Gasströmung im zylindrischen Rohre bei Wärmeübertragung durch die Rohrwand. Von Dr. Adolf Langrod, Wien. (Schluß von S. 729 d. Bd.) Gasströmung im zylindrischen Rohre bei Wärmeübertragung durch die Rohrwand. Zur Bestimmung der in der widerstandslosen Strömung auftretenden Newton sehen und wirklichen Schallgeschwindigkeit aus gegebenen Zustandsgrößen an irgend einer Rohrstelle können wir wie folgt verfahren. Aus 3 und 2 ergibt sich $$\frac{w^2+{w_s}^2}{w}=\frac{{w^2}_1+{w^2}_{s_1}}{w_1}=\text{konst.}$$ . . . . . . . . .12) wobei $$w_s=\sqrt{gpv}$$ und $$w_{s_1}=\sqrt{g{p}_1{v}_1}$$. Für w = ws erhält man aus Gleichung 12 $$w_s=\frac{1}{2}\frac{{w^2}_1+{w^2}_{s_1}}{w_1}$$ und für w = wσ $$w_{\sigma }=\frac{k}{k+1}\frac{w^2+{w^2}_{s_1}}{w_1},$$ somit $$\frac{w_{\sigma }}{w_s}=\frac{2k}{k+1}.$$ Für Luft ist $$w_{\sigma }=\frac{2\cdot 1\cdot 71}{2\cdot 41}=1\cdot 17w_s.$$ Die im Verlaufe der Strömung erreichbare wirkliche Schallgeschwindigkeit ist demnach kleiner als jene, die dem Gaszustande, der gleichzeitig mit der Newton sehen Schallgeschwindigkeit auftritt, entspricht. * * * Als Beispiel der Gasströmung im zylindrischen Rohre unter Wärmeabgabe an die Rohrwand möge die Strömung der Feuergase in den Feuerröhren der Lokomotivkessel dienen. Durch entsprechende Umformungen ergibt sich aus Gleichung 4 nachstehende Gleichung: $$p_1-p=\frac{T_1-T}{\frac{T}{p}-{\left(\frac{F}{L}\right)}^2\frac{g}{R}{p}_1},$$ $$\frac{T}{p}$$kann, wie das unten ausgerechnete Beispiel zeigen wird, ohne nennenswerten Abbruch an Genauigkeit der Rechnung gegen den Ausdruck $${\left(\frac{F}{L}\right)}^2\frac{g}{R}{p}_1$$ vernachläßigt werden. Es ist somit $$p_1-p=-\frac{T_1-T}{{\left(\frac{F}{p}\right)}^2\frac{g}{R}{p}_1}$$. . . . . . .13) Bezeichnen p1 und T1 den Anfangszustand der Rauchgase, so muß nach Gleichung 13, da T1 > als T ist, der Druck am Rohrende größer sein als am Rohranfang. In Wirklichkeit ist der Druck in der Feuerkiste größer als in der Rauchkammer. Werden doch bekanntlich zur Erzeugung des Rauchkammervakuums, welches für den Zug der Feuergase nötig ist, kostspielige Rauchfänge gebaut und kraftverzehrende Blasrohre und Ventilatoren verwendet. Dieser scheinbare Widerspruch klärt sich auf durch die Ueberlegung, daß die Feuergase bei ihrem Eintritt in die Feuerrohre beschleunigt und Widerstände beim Eintritt und während der Strömung überwunden werden müssen. Das hierzu notwendige Vakuum überwiegt die Drucksteigerung infolge der Wärmeabgabe. Indessen kommt uns letztere zu Hilfe und macht das Vakuum kleiner als es sonst notwendig wäre. Es ist auch wohl möglich, daß bei einer Druckmessung innerhalb des Feurerohres und nicht, wie es sonst geschieht, außerhalb desselben (in der Feuerkiste und Rauchkammer) eine Drucksteigerung zum Vorschein käme. Beispiel: Bei einem Versuche an einer Lokomotive wurde gefunden:

Temperatur in der Feuerkiste t1 = 1090°C „ „ „ Rauchkammer t2 = 385°C

$$\frac{L}{F}=10\text{ kg}pr{m}^2$$.

Druck in der Feuerkiste p1 ∾ 10300 (mm Wasser-säule = kg p r m2). „ „ „ Rauchkammer p2 = p1 – 36 (mm Wasser-säule = kg p r m2).

Es ist somit $$\frac{T_2}{p_2}=\frac{385+273}{10264}=0\cdot 064,$$ und $${\left(\frac{F}{L}\right)}^2\frac{g}{R}{p}_1={\left(\frac{1}{10}\right)}^2\frac{9\cdot 81}{28\cdot 6}\cdot 10300=35\cdot 3.$$ Die oben gemachte Vernachläßigung war daher durchaus begründet. Aus Gleichung 13 ergibt sich $$h^{\prime }=p_1^{\prime }-p_2^{\prime }=-\frac{705}{35\cdot 3}=-20\text{ mm}$$ Wassersäule, dagegen wurde beobachtet: h = p1 – p2 = + 36 mm Wassersäule. Daher war zur Ueberwindung von Widerständen und zur Eintrittsbeschleunigung das Vakuum: h'' = h – h' = + 56 mm Wassersäule notwendig. Setzen wir h'' = h1+ h2+ h3, wobei h1 das Vakuum für die Eintrittsbeschleunigung, h2 und h3 jenes zur Ueberwindung des Eintritts- bezw. des Strömungswiderstandes bezeichnen. h1 kann höchstens einige Zentimeter Wassersäule, somit einige Tausendstel der im Feuerrohr herrschenden Drücke betragen, daher können wir zu seiner Bestimmung ohne weiteres die Annäherungsformel w 2 = 2 g v 1 h l anwenden, die nach Division durch v2 und Einsetzen von $$\frac{L}{F}=\frac{w}{v}$$ $${\left(\frac{L}{F}\right)}^2=2g\frac{v_1}{v^2}{h}_1$$ ergibt. Wegen der Kleinheit von h1 kann ferner v1 = v gesetzt werden (welche Annahme auch der Ausgangsformel zugrunde lag) und da anderseits $$v_1=\frac{R{T}_1}{p_1}$$, so ergibt sich schließlich $$h_1={\left(\frac{L}{F}\right)}^2\frac{R}{2g}\frac{T_1}{p_1}$$ . . . . . . . . . 14) Diese Gleichung liefert nach Einsetzung der Werte unseres Beispieles: $$h_1=(10{)}^2\frac{28\cdot 6}{2+9\cdot 81}\frac{1090+273}{10300}=19\cdot 2\text{ mm}$$ Wassersäule. Zur Bestimmung des Druckabfalles infolge der Reibung an der Rohrwand können wir die Formel $$h_3=\lambda \frac{l}{D}\frac{w^2}{v}$$ benutzen, wobei l die Rohrlänge und D den Rohrdurchmesser bezeichnet, λ ist ein Reibungskoeffizient, über dessen Größe in Ermangelung einschlägiger Versuche eine Annahme wird gemacht werden müssen. Diese Formel gilt für eine Gas- oder Dampfströmung bei ungefähr konstanten Verhältnissen. Dies findet in unserem Falle nicht statt, denn die Temperatur und somit auch die anderen Größen wie w und v erleiden mit der Entfernung vom Rohranfang bedeutende Aenderungen. Nur der Druck kann als unveränderlich angenommen werden, denn seine größte Aenderung kann nur einige Tausendstel seines Mindestwertes betragen. Wir müssen daher statt l und h ihre Differentiale einsetzen, wodurch sich ergibt $$d{h}_3=\frac{\lambda }{D}\frac{w^2}{v}dl$$ oder da $$\frac{w}{v}=\frac{L}{F}$$ und p v = R T $$d{h}_3=\frac{\lambda }{D}{\left(\frac{L}{F}\right)}^2\frac{RT}{p}dl.$$ Zur Integration dieser Gleichung ist die Kenntnis der Beziehung zwischen T und l notwendig und diese wird wie folgt bestimmt. Ist μ der Wärmeübertragungskoeffizient, so wird eine Wärmemenge von der Größe μ D π d l (T – Tk) durch die Fläche D π d l an das die absolute Temperatur Tk besitzende Kesselwasser übertragen. Vermindert sich hierbei die Temperatur der Feuergase um d T, so beträgt die Wärmeabgabe der letzteren c p L d T, wobei cp die spezifische Wärme beim konstanten Drucke bezeichnet. Die übertragene Wärme der Wärmeabgabe der Rauchgase gleich gesetzt ergibt $$dl=\frac{c_{p}L}{\mu D\pi }\frac{dT}{T-T_k}$$ . . . . . . .15) Mit Berücksichtigung dieser Gleichung und da $$F=\frac{D^2\pi }{4}$$ ist, erhält man $$d{h}_3=\frac{1}{4}\frac{\lambda }{\mu }\frac{R{c}_p}{p}{\left(\frac{L}{F}\right)}^3\frac{T}{T-T_k}dT$$ . . . . . . . .16) Die Integration von Gleichung 16 ergibt schließlich $$h_3=\frac{1}{4}\frac{\lambda }{\mu }\frac{R{c}_p}{p}{\left(\frac{L}{F}\right)}^3[T_k\text{ log nat }\frac{T_1-T_k}{T_2-T_k}+(T_1-T_2)]$$ 17) Der in dieser Gleichung auftretende Wärmeübertragungskoeffizient ji kann aus den Angaben unseres Beispieles bestimmt werden. Zu diesem Zwecke muß die Gleichung 15 integriert werden. $$\mu =\frac{c_p}{4}\frac{D}{l}\frac{L}{F}\text{ log nat }\frac{T_1-T_k}{T_2-T_k}$$. . . . . . . . .18) Bei der Lokomotive unseres Beispiels betrug die Länge (l) der Feuerröhren 4,2 m und ihr innerer Durchm. 44 mm. Für cp kann unter Berücksichtigung der Zusammensetzung und der durchschnittlichen Temperatur der Rauchgase mit genügender Genauigkeit 0,27 gesetzt werden. Im Kessel herrschte im Mittel der Druck 13,55 at entsprechend einer Temperatur des gesättigten Dampfes von 192°C. Es ist somit $$\mu =\frac{0,27}{4}\frac{44}{4200}10\text{ log nat }\frac{1090-192}{385-192}=0,0109.$$ Bei dieser Berechnung wurde nicht berücksichtigt, daß die äußere Rohroberfläche größer als die innere ist. Infolgedessen haben wir einen etwas zu großen Wert für p erhalten. Führen wir den äußeren Rohrdurchmesser (D = 51) in die Rechnung ein, so ergibt sich μ = 0,0094. Zwischen den beiden Zahlen 0,0094 und 0,0109 wird die tatsächliche Wärmeübertragungszahl liegen. Ihre genauere Bestimmung bedingt nebst verwickelter Rechnung noch die Kenntnis anderer aus den Angaben unseres Beispiels nicht bestimmbarer Größen. Da λ noch weniger als μ bekannt ist, so kann unsere Rechnung nur den Zweck einer allgemeinen Orientierung verfolgen und daher genügt es vollständig, wenn wir μ = 0,01 setzen. Gleichung 17 ergibt sodann h3 = 2661 × λ mm Wassersäule. Lorenz hat aus Ergebnissen einer Reihe von Versuchen mit Luft, welche von verschiedenen Beobachtern zu verschiedenen Zeiten unter wechselnden Versuchsbedingungen an Luftleitungen in Tunnels, Bergwerken und Druckluftanlagen angestellt wurden, die Zahl $${\alpha }_0=\frac{\lambda }{R}$$ [R = Gaskonstante] berechnet und fand dabei a0 vom Rohrdurchmesser abhängig. Bei den von uns angenommenen Maßeinheiten [Rohrlänge und Durchmesser in m] folgt aus den Lorenzschen Berechnungen $$\lambda =\frac{R\times 142}{(1000\times D{)}^{0,31}}\frac{1}{{10}^6}.$$ Da für Rauchgase R = 28,6 und in unserem Beispiel D = 0,044 ist, so ergibt sich λ = 0,00127. Die Angaben von Lorenz gelten für Druckluft (R = 29,3) zwischen 3 und 7 kg/qcm absoluter Spannung und Geschwindigkeiten von 1 bis 30 m/Sek. In unserem Falle strömen Feuergase von viel kleinerem Druck. Berücksichtigt man ferner, daß die Rauchgase Flugasche und unverbrannte Kohlenteilchen mitführen, was in besonderem Maße bei dem von uns betrachteten Versuche stattfand, so ist ohne weiteres klar, daß die Anwendung des oben angegebenen Widerstandskoeffizienten in unserem Falle einen recht bedingten Wert besitzt. λ = 0,00127 ergibt h3 = 0,00127 × 2661 ≌ 3,4 mm Wassersäule. Sollte die Drucksteigerung durch Wärmeabgabe den durch Reibungswiderstand an der Rohrwand verursachten Druckabfall aufheben, so müßte h3 = 20 mm Wassersäule und somit $$\lambda =\frac{20}{2661}=0,00752$$ sein, d. i. ungefähr sechs mal so groß als jene für reine Luft geltende Zahl. Bei bekanntem h3 ergibt sich der Druckverlust infolge des Eintrittswiderstandes durch einfache Subtraktion h2 = h'' – h1 – h3 und daraus der Geschwindigkeitskoeffizient $$\phi =\frac{w}{\sqrt{2g{v}_1(h_1+h_2)}}=\frac{\frac{w}{\sqrt{2g{v}_1}}}{\sqrt{h_1+h_2}}$$ oder $$\phi =\sqrt{\frac{h_1}{h_1+h_2}}.$$ Die Strömung des Dampfes in den Ueberhitzerrohren könnte uns als Beispiel dienen für eine Gasströmung unter Wärmeaufnahme. Es genügt jedoch ein Blick auf die Gleichung 13 zu werfen, um zu erkennen, daß der Druckverlust infolge der Wärmezuführung in jedem praktischen Falle, besonders in Anbetracht der hohen Drücke der überhitzten Dämpfe, unberücksichtigt bleiben kann.