Graphische Ermittlung des Durchmessers von Achsen, die auf Biegung und Drehung beansprucht werden. Von O. Riwosch, Ing.-Techn., St. Petersburg. Graphische Ermittlung des Durchmessers von Achsen, die auf Biegung und Drehung beansprucht werden. Zur Ermittlung des Durchmessers der Achsen, die der Biegung und Drehung ausgesetzt sind, bedient man sich folgender Formel: $$W=\frac{\pi }{32}{d}^3=\frac{M_i}{k},$$ worin

Mi = das ideale (resultierende) Moment, k = die zulässige Spannung.

Nach Saint-Venant ist: $$M_i=\frac{3}{8}{M}_b+\frac{5}{8}\sqrt{{M_b}^2+{M_d}^2},$$ wo

Mb = das Biegungsmoment, Md = das Drehmoment sind.

Fig. 1. Bestimmung auf Drehung und Biegung beanspruchter Querschnitte 1) Mb < Md

Diese Formel kann bei der Zusammenstellung von graphischen Tabellen nicht verwendet werden. Ich benutzte zu diesem Zwecke andere Formeln, die einfacher sind und für die Praxis genügende Genauigkeit geben. $$M_i=M_b+\frac{1}{4}{M}_d,$$ wenn Mb > Md . . 1) $$M_i=\frac{5}{8}(M_b+M_d),$$ wenn Mb < Md . . 2)

k = die zulässige Spannung für Stahl = 500 kg/qcm „ = „ „ „ „ Schweißeisen = 400    „ „ = „ „ „ „ Gußeisen = 250    „1)Diese Werte sind aus Luegers Lexikon entnommen. „ = „ „ „ „ Eichenholz = 60    „1)Diese Werte sind aus Luegers Lexikon entnommen.

Die Tabelle (Fig. 1) ist für den Fall Mb < Md zusammengestellt. In diesem Falle ist $$W=\frac{M_i}{k}=\frac{5}{8k}(M_b+M_d).$$ Dieser Ausdruck stellt die Gleichung einer durch den Koordinatenpol gehenden Geraden dar. In der Tabelle (Fig. 1) sind vier Geraden, entsprechend der angegebenen Materialspannungen, gezogen. Auf der X-Achse ist die Summe aus Biegungsmoment und Drehmoment (Mb + Md) in t aufgetragen. Die Ordinaten der Geraden drücken unmittelbar die gesuchten Werte von W für die gegebenen Summen (Mb + Md), als Abszissen, aus. Nach gefundenem Wert von W entnimmt man aus den verfügbaren Zahlentafeln den entsprechenden Wert von d, oder ermittelt d aus der Formel: $$W=\frac{\pi }{32}{d}^3.$$ In der Tabelle (Fig. 1) reicht die Summe Mb + Md bis zu 30000 kgcm, für größere Summen benutze man die Proportionalität zwischen derselben und W. Wenn W1 zum Beispiel für eine Summe Mb + Md = 1800000 kgcm zu ermitteln ist, so ist zuerst aus der Tabelle W für (Mb + Md) = 18000 zu entnehmen und das Ergebnis dann mit 100 zu multiplizieren (W = 22,5 . 100). Die Tabelle (Fig. 2) ist für den Fall Mb > Md zusammengestellt. $$W=\frac{M_i}{k};M_i=M_b+\frac{1}{4}{M}_d,$$ $$W=\frac{M_b}{k}+\frac{1}{4k}{M}_d=W_1+W_2,$$ wo $$W_1=\frac{M_b}{k};W_2=\frac{1}{4k}{M}_d.$$ Aus Tabelle (Fig. 2) sind die Werte W1 für die Biegungsmomente Mb nach den Ordinaten oberhalb der Abszissenachse zu entnehmen; die W2 für die Drehmomente Md ermitteln sich direkt nach den Ordinaten unterhalb der X-Achse.

Fig. 2. Bestimmung auf Biegung und Drehung beanspruchter Querschnitte. 2) Mb > Md

Das gesuchte Widerstandsmoment W ist dann W= W1 + W2. Beispiel 1. Eine Stahl welle wird durch ein drehendes Moment Md = 30000 kgcm und gleichzeitig durch ein biegendes Moment Mb = 24000 kgcm beansprucht. Wie groß ist der auszuführende Durchmesser bei zulässiger Spannung k = 500 kg/qcm? Aus der Tabelle (Fig. 1) (Mb < Md). Mb + Md = 54000 kgcm. Für die Summe (Mb + Md) = 5400 = 5,4 tcm (als Abszisse), erhält man die Ordinate W= 6,5 cm3. Für die gegebene Summe (Mb + Md) =10 . 5400 ist W = 10 . 6,5 = 65 cm3 und d = ∾ 8,8 cm. Durch Berechnung: $$d^3=\frac{4}{\pi .k}(3M_b+5\sqrt{{M_b}^2+{M_d}^2})$$ $$d^3=\frac{4}{3,14.500}(3.24000+5\sqrt{{24000}^2+{30000}^2})$$ d = ∾ 8,8 cm = derselbe Wert. Beispiel 2. Gegeben: Mb = 500000 kgcm; Md = 300000 kgcm, k = 500 kg/qcm; gesucht d. Aus der Tabelle (Fig. 2) (Mb > Md). W1 = 10 . 100 = 1000 cm3 (für Mb = 100 . 5000), W2 = 0,3 . 100 = 30 cm3 (für Md = 100 . 3000), W = 1030 cm3 (W1 + W2); d = 220 mm         (mit W= 1045 cm3). Durch Berechnung: $$d^3=\frac{4}{3,14.500}(3.500000+5\sqrt{{500000}^2+{300000}^2})$$ d = 224 mm.