Titel: | Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. |
Autor: | J. Magg |
Fundstelle: | Band 325, Jahrgang 1910, S. 121 |
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Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei
direkt wirkenden Regulatoren.
Von Dr.-Ing. J. Magg,
Graz.
(Fortsetzung von S. 107 d. Bd.)
Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden
Regulatoren.
Das periodische Festhalten.
Es ist eine Eigentümlichkeit gewisser Steuerungsmechanismen, dem Regulator nur eine
absatzweise Verstellung zu ermöglichen, in dem zu gewissen Zeitpunkten die Kräfte,
die zu einer Verstellung nötig wären, so groß sind, daß sie der Regulator nicht
erzeugen kann; er wird dann in diesen Zeitpunkten festgehalten. So ist es z.B. dem
Regulator, der auf den Expansionsschieber einer Ridersteuerung einwirkt, während des Momentes, wo sich der Expansionsschieber
in relativer Ruhe zum Grundschieber befindet, nicht möglich, jenen zu verstellen, da
er in diesem Augenblicke die gesamte Reibung zu überwinden hätte, während bei einer
Bewegung der beiden Schieber gegeneinander nur die Reibungskomponente vom Regulator
zu überwinden ist, die sich einer Verdrehung des Schiebers widersetzt; diese macht
aber nur einen kleinen Bruchteil der Gesamtreibung aus, da das Verhältnis der
Verdrehungs- zur Verschiebungsgeschwindigkeit in der Regel nur klein ist.s. auch: Isaachsen: Die Bedingungen für eine gute Regulierung, Berlin
1899.. Tatsächlich regulieren nun aber solche Maschinen, bei
denen ein solches „periodisches Festhalten“ des Regulators eintritt, bei
richtiger Ausführung meistens vortrefflich, so zwar, daß z.B. bei Maschinen mit Riedersteuerung von der Anwendung einer Oelbremse in
der Regel abgesehen werden kann. Auch einige Arten von Ventilsteuerungen, besonders
die sogenannten zwangläufigen, haben die Eigenschaft, den Regulator in gewissen
Momenten festzuhalten; dasselbe ist bei manchen Ausführungsformen der Corlißsteuerung der Fall. Nachdem nun dieser günstige
Einfluß des periodischen Festhaltens erkannt war, ist man einigerorts auch dazu
übergegangen, dieses durch besondere Mechanismen ausführen zu lassen, allerdings
meistens bei indirekt wirkenden Regulatoren. Von diesen Ausführungsformen ist wohl
das Pfarrsche Hemmwerk am meisten bekannt
geworden.s. auch: Z. d. V. d.
I., Jahrg. 1896, S. 1008.
Um nun den Einfluß des periodischen Festhaltens auf den Verlauf des Reguliervorganges
zu zeigen, nehmen wir an, wir hätten ein Hemmwerk am Regulator angebracht, das diesem sich nur
zeitweise zu bewegen erlaube. Da dieser Einfluß die Gesetzmäßigkeit der Bewegung
aufhebt, ist eine allgemeine Behandlung nur in den Grundzügen möglich, während zur
Beurteilung des ganzen Vorganges die Durchrechnung eines speziellen Falles
herangezogen werden muß.
Textabbildung Bd. 325, S. 121
Fig. 4. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins = 0,20 Sek.: Dauer des
Festgehaltenseins = 0,116 Sek.
Textabbildung Bd. 325, S. 121
Fig. 5. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins = 0,10 Sek., Dauer des
Festgehaltenseins = 0,216 Sek.
Die zur allgemeinen Erörterung notwendigen Daten ergeben sich nach den früheren
Ausführungen wie folgt:
Während der Zeit des Festgehaltenseins des Regulators, die mit ϑ bezeichnet werde, verändert sich die
Maschinengeschwindigkeit um Δω, dem eine Verschiebung
des Motorpunktes um Δ hm entspreche. Ist nun xn der Abstand des Regulatorpunktes von der
anzustrebenden Beharrungslage, so ist die Winkelbeschleunigung der Maschine
\frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M_b}{J}=\frac{c_3\,x_n}{J}=c_2\,\frac{d\,h_m}{d\,t}
nach Gleichung (2) oder
d\,h_m=x_n\,\frac{c_3}{c_2\,J}\,d\,t=\frac{x_n}{T_d}\,d\,t.
Daraus ist dann für die Dauer ϑ des
Festgehaltenseins;
\Delta\,h_m=\int\limits_o^{\vartheta}\,d\,h_m=\frac{x_n}{T_d}\,\int\limts_o^{\vartheta}\,d\,t
\Delta\,h_m=x_n\,\frac{\vartheta}{T_d} . . . . .
. (33)
In dem Moment, wo sich der Regulator wieder zu bewegen anfängt, beginnen wir mit t = 0 die Zeit neu zu zählen. Die Beschleunigung, die
in diesem Momente auftritt und für die Integrationskonstanten bestimmend ist, ergibt
sich mit
b_p=\left(\frac{d^2\,x}{d\,t^2}\right)_{t=0}=-\frac{c_1}{m}\,(h_{mp}-h_p)
(34)
wobei hmp und hp die
Höhen von Motor- und Regulatorpunkt zu Beginn der Bewegungsperiode bezeichnen. Das
negative Vorzeichen rührt daher, daß die Beschleunigung bei hmp
– hp > 0 den
algebraischen Wert von x zu verkleinern trachtet und
umgekehrt.
Textabbildung Bd. 325, S. 121
Fig. 6. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins 0,15 Sek., Dauer des
Festgehaltenseins 0,166 Sek.
Die Werte der Integrationskonstanten erhalten wir, indem wir bp statt b1 in Gleichung (31) einsetzen. Unter Benutzung
dieser Konstanten bestimmen dann die Gleichungen (9), (10), (14) und (15) die
Bewegung während der einzelnen Perioden des Freiseins, da wir nunmehr vom Einfluß
der Unempfindlichkeit wieder absehen wollen, um die Wirkung des periodischen
Festhaltens klar erkennen zu können.
Zur Behandlung eines speziellen Falles werde angenommen, daß das Hemmwerk, das von
der Regulatorspindel mit n = 190 angetrieben werde und
eine Verstellung gestatte, derart, daß die Dauer des Festgehaltenseins variiert
werden könne. Die Berechnung wurde für drei Fälle durchgeführt und zwar unter
Zugrundelegung folgender Daten:
Fig. 4:
Dauer des Freiseins 0,20 Sek.
Dauer des Festgehaltenseins 0,116 Sek.
Fig. 5:
Dauer des Freiseins 0,10 Sek.
Dauer des Festgehaltenseins 0,216 Sek.
Fig. 6:
Dauer des Freiseins 0,15 Sek.
Dauer des Festgehaltenseins 0,166 Sek.
Einfluß der Oelbremse.
Die Wirkung einer Oelbremse ist das, was in der physikalischen Schwingungslehre eine
„Dämpfung“ im engeren Sinne des Wortes genannt wird, d.h. ein Widerstand, der sich mit der
Geschwindigkeit des schwingenden Systems so ändert, daß er mit steigender
Geschwindigkeit anwächst und mit abnehmender sinkt. Für die Größe dieses
Widerstandes genügt innerhalb des Bereichs der auftretenden Geschwindigkeiten die
Annahme, daß sich der Widerstand diesen proportional ändere. Wir setzen daher:
W=-b\,\frac{d\,h}{d\,t} . . . . . (35)
Gleichung (4) geht dann über in:
m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=P+W=c_1\,h_1-c_1\,h+\frac{c_1\,c_3}{c_2\,J}\,\int\limits_0^t\,(h_l-h)\,d\,t=b\,\frac{d\,h}{d\,t}
oder nach einigen Umformungen unter Benutzung der oben
verwendeten Bezeichnungen:
\frac{d^3\,x}{d\,t^3}+x\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}+\alpha\,\frac{d\,x}{d\,t}+\beta\,x=0
. . (36)
wobei
x=\frac{b}{m} gesetzt wurde (37)
Das allgemeine Integral von Gleichung (36) lautet
x=D_1\,e^{u_1\,t}+D_2\,e^{u_2\,t}+D_3\,e^{u_3\,t} . .
(38)
wobei D1, D2 und D3 die aus den
Anfangsbedingungen zu ermittelnden Integrationskonstanten sind. u1, u2 und u3 sind die Wurzeln der
Gleichung
u3+ x u2+ α u + ß = 0 . . . (39)
Wie man sich aus Gleichung (35) überzeugt, ist b > 0,
daher auch x > 0. Die drei Wurzeln der Gleichung (39)
können daher entweder alle reell und negativ oder nur eine reell und die beiden
anderen konjugiert komplex sein. Sind alle drei Wurzeln reell und negativ, so
entspricht dies einem aperiodischen Vorgang, die Muffe nähert sich der neuen
Behanungslage asymptotisch. Sind dagegen zwei Wurzeln konjugiert komplex, so stellt
Gleichung (38) einen Schwingungsvorgang dar, der entweder gedämpft oder ungedämpft
sein kann.
Der Uebergangsfall von den ungedämpften zu den gedämpften Schwingungen tritt offenbar
dann ein, wenn die Schwingungen gerade konstant bleiben, d.h. der von der
Sinusfunktion [s. Gleichung (9)] stehende Exponentialfaktor gleich einer konstanten
Größe wird. Dies ist dann der Fall, wenn der reelle Teil der komplexen Wurzeln aus
Gleichung (39) gleich Null wird. Wir haben daher als Wurzeln der Gleichung (39) zu
setzen:
u
1
= v, u
2
= + s i, u
3
= – s i.
Dann besteht bekanntlich die Beziehung
(u – v) (u – s i) (u + s i) = 0
oder ausgeführt:
ü2– u2v + u s2
– s2
v = 0,
demnach aus Gleichung (39)
x = – v,
α = s2, ß = – s2
v,
woraus sich als Bedingung für den Dämpfungskoeffizienten x die einfache Beziehung ergibt:
x=-v=-\frac{s^2\,v}{v}=\frac{\beta}{\alpha}
oder nach Gleichung (18)
x=\frac{1}{T\,d} . . . . (40)
D.h. Um überhaupt eine Dämpfung zu ermöglichen, muß der
durch Gleichung (37) definierte Dämpfungskoeffizient mindestens dem reziproken
Werte der Durchgangszeit der Maschine gleich sein.
Anders erledigt sich die Frage, ob und wann eine aperiodische Schwingungsdämpfung
möglich ist. Um sie zu beantworten, schreiben wir zuerst Gleichung (39) in folgender
Form an:
x=-u-\frac{\alpha\,u+\beta}{u^2} . . . .
(41)
Soll nun einem positiven Wert von x, der nach der
Definitionsgleichung allein in Betracht kommen kann, eine aperiodische Dämpfung
entsprechen, muß die Gleichung (41) drei reelle Werte der u ergeben. Die durch Gleichung (41) bestimmte Kurve hat folgende
Eigenschaften: für u = 0 ist x= – ∞, für u = w1 [s. Gleichung (10)] ist x = 0 (idealer Fall)]. Da der Teil
\frac{\alpha\,u+\beta}{u_2} für wachsendes u immer mehr abnimmt, ist x =
u eine Asymptote der Kurve, ebenso wie x = 0.
Je nachdem sich nun die Werte von α und ß zu einander verhalten, hat die Kurve in ihrem
negativen Ast noch ein Maximum und Minimum oder nicht. Wir bilden daher aus
Gleichung (41)
\frac{d\,x}{d\,u}=-1-\frac{u^2\,a-2\,u\,(\alpha\,u+\beta)}{u^4}
und setzen die gleich Null. Daraus ergibt sich:
u3– α u – 2 ß = 0 . . . .
(42)
Da nun, wie aus der Klarstellung der Lage der Kurvenasymptoten erhellt, ein Maximum
nur immer gleichzeitig mit einem Minimum auftreten kann, muß Gleichung(42) reelle
Wurzeln ergeben, d.h. ihre Diskriminante muß kleiner als Null sein. Wir können daher
als Bedingung für die aperiodische Dämpfung anschreiben:
\beta^2+\left(-\frac{\alpha}{3}\right)^2\,<\,0
oder
\beta^2\,<\,\frac{\alpha^3}{27}.
Auf diese Beziehung kommt auf anderem Wege auch Dr. Thimmler in „Fliehkraft und! Beharrungsregler“ Berlin
1903.
Da nun nach Gleichung (16) und (18)
\alpha=\frac{4\,\pi^2}{{T_r}^2} und
\beta=\frac{\alpha}{T_d},
so muß auch
\frac{a^2}{{T_d}^2}\,<\,\frac{\alpha^3}{27}
sein, oder
\frac{1}{{T_d}^2}\,<\,\frac{\alpha}{27},\
\frac{1}{{T_d}^2}\,<\,\frac{4\,\pi^2}{27}\,.\,\frac{1}{{T_r}^2}
oder endlich
T_r\,<\,\frac{2\,\pi}{\sqrt{27}}\,.\,T_d,
wofür wir angenähert setzen können
Tr.
< 1,2 Td . . . . . . (43)
D.h. also: Um überhaupt eine
aperiodische Dämpfung der Regulatorschwingungen zu ermöglichen, muß die
Eigenschwingungsdauer des Regulators kleiner sein als das 1,2fache der Durchgangszeit der Maschine.
Die Bewegung des Regulatorpunktes wird durch Gleichung (38) dargestellt, die sich für
den Fall, daß zwei Wurzeln der Gleichung (39) konjugiert komplex sind, in einer Form analog
Gleichung (9) anschreiben läßt. Die Integrationskonstanten ergeben sich, wenn wir
wie früher
\frac{d\,x}{d\,l} und
\frac{d^2\,x}{d\,t^2}
bilden und für
t=0\ x=x,\ \frac{d\,x}{d\,t}=0,\ \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=0
setzen.
Für den Fall der aperiodischen Dämpfung sind dann:
D_1=\frac{u_2\,u_3}{(u_1-u_2)\,(u_1-u_3)}\,x_1
D_2=\frac{u_3\,u_1}{(u_2-u_3)\,(u_2-u_1)}\,x_1
D_3=\frac{u_1\,u_2}{(u_3-u_1)\,(u_3-u_2)}\,x_1
(44)
Für den Fall der gedämpften oder ungedämpften Schwingungen ist, wenn wir u2,3 = r ± s i setzen:
D_1=\frac{r^2+s^2}{(u_1-r)+s^2}\,x_1
D_2=\frac{u_1\,(u_1-2\,r)}{(u_1-r)+s^2}\,x_1
D_3=\frac{s^2+r\,u_1-r^2}{(u_1-r)+s^2}\,.\,\frac{-u_1}{s}\,.\,\,x_1
(45)Für den Fall,
daß x = 0 wird u1 = – 2 r und die Gleichung (45) gehen in die
Form der Gleichung (12) (idealer Fall) über.
Die Gleichungen für die Bewegung des Motorpunktes erhalten wir endlich aus folgender
Ueberlegung:
Wir haben nunmehr zu setzen:
P+W=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=c_1\,(h_m-h)-b\,\frac{d\,h}{d\,t},
woraus sich dann unter Benutzung der früheren Gleichungen für
hm ergibt:
h_m=h_l-\left(\frac{1}{\alpha}\,.\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}+\frac{x}{\alpha}\,\frac{d\,x}{d\,t}+x\right)
. (46)
Setzen wir nun aus Gleichung (39) x und seine erste und zweite Abteilung in Gleichung (46) ein, so bekommen
wir für den Fall der aperiodischen Dämpfung:
h_m=h_l-(\frakfamily{B}_1\,e^{u_1\,t}+\frakfamily{B}_2\,e
{u_2\,t}+\frakfamily{B}_3\,e^{u_3\,t}) (47)
worin \frakfamily{B}_1,
\frakfamily{B}_2 und \frakfamily{B}_3 die
Bedeutung haben:
\frakfamily{B}_1=D_1\,\left(1+\frac{x\,u_1}{\alpha}+\frac{{u_1}^2}{\alpha}\right)
\frakfamily{B}_2=D_2\,\left(1+\frac{x\,u_2}{\alpha}+\frac{{u_2}^2}{\alpha}\right)
\frakfamily{B}_3=D_3\,\left(1+\frac{x\,u_3}{\alpha}+\frac{{u_3}^2}{\alpha}\right)
(48)
Für den Fall der Schwingungen bekommen wir:
h_m=h_l-[\frakfamily{B}_1\,e^{u_1\,t}+e^{r\,t}\,(\frakfamily{B}_2\mbox{
cos }st+\frakfamily{B}_3\mbox{ sin }st)] (49)
wobei nunmehr \frakfamily{B}_1,
\frakfamily{B}_2 und \frakfamily{B}_3 die
Bedeutung haben:
\left{{\frakfamily{B}_1=D_1\,\left(1+\frac{x\,u_1}{\alpha}+\frac{{u_1}^2}{\alpha}\right)\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
}\atop{\frakfamily{B}_2=D_2+\frac{x}{\alpha}\,(r\,D_2+s\,D_3)+\frac{1}{\alpha}\,[(r^2-s^2)\,D^2+2\,r\,s\,D_3]}}\right\}(50)
\left{{\frakfamily{B}_3=D_3+\frac{x}{a}\,(-s\,D_2+r\,D_3)}\atop{\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
+\frac{1}{\alpha}\,[(r^2-s^2)\,D_3-2\,r\,s\,D_2]}}\right\}(50)
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 7. x = 3. Noch nicht genügend gedämpfte
Schwingung.
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 8. x = 4,97. Konstante Schwingung.
(Kleinster zulässiger Dämpfungsfaktor.)
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 9. x = 7. Schwach gedämpfte
Schwingungen.
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 10. x = 10. Gedämpfte Schwingungen.
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 11. x = 15. Gedämpfte Schwingungen.
Textabbildung Bd. 325, S. 123
Fig. 12. x = 25. Zu stark angezogene
Oelbremse.
In unserm speziellen Fall ist
Tr = ⅔
sec und Td = 0,201 sec;
demnach ist nach Gleichung (43) eine aperiodische
Regulierbewegung nicht zu erreichen.
In Fig. 7 bis 12 sind
die Kurven der Bewegungen von Regulator- und Motorpunkt gezeichnet und zw. unter
folgenden Annahmen von x:
Fig. 7: x = 3.
x = 23,1 e–4,6055 t + e0,803 t (6,9 cos 9,734 t + 10,45 sin
9,784 t)
hm = 50 – [25 e–4,6055 t + e0,803 t (5,0 cos 9,784 t – 4,0 sin 9,784 t)].
Die Dämpfung ist in diesem Falle noch zu klein, die Regulatorschwingungen nehmen
zu.
Fig. 8: x=\frac{1}{0,201}=\frac{1}{T_d}=4,97
x = 23,5 e–4,97 t + 6,5 cos 9,43 t + 12,4 sin 9,43 t
hm =
50 – [23,5 e–4,97 t +
6,5 cos 9,43 t – 3,45 sin 9,43 t]
Der Wert von x entspricht
Gleichung (40); die Schwingungen bleiben konstant.
Fig. 9: x = 7.
x = 23,6 e–5,4987 t + e0,7507 (6,4 cos 8,954 t + 15,0 sin 8,954 t)
hm =
50 – [21,5 e–5,4987
t+ e0,7507 t
(8,5 cos 8,954 t – 2,8 sin 8,954 t]
Fig. 10: x =
10.
x = 22,6 e–6,6533 t + e–1,6734 t (7,4 cos 8,0 t + 20,4 sin 8,0 t)
hm =
50 – [17,0 e–6,6533 t
+ e–1,6734 t (13,0
cos 8,0 t – 2,1 sin 8,0 t)
Fig. 11: x = 15.
x = 13,2 e–10,04 t + e–2,23 t (16,8 cos 6,265 t + 27,2 sin 6,265 t)
hm =
50 – [6,6 e–10,04 t +
e–2,23 t (23,4
cos 6,265 t – 5,0 sin 6,265 t)]
Fig. 12: x = 25.
x = 1,42 e–21,858 t + e–1,571 t (28,58 cos 4,225 t + 17,4 sin 4,225
t)
hm =
50 – [0,25 e–21,858 t
+ e–1,571 t (29,75
cos 4,225 t – 23,1 sin 4,225 t)].
(Schluß folgt.)