Titel: | Graphische Bestimmung der Trägheitsmomente J für lange Druckstäbe nach der Eulerschen Formel. |
Autor: | O. Riwosch |
Fundstelle: | Band 325, Jahrgang 1910, S. 680 |
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Graphische Bestimmung der Trägheitsmomente J für
lange Druckstäbe nach der Eulerschen Formel.
Von Ingenieur O. Riwosch,
St. Petersburg.
Graphische Bestimmung der Trägheitsmomente J für lange Druckstäbe
nach der Eulerschen Formel.
Die graphische Tabelle (Fig. 1) ist für den
Grundfall (Fig.
1b) zusammengestellt, daß die beiden Enden des Stabes aus Eisen frei beweglich und in der ursprünglichen
Achsrichtung geführt sind.
Textabbildung Bd. 325, S. 680
Wird der Sicherheitskoeffizient für Schweißeisen n = 5
angenommen, so ergibt sich bei E = 2000000 kg/qcm und π = 10 das erforderliche Trägheitsmoment J aus Gleichung:
J=\frac{n\,P\,t^3}{\pi^2\,E}
zu
J = 2,5 P
l2,
worin
P die Druckkraft in t und
l die Knicklänge in m bedeuten.
Für P = 1 t ist J = 2,5 l2; l2 = 0,4 J – dieser Ausdruck stellt die Scheitelgleichung
der Parabel dar, die in der Tabelle (Fig. 1) fett gezeichnet
ist. Die Tabelle ist nach derselben Methode zusammengestellt, die im Aufsatze
„Graphische Bestimmung der größten Durchbiegung fmax für eiserne Träger“ (Heft 19,
S. 298) ausführlich erläutert ist. Der Bogen in der Tabelle ist mit Teilungen –
entsprechend den Druckkräften P in t – versehen, auf
der Abszissenachse sind die Längen l in m
angegeben.
Um J nach gegebenen P und
l zu ermitteln, lege man mit Hilfe eines
durchsichtigen Lineals durch den Pol und die betreffende Bogenteilung P eine Gerade und entnehme für l, als Abszisse, die entsprechende Ordinate, die das erforderliche
Trägheitsmoment J unmittelbar angibt.
Wenn Jmin aus Formel:
Jmin = 2,33
P l2 zu
bestimmen ist, so muß man den aus der Tabelle gefundenen Wert mit 0,392
multiplizieren. Zur Bestimmung von J in Fällen, die in
Fig.
1a, c und d dargestellt sind, muß man vorher die zu berechnende Länge l aus der Länge l0 ermitteln, d.h. auf den Grundfall (Fig. 1b) überführen.
Hierzu ist unter den Fig. 1a, c und d der
entsprechende Koeffizient angegeben, mit dem die Stablänge (oder Systemlänge) l0 multipliziert werden
muß.
Beispiel 1. Eine 5,5 m hohe eiserne Säule erhält bei
Beanspruchung nach Fig. 1b eine achsiale
Belastung von 66400 kg. Der Säulenquerschnitt ist aus zwei ⊏ gebildet. Welches Profil ist zu wählen?
Aus der Tabelle. In der Tabelle reicht die Belastung P bis zu 10 t, im vorgeführten Falle ist P = 66,4 t.
Das Trägheitsmoment J ist der Belastung P proportional. Man findet J für 6,64 t und multipliziert den gefundenen Wert mit 10.
Legt man mit Hilfe des Lineals durch die Bogenteilung P
= 6,64 eine Gerade, so erhält man für die Abszisse l =
5,5 m die Ordinate = 505 cm4 = J; für die angegebene Belastung ist J = 505 ∙ 10 = 5050 cm4. Man wählt zwei ⊏ N. P. 22, deren
Flächeninhalt F = 74,5 qcm ist. Die
Materialspannung
K_d=\frac{66400}{74,5}=\sim\,890\mbox{ kg/qcm.}
Durch Berechnung findet sich das erforderliche
Trägheitsmoment zu J = 2,5 – 66,4 ∙ 5,52 – 5030 cm4
(aus der Tabelle ergab sich J = 5050 cm4).
Nimmt man bei Gußeisen P = 1000000 kg/qcm und n = 8, ferner bei Kiefernholz E = 120000 kg/qcm und n = 10 an, so bestehen zwischen den
Trägheitsmomenten Je
für Eisen, Jg
für Gußeisen und Jh für
Holz die Beziehungen:
Jg = 16/5 Je =
3,2 Je
und
Jh=
100/3 Je = 33,3 Je.
Man muß daher die aus der Tabelle Fig. 1 ermittelten
Werte von J für einen gußeisernen Stab mit 3,2 und für
einen hölzernen Stab mit 33,3 multiplizieren.
Beispiel 2. Eine gußeiserne Säule, nach Fig. 1b beansprucht,
von 5 m Länge überträgt eine Last P von 25,0 t. Es sind
die notwendigen Abmessungen des Säulenquerschnitts zu ermitteln.
Aus der Tabelle: Für die Belastung P = 2,5 t ist J = 157
cm4, für die angegebene Belastung 2,5 ∙ 10 t
ist J = 157 ∙ 10 = 1570 cm4. Da es sich um eine gußeiserne Säule
handelt, muß man den Wert von J = 1570 mit 3,2
multiplizieren und erhält Jg = 1570 ∙ 3,2 = 5024 cm4.
Die erforderliche Fläche gegen Druck (bei k = 500
kg/qcm)
F = 25000/500 = 50,0 qcm.
Dieser Forderung genügen nach den Tabellen der Gießereien
entweder
1. eine runde hohle Säule mit äußerem Durchmesser D = 200 mm, der Wandstärke S = 24 mm, Flächenquerschnitt F = 133,0
qcm, Trägheitsmoment J = 5344 cm4, Gewicht f. d. lfd. Meter = 96,2 kg
oder
2. eine quadratische hohle Säule: die Seite a des Quadrats = 180 mm, J Trägheitsmoment = 5165 cm4, F Flächenquerschnitt = 117 qcm, Gewicht f. d. lfd.
Meter = 84,5 kg.
Durch Berechnung ergibt sich das erforderliche
Trägheitsmoment J = 8 ∙ P ∙
l2 = 8 ∙ 25 ∙ 52 = 5000,0 cm4
(J aus der Tabelle = 5024).