Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen. Von Dipl.-Ing. Martin Pape, Berlin. (Fortsetzung von S. 173 d. Bd.) Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen. Zweiter Abschnitt.Die Fahrwiderstände nach Erreichung der größten Schräglage des Kranes. Einfluß der Antriebswelle. Im ersten Abschnitt sind die Fahrwiderstände für den Fall ermittelt worden, daß der Kran die größte Schräglage, die durch Gleichung 3 bestimmt war, noch nicht erreicht hat. Dementsprechend war die Fahrbühne bisher nur durch einen einzigen Spurkranzpunkt geführt. Beim Fahren wird aber eine Vergrößerung des Schrägstellungswinkels α1 des Kranwagens eintreten können; und zwar hauptsächlich durch die Ungleichheit der Laufraddurchmesser und durch die Verdrehung der Antriebswelle. Der Einfluß der Antriebswelle läßt sich in folgender Weise beurteilen. Fast in allen Fällen erfolgt der Antrieb von der Kranmitte aus. Da der Verdrehungswinkel eines Wellenendes seinem Drehmoment verhältnisgleich ist, so müssen in dem Maße, wie die Reibungsmomente der beiden Kranseiten verschieden sind, auch die Verdrehungswinkel der beiden Wellenenden verschieden sein. Die mehrbelastete Kranseite wird bei Beginn der Fahrt zurückbleiben. Wie groß die hierdurch erzeugte Schräglage für den Beharrungszustand wird, zeigt der folgende kleine Ueberschlag. Bei dem auf Seite 173 berechneten Kran tritt der größte Unterschied im Reibungsmoment der beiden Kranseiten auf, wenn die Katze sich in ihrer äußersten Stellung links, d. i. in Nähe der geführten Räder befindet. In diesem Falle wird das Reibungsmoment der geführten Kranseite nach Gleichung 15 und 16: $$\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2=20000$$cm/kg und das der nicht geführten Kranseite nach Gleichung 17 und 18: $$\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4=3980$$cm/kg. Bei einem Durchmesser der Antriebswelle von 65 mm wird die verhältnismäßige Drehung für das linke Wellenende δ1 = 0,0001375 cm, für das rechte Wellenende δr = 0,00002736 cm. Da jedes Wellenende eine Länge von $$\frac{s}{2}=750$$ cm hat. so wird mit R = 30 cm die auf den Radumfang bezogene Verdrehungsstrecke: für das linke Rad:     Δl = 0,0001375 . 750 . 30 = 3,09 cm, für das rechte Rad:     Δr = 0,00002736 . 750 . 30 = 0,62 cm. Es wird hierdurch der Kran um den Winkel λ schräg gestellt, und zwar ergibt sich: $$\text{tg}\lambda =\frac{{\mathrm{\Delta }}_l-{\mathrm{\Delta }}_r}{s}=\frac{3,09-0,62}{1500}=\frac{1}{606}.$$ Die Untersuchung zeigt, daß durch das elastische Verhalten der Welle allein die größte Schräglage wohl selten herbeigeführt wird. Hingegen ist die ungleiche Abnutzung der Räder, die häufig durch überwiegend einseitige Belastung des Kranes entsteht, von erheblich größerer Bedeutung. Die Kranbauanstalten bemessen die Dicke des Laufkranzes unter Berücksichtigung der Abnutzung, welche nach längerer Betriebszeit mitunter 10 mm im Durchmesser beträgt. Es müßte Zufall sein, wenn eine solche Abnutzung bei beiden Rädern gleichmäßig vor sich geht. Schon durch sehr geringe Unterschiede im Durchmesser der Antriebsräder, etwa 0,5 mm, kann die größte Schräglage herbeigeführt werden. Von dem Verfasser wurden solche Unterschiede bis zu 2 mm beobachtet.5)Diesbezügliche Messungen wurden von dem Verfasser bei einer Reihe von Kranen vorgenommen, die sich sämtlich bei der Hannoverschen Maschinenbau-A.-G. vormals Georg Egestorff in Betrieb befanden. Bei längeren Fahrbahnen wird daher des öfteren eine gewisse Strecke in der größten Schräglage, gekennzeichnet durch das Anliegen zweier, auf verschiedener Seite der Führung gelegener Spurkranzpunkte, durchlaufen werden. Nur bei kurzen Fahrbahnen ist es zu erwarten, daß diese größte Schräglage nicht erreicht wird. Das Ziel der folgenden Untersuchung soll daher sein, die Arbeitsverluste zu ermitteln, welche nach Erreichung der größten Schräglage auftreten. Dabei führt es zu verschiedenen Ergebnissen, je nachdem, ob das geführte Antriebsrad größer ist als das nicht geführte Antriebsrad oder umgekehrt. Die folgenden Ermittlungen sind daher in zwei entsprechende Teile zergliedert worden. A. Der Durchmesser des geführten Antriebsrades ist größer als der des nicht geführten Rades. Auch hier soll der besseren Anschaulichkeit wegen zunächst die Untersuchung für eine bestimmte Bauart durchgeführt werden. Vergleiche Seite 149 und Fig. 13. Zur Vereinfachung sind ferner die Räder direkt auf der Antriebswelle befestigt gedacht, da das Vorhandensein einer Uebersetzung zwischen Rad und Antriebswelle die aufzustellenden Gesetze nicht beeinflußt. Es bezeichne: $$\text{frakfamily}{M}_1$$ das Reibungsmoment des Rades 1, welches bis zur Erreichung der größten Schräglage vorhanden ist, $$\text{frakfamily}{M}_2$$ das Reibungsmoment des Rades 2, $$\text{frakfamily}{M}_3$$ das Reibungsmoment des Rades 3, $$\text{frakfamily}{M}_4$$ das Reibungsmoment des Rades 4, Rg den Halbmesser des geführten Antriebsrades 1, ωg die zugehörige Winkelgeschwindigkeit, δg, die verhältnismäßige Drehung des linken Wellenendes, welche $$\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2$$ entspricht, Rn den Halbmesser des nicht geführten Rades 4, ωn die zugehörige Winkelgeschwindigkeit, δn die verhältnismäßige Drehung des rechten Wellenendes, welche $$\text{frakfamily}M{t}_3+\text{frakfamily}{M}_4$$ entspricht, α1 max den Winkel der größten Schräglage des Kranes. Hat der Kranwagen die gleichförmige Geschwindigkeit V, so werden mit Erreichung von α1 max beide Antriebsräder 1 und 4 gezwungen, mit der gleichen Umfangsgeschwindigkeit V vorwärts zu rollen, so lange die Räder in der Fahrtrichtung nicht gleiten. Daraus folgt: V = Rg – ωg = Rn . ωn. Unter der Voraussetzung Rg > Rn wird ωn > ωg.

Fig. 18.

Herrschte vorher in dem linken Wellenende die verhältnismäßige Drehung δg, in dem rechten δn, entsprechend den dort angreifenden Momenten $$\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2$$ und $$\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4,$$ so muß jetzt durch die größere Winkelgeschwindigkeit des nicht geführten rechten Antriebsrades die verhältnismäßige Drehung δn des rechten Wellenstranges allmählich verkleinert werden, und zwar um so schneller, je größer die Differenz ωn – ωg ist. Es tritt somit eine zusätzliche Verdrehung der gesamten Welle ein, wozu am rechten Ende derselben ein vorwärtsdrehendes, am linken Ende ein gleich großes, rückwärtsdrehendes Moment, es möge $$\text{frakfamily}{M}_v$$ genannt werden, nötig ist. $$\text{frakfamily}{M}_v$$ wird zunächst mit der Vorwärtsbewegung gleichmäßig anwachsen. Bezeichnet man die dem jeweiligen Moment $$\text{frakfamily}{M}_v$$ entsprechende, verhältnismäßige Drehung mit δv, so nimmt die Verdrehung des rechten Wellenendes auf δn – δv ab, während sie für den linken Wellenstrang auf δg + δv anwächst, sofern die Reibungsmoment der Räder sich nicht geändert haben. Das von der Welle gelieferte Antriebsmoment des nicht geführten Rades (rechts) nimmt nach eintretender Verdrehung der Welle entsprechend dem jeweiligen Verdrehungswinkel δn – δv ab auf $$\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4-\text{frakfamily}{M}_v.$$ Soll das Rad sich weiter mit der Geschwindigkeit V vorwärts bewegen, so ist dies nur möglich, wenn auf das Rad ein zusätzliches Antriebskräftepaar $$\text{frakfamily}{M}_v=W_a.R$$ wie in Fig. 18 dargestellt, wirkt. In den Fig. 18, 21, 22 und 23 sind die von der Welle auf das Rad übertragenen Momente außerhalb des Radkreises, das Reibungsmoment $$\text{frakfamily}{M}_4$$ innerhalb des Radkreises eingetragen. Ferner bezeichnet $$W_3=\frac{\text{frakfamily}{M}_3}{R}$$ und $$W_4=\frac{\text{frakfamily}{M}_4}{R}$$ den gesamten Widerstand des Rades 3 bezw. 4. Verfolgt man die Wirkung dieser Zusatzkräfte auf den Kranwagen (Fig. 19), so greift nach dem Gesetz der Wechselwirkung an der rechten Seite eine zurückhaltende Kraft Wa, an der linken Seite eine gleich große, vorwärts treibende Kraft, also am Kranwagen insgesamt ein rechtsdrehendes Kräftepaar Wa . s an. Die eigentliche Ursache des Kräftepaares Wa . s beruht in dem Anlaufen der linken Räder an einem zweiten Führungspunkt. Dadurch wird auf die beiden linken Räder an den Führungsstellen ein linksdrehendes Kräftepaar H . a, an ihren Naben das entsprechende rechtsdrehende und schließlich nach dem Wechselwirkungsgesetze durch die Nabenstirnen auf den Kranwagen das linksdrehende Paar H . a ausgeübt, welches von gleicher Größe mit Wa . s ist. Der Wagerechtdruck H ist unmittelbar abhängig von dem Moment $$\text{frakfamily}{M}_v.$$ Es ist: $$H=\frac{\text{frakfamily}{M}_v}{R}.\frac{s}{a}$$ oder mit $$\frac{l}{R}.\frac{s}{a}=c_1$$ $$H=c_1\text{frakfamily}{M}_v$$ . . . . . 27)

Fig. 19.

Die Kräfte H, welche demnach mit $$\text{frakfamily}{M}_v$$ verhältnisgleich sind, gelangen sowohl an der Nabenstirn wie am Spurkranz der geführten Räder (Fig. 20) zur Wirkung und erzeugen ein zu den früheren Momenten zusätzliches Reibungsmoment $$\text{frakfamily}{M}_z.$$ Infolge der Reibung am Spurkranz erhält man zu dem Moment $$\text{frakfamily}{M}_z$$ den Beitrag 2 μ1 H . h und infolge der Reibung an der Nabenstirn außerdem 2 μ2 H . rm, also insgesamt: $$\text{frakfamily}{M}_z=2H({\mu }_2{r}_m+{\mu }_{1}h)$$ . . . 28) Zu den Verlustmomenten der Gleichungen 15 bis 18 bezw. 21 bis 24 hat man noch $$\text{frakfamily}{M}_z$$ hinzuzufügen und erhält dann als gesamtes Fahrwiderstandsmoment für den ungünstigsten Kräftezustand (Fig. 14) $$\text{frakfamily}{M}_m=\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2+\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4+\text{frakfamily}{M}_z$$ und für den günstigsten Kräftezustand (Fig. 15) $$\text{frakfamily}{M^{\prime }}_m=\text{frakfamily}{M^{\prime }}_1+\text{frakfamily}{M^{\prime }}_2+\text{frakfamily}{M^{\prime }}_3+\text{frakfamily}{M^{\prime }}_4+\text{frakfamily}{M^{\prime }}_z$$ In Fig. 20 sind, abgesehen von den lotrechten Raddrücken, sämtliche Reibungskräfte für den ungünstigsten Fall eingetragen. Die linksseitigen, geführten Räder sind mit doppelten Spurkränzen zu denken; der besseren Darstellung wegen ist jedoch nur derjenige Spurkranz gezeichnet, durch welchen Kräfte auf die Räder übertragen werden, d.h. beim vorderen Rade der äußere und beim hinteren Rade der innere Spurkranz. Es könnte vielleicht aufgefallen sein, daß der zusätzliche, wagerechte Achsdruck Wa der Fig. 18 in der Schlußgleichung nicht durch ein besonderes Glied, welches die dadurch bedingte zusätzliche Lagerreibung enthält, berücksichtigt ist. Würde man das Moment zugleich in das durch die lotrechte Last erzeugte einbeziehen, so würde man finden, daß letzteres praktisch keine Aenderung erfährt. Man kann daher von diesem Einfluß der Kraft Wa absehen. Das im vorhergehenden ermittelte gesamte Reibungsmoment $$\text{frakfamily}{M}_m$$ bezw. $$\text{frakfamily}{M^{\prime }}_m$$ hat keinen konstanten Wert, denn es enthält im letzten Gliede $$\text{frakfamily}{M}_z$$ einen veränderlichen Ausdruck, der nach den früheren Darlegungen während der Fahrt zunimmt. Das Anwachsen wird bis zu dem Zeitpunkt ungestört vor sich gehen können, als an der Berührungsstelle zwischen Rad und Schiene der Grenzwert der ruhenden Reibung nicht überschritten wird. In dem Augenblick jedoch, wo dieser Grenzwert erreicht ist, beginnt das Rad an der Berührungstelle im Sinne des zugleich mit Wa . R anwachsenden Kräftepaares $$\text{frakfamily}{M}_v$$ zu gleiten.

Fig. 20.

Es ist Aufgabe des folgenden, das Gesetz, nach welchem $$\text{frakfamily}{M}_v$$ anwächst und seinen Grenzwert Mv zu bestimmen. Die Ermittlung läßt sich für den ungünstigsten und günstigsten Kräftezustand gemeinsam durchführen. Der leichteren Darstellung wegen soll vorerst die nicht geführte Kranseite, d.h. das Räderpaar 3 und 4 allein betrachtet werden. Bis zur Erreichung der größten Schräglage der Fahrbühne erhält das Rad 4 (Fig. 21)6)In den Fig. 21, 22, 23, 25 und 27 sind R und $$\text{frakfamily}R$$ gleichbedeutend. ein Antriebsmoment $$\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4.$$

Fig. 21.

Ist der auf das Rad 4 wirkende Raddruck Q4, so muß für den Beharrungszustand $$Q_4{\mu }_1>W_3+\frac{Q_{4}f}{R}+\frac{Q_4{\mu }_1}{200}$$ sein, damit kein Gleiten des Rades stattfindet. Hierin stellt $$\frac{Q_{4}f}{R}$$ den Rollwiderstand und $$\frac{Q_4{\mu }_1}{200}$$ den auf die Längsrichtung bezogenen Quergleitungswiderstand dar. Der übrige, bedeutend größere Teil des Antriebsmomentes $$\text{frakfamily}{M}_4,$$ d. i. $$\text{frakfamily}{M}_4-Q_4(f+\frac{{\mu }_{1}R}{200})$$ wird durch die eigene Naben- und Zapfenreibung aufgezehrt, ehe er zur Kraftäußerung zwischen Rad und Schiene gelangen kann. Mit eintretender Verdrehung der Welle ändern sich die Antriebskräfte entsprechend der Fig. 23, indem hinzuzufügen ist: vorwärtsdrehend Wa . R, rückwärtsdrehend $$\text{frakfamily}{M}_v.$$ Das Antriebsmoment der Welle nimmt also ab auf $$\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4-\text{frakfamily}{M}_v.$$ Ist das Verdrehungsmoment bis auf $$\text{frakfamily}{M}_v=\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4$$ angewachsen, so wird das treibende Moment und ebenso der Verdrehungswinkel δ des rechten Wellenstranges gleich null, d.h. es wird durch letzteren vom Motor aus kein Moment auf das nicht geführte Antriebsrad übertragen. In diesem Augenblick ist der Achsdruck auf $$W_a=\frac{\text{frakfamily}{M}_v}{R}=W_3+W_4$$ angewachsen. Für δ = 0 wirken somit auf das Rad 4 die in Fig. 22 angegebenen Kräfte. Während anfänglich nur vorwärts gerichtete Kräfte an der Berührungsstelle A des Rades 4 vorhanden waren, wirkt jetzt noch rückwärts W3 + W4. Da $$W_4=\frac{Q_4}{R}[\mu r+f+{\mu }_1{\mu }_2{r}_m+\frac{{\mu }_{1}R}{200}]$$

Fig. 22.

ist, so ist die gesamte Kraft im Punke A jetzt rückwärts gerichtet. Ueberhaupt zeigt sich, daß die Kraft im Punkte A von ihrem Anfangswert in der Vorwärtsrichtung infolge von $$\text{frakfamily}{M}_v=\frac{W_a}{R}$$ sich allmählich verringert, den Wert 0 annimmt und nun in der Rückwärtsrichtung anwächst, bis sie ihren größten Wert erreicht, der durch den oben genannten Grenzwert der ruhenden Reibung gekennzeichnet ist. Für diesen letzten Zustand ergibt sich aus Fig. 23 $$\frac{\text{frakfamily}{M}_v}{R}-W_3-\frac{Q_{4}f}{R}-\frac{Q_4{\mu }_1}{200}=Q_4{\mu }_1$$ und hieraus der Grenzwert von $$\text{frakfamily}{M}_v$$ $$M_v=Q_4{\mu }_{1}R+\text{frakfamily}{M}_3+Q_4(f+\frac{{\mu }_{1}R}{200})$$ 29) Der Einfluß des Klammerwertes auf $$\text{frakfamily}{M}_v$$ ist ein sehr geringer. Setzt man die Zahlenwerte des früheren Beispieles ein, so ergibt sich der Klammerwert zu nur 1,2 v. H. der beiden anderen Summanden. Um die Rechnung zu vereinfachen, wird daher für die folgenden Entwicklungen der Einfluß des Rollwiderstandes und der Quergleitung des Antriebsrades auf den Grenzwert $$\text{frakfamily}{M}_v$$ außer acht gelassen, so daß die Gleichung die Form annimmt:

$$\text{frakfamily}{M}_v=Q_4{\mu }_{1}R+\text{frakfamily}{M}_3$$ wenn das nicht ge-führte Rad gleitet 30)

Fig. 23.

Ist das Verdrehungsmoment auf den berechneten Grenzwert Mv angewachsen, so wird die Verdrehung der Welle infolge des Gleitens nicht mehr zunehmen. Die Winkelgeschwindigkeit des Rades 4 war bis jetzt größer als die des Rades 1; von nun nicht mehr. In ähnlicher Weise ist jetzt auch für die geführte Kranseite (links) der Grenzwert Mv des veränderlichen Verdrehungsmomentes zu ermitteln, bei welchem das geführte Antriebsrad gleiten muß. Maßgebend ist derjenige der Werte Mv links und rechts, welcher zuerst erreicht wird. Die Verhältnisse ändern sich an der geführten Seite nur insofern, als infolge der Kräfte H an den Nabenstirnen und an den Spurkränzen zusätzliche Reibungen auftreten, welche an jedem der Räder ein Moment $$\frac{\text{frakfamily}{M}_z}{2}$$ zur Ueberwindung erfordern. Natürlich hat das Verdrehungsmoment $$\text{frakfamily}{M}_v$$ und das dadurch bedingte Kräftepaar Wa . R entgegengesetzten Sinn; desgleichen das Moment der Reibung zwischen Rad und Schiene. Man erhält daher: $$-M_v=-Q_1{\mu }_{1}R+\text{frakfamily}{M}_2+\frac{M_z}{2}$$ oder $$M_v=Q_1{\mu }_{1}R-\text{frakfamily}{M}_2-\frac{M_z}{2}.$$ Ersetzt man hierin das noch unbekannte $$\frac{M_z}{2}$$ durch den früher (Gleichung 28) gefundenen Wert und H nach Gleichung 27 durch c1 Mv, so ergibt sich: $$M_v=\frac{Q_1{\mu }_{1}R-\text{frakfamily}{M}_2}{1+c_1({\mu }_2{r}_m+{\mu }_{1}h)}$$ Mit $$c_2=\frac{1}{1+c_1({\mu }_2{r}_m+{\mu }_{1}h)}$$ wird: $$M_v=c_2[Q_1{\mu }_{1}R-\text{frakfamily}{M}_2]\}\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{wenn das geführte}}{\text{Rad gleitet}}31)$$ Man hat ferner die Grenzwerte:

$$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ wenn dasnicht ge-führte Radgleitet 32)33) $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ wenn dasgefürte Radgleitet 34)35)

Da beide Grenzwerte Mv für den gleichen Kran nur von den Raddrücken Q4 und Q1 abhängen, so ist ersichtlich, daß die Stellung der Katze dafür ausschlaggebend st, ob die nicht geführte oder die geführte Seite durch Gleiten des zugehörigen Antriebsrades dem weiteren Anwachsen der Wellenverdrehung vorbeugt. Es ist klar, daß es eine bestimmte Stellung der Katze geben wird, wo gleichzeitig geführtes und nicht geführtes Antriebsrad gleiten. In diesem Falle muß sowohl Gleichung 30 wie 31 erfüllt sein; ihre Gleichsetzung liefert ein Verhältnis $$\frac{Q_1}{Q_4},$$ durch welches die fragliche Katzenstellung gefunden werden kann. Dann gilt: $$Q_4{\mu }_{1}R+\text{frakfamily}{M}_3=c_2[Q_1{\mu }_{1}R-\text{frakfamily}{M}_2].$$ Daraus erhält man unter Benutzung der früheren Gleichungen $$\frac{Q_1+Q_2}{Q_3+Q_4}=\frac{2Q_1}{2Q_4}=\frac{{\mu }_{1}R+\mu r+f+{\mu }_1{\mu }_2{r}_m+\frac{{\mu }_{1}R}{200}+2c_2{\mu }_1({\mu }_2{r}_m+{\mu }_{1}h)}{c_2({\mu }_{1}R-\mu r+f+{\mu }_1{\mu }_2{r}_m+\frac{{\mu }_{1}R}{200}+2{{\mu }_1}^{2}h)}$$ 36) Um das während der Kranfahrt in der größten Schräglage aufzuwendende Motormoment zu bestimmen, betrachtet man am besten die auf die Antriebswelle ausgeübten Momente.

Fig. 24.

In Fig. 24 sei bei a die geführte Seite, bei b der Motorangriff und bei c die nicht geführte Seite. Die entsprechenden Drehmomente sind in die Figur eingetragen. Der Einfachheit halber ist eine Uebersetzung zwischen Rädern, Welle und Motoranker als nicht vorhanden gedacht und ebenso der Einfluß der Lagerreibung in den Traglagern der Welle außer acht gelassen. Die Gleichgewichtsbedingung liefert: $$\text{frakfamily}{M}_{\text{motor}}=\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2+\text{frakfamily}{M}_z+\text{frakfamily}{M}_v-\text{frakfamily}{M}_v+\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4$$ oder $$\text{frakfamily}{M}_{\text{motor}}=\text{frakfamily}{M}_1+\text{frakfamily}{M}_2+\text{frakfamily}{M}_3+\text{frakfamily}{M}_4+\text{frakfamily}{M}_z$$; daraus ergibt sich ohne weiteres der Grenzwert: Mmotor = $$\text{frakfamily}{M}_1$$ + $$\text{frakfamily}{M}_2$$ + $$\text{frakfamily}{M}_3$$ + $$\text{frakfamily}{M}_4$$ + $$\text{frakfamily}{M}_z$$ 37) (Fortsetzung folgt.)