Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Von Dipl.-Ing. A. Utard, Straßburg i.E. (Fortsetzung von S. 438 d. Bd.) Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit usw. III. Die Schwankungserscheinungen unter Berücksichtigung der Elastizität. 1. Kurze Entwicklung der Methode von Alliévi. a. Prinzip dieser Methode, ihr Ausgangspunkt und allgemeine Gleichungen. Alliévi faßt die Erscheinungen der Wasserträgheit von ganz anderer Seite an als Pfarr; er betrachtet dieselben als Schwingungsphänomena, zieht somit voll und ganz die Elastizität der Rohrwandungen und die Zusammendrückbarkeit des Wassers in Betracht. In dem Zuleitungsrohre, welches er horizontalliegend annimmt, denkt sich Alliévi die Wassersäule in Stückchen von der Länge dx zerschnitten. Entsteht nun aus irgend einem Grunde ein Druck an dem unteren Ende der Wassersäule, so kann derselbe in direkter Weise nur an dem zu unterst befindlichen Teil dx der Wassersäule seine Wirkung- ausüben. Dagegen greift derselbe an den weiter oben gelegenen Schichten nur indirekt durch Vermittlung der dazwischen liegenden Schichten an. Nun kann aber auf die Bewegung eines jeden Massenteilchens bloß dann eingewirkt werden (beschleunigend oder verzögernd), wenn ein Druckunterschied zwischen zwei gegenüberliegenden Begrenzungsflächen desselben besteht. Sobald also die ganze Wassersäule in ihrer Bewegung beeinflußt wird, muß sich ein Ueberdruck auf die ganze Länge dieser Säule irgendwie verteilen und zwar wird, wie leicht einzusehen, diese Verteilung linear vor sich gehen müssen, sobald eine gleichmäßige Beschleunigung aller Massenteilchen vor sich geht; aber nur in diesem ganz speziellen Falle. Es möge nun irgendeine Wasserscheibe einen Ueberdruck erhalten, d.h. es herrsche auf der einen Seite derselben noch der Druck H, während er auf der anderen Seite (H + dH) beträgt. Dieser Ueberdruck hat eine doppelte Wirkung zur Folge: Zunächst wird er infolge der Kompressibilität des Wassers und der Elastizität der Rohrwandungen das Stückchen von der Breite dx zusammendrücken; ferner wird er das Massenteilchen beschleunigen. Es muß somit bei diesen Erscheinungen von der Gleichung der Massenwirkung ausgegangen werden, jedoch nicht in ihrer gewöhnlichen einfachen Form d\,H=M\,\frac{dc}{dt}, sondern in einer solchen, welche den durch das ständige Abfließen des Wassers bedingten Einfluß in Rechnung zieht. Während nämlich der durch das Schließen der Leitschaufeln an der Mündungsstelle erzeugte Ueberdruck rohraufwärts weiterschreitet und nacheinander, die einzelnen Wasserscheiben dx der in solche zerlegt gedachten Wassersäule beschleunigt, bewegt sich die ganze Wassermasse mit der Geschwindigkeit c der Mündung zu. Es tritt somit während der Zeit dt ein Stück c . dt der Wassersäule in komprimiertem Zustande ins Freie und die auf deren Beschleunigung verwandte Kraft =\frac{c \cdot dt}{g} \cdot \frac{dc}{dt}=\frac{c \cdot dc}{g} ist wirkungslos für die Bewegung der Gesamtwassersäule. Die hier in Betracht kommende Gleichung der Massenwirkung lautet also: d\,H=\frac{dx}{g} \cdot \frac{dc}{dt}-\frac{c \cdot dc}{g} oder: \frac{g \cdot d\,H}{dx}=\frac{dc}{dt}-\frac{c \cdot dc}{dx} . . . . . (36) Dieser allgemeinen Differentialgleichung (36) stellt Alliévi eine zweite gegenüber, welche die Zusammenziehung einer Wasserscheibe dx um das Stück dc . dt infolge einer Druckverminderung dH berücksichtigt. Diese lautet: dc \cdot dt=d\,H \cdot \gamma \cdot dx\,\left[\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E} \cdot \frac{d}{e}\right] . . . (37a) oder: \frac{dc}{dx}=\gamma\,\left[\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E}\,\frac{d}{e}\right]\,\frac{d\,H}{dt} . . . . . (37) Hierin bedeutet: ε = . . . Kompressibilitätsmodul des Wassers, E = . . . Elastizitätsmodul des Rohrmaterials, d = . . . Durchmesser des Zuleitungsrohres, e = . . . Blechstärke des Zuleitungsrohres. Für den Faktor \gamma\,\left[\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E} \cdot \frac{d}{e}\right] welcher in Gl. (37) den kombinierten Einfluß der Kompressibilität des Wassers und der Elastizität der Rohrwandungen in Hinsicht auf die Zusammenziehung der Wasserscheibe dx zum Ausdruck bringt, schreibt Alliévi den Ausdruck \frac{1}{i^2} \cdot g. Es ist somit \frac{1}{i^2} identisch gesetzt mit \frac{1}{i^2}=\frac{\gamma}{g}\,\left[\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E} \cdot \frac{d}{e}\right] . . . . (39) die neue vereinfachte Schreibweise der Gleichungen (37a) und (37) lautet also: dc \cdot dt=\frac{g}{i^2}\,d\,H \cdot dx . . . . (38a) und ferner: \frac{dc}{dx}=\frac{g}{i^2} \cdot \frac{d\,H}{dt} . . . . . . . . . . (38) Aus der Verbindung dieser beiden Gleichungen (36) u. (38) lassen sich bereits eine Reihe wichtiger Erkenntnisse gewinnen. Man kann vor allem ersehen, daß ein Ueberdruck an einer beliebigen Stelle im Rohr mit einer gewissen Fortpflanzungsgeschwindigkeit fortschreitet, wie nachstehend entwickelt. Setze \frac{dc}{dx} aus Gl. (38) in Gl. (36) ein und erhalte: \frac{dc}{dt}=g \cdot \frac{dH}{dx}+c\,\frac{g}{i^2} \cdot \frac{dH}{dt}=g \cdot \frac{dH}{dx}\,\left(1+\frac{c}{i^2}\,\frac{dx}{dt}\right) . (40) Anderseits kann Gl. (36) auch geschrieben werden: \frac{dc}{dt}\,\left(1-c \cdot \frac{dt}{dx}\right)=g\,\frac{dH}{dx} oder: \frac{dc}{dt}=g \cdot \frac{dH}{dx} \cdot \frac{1}{1-c\,\frac{dt}{dx}} . . . (41) Durch Gleichsetzen von Gl. (41) mit obigem Ausdruck von \frac{dc}{dt} aus Gl. (40) erhält man: \frac{1}{1-c\,\frac{dt}{dx}}=1+\frac{c}{i^2}\,\frac{dx}{dt} oder 1=1+\frac{c}{i^2}\,\frac{dx}{dt}-c\,\frac{dt}{dx}-\frac{c^2}{i^2} somit ergibt sich: \frac{c}{i}=\frac{dx}{i \cdot dt}-i\,\frac{dt}{dx} . . . . . (42) Multipliziere mit dx . idt dx2 – cdt · dx – (idt)2 = 0 . . . (43) Die Wurzel dieser quadratischen Gleichung lautet: \begin{array}{rcl}dx&=&\frac{c \cdot dt\,\pm\,\sqrt{c^2\,dt^2+4\,i^2\,dt^2}}{2}\\ &=&\frac{c\,d\,t}{2}\,\left[1\,\pm\,\sqrt{1+4\,\left(\frac{i}{c}\right)^2}\right] \end{array}\ .\ .\ .\ (44) oder: \begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt}&=&\frac{c\,\pm\,\sqrt{c^2+4\,i^2}}{2}\\ &=&i\,\left(\frac{c}{2\,i}\,\pm\,\sqrt{\frac{c^2}{4\,i^2}+1}\right) \end{array}\ .\ .\ .\ .\ .\ (44a) Wäre c = 0, so würde sein nach Gl. (44a): dx=i \cdot dt oder: \frac{dx}{dt}=i\equiv\sqrt{\frac{g}{\gamma} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E} \cdot \frac{d}{e}}} (45) Dieser Ausdruck von i bedeutet also der Dimension I nach eine Geschwindigkeit und zwar ist i die sich durch die Elastizitäten ergebende Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Druckwelle in der ruhenden Wassersäule. Zahlenbeispiel. Die Größe von i wird für verschiedenene Fälle verschieden ausfallen, wie uns die j zur Errechnung von i dienende Gl. (39) sofort belehrt. Um welche Zahlenwerte es sich jedoch im Durchschnitt hier handelt, soll uns ein Zahlenbeispiel zeigen. Es möge das Gefälle H0 = 100 m betragen; somit beläuft sich der innere Druck P, dem die schweißeisernen Rohre ausgesetzt sind, bei geschlossenem Leitapparat auf 10 kg/qcm. Allgemein ist P=\gamma \cdot H_0=\frac{1}{10} \cdot H_0, wenn P in kg und H0 in Meter eingesetzt wird, somit ist \gamma=\frac{1}{10} zu setzen. Der Kompressibilitätsmodul des Wassers beträgt ε = 20700 kg/qcm und der Elastizitätsmodul für Schweißeisen sei gesetzt E = 2000000 kg/qcm. Somit geht Gl. (39) über in: \frac{1}{i^2}=\frac{1}{9,81 \cdot 10} \cdot \left[\frac{1}{20700}+\frac{1}{2000000} \cdot \frac{d}{e}\right] Die Blechstärke e ergibt sich nach der Gleichung: e=d \cdot \frac{P}{2 \cdot kz}=\frac{d \cdot H_0 \cdot \gamma}{2 \cdot kz}; setze kz = 500 kg/qcm Dann ist: \frac{d}{e}=\frac{2\,kz}{H_0 \cdot \gamma}=\frac{2 \cdot 500 \cdot 10}{H_0} Unter Berücksichtigung dieser Beziehung geht obige Gleichung über in: \begin{array}{rcl}\frac{1}{i^2}&=&\frac{1}{98,1}\,\left[\frac{1}{20700}+\frac{1}{200 \cdot H_0}\right]=\frac{1}{2030000}+\frac{1}{19620 \cdot H_0}\\ &=&0,000000489+\frac{0,000051}{H_0} \end{array} Für H0 = 100 m ist somit \frac{1}{i^2}=0,000000999 also i ≌ 1000 m Dadurch, daß Alliévi zur Ermittlung von \frac{1}{i^2} in Gl. (39) für die verschiedensten Fälle die Werte von ε, E, d und e einsetzt, ermittelt er einen Mittelwert gleich 1000 m/Sek. für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit i der Druckwelle. Dieser Wert gewährleistet für den Durchschnitt der im Betrieb befindlichen Leitungen eine genügende Annäherung. Ueberraschenderweise spielt für diese Fortschreitgeschwindigkeit i die Zusammendrückbarkeit des Wassers in vielen Fällen eine größere Rolle als die Elastizität der Wandungen. Da nun die gewöhnlichen Rohrgeschwindigkeiten c im Vergleich zur Größe i sehr klein sind, kann man allgemein in Gl. (44a) den Wert c gegenüber i vernachlässigen. Demnach ist dann die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines Ueberdruckes als konstant gleich i anzunehmen. Im letzten Ende kommt dies der Vernachlässigung des Gliedes c \cdot \frac{dc}{dx} in Gl. (36) gleich. Die Gl. (36 u. 38) lauten in dieser neuen Form: \frac{dc}{dt}=g \cdot \frac{dH}{dx} . . . . . (46) Weiter ist: \frac{dc}{dx}=\frac{g}{i^2} \cdot \frac{dH}{dt} . . . . . . . . . . (38) Durch Division von Gl. (46) durch Gl. (38) erhält man hierbei sofort \frac{dx}{dt}=i (vergl. Gl. (45)). Die beiden obigen Gleichungen lassen sich auch schreiben: \frac{dx}{dt}=g \cdot \frac{dH}{dc} und: \frac{dx}{dt}=\frac{i^2}{g} \cdot \frac{dc}{dH} Durch Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke für \frac{dx}{dt} erhält man: g \cdot \frac{dH}{dc}=\frac{i^2}{g} \cdot \frac{dc}{dH} oder: dH=\frac{i}{g} \cdot dc . . . . . . . . . . (47) Die Integration ergibt für die Grenzen c = ca und c = cb: H=H_0+\frac{i}{g}\,(c_a-c_b) . . . . . . . . . . (48) Bei völligem Schluß (wo dann cb = 0) erhalten wir nach Gl. (48) einen Wert von H, welcher die von L unabhängige maximale Druckhöhe angibt, bei dem also der druckerniedrigende Einfluß der Elastizität bei äußerst großer, also speziell bei unendlicher Rohrlänge oder bei plötzlichem Schluß berücksichtigt ist. Dieser Wert wird im folgenden konsequent mit \frakfamily{H} bezeichnet werden. Für ca = a . c1 und cb = 0 geht Gl (48) über in: \frakfamily{H}=H_0+\frac{i}{g} \cdot c_a=H_0+\frac{i}{g} \cdot a \cdot c_1 . . (49) Durch Integration von Gl. (46) und Gl. (38) erhält man nun allgemeine Gleichungen, gültig sowohl für den Schließvorgang als für den Oeffnungsvorgang, nämlich (s. Anmerkung 14): H=H_0+\Phi\,\left(t-\frac{x}{i}\right)-\varphi\,\left(t+\frac{x}{i}\right) . . (50) c=c_a-\frac{g}{i} \cdot \left[\Phi\,\left(t-\frac{x}{i}\right)+\varphi\,\left(t+\frac{x}{i}\right)\right] . . (51) Hierin bedeutet \Phi\,\left(t-\frac{x}{i}\right) oder kurz Φ den Ueberdruck, der infolge des Verstell Vorganges bei den Leitschaufeln, also meist an der untersten Stelle im Rohr entsteht. Van unten beginnend, schreitet er der Elastizitäten halber rohraufwärts weiter und dies sei die positive Fortschreitrichtung. Für den Austrittsquerschnitt hat \varphi\,\left(t+\frac{x}{i}\right) oder kurz ϕ, wie wir gleich noch sehen werden, denselben Wert, den Φ vor \frac{2\,L}{i} Sek. innehatte. Dabei bewegt sich aber ϕ von der Einströmstelle nach der Mündung hin, hat also negative Fortschreitrichtung. Betrachten wir nun den Schließvorgang selbst. Durch Schließen der Leitschaufeln, also durch Verengen des Austrittsquerschnittes entsteht, ein Ueberdruck Φ, der sich mit der Geschwindigkeit i von der Ausströmstelle aus nach oben bewegt. Nach Ablauf von t=\frac{L}{i} Sek. ist diese als Longitudinalwelle aufzufassende Bewegung am oberen Rohrende angelangt, kann hier keinen Ueberdruck hervorrufen und muß somit als reflektierte Welle ϕ nach der Rohrmündung zurückkehren. Hierbei subtrahiert sich in jedem Augenblick die Druckhöhe negativer Fortschreitrichtung von der positiven. Nach abermals \frac{L}{i} Sek., also im ganzen nach Textabbildung Bd. 324, S. 459 Fig. 13. Der Schließvorgang und dessen Nachwirkung nach der Methode von Alliévi. (L 200 m, H0 100 m, T 2 Sek., c1 2 m/Sek.) t=\frac{2\,L}{i}\mbox{ Sek.} . . . . . . . . . . (52) wird die Druckwelle Φ die Mündungsebene wieder erreichen und zwar bildet sie dann den Betrag von ϕ. Bis zu diesem Zeitpunkt war nämlich ϕ = 0. Es vereinfachen sich somit für diese erste Druckschwankungsperiode nämlich für die ersten \frac{2\,L}{i} Sek. die Gl. (50) und (51) aufAus diesen zwei Gleichungen erhält man wieder Gl. (46), wenn man Gl. (53) nach dx differentiert und Gl. (54) nach dt differentiert und dann die erstere durch die zweite dividiert. Entsprechend ergibt sich Gl. (38) durch Differentierung der Gl. (53) nach dt und der Gl. (54) nach dx und nachherige Divison beider Differentialgleichungen.: Textabbildung Bd. 324, S. 459 Fig. 14. Der Oeffnungsvorgang und dessen Nachwirkung nach der Methode von Alliévi, (L 100 m, H0 100 m, T 2 Sek., c1 2 m/Sek.) H=H_0+\Phi\,\left(t-\frac{x}{i}\right) . . . . . (53) c=c_a-\frac{g}{i} \cdot \Phi\,\left(t-\frac{x}{i}\right) . . . . . (54) Von da ab beginnt jedoch eine zweite völlig verschiedene Phase, die Phase der Druckruckwirkung. Die durch das ständige Schließen sich stets vergrößernden Druckimpulse werden durch Entgegenwirken von ϕ, d.h. des jeweils um die Zeit \frac{2\,L}{i} Sek. voraufgegangenen Ueberdruckes stark heruntergedrückt, so daß nach Ablauf von \frac{2\,L}{i} Sek. ein Knick in der H-Kurve eintritt (s. Fig. 13 u. 14). Es kann somit nur noch eine verminderte Drucksteigerung eintreten; oft findet sogar wieder starke Druckabnahme statt mit nachherigem allmählichen Uebergang zu einem mehr horizontalen Verlauf. Das bisher Gesagte gilt speziell für die unterste Stelle im Rohr, d.h. für den Ausströmquerschnitt Doch läßt sich, sobald Φ bekannt ist, der Druck an einer beliebigen, um die Strecke x von der Mündung entfernten Stelle sofort ermitteln. Man braucht bloß der veränderten Lage entsprechend den Wert von ϕ in Gl. (50) gleich zu setzen dem Betrage, den Φ um eine Zeit t vorher hatte, die bestimmt ist durch: t=\frac{2\,(L-x)}{i} . . . . . (55) Dieses ist nämlich die Zeitdauer, die eine Druckwelle braucht, um von diesem Punkte nach der Einströmstelle hin- und zurück nach x zu wandern. Die endgültige Formel zur Ermittlung der H-Kurve ergibt sich, wenn man neben den beiden Gl. (50) u. (51) noch Gl. (49) und die angenäherte Gleichung für die Ausströmverhältnisse nämlich v2 = 2gH berücksichtigt. Ferner ist noch die Kontinuitätsgleichung anzuwenden (Gl. 7) zwischen dem Querschnitt F direkt vor der Verengung des Rohres nach dem Leitapparate hin, und dem eng damit benachbarten Querschnitt f des Leitapparates selbst; wegen der Kürze der Strecke zwischen F und f kann hierbei von der Zusammendrückbarkeit der Wasserzwischenlage abgesehen werden, da für diese kleine Strecke die Elastizität ohne beachtenswerte Wirkung bleibt. Nach Gl. (7) verhält sich in jedem Augenblick für jede beliebige aber konstant bleibende Beaufschlagung p die Fließgeschwindigkeit im Rohre c zur Austrittsgeschwindigkeit v wie \frac{p \cdot f_1}{F}, ganz unabhängig davon, ob der Druck seinen anfänglichen Wert H0 auf einen anderen Wert H geändert hat. Es ist also: \frac{p\,f_1}{F}=\frac{pc_1}{v_0}=\frac{c}{v} . . . . . (7a) Sobald wir somit den Verstellvorgang bei einer Füllung b abbrechen, ist c=b\,c_1\,\frac{v}{v_0}=b \cdot c_1\,\sqrt{\frac{H}{H_0}} . . . (7b) Aus den oben genannten Gleichungen nebst Gl. (7b) erhält man die allgemeine Gleichung der Druckschwankungen für die Phase der Druckrückwirkung, d.h. für t\,\geq\,\frac{2\,L}{i}. Diese Gleichung lautet: H^2-2\,H\,\left[\frakfamily{H}-2\,\varphi+\frac{i^2}{g^2} \cdot \frac{(b\,c_1)^2}{2\,H_0}\right]+(\frakfamily{H}-2\,\varphi)^2=0 . . (56) oder h=\frakfamily{H}-2\,\varphi+\frac{i^2}{g^2} \cdot \frac{(bc_1)^2}{2\,H_0}-\sqrt{\frac{i^2}{4g^4} \cdot \frac{(bc_1)^4}{H_0^2}+\frac{i^2}{g^2}\,\frac{(b \cdot c_1)^2}{H_0} \cdot (\frakfamily{H}-2\,\varphi)} (57) Für die erste Phase ist ϕ = 0, also vereinfacht sich Gl. (56) zu: \frakfamily{H}^2-2\,H\,\left[\frakfamily{H}+\frac{i^2}{g^2} \cdot \frac{(bc_1)^2}{2\,H_0}\right]+\frakfamily{H}^2=0 . . . (58) wobei \frakfamily{H} den durch Gl. (49) angegebenen Wert bezeichnet. (Fortsetzung folgt.)