Die Wärmeleitzahl von Gasen und überhitzten Dämpfen. Von Carl Fred. Holmboe, Kristiania. Die Wärmeleitzahl von Gasen und überhitzten Dämpfen. Nachdem ich im Juli 1909 meine vorläufige Untersuchungen über die Exponentialgleichung der Wärmeleitzahl als Funktion der Geschwindigkeit des Wärmeträgers oder Wärmenehmers abgeschlossen hatte,1)Die Arbeit ging uns Ende Juli 1909 zu. – s. D. p. J. 1909, Bd. 324, S. 803. habe ich bei einer weiteren Bearbeitung des Versuchsstoffes gefunden, daß die von mir aufgestellte Formel 42)s. D. p. J. 1909, S. 805. für die Wärmeleitzahl $$a_1=2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$ für Gase und überhitzten Dampf nur unter ganz bestimmten Verhältnissen, selbst unter Voraussetzung eines Druckes von 1 at (abs.), richtige Werte geben konnte. In oben erwähnter Arbeit habe ich schon den großen Einfluß des Druckes nachgewiesen, aber seinen gesetzmäßigen Verlauf wegen ungenügenden Versuchsmaterials nicht feststellen können. Eine einfache Ueberlegung zeigt jedoch, daß α, nur bei konstanter Temperatur als Funktion der Geschwindigkeit v und des Druckes P aufgetragen werden kann. Lösen wir die allgemeine Gasgleichung P . V= R . T für das spez. Gewicht $$\frac{1}{V}=\gamma$$ auf, so erhalten wir $$\gamma =\frac{P}{R.T},$$ worin P den Druck in kg/qm, T die absolute Temperatur und R die „Gaskonstante“ bedeutet. Es ist einleuchtend, daß die Wärmeleitzahl dem Drucke proportional, der absoluten Temperatur aber umgekehrt proportional sein muß. Mit anderen Worten: Die Wärmeleitzahl muß der Dichte des Gases proportional sein. Gehen wir von der allgemeinen Gleichung3)D. p. J. 1909, S. 804. α = K + σ vn aus, so können wir vorläufig σ = σ' γ n' setzen, worin σ' eine noch näher zu bestimmende Konstanten und n' den Exponenten von γ bedeutet. Die zuerst von Ser angegebenen Leitzahl der Ruhe K = 2 habe ich bei meiner ersten Gleichung auch für überhitzten Wasserdampf beibehalten. Meine weiteren Versuche im Oktober v. J. haben aber gezeigt, daß die Wärmeleitzahl der Ruhe keineswegs konstant, sondern eine in hohem Maße von dem Dampfzustande abhängige Variable ist. Für die Berechnung bequemer ist es deshalb, wenn man diesen Faktor, der von γ abhängig ist, in den Exponentialwert von γ aufnimmt, indem man α = σ' vn γn'' . . . . . 1) setzt. Theoretisch richtig ist diese Gleichung nicht, denn bei v = 0 wird nach derselben auch α = 0, während α bei v = 0 immerhin einen gewissen positiven Wert hat. Da die Vereinfachung aber für die Berechnung große Vorteile bietet, und der Fehler für Geschwindigkeiten über 3 m/Sek. ohne Bedeutung ist, so habe ich diese einfache Form beibehalten. Unter Beibehaltung des Funktionsausdruckes $$\sqrt[1,3]{v},$$ der, wie ich früher nachgewiesen habe, mit den Messungsresultaten ausgezeichnet übereinstimmt, läßt sich aus den Messungsresultaten und Gleichung 1 der Wert von σ' in Abhängigkeit von n'' bringen, aus welchen Funktion n'' berechnet werden kann. Eine solche Berechnung zeigt, daß α auch der $$\sqrt[1,3]{\gamma }$$ proportional ist. Gleichung 1 kann demnach auf folgender Form gebracht werden $$\alpha ={\sigma }^{\prime }\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$ . . . . . . 2) In Tab. 1 sind die in Fig. 3 in D. p. J., S. 805 graphisch dargestellten Werte zusammengestellt: Tabelle 1.

v inm/Sek. αge-messen γ α berechnet nachder Gleichung$$\alpha =2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$ Fehlerin v. H. MittlereDampf-tempe-ratur inC° $${\sigma }^{\prime }=\frac{\alpha }{\sqrt[1,3]{v.\gamma }}$$ 4 17,5 0,460 17,9 + 2,4 195 10,94   7,6 29,0 0,458 28,1 – 3,0 197 11,08   9,7 35,0 0,459 33,6 + 4,0 196 11,08 11,0 37,4 0,460 36,9 – 1,5 195 10,72 15,9 49,5 0,440 48,3 – 2,4 212 11,08 19,5 55,9 0,438   56,25 + 0,6 224 10,74

Aus diesen Versuchen ergibt sich der Ausdruck $$\alpha =10,92\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$ . . . . 3) Ein Vergleich dieser Gleichung mit den Tab. 2 und 3 in den früher erwähnten Aufsatz S. 805 läßt aber deutlich erkennen, daß dieselbe für die Wärmeleitzahl der Luft keine Gültigkeit haben kann. Auf diese Frage wird noch weiter unten zurückgekommen. Daß die Gleichung 3 auch für andere Drucke als der Atmosphärendruck Gültigkeit hat, zeigt die Zusammenstellung in nachstehender Tab. 2, in die sowohl die Werte der Kurve II, S. 805 als auch einige später bestimmte Werte von α bei verschiedenen Drücken und Temperaturen aufgenommen sind.

Fig. 1.

Tabelle 2.

v α MittlererDruck inkg/qcm(abs.) MittlereTemp.in C° γ α berechnet nachder Gleichung$$\alpha =10,92\sqrt{v.\gamma }$$ Fehlerin v. H.   3   34   3,20 194 1,49     34,6 + 1,7     5,5   49   3,04 206 1,32     50,3 + 2,5     7,5   62   2,90 215 1,28     62,2 + 0,2     9,3   71   2,85 217 1,25     72,2 + 3,0   11,9   86   2,90 220 1,27     88,0 + 2,2   13,3 125 3,9 208 1,75   122,5 – 2,0   17,1   139,5   3,87 210 1,72   141,2 + 1,1 22   171,0   3,90 210 1,73   179,0 + 4,5   23,9   193,0   3,89 212   1,725   190,0 – 1,5 27   265,0   4,85 212 2,18   250,0 – 5,5   29,6   271,0 5,0 215 2,23 274 + 1,0   32,5   277,0   5,03 213 2,25 295 + 3,0

Die durchweg gute Uebereinstimmung der Messungsresultate mit der Gleichung läßt sich darauf zurückführen, daß die Vorzahl 10,92 der Gleichung 3 strenggenommen nur für den Versuchsapparat Gültigkeit hat. Um die Anwendung der Gleichung zu verallgemeinern, muß noch ein sehr wichtiger Faktor, der Rohrdurchmesser in derselben zum Ausdruck kommen. Wir wissen, daß Luft und überhitzter Wasserdampf schlechte Wärmeleiter sind und muß deshalb der Wärmeübergang mit zunehmendem Rohrdurchmesser abnehmen. Wir müssen deshalb eine von dem Durchmesser abhängige Vorzahl x in Gleichung 3 einführen, indem wir schreiben $$\alpha =x.10,92\sqrt[1,3]{v.\gamma }.$$

Fig. 2.

Der Dampfdurchgangsquerschnitt des Versuchsapparates entsprach etwa 20 mm Rohrdurchmesser, also einer Größe, die z.B. beim Bau von Ueberhitzern sehr häufig zur Anwendung gelangt. Um die Aenderung der Vorzahl x mit dem Rohrdurchmesser zu untersuchen, wurden zwei Rohre um 50 und 100 mm 1. ⌀ mit Wassermänteln und Thermoterstutzen versehen nach Fig. 1 und die Versuche genau nach der früher mitgeteilten Methode ausgeführt. In Fig. 2 sind die gefundenen Werte der Vorzahl x als Funktion des Rohrdurchmessers eingetragen. Um auf die Wärmeleitzahl Wandung/Luft zurückzukommen, so ist es einleuchtend, daß auch hier die Dichte der Luft einzuführen ist. Trotzdem ich eingehende Laboratoriumsversuche mit Luft nicht angestellt habe, und meine Erfahrung auf diesem Gebiete sich nur auf Messungen an praktischen Heizkörpern beschränke, deuten dabei alle diese Messungen darauf hin, daß die allgemeine Gleichung der Wärmeleitzahl für Luft $$\alpha =2+5,5\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$ . . . . . 4) lauten muß. Daß ich mit meiner früheren Gleichung $$\alpha =2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$ so gute, mit der praktischen Messung übereinstimmende Werte erzielt habe, liegt zum Teil darin, daß die Lufttemperatur, mit der in der Praxis gearbeitet wird, meist 50–70° C beträgt, bei welchen Temperaturen γ ≌ 1 wird. Bei Heizkörpern nach Fig. 3, wo der in Bewegung befindliche Wärmeträger seine Wärme an die durch Rohre strömende Luft abgibt, scheint es, als ob der Rohrdurchmesser auf die resultierende Wärmeleitzahl berechnet nach Gleichung 4 einen geringen Einfluß hat, jedenfalls bei Durchmessern von 50–100 mm.

Fig. 3.

Indem ich mich auf die Tab. 2 und 3 in D. p. J. 1909, S. 805 und 806 beziehe, wäre es interessant, die hier nach der Gleichung $$\alpha =2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$ berechneten Werte mit denen, welche die richtige Gleichung 4 unter Fig. 3. Berücksichtigung der Dichte der Luft gibt zu vergleichen. In Tab. 3 sind die diesbezüglichen Werte zusammengestellt. Tabelle 3.

VersuchI VersuchII Stündliche Gasmenge in kg 43000 45000 Gasgeschwindigkeit in m/Sek.     5,5     5,6 α1 nach der Gleichung $$2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$   22,5   23,0 Spez. Gewicht der Verbrennungsgase in kg/m3 γ1       0,82       0,82 α1 nach der Gleichung $$2+5,5\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$   19,6   19,8 Gesamte Wärmeübergang i. d. Std. 256000 302000 Wärmeübergangszahl k i. d. Std. 1° C und      1 qm (nach der Messung)   12,6   14,1 Geschwindigkeit der Luft in m/Sek. bezogen      auf die mittlere Lufttemperatur       6,85   11,4 Spez. Gewicht der Luft γ3       1,16       1,19 Hieraus berechneten Wert von α3       1. Nach der Gleichung $$2+5,5\sqrt[1,3]{v}$$ 26 38       2. Nach der Gleichung $$2+5,5\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$ 29   43,3

Wegen der geringeren Dichte der Verbrennungsgase (γ1 > 1) wird α1 kleiner, wenn man den Einfluß der Dichte berücksichtigt. Gleichzeitig wird α3 größer, da hier die Dichte < 1 ist. Der Einfluß auf die resultierende Wärmeleitzahl k ist demnach in diesem Falle sehr gering. Es ist nämlich für Versuch 1, in dem wir die Werte der Gleichung $$2+5,5\sqrt[1,3]{v.\gamma }$$ zu Grunde legen: $$k=\frac{1}{\frac{1}{19,6}+\frac{1}{29}}=11,7$$ (statt gemessen 12,6) und für Versuch 2 $$k=\frac{1}{\frac{1}{19,8}+\frac{1}{43,3}}=13,7$$ (statt gemessen 14,1). Würden wir bei dieser Berechnung eine Verbesserung von 0,84 (für 80 m l. W. der Rohre nach Fig. 2) eingeführt haben, so würde das Resultat der Berechnung eine Abweichung von 20 v. H. von dem gemessenen Wert gezeigt haben. Da die Messung mit Präzisionsinstrumente sehr sorgfältig ausgeführt wurde, kann, selbst wenn man die Schwierigkeit der Luftgeschwindigkeitsmessung berücksichtigt, der Fehler bei der Messung höchstens 3 v. H. ausgemacht haben. Ich möchte noch eine Messung aus der Praxis anführen, da dieselbe mit einen Apparat ganz anderer Bauart, als in Fig. 3 schematisch dargestellt, ausgeführt wurde. Es handelt sich in diesem Falle um einen Vakuumlufterwärmer, und kann der Wärmeübertragungs-Koeffizient $$\frac{\text{Vakuumdampf}}{\text{Wandung}}$$ außer acht gelassen werden, da er jedenfalls größer als 15000 ist. In Tab. 4 sind die Messungsresultate usw. zusammengestellt und in Tab. 5 die hieraus berechneten Werte. Tabelle 4.

Größe der Heizfläche des Lufterwärmers in qm 500 Mittlere Dampftemperatur in denselben in C° + 52 Lufttemperatur vor dem Lufterwärmer in C° + 5° C Lufttemperatur hinter dem Lufterwärmer in C° + 45° C Luftmenge in kg/Std. 27500

Tabelle 5.

Luftgeschwindigkeit in m/Sek.   5,5 Mittlere Dichte der Luft     1,19 Gesamte Wärmeübertragung i. d. Std. in WE 260000 Wärmeübergangszahl k i. d Std. 1° C und 1 qm. 25,8 Wärmeübergangszahl berechnet nach der Gleichung $$\alpha =2+5,5\sqrt[1,3]{5,5.1,19}$$ 25,4

Im vorliegenden Falle wurde die Luft über den Rohren von etwa 75 mm 1. ⌀ geleitet, während der Dampf in denselben kondensierte.