Dreiecke
D\,E=\frac{d\,x\,.\,(y-d\,y)}{x-d\,x} und mit
C\,X=A\,X-\frac{1}{2}\,A\,D
=A\,X-\frac{1}{2}\,(A\,E-D\,E)=y-\frac{1}{2}\,\left(d\,y-\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}\right);
somit wird
d\,\delta=\frac{d\,y-\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}}{2\,y-d\,y+\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}}=\frac{x\,d\,y-y\,d\,x}{2\,y\,(x-d\,x)-x\,d\,y+y\,d\,x}
=\frac{x\,d\,y-y\,d\,x}{2\,x\,y}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x}\right),
nachdem die unendlich kleinen additiven Größen im Nenner
weggelassen wurden.
Man findet schließlich den Ausdruck für den Stabilitätsgradienten
\delta'=\frac{d\,\delta}{d\,x}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{y}\,\frac{d\,y}{d\,x}-\frac{1}{x}\right).
Beispiele: 1. Es ist die Form der C-Kurve (y = f(x) zu finden, die der
genauen Astasie entspricht. Hier ist δ = 0 und daher
auch δ' = 0, daher
\frac{d\,y}{d\,x}\,.\,\frac{1}{y-\frac{1}{x}}=0;
\frac{d\,y}{y}=\frac{d\,x}{x}; \mbox{lg nat
}y=\mbox{lg nat }x+K
oder x = Kx.
Die gesuchte Kurve ist also eine Gerade durch den Anfangspunkt, wie sich das auch aus
den Betrachtungen über den astatischen Punkt ergibt. Es sei bemerkt, daß auch für
jeden astatischen Punkt einer beliebigen C-Kurve d'= 0 sein muß, positive δ' gehören zum stabilen, negative δ' zu einem
labilen Teil der C-Kurven.
2. Die C-Kurven seien Gerade, die nicht durch den
Anfangspunkt gehen: y = ax
± b (a und b positive Zahlen!) Wie ist das statische Verhalten der
betreffenden Regler?
Es ist
2\,\delta'=\frac{a}{a\,x\,\pm\,b}-\frac{1}{x}=\frac{\mp\,b}{x\,(a\,x\,\pm\,b)}.
Der Geraden I (y = ax + b) (Fig. 3) entspricht
also ein negativer Gradient, der mit wachsendem x
abnimmt, d.h. der Regler ist labil, nähert sich aber mit wachsendem Ausschlag der
Astasie, weil δ' für x = ∞
verschwindet und auch δ = 0 wird. Der Geraden II (y = ax – b) entspricht ein stabiler Regler, dessen
Ungleichförmigkeitsgrad abnimmt (aber auch für unendlichen Ausschlag konstant, und
zwar = 0) wird.
Textabbildung Bd. 326, S. 53
Fig. 3.
3. Es soll eine C-Kurve mit konstantem Stabilitätsgradienten gefunden werden.
\delta'=\alpha=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{y}\,\frac{d\,y}{d\,x}-\frac{1}{x}\right);
2\,a\,d\,x=\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x}
2\,a\,x+K=\mbox{log nat }y-\mbox{lg nat }x=\mbox{log nat
}\frac{y}{x}
\frac{y}{x}=e^{2\,a\,x+K} oder mit
e^K=A
y = Axe2ax.
Die C-Kurve ist also eine
exponentielle, die im Anfangspunkt die Tangente y = Ax hat (Fig. 4).
Betrachtet man ein beliebiges Stück dieser Kurve, etwa zwischen den Ausschlägen X1 und X2, (mit den Abszissen
x1 und x2) so ist natürlich
der gesamte Ungleichförmigkeitsgrad von der Differenz x2
– x1 abhängig, und
wächst mit ihr (wegen
\delta=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x=a\,(x_2-x_1);
die Kurve ergibt aber in allen Teilen gleiche statische Eigenschaften des
betreffenden Reglers. Es wäre aber zwecklos, wenn man etwa nach einem Reglergetriebe
suchen wollte, welches derartige C-Kurven besitzt. Denn
es ist, wie wir sogleich an dem Beispiel eines der einfachsten Reglersysteme
erkennen werden, schon mit den vorhandenen Mitteln möglich, eine etwa gestellte
Forderung nach konstantem δ' mit praktisch genügender
Annäherung zu erfüllen.
Textabbildung Bd. 326, S. 53
Fig. 4.
Textabbildung Bd. 326, S. 53
Fig. 5.
4. Für den gewöhnlichen Porterschen Gewichtsregler mit
rhombischer Aufhängung (Fig. 5) ergibt sich bekanntlich C = Cg + Cq (Bezeichnung nach
Tolle)Cg: Anteil an der C-Kurve, herrührend von den Schwunggewichten. Cg: Anteil von der Muffenbelastung.
= K tg α, wobei
\mbox{sin}\,\alpha=\frac{x-a}{e} ist.
Daher ist
C=K\,\frac{x-a}{\sqrt{l^2-(x-a)^2}}=y
Man findet
\frac{d\,y}{d\,x}=\frac{K\,l^2}{(l^2-(x-a)^2)^{3/2}}\mbox{ u.
}2\,\delta'=\frac{(x-a)^3+a\,l^2}{x\,(x-a)\,(l^2-(x-a)^2)},
wonach also δ' für x = 0, x = a und x = l + a unendlich groß wird
und für unsere Betrachtungen den Sinn verliert; es ergibt sich aber in dem
benutzbaren Teil der C-Kurve ein Bereich in dem δ' in der Nähe seines Maximums nicht sehr veränderlich
ist. Die Fig. 5, welche für einen Porter-Regler mit a = 3
cm, l = 36 cm gezeichnet wurde, zeigt, daß zwischen x1 = 13,5 cm und x2 = 25,5 cm δ' nur geringen Aenderungen unterworfen ist und im
Mittel = 0,027 gesetzt werden kann. Dieser Bereich genügt aber vollkommen für den
gesamten Reglerausschlag. Der Portersche Regler kann
also der gegebenenfalls zu stellenden Forderung nach einem konstanten
Stabilitätsgradienten ganz gut angepaßt werden. Bei dem Entwurf eines solchen Reglers wäre dann auch die δ'-Kurve zu berücksichtigen und der Ausschlag danach zu begrenzen.
Textabbildung Bd. 326, S. 54
Fig. 6.
Ganz anders werden indessen die Verhältnisse für den Kley-Regler (mit gekreuzten Pendelarmen und Hängestangen), bei diesem ist
– a statt + a zu setzen
und wir erhalten
2\,\delta'=\frac{(x+a)^3-a\,l^2}{x\,(x+a)\,(l^2-(x+a)^2)}.
Fig. 6 zeigt, daß die δ'-Kurve im benutzbaren Bereich des Reglers ständig
ansteigt, der Regler wird mit wachsendem Ausschlag immer stabiler. An der Stelle A1 hat er einen
astatischen Punkt, dessen Abszisse x1 aus der Bedingung folgt δ'
= 0, also hier
(x_1+a)^3-a\,l^2=0;
x_1=-a+\sqrt[3]{a\,l^2}.
Führt man den Winkel a durch
\mbox{sin}\,\alpha=\frac{x+a}{l} ein, so ist der dem
astatischen Punkt entsprechende Winkel gegeben durch
\mbox{sin}\,\alpha_1=\frac{x_1+a}{l}=\frac{1}{l}\,\sqrt[3]{a\,l^2}=\sqrt[3]{\frac{a}{l}},
eine bekannte Beziehung. Gewöhnlich wählt man x1 als unterste
Reglerstellung. Der Hauptvorteil des Kley-Reglers liegt
darum auch in dem kleineren Ungleichförmigkeitsgrade (Pseudoastasie) besonders bei
den untersten Reglerstellungen, während die Gleichförmigkeit des
Stabilitätsgradienten beim stärker statischen Porter-Regler größer ist.
In ähnlicher Weise könnten auch andere Systeme von Gewichts- und ebenso auch von
Federreglern in bezug auf δ' untersucht werden. In
solchen Fällen, bei denen die Gleichung der graphisch ermittelten C-Kurve nicht aufgestellt werden kann, oder der
analytische Ausdruck δ' zu verwickelt und
unübersichtlich wird, kann man sich eines zeichnerischen Verfahrens bedienen.
Die Bestimmung von \frac{d\,y}{d\,x} geschieht dann wohl am
genauesten mit Hilfe des Wagenerschen SpiegelderivatorsWagener, Physikal. Zeitschrift. 10. Jahrgang.
Seite 57..
Endlich erhalten wir durch Verwendung des Stabilitätsgradienten δ' eine schärfere mathematische Fassung für den
Ungleichförmigkeitsgrad δ. Es ist nämlich, wie schon
oben erwähnt, zwischen zwei Grenzen x1 und x2
\delta_{1,2}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x=\frac{1}{2}\,\int\limits_1^2\,\left(\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x}\right)=\frac{1}{2}\mbox{
log nat }\left(\frac{y_2\,x_1}{y_1\,x_2}\right).
Setzen wir hierin statt y wieder
die Zentrifugalkräfte G = C = Mω2x ein, so wird
auch
\delta_{1,2}=\frac{1}{2}\mbox{ log nat
}\frac{M\,{\omega_2}^2\,x_2\,x_1}{M\,{\omega_1}^2\,x_1\,x_2}=\mbox{ log nat
}\frac{\omega_2}{\omega_1}.
Zu diesem Ausdruck wäre man auch direkt gekommen durch
Betrachtung des Grenzwertes von δ für unendlich kleinen
Zuwachs dx als
d\,\delta=\frac{d\,\omega}{\omega}, womit dann
\delta_{1,2}=\int\limits_1^2\,\frac{d\,\omega}{\omega}=\mbox{ log nat
}\frac{\omega_2}{\omega_1} wird.
Entwickelt man log nat \frac{\omega_2}{\omega_1} in eine Reihe, so
hat man auch
\delta_{1,2}=2\,\left[\frac{\frac{\omega_2}{\omega_1}-1}{\frac{\omega_2}{\omega_1}+1}+\frac{1}{3}\,\left(\frac{\frac{\omega_2}{\omega_1}-1}{\frac{\omega_2}{\omega_1}+1}\right)^3+---\right]
=2\,\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_2+\omega_1}+\frac{2}{3}\,\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_2+\omega_1}\right)^3+---.
Man sieht, daß die übliche Definition
\delta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_m} des
Ungleichförmigkeitsgrades nur das erste Glied berücksichtigt, wie das auch bei den
geringen Werten von S vollauf gerechtfertigt ist.
Schließlich möge noch bemerkt werden, daß die aufgestellte Formel für δ' nur dort gilt, wo auch die Bildung des
Ungleichförmigkeitsgrades nach Fig. 1 durch den
Ausdruck \delta=\frac{\delta\,c}{c_m} erlaubt ist. Dies trifft,
wie TolleTolle, Die Regelung der Kraftmaschinen, II.
Auflage. gezeigt hat, stets zu für Reglerschwungmassen, die aus
Umdrehungskörpern bestehen, deren Achsen parallel zur Aufhängeachse der Pendelarme
gerichtet sind, also insbesondere für die meist benutzten Schwungkugeln. Die
Abteilung gilt aber nicht für die keulenförmigen Schwungmassen einzelner
Flachregler, auch nicht für die unsymmetrischen Schwungmassen, die man gelegentlich
bei Federreglern, z.B. beim Stumpfschen Leistungsregler findet, wenn auch dort die Beziehung
für δ' immerhin noch sehr angenähert richtig
bleibt.
Zusammenfassung.
Unter Zugrundelegung der Tolleschen Fliehkraft (C-) Kurven für die Zentrifugalregulatoren wird der
Begriff des „Stabilitätsgradienten“ für die
Aenderung des Ungleichförmigkeitsgrades entwickelt und durch eine Formel
dargestellt. Die Anwendung wird an verschiedenen Beispielen gezeigt.