Theorie des Riementriebes; von Gustav Schmidt. G. Schmidt, zur Theorie des Riementriebes. Nach den Mittheilungen Professors Radinger (1878 228 385) über die Philadelphia-Ausstellung 1876 ist in Amerika zur Bestimmung der Riemenbreite b die Roper'sche Regel in Anwendung: $$bl=31,4P,$$ . . . . . . . (1) wobei b die Riemenbreite und l den belegten Umfang der kleineren Scheibe in Centimeter, P die Umfangskraft in Kilogramm bedeutet. Nimmt man im Minimum $$l=0,4\pi D$$ an, unter D den Durchmesser der kleinen Scheibe verstanden, so folgt: $$bD=25P,$$ . . . . . . . . (2) welche Regel Radinger bei Umfangskräften von $$P=47\text{ bis }{388}^k$$ und Riemenbreiten von $$b=15\text{ bis }{46}^{cm}$$ bestätigt gefunden hat. – Es handelt sich um die theoretische Begründung dieser empirischen guten Regel. Ist $$R=\frac{D}{2}$$ der Rollenhalbmesser, α der Mittelpunktswinkel in Bogenmaſs, auf welchem die Spannungsänderung von der Spannung T1 des passiven Riemenstückes in jene T2 des activen Riemenstückes vor sich geht, so ist nur dann eine hinreichende Sicherheit wie in allen Maschinentheilen vorhanden, wenn der Bogen R α nur ein aliquoter, z.B. der dritte Theil, höchstens ⅔ von dem belegten Umfang l ist. Bei mfacher Sicherheit in diesem Sinne ist: $$R\alpha =\frac{l}{m}$$ . . . . (3) Zählt man den variablen Winkel φ von jener Stelle an, wo die Veränderung der Spannung T beginnt, so entspringt bekanntlich aus den beiden Spannungen T und $$T+dT$$ an den Enden des Bogenelementes $$ds=Rd\phi$$ ein resultirender Radialdruck $$=\frac{T}{R}ds=\frac{T}{R}Rd\phi =Td\phi$$ und hieraus eine Reibung $$=\mu Td\phi ,$$ wenn μ der Reibungscoëfficient ist bei Ueberwindung der unvermeidlichen gleitenden Reibung längs des Bogens R α, auf welchem die Spannungs- und somit auch die Längenveränderung der Riemenelemente vor sich geht. Bisher hat man nun irrthümlicher Weise $$dT=\mu Td\phi$$ gesetzt und hieraus: $$lognatT{|{}_1^2=\mu \phi |}_1^2=\mu \alpha$$ oder $$\frac{T_2}{T_1}=e^{\mu \alpha }$$ abgeleitet. Dabei wurde aber übersehen, daſs der sich auflegende Riemen unter sich die Luft nach beiden Seiten ausquetscht und daher, wenigstens in geringem Grade, der äuſsere Luftdruck wirksam werden müsse, worauf der Verfasser dieser Zeilen schon in seinen Vorlesungen über Maschinenbau im Studienjahre 1866,67 und in den folgenden Jahren aufmerksam gemacht hat, ohne jedoch einen Calcul darauf zu basiren. Dieser ist aber sehr einfach: Ist k Kilogramm für das Quadrat-Zentimeter der wirksam werdende Luftdruck, so entfällt auf die elementare Riemenfläche bRdφ der Normaldruck kbRdφ, welcher sich zu Tdφ addirt, weshalb die richtige Differentialgleichung lautet: $$dT=\mu (T+kbR)d\phi$$ $$\frac{dT}{T+kbR}=\mu d\phi ,$$ woraus folgt: $$\text{Extra left or missing right}$$ oder $$e^{\mu \alpha }=\frac{T_2+kbR}{T_1+kbR}.$$ Wegen $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots$$ darf man hinreichend genau schreiben: $$e^{\mu \alpha }=1+1,1\mu \alpha =\frac{T_2+kbR}{T_1+kbR}$$ oder $$T_1+kbR+1,1\mu \alpha (T_1+kbR)=T_2+kbR.$$ Weil aber $$T_2-T_1=P$$ ist, folgt: $$1,1\mu \alpha (T_1+kbR)=P.$$ Nimmt man, wie dies üblich ist, $$T_1=P$$ an, so folgt: $$1,1\mu \alpha kbR=P(1-1,1\mu \alpha )$$ oder wegen (3): $$1,1\mu kb\frac{l}{m}=P(1-1,1\mu \alpha ),$$ somit $$bl=\frac{m(1-1,1\mu \alpha )}{1,1\mu k}P=CP$$ Dies ist der Typus der Roper'schen Regel (1). Die Constante C ist empirisch bestimmt = 31,4, der Reibungscoëfficient μ beträgt bei fettigem Riemen $$\mu =0,28,$$ also folgt: $$m(1-0,308\alpha )=0,308\times 31,4k=9,67k.$$ Wenn die Distanz der beiden Wellen 3,2 der Durchmesserdifferenz der Rollen beträgt, so ist $$l=0,9\pi R,$$ also $$\alpha =\frac{l}{mR}=\frac{0,9\pi }{m},$$ somit $$0,308\alpha m=0,871,$$ endlich: $$m=0,871+9,67k$$ . . . . . (4)

Für k = 0,05 0,1 0,2 0k,3 auf 1qc, folgt m = 1,35 1,84 2,80 3,77

und α in Gradmaſs $$=\frac{162}{m}$$ wird dann beziehungsweise: $$\alpha ={120}^{\circ }{88}^{\circ }{58}^{\circ }{43}^{\circ }$$ bei einem belegten Umfang von 162°. Wenn sich der Riemen nicht mit der rauhen Fleischseite, sondern mit der glatten Haarseite auflegt, wie dies mit vollem Bewuſstsein in Amerika bewerkstelligt wird, so dürfte die Annahme k = 0k,12 für 1qc zulässig sein, daher der Riementrieb schon zweifache Sicherheit besitzen, d.h. bei 162° belegtem Umfang findet auf 81° kein Gleiten statt, und nur auf den anderen 81° erfolgt die Spannungsänderung von T1 auf T2. Ist hierbei E der Elasticitätsmodulus, λ die Ausdehnung einer Länge L bei der Spannungsvermehrung um $$T_2-T_1=P$$ und f der Riemenquerschnitt, so ist $$\frac{P}{f}=E\frac{\lambda }{L},$$ und das Verhältniſs der Peripheriegeschwindigkeiten v2 und v1 der treibenden und getriebenen Rolle ist: $$\frac{v_2}{v_1}=\frac{L+\lambda }{L}=1+\frac{\lambda }{L}=1+\frac{P}{Ef}.$$ Ferner ist die im activen Riemenstück eintretende specifische Spannung $$\sigma =\frac{T_2}{f}=\frac{2P}{f},$$ somit: $$\frac{v_2}{v_1}=1+\frac{\sigma }{2E}$$ . . . . . . . . (5) Mit $$E={500}^k$$ auf 1qc und $$\sigma =25\text{ bis }{50}^k$$ auf 1qc folgt: $$\frac{v_2}{v_1}=1,025\text{ bis }1,05$$ übereinstimmend mit der Erfahrung. Auch diese kleine Rechnung habe ich schon 1866 gemacht auf Grundlage eines Briefwechsels mit Prof. J. Hrabák in Przibram, von welchem ich darin zuerst die richtige Ansicht $$R\alpha <l$$ vertheidigt fand, und ich habe jene Rechnung in der 31. Vorlesung des Studienjahres 1866/67 und später alljährlich vorgetragen. Dieselbe wurde aber, in der Wesenheit übereinstimmend, von O. Reynolds (vgl. 1875 216 537) mitgetheilt. Die von mir bisher empfohlenen Regeln für den Riementrieb waren: Bis $$P={200}^k\dots \dots b=\sqrt{2P}$$ Für $$P>{200}^k$$ theile man P in 2 oder 3 Theile, so daſs $$P^{\prime }<{200}^k$$ rechne mit Rücksicht auf nicht vollkommen gleichförmige Vertheilung der Kraft $$b^{\prime }=\sqrt{3P^{\prime }}$$ und mache dann $$b=2b^{\prime }$$ beziehungsweise $$3b^{\prime }.$$ Diese Regel ist auch immer brauchbar, wenn die getriebene Scheibe nicht auſsergewöhnliche Verhältnisse gegen die treibende hat, daher die allgemeinere und theoretisch richtigere, dabei noch einfachere Regel von Roper, bezieh. Radinger: $$b=\frac{25P}{D}$$ jedenfalls vorzuziehen ist. Als Beispiel diene der von Director Schlink (1878 230 464) mitgetheilte Riementrieb für ein Bandeisenwalzwerk, bei welchem die ganze Pferdestärke $$N=164$$ mit $$n=100$$ Umdrehungen von dem Schwungrad mit 4m,7 Durchmesser mittels eines 47cm breiten Riemens auf die Rolle von D = 188cm übertragen wird. Die Umfangskraft ist $$P=71620\frac{N}{nR}=71620164100\times 235={500}^k$$ oder auch aus der Peripheriegeschwindigkeit des Schwungrades $$v=\frac{4,7\times 3,1416\times 100}{60}=24,61$$ gerechnet: $$P=\frac{164\times 75}{24,61}={500}^k.$$ Hiermit folgt: $$b=\frac{25\times 500}{188}=66,5,$$ statt ausgeführt 47cm. Nach meiner bisherigen Rechnungsweise wäre gefolgt: $$P^{\prime }=\frac{P}{3}=167,$$ $$b^{\prime }=\sqrt{3P^{\prime }}=\sqrt{500}=22,36$$ und $$b=3b^{\prime }=67,$$ ebenso wie nach Radinger; jedoch paſst dies eben nur zufällig bei der Tourenzahl $$n_1=100\times \frac{470}{188}=250$$ der Walzwerkswelle, während nach der Roper-Radinger'schen Formel für eine kleinere Tourenzahl der getriebenen Welle, also gröſsere Riemenscheibe, die Riemenbreite kleiner erfolgt. Hierbei ist aber zu bemerken, daſs Schlink die Pferdestärke der Maschine mit 63cm Cylinderdurchmesser, 78cm Hub, ohne Condensation und mit halber Füllung bei 3at,5 Ueberdruck im Kessel wohl etwas hoch geschätzt hat und selbe bei 100 Touren nur 150e betragen dürfte, daher der 47cm breite Riemen eben noch ausreicht bei $$P=457.$$ Setzt man diese Werthe in die Formel: $$bD=C_{1}P,$$ so folgt: $$C_1=\frac{47\times 188}{457}=19,3$$ statt 25 nach Radinger, also die Roper'sche Constante $$C=24,24$$ statt 31,4 und hiemit: $$m=0,871+7,47k$$ statt Gleichung (4). Damit also 2fache Sicherheit vorhanden sei, müſste $$k=\frac{1,129}{7,47}=0^k,15$$ für 1qc sein, während bei $$k=0,12$$ immerhin noch $$m=1,77$$ folgt, der belegte Umfang also um 77 Proc. gröſser ist, als für die Kraftübertragung ohne Sicherheit gegen das Gleiten nöthig ist. Die praktische Regel wäre also, daſs es gestattet sei von:

bD = 25 P . . . . . . . (2) herab zu gehen bis auf bD = 20 P . . . . . . . (6) aber nicht darunter.

Eine besondere Rücksicht erheischen Riementriebe mit Uebersetzung ins Langsame, da man hierbei gar zu leicht in den Fehler geräth, zu kleine Rollen in Anwendung zu bringen. Es seien z.B. $$N=2^e$$ von einer Welle mit $$n=30$$ Umdrehungen auf eine solche mit $$n_1=12$$ Umdrehungen zu übertragen. Die Rollendurchmesser werden mit $$D={80}^{c}m,$$ $$D_1={200}^{c}m$$ gewählt. Hiermit folgt die Umfangskraft $$P=71620\frac{2}{30\times 40}={119}^k$$, somit im Minimum $$b=\frac{20\times 119}{80}={30}^{cm},$$ während ich nach meiner sonst ganz guten Regel für kleinere Kräfte $$b=\sqrt{2P}=\sqrt{238}={16}^{cm}$$ erhalten hätte. Diese 16cm würden aber nach der Regel (6) nur genügen für $$D=\frac{20\times 119}{16}={149}^{cm}$$ Durchmesser und gleicher Umfangskraft $$P=119,$$ also bei 3e,75 und $$D_1=149\frac{30}{12}={373}^{cm}$$ oder auch bei $$D=124,$$ $$D_1=310,$$ $$P=77,$$ $$N=2,$$ nicht aber für die kleine Antriebsrolle von 80cm Durchmesser mit 2e. Demnach würde also D1 ganz unverhältniſsmäſsig groſs für einen Antrieb von nur 2e. In einem solchen Falle geht man entweder direct mit Zahnrädern von $$n=30$$ auf $$n_1=12$$ herab, oder man geht, wenn dies wegen der Entfernung der Wellen nöthig wäre, mit dem Riementrieb zuerst ins Schnelle und dann mit Zahnrädern ins Langsame, etwa so:

Antriebsrolle mit 30 Umdrehungen D = 150cm Getriebene Rolle mit 50 „ D 1 = 90cm

Umfangskraft $$P=71620\frac{2}{30\times 75}={64}^k,$$ womit $$b=\frac{20\times 64}{90}=14$$ und dann folgt die Zahnradübersetzung von $$n_1=50$$ auf $$n_2=12.$$ Bei provisorischer Förderung mit Kübeln, kommt der Fall leicht vor. Behalten wir die Umfangskraft $$P={64}^k$$ und die Tourenzahl $$n_1=50$$ der kleinen Rolle bei, ändern jedoch den Durchmesser derselben, so folgt für:

D 1 = 60 80 100 120 150 200cm N = 1,33 1,78 2,22 2,67 3,33 4,44 b = 21 16 13 11 8,5 6cm,5

während die Regel $$b=\sqrt{2P}$$ constant $$b=11$$ ergeben hätte. Ein solcher auch von Radinger gemachter Vergleich beleuchtet am deutlichsten den Unterschied der beiden Regeln. Man sieht, daſs die Pferdestärke bei gleicher Umfangskraft der Geschwindigkeit direct oder dem Rollendurchmesser direct proportional ist, wahrend die Riemenbreite dem Durchmesser oder der Pferdestärke verkehrt proportional ist, was eben bisher nicht beachtet wurde.