Einfache Ermittlung der zulässigen Knickspannung. Von O. Riwosch, Ingenieur, St. Petersburg. Einfache Ermittlung der zulässigen Knickspannung. Die Schwarz-Rankinesche Formel lautet: $$P=\frac{\sigma F}{l+\mu {\left(\frac{l}{r}\right)}^2},$$ worin σ = die zulässige Druckspannung in kg/qcm, l = die Stablänge in cm, P = die Druckkraft in kg, r = der kleinste Trägheitshalbmesser in cm, μ = den Erfahrungskoeffizienten bedeuten.

Für Flußeisen ist μ = 0,0001, „ Gußeisen ist μ = 0,0007, „ Schweißeisen ist μ = 0,00016, „ Holz ist μ = 0,00023.1)Der erste Wert ist aus Lugers Lexikon entnommen, die übrigen aus „Hütte“ (S. 418, XX. Auflage).

Die zulässige Knickspannung ist: $$\frac{P}{F}={\sigma }_k=\sigma \frac{1}{1+\mu {\left(\frac{l}{r}\right)}^2}.$$ Wird $$\frac{1}{1+\mu {\left(\frac{l}{r}\right)}^2}$$ durch φ bezeichnet, so ist σk = σ φ. φ ist der Koeffizient der Verminderung der zulässigen Druckspannung σ.

Fig. 1.

Für Flußeisen ist $$\phi =\frac{1}{1+0,0001{\left(\frac{l}{r}\right)}^2}.$$ Anstatt φ aus dieser Formel durch mühsame Berechnung zu ermitteln, ist es viel leichter auf dem graphischen Wege zu demselben Ziele zu gelangen. Der Nenner dieses Bruches stellt eine Summe zweier Komponenten dar: die erste Komponente ist konstant, die zweite eine veränderliche Größe, die wir mit x bezeichnen. $$x=0,0001{\left(\frac{l}{r}\right)}^2$$ ist die Scheitelgleichung einer Parabel. Setzen wir $$\frac{l}{r}=y,$$ y2 = 10000 x = 200 – 50 x und 50 x = x0, so ergibt sich y2 = 200 x0 . . . . . . 1) In der graphischen Tabelle (Fig. 1) ist die Parabel punktiert gezeichnet. $$(p=CF=100\text{ mm; }OF=\frac{p}{2}=50\text{ mm}).$$ Um die Benutzung der Figur zu erleichtern, ist die letztere folgendermaßen zusammengestellt. Die Ordinaten der Parabel $$\left(\frac{l}{r}\right)$$ sind auf der Abszissenachse X0 in den Punkten eingetragen, die ihren Abszissen x0 entsprechen. Auf dieser Weise kann man für die Ordinaten $$\left(\frac{l}{r}\right)$$ auf derselben X0-Achse die entsprechenden Abszissen x0 aus dem Netze erhalten. $$x=\frac{x_0}{50}.$$ Die Beziehung $$\phi =\frac{1}{1+0,0001{\left(\frac{l}{r}\right)}^2}=\frac{1}{1+x},$$ oder der Ausdruck: φ (1 + x) = 1 stellt eine gleichseitige Hyperbel dar. (Asymptotengleichung.) $$\phi =\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+\frac{x_0}{50}}=\frac{50}{50+x_0}.$$ Ersetzt man (50 + x0) durch x1, φ – durch y1, so hat man x1 . y1 = 50. Wir legen von O bis O1 – 50 mm ab und ziehen durch O1 ein rechtwinkliges Koordinatensystem, und zwar so, daß die X1-Achse mit der X0-Achse zusammenfällt. Auf der X1 erhält man direkt für Werte von $$\frac{l}{r}$$ ihnen entsprechende Werte von x1 = x0 + 50. $$y_1=\phi =\frac{50}{x_1}$$ . . . 3) Nach bestimmten φ aus dieser Gleichung ist die φ-Kurve K M N gezeichnet. Die Kurve stellt eine gleichseitige Hyperbel dar. Die Achsen O1 Y1 und O1 X1 sind ihre Asymptoten. Bei x0 = 0, ist x1 = 50 mm und φ = 1. In der Tabelle (Fig. 1) ist dieser Wert = 100 mm angenommen und in diesem Maßstab sind die übrigen Werte von φ aufgetragen. Die Ordinaten der Kurve geben direkt die Werte der gesuchten Koeffizienten φ für verschiedene Werte $$\frac{l}{r}$$ und daher ist die Ermittlung von φ erheblich vereinfacht. Beispiel 1: Gegeben $$\frac{l}{r}=210,$$ die zulässige Druckspannung σ = 900 kg/qcm. Gesucht die zulässige Knickspannung σk für einen Stab aus Flußeisen. Aus der Tabelle (Fig. 1): Für $$\frac{l}{r}=210$$ (als Abszisse) erhält man die Ordinate φ = 0,18; σk = φ . σ = 0,18 . 900 = 162 kg/qcm. Durch Berechnung: $$\phi =\frac{1}{1+0,0001{\left(\frac{l}{r}\right)}^2}=\frac{1}{1+0,0001,.{210}^2}=0,185;\underset{―}{{\sigma }_k=166}\text{ kg/qcm}.$$ Für einen Stab aus Gußeisen ist $${\phi }^{\prime }=\frac{1}{1+0,0007{\left(\frac{l}{r}\right)}^2}.$$ Wird $$0,0007{\left(\frac{l}{r}\right)}^2$$ durch x' bezeichnet, so ist x' = 7 x. $$[0,0001{\left(\frac{l}{r}\right)}^2=x]$$ $${\phi }^{\prime }=\frac{1}{1+x^{\prime }}=\frac{1}{1+7x}=\frac{1}{1+7\frac{x_0}{20}}=\frac{50}{50+7x_0}$$ 4) Die φ-Kurve für Gußeisen ist nach bestimmten φ' aus Gleichung 4 gezeichnet; die Hyperbel ist bis M geführt. Beispiel 2: Gegeben $$\frac{l}{r}=80,$$ die zulässige Druckspannung σ sei 900 kg/qcm. Gesucht die zulässige Knickspannung σk für einen Stab aus Gußeisen. Aus der Tabelle (Fig. 1): Für $$\frac{l}{r}=80$$ (als Abszisse) erhält man die Ordinate φ = 0,18; σk = 900 . 0,18 = 162 kg/qcm. Durch Berechnung: $$\phi =\frac{1}{1+0,0007.,{80}^2}=0,182;.$$ σk= 900 · 0,182 = 163,8 kg/qcm. Auf derselben Weise sind die φ-Kurven für Schweißeisen und Holz konstruiert.