Graphische Bestimmung der größten Durchbiegung fmax für eiserne Träger bei verschiedenartigen Belastungen und Befestigungen. Von O. Riwosch, Ingenieur, St. Petersburg. Graphische Bestimmung der größten Durchbiegung fmax für eiserne Träger usw. Die graphische Tabelle ist für den aus Fig. 1 ersichtlichen Fall zusammengestellt (ein frei aufliegender Träger ist durch Einzellast P in der Mitte belastet). Für diesen Fall ist die Durchbiegung $$f_{max}=\frac{P.l^3}{48.E.J}$$ wenn P = Last in kg; l = Spannweite in cm; E = Elastizitätsmodul in kg/qcm; J = Trägheitsmoment des Querschnitts in qcm.

Fig. 1.

Diese Formel kann in folgender Weise dargestellt werden: $$f=\frac{P.l^3}{48.E.J}=\frac{1}{6}.\frac{K}{E}.\frac{l^2}{h},$$ da $$J=\frac{Wh}{2};\frac{Pl}{4}=M=KW;f=\frac{P.l}{4}.\frac{l^2}{12.E.J}-KW\frac{l^2}{12E\frac{Wh}{2}}=\frac{1}{6}.,\frac{K}{E}.\frac{l^2}{h}.$$ Die umgewandelte Formel ist der graphischen Darstellung von f zugrunde gelegt worden. Bei K= 1000 kg/qcm, E = 2000000 kg/qcm ist $$f_{max}=\frac{1}{12000}\frac{l^2}{h}.$$ Der Wert von fmax ist indirekt proportional der Trägerhöhe h, so daß, wenn der Wert von fmax für eine beliebige Trägerhöhe gefunden ist, so läßt er sich für andere Größen von h bestimmen. Angenommen h = 10 cm, dann wird $$f_{max}=\frac{1}{120000}{l}^2.$$ Dieser Ausdruck stellt die Scheitelgleichung einer Parabel dar. Wird l in m ausgedrückt, so ist l2 = 12 f. Die Parabel ist in der Tabelle punktiert gezeichnet. Ihre Ordinaten stellen die Stützweiten l dar, die Abszissen = die Durchbiegungen fmax. Um die Benutzung der graphischen Tabelle zu erleichtern, ist die letztere folgendermaßen zusammengestellt: Die Ordinate der Parabel sind auf der Abszissenachse in Punkten eingetragen, die den Durchbiegungen f (Abszissen) entsprechen. Man kann auf diese Weise für die Stützweiten l auf derselben X-Achse aus dem Netze die ihnen entsprechenden Durchbiegungen ablesen (z.B. l = 6 m; f = 3 cm; l = 10 m, f = 8,3 cm). Um die Durchbiegungen fmax statt an den Abszissen an den Oridinaten ablesen zu können, ist eine Gerade O M unter dem Neigungswinkel von 45° gezogen. (Die Ordinaten der Geraden sind gleich ihren Abszissen und drücken die Durchbiegungen fmax für die Trägerhöhe h = 10 cm aus.) Für einen Träger von Höhe h1 > h ist die Ordinate $$\frac{h}{h_1}$$ kleiner. Aus diesem Grunde sind andere Geraden gezogen, den Höhen h1 (15 cm, 20 cm usw.) entsprechend. Um die Zeichnung nicht zu bunt und unklar zu gestalten, ist eine entsprechend den Höhen mit Teilungen versehener Bogen gezeichnet. Mit Hilfe eines Lineals kann eine Gerade durch eine beliebige Teilung des Bogens gelegt werden. Zur Bestimmung f1 max der Durchbiegungen Träger von anderen Befestigungsarten und Belastungsweisen ist der entsprechende Koeffizient α angegeben, mit dem das ermittelte – nach l und h – f multipliziert werden muß. Beispiel. Ein frei aufliegender ⌶-Träger, 8,4 m lang und Höhe = 30 cm, ist durch eine Einzellast in der Mitte beansprucht. Wie groß ist die größte Durchbiegung fmax? (k = 1000 kg/qcm). Aus der Tabelle: Für l = 8,4 m, als Abszisse, erhält man die Ordinate = 1,95 cm = fmax. Durch Berechnung: $$f_{max}=\frac{1}{6}.\frac{K}{E}.\frac{l^2}{h}=\frac{1}{6}.\frac{1000}{2000000}.\frac{{840}^2}{30}=\underset{―}{1,96\text{ cm}}.$$ Ist die zulässige Material-Spannung anstatt k = 1000 kg/qcm, – k1, so ist die größte Durchbiegung in diesem Falle $$f_{max}^{\prime }=\frac{K_1}{1000}{f}_{max}$$ $$[f_{max}\text{ der bestimmte aus der Tabelle Wert,}$$ $$f_{max}=\frac{1}{6}\frac{1000}{E}.\frac{l^2}{h};f_{max}^{\prime }=\frac{1}{6}\frac{K_1}{E}.\frac{l^2}{h};$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Für das vorgeführte Beispiel bei K1 = 900 kg/qcm ist f'max = 0,9 fmax = 0,9 . 1,95 = 1,755 cm.