Der Spannungszustand von Schwungrädern bei gleichförmiger Rotation. Von Otto Mies, Charlottenburg. (Schluß von S. 695 d. Bd.) Der Spannungszustand von Schwungrädern bei gleichförmiger Rotation. 6. Die Spannungen in den Armen. Sowohl die vom Kranz auf die Arme übertragenen Kräfte Z als auch die Zentrifugalkräfte der Armmassen, die bei der Rotation des abgeschnittenen Armkreuzes entstehen, rufen in den Armen Zugspannungen hervor, von denen die ersteren bei prismatischen Armen in jedem Armquerschnitt gleich groß sind, bei verjüngten Armen nach innen abnehmen, während die letzteren am äußeren Armende gleich Null, am inneren Armende am größten sind. Die größte Gesamtspannung rntsteht bei den schwachen Verjüngungen, die bei Schwungeadarmen üblich sind, wohl immer im inneren Armquerschnitt. Wird die Größe dieses Querschnittes mit fi und die durch die Zugkraft Z in diesem Querschnitt hervorgerufenen Spannung mit σz bezeichnet, so ist ohne weiteres $${\sigma }_z=\frac{Z}{f_i}$$ . . . . . . . . 28) Die auf den inneren Armquerschnitt wirkende Zentrifugalkraft C ist, wenn M die Masse des Armes und ρ den Abstand seines Schwerpunktes von der Rotationsachse bedeuten C = M ∙ ρ ∙ ω2, also die dadurch im inneren Armquerschnitt entstehende Spannung, die mit < jc bezeichnet werde: $${\sigma }_c=\frac{M.\rho }{f_i}.{\omega }^2$$ . . . . . . . 29) Mit den Bezeichnungen für die Höhen- und Breitendimensionen der Arme, die in Abschnitt 3 angeführt sind, so wie nach den Erklärungen des erwähnten Aufsatzes über die Dehnungen verjüngter Arme6)s. S. 694, Anm. 5. gilt für keilförmige Arme $$M=\frac{1}{6}\frac{\gamma }{g}l(2a_i{b}_i+a{b}_i+a_{i}b+2ab)$$ $$\rho =r_n+\frac{l}{2}\frac{a_i{b}_i+a{b}_i+a_{i}b+3ab}{2a_i{b}_i+a{b}_i+a_{i}b+2ab}$$ fi = ai bi, wenn der Rechnung ein rechteckiger Armquerschnitt zugrunde gelegt wird. Mit diesen Werten geht Gleichung 29 über in $${\sigma }_{\text{c, keil}}={\omega }^2\frac{\gamma }{g}1\{\frac{1}{6}{r}_n(2+\frac{a}{a_i}+\frac{b}{b_i}+2\frac{ab}{a_i{b}_i})+\frac{1}{12}l(1+\frac{a}{a_i}+\frac{b}{b_i}+3\frac{ab}{a_i{b}_i})\}$$ . . . . . 30) Für konische Arme ist $$\frac{a}{a_i}=\frac{b}{b_i}$$; daraus folgt $${\sigma }_{\text{c, kon}}={\omega }^2\frac{\gamma }{g}l\{\frac{1}{3}{r}_n(1+\frac{a}{a_i}+{\left(\frac{a}{a_i}\right)}^2)+\frac{1}{12}l(1+2\frac{a}{a_i}+3{\left(\frac{a}{a_i}\right)}^2)\}$$ . . . . . 30a) Für prismatische Arme endlich wird mit $$\frac{a}{a_i}=\frac{b}{b_i}=1$$ $${\sigma }_{\text{c, prism}}={\omega }^2\frac{\gamma }{g}l\{r_n+\frac{1}{2}l\}$$ . . . . . 30b) Allgemein läßt sich die Gleichung für σc also schreiben $${\sigma }_c={\omega }^2\frac{\gamma }{g}l(r_n.\mu +\frac{1}{2}l.v)$$ . . . . . 31) wo sich die Koeffizienten μ und ν, die für prismatische Arme gleich 1 sind, für verschiedene Verjüngungsverhältnisse den Tab. 2 und 3 entnehmen lassen. Gleichung 31 gilt auch für Arme mit elliptischem Querschnitt, sowie für alle Querschnitte, die man in Rechtecke zerlegen kann, und deren sämtliche Dimensionen von den Symmetrieachsen aus gemessen in gleichen Richtungen gleiche Verjüngungsverhältnisse besitzen. Die Gesamtspannung σ1 im inneren Armquerschnitt ist demnach gemäß den Gleichungen 28 und 31 $${\sigma }_i={\sigma }_2+{\sigma }_c=\frac{Z}{f_i}+\frac{\gamma }{g}{\omega }^{2}l(r_n.\mu +\frac{l}{2}v)$$ . . . . . . . 32) Tabelle 2. Werte der Koeffizienten μ

$$\frac{a}{a_i}$$ bzw. $$\frac{b}{b_i}$$ 1 9/10 ⅞ 6/7 ⅚ ⅘ ¾ 1 1 0,95 0,94 0,93 0,92 0,90 0,88 9/10 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,83 ⅞ 0,89 0,87 0,86 0,85 0,82 6/7 0,87 0,86 0,84 0,82 ⅚ 0,84 0,83 0,81 ⅘ 0,82 0,79 ¾ 0,77

Tabelle 3. Werte des Koeffizienten v.

$$\frac{a}{a_i}$$ bezw. $$\frac{b}{b_i}$$ 1 9/10 ⅞ 6/7 ⅚ ⅘ ¾ 1 1 0,93 0,92 0,90 0,89 0,87 0,83 9/10 0,87 0,86 0,84 0,83 0,81 0,78 ⅞ 0,85 0,83 0,82 0,80 0,77 6/7 0,82 0,81 0,79 0,76 ⅚ 0,79 0,77 0,74 ⅘ 0,75 0,73 ¾ 0,70

7. Ueber den Einfluß der Kranzverbindungen. Bei Mehrteiligen Rädern beeinflussen die Verbindungskonstruktionen des Kranzes den Spannungszustand in zweifacher Weise, indem sie einerseits durch ihre Massen selbst Zentrifugalkräfte erzeugen, und andererseits die Deformierbarkeit des Kranzes an der Verbindungsstelle verändern. Bisher veröffentlichte Untersuchungen beschäftigten sich nur mit dem ersteren Einfluß, der verschieden ist, je nachdem die Trennung des Kranzes in den Armmittelebenen oder zwischen zwei Armen liegt. Bei Teilung im Arm ändert sich der Spannungszustand nicht, wenn alle Arme, auch diejenigen, an deren Enden die Zentrifugalkraft einer Verbindungskonstruktion angreift, gleiche Verlängerung erleiden. Wenn Cv die Zentrifugalkraft der Kranzverbindung, f den Querschnitt der ungeteilten, fo den Querschnitt der geteilten Arme, εz und εzo die Verjüngungskoeffizienten für ungeteilte und geteilte Arme bedeuten, ist das der Fall, wenn $${ϵ}_{zo}\frac{C_v}{f_{0}E}l+{ϵ}_{zo}\frac{Z}{f_{0}E}l={ϵ}_z\frac{Z}{fE}l,$$ oder $$f_0=f.\frac{{ϵ}_{zo}}{{ϵ}_z}(1+\frac{C_v}{Z})$$ . . . . . . 33) Bei Teilung zwischen den Armen ist die genaue Rechnung ziemlich umständlich, weil die Symmetrie des Spannungs- und Deformationszustandes der zwischen zwei Armen liegenden Segmente dadurch gestört wird. Die Rechnungen von Göbel und Tolle7)s. Einleitung S. 692 d. Bd. gehen stillschweigend davon aus, daß sich eine Kranzverbindung zwischen je zwei Armen, und zwar in der Mitte dazwischen, befindet, wodurch die Symmetrie in den Segmenten erhalten bleibt. Es leuchtet aber ohne weiteres ein, daß dadurch der Einfluß der durch die Kranzverbindungen hervorgerufenen Zentrifugalkräfte leicht überschätzt werden kann. Um den vorliegenden Aufsatz nicht mit diesem speziellen Problem über Gebühr zu belasten, werde ich dasselbe demnächst in einem besonderen Aufsatz behandeln. 8. Beispiel: Die praktische Verwendung der gewonnenen Ergebnisse soll durch die Berechnung von zwei Beispielen mit Hilfe des Rechenschiebers gezeigt werden. Als erstes diene das in Fig. 4 S. 360 d. Bd. dargestellte Seilscheibenschwungrad einer Dampfmaschine mit gußeisernen, verjüngten Armen und gußeisernem Kranz, dessen zur Berechnung nötige Zahlengrößen in folgender Zusammenstellung enthalten sind:

Normale Umdrehungszahl n = 100 i. d. Min. Schwerpunktsradius des Kranzes r = 218,25 cm Umfangsgeschwindigkeit im Schwer-    punktsradius v = 22,85 m/Stk. Kranzquerschnitt F = 540 qcm Trägheitsmoment des Kranzquerschn. J = 29700 cm4 Schwerpunktsabstand der inneren    Kranzfaser ηi = 16 cm Schwerpunktsabstand der äußeren    Kranzfaser ηa = 9 cm Widerstandsmomente des Kranzquer-    schnitts $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ 1856 cm33300 „ Spezifisches Gewicht d. Kranzmaterials γ1 = 7,25 kg/cdm Elastizitätsmodul „ E1 = 750000 kg/qcm Aeußerer Radius der Nabe rn = 39,25 cm Armlänge l = 162,7 5 cm Armquerschnitt an der Nabe fi = 265 qcm Verjüngungsverhältnisse der Arme $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\frac{180}{225}=4/5$$ $$\frac{120}{150}=4/5$$ Reduktionskoeffizienten $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ 0,8561,25 Spezifisches Gewicht des Armmaterials γ = 7,25 kg/cdm Elastizitätsmodul des Armmaterials E = 750000 kg/qcm Anzahl der Arme 8 Koeffizienten gemäß der Tab. 1 $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ 0,00069061,2739

Zunächst werde untersucht, wie sich die Kranzspannungen σa und σm zu der im freien Schwungkranz entsprechenden Zugspannung σ1 verhalten. Nach Gleichung 1 ist $${\sigma }_1=\frac{7,25}{1000.9,81}{2285}^2=38,6\text{ kg/qcm}.$$ Für die in den Beziehungen 24 und 24a vorkommenden Winkelfunktionen findet sich aus Tab. 1 für ein Rad mit acht Armen $$\frac{\text{cos}\alpha }{\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }-\text{cos}\alpha }=18,2$$ und $$\frac{1}{1-\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }}=39,2.$$ Ferner wird $$\frac{F.r}{W_i}=\frac{540.218,25}{1856}=63,5,\frac{F.r}{W_a}=\frac{540.218,25}{3300}=35,7.$$ Es ist also $$\frac{F.r}{W_i}>\frac{\text{cos}\alpha }{\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }-\text{cos}\alpha },\frac{F.r}{W_a}\mathrm{\infty }\frac{1}{1-\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }}.$$ Daraus ist zu schließen, daß die Gesamtspannung σa an den Armstellen größer als σ1 ist, während die Spannung σm mitten zwischen zwei Armen ungefähr gleich σ1 sogar noch etwas kleiner als σ1 wird. Bei der praktischen Berechnung wäre es somit nur nötig, σa zu berechnen. Zum Vergleich soll hier jedoch auch σm bestimmt werden. Dazu muß zunächst die Armzugkraft Z nach der für Räder mit gleichem Arm- und Kranzmaterial geltenden Gleichung 20a berechnet werden. Nach Gleichung 19 ist Z1 = 38,6 ∙ 540 = 20830 kg. Nach den Gleichungen 18 ist $${ϵ}_c{\left(\frac{r_1}{r}\right)}^3=0,856\frac{162,{75}^2(54,25+19,625)}{218,{25}^3}=0,1611,$$ $$\frac{F}{F_1}.m=\frac{540.218,{25}^2}{29700}.0,0006906=0,5982.$$ Ferner findet sich $${ϵ}_z\frac{F}{f}\frac{l}{r}=1,25\frac{540}{265}.\frac{162,75}{218,25}=1,900,$$ so daß sich nach Gleichung 20a ergibt $$Z=20830\frac{1-0,1611}{0,5982+1,2739+1,900}=20830\frac{0,8389}{3,7721}$$ Für die Spannungen findet sich nach den Gleichungen 23 und 23a mit Hilfe der in der Tab. 1 enthaltenen Werte der Winkelfunktionen $$\left\{{{\sigma_{2a}=-\frac{4630}{2}\,.\,\frac{2,4142}{540}=-10,4\mbox{ kg/qcm,}\ \ \ \ \ \ }\atop{\sigma_{3a}=\frac{4630}{2}\,.\,\frac{218,25}{1856}\,.\,0,1323=36,1\mbox{ kg/qcm,}}\right$$ $$\left\{{{\sigma_{2m}=-\frac{4630}{2}\,.\,\frac{2,6131}{540}=-11,2\mbox{ kg/qcm,}\ \ \ \ \ \ }\atop{\sigma_{3m}=\frac{4630}{2}\,.\,\frac{218,25}{3300}\,.\,0,0666=10,2\mbox{ kg/qcm,}}\right$$ und endlich nach Gleichung 22, $$\left\{{{\sigma_a=38,5-10,4+36,1=64,3\mbox{ kg/qcm,}}\atop{\sigma_m=38,6-11,2+10,2=37,6\mbox{ kg/qcm,}}\right$$ In der Tat ist σm, wie eingangs ermittelt, ungefähr gleich σ1 während σa erheblich größer ist. Es erübrigt noch, die in dem inneren Armquerschnitt auftretenden Zugspannungen zu bestimmen. Nach Gleichung 28 ist $$sigm{a}_z=\frac{4630}{265}=17,5\text{ kg/qcm},$$ während nach Gleichung 31 mit $$\omega =\frac{\pi .n}{30}$$ und den aus den Tab. 2 und 3 sich findenden Werten μ = 0,82, v = 0,75 sich findet $${\sigma }_c={\left(\frac{\pi .100}{30}\right)}^2\frac{7,25}{1000.981}.162,75(39,25.0,82+81,375.0,75)=12,3\text{ kg/qcm},$$ und demnach σi = 17,5 + 12,3 = 29,8 kg/qcm. Als zweites Beispiel soll das in Fig. 4 dargestellte Seilscheibenschwungrad mit schmiedeeisernen Armen einer Großgaßmaschine zum Antrieb eines Drahtwalzwerkes berechnet werden, wozu die nötigen Zahlengrößen in folgender Zusammenstellung enthalten sind:

Normale Umdrehungszahl n = 115 i. d. Min. Schwerpunktsradius des Kranzes r = 231,2 cm Umfangsgeschwindigkeit im Schwer-    punktsradius v = 27,8 m/Sek. Kranzquerschnitt F = 2375 qcm Trägheitsmoment d. Kranzquerschnitts J = 675000 cm4 Schwerpunktsabstand der inneren    Kranzfaser ηi = 30 cm Schwerpunktsabstand der äußeren    Kranzfaser ηa = 17 cm Widerstandsmomente des Kranz-    querschnitts $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ 22500 cm339700 „ Spezifisches Gewicht d. Kranzmaterials γ1 = 7,25 kg/cdm Elastizitätsmodul „ „ E1 = 750000 kg/qcm Aeußerer Radius der Nabe rn = 90 cm Armlänge l = 111 cm Armquerschnitt (senkrecht zur Richtung    der Kraft Z gemessen) f = 283 qcm Spezifisches Gewicht des Armmaterials γ = 7,85 kg/cdm Elastizitätsmodul des Armmaterials E = 2,15 ∙ 106 kg/qcm Anzahl der Arme 8 Koeffizienten gemäß der Tab. 1 $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ 0,00069061,2739

Fig. 4.

Der Gang der Berechnung ist kurz folgender: Nach Gleichung 1 findet sich $${\sigma }_1=\frac{7,25}{1000.981}.{2780}^2=57,1\text{ kg/qcm}.$$ Ferner ist nach Tab. 1 für ein Rad mit acht Armen $$\frac{\text{cos}\alpha }{\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }-\text{cos}\alpha }=18,2$$ und $$\frac{1}{1-\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha }}=39,2,$$ und $$\frac{F.r}{W_1}=\frac{2375.231,2}{22500}=24,2\frac{F.r}{W_a}=\frac{2375.231,2}{39700}=13,84.$$ Man erkennt, daß σa > σ1, σm < σ1, es genügte also σa zu berechnen; der Vollständigkeit halber soll hier auch σm bestimmt werden. Nach Gleichung 19 ist Z1 = 57,1 ∙ 2375 = 135700 kg. Nach Gleichung 20 folgt für die Glieder des Ausdrucks für Z mit εc = 1 und εz = 1, wegen des konstanten Armquerschnittes $$\frac{\gamma }{{\gamma }_1}\frac{E_1}{E}{\left(\frac{r_1}{r}\right)}^3=\frac{7,85}{7,25}.\frac{750000}{2,15.{10}^6}.\frac{{111}^2(37+45)}{231,2^3}=0,0309$$ $$\frac{F}{F_1}m=\frac{2375.231,2^2}{675000}.0,0006906=0,130$$ $$\frac{E_1}{E}.\frac{F}{f}.\frac{l}{r}=\frac{750000}{2,15.{10}^6}.\frac{2375}{283}.\frac{111}{231,2}=1,405,$$ und damit für Z $$zZ=135700\frac{1-0,0309}{0,130+1,2739+1,405}=135700\frac{0,9691}{2,8134}$$ Z = 46700 kg. Hiernach ergibt sich für die Kranzspannungen $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\sigma }_a=57,1-23,9+32,0=65,2\text{ kg/qcm}}{{\sigma }_m=57,1-25,9+9,1=40,3\text{ kg/qcm}}$$ Für die Spannungen in den unteren Armquerschnitten findet sich nach den Gleichungen 28 und 31 mit μ = 1 und v = 1, $${\sigma }_z=\frac{47170}{283}=166,6\text{ kg/qcm}$$ $${\sigma }_c={\left(\frac{115.\pi }{30}\right)}^2.\frac{7,85}{1000.981}.111(90+55,5)=18,7\text{ kg/qcm}$$ $${\sigma }_i=166,6+18,7=185,3\text{ kg/qcm}.$$