Kleinere Mitteilungen. Kleinere Mitteilungen. Ableitung der Summenformeln arithmetischer Reihen mit Hilfe von Momenten. I. Werden auf dem Balken AB n Lasteinheiten nach Art der Fig. 1 verteilt, so wird die Reaktion $$A=\frac{n}{2}$$ und daher lautet die Momentengleichung für Punkt B: $$1\cdot a+1\cdot (a+d)+1\cdot (a+2d)+....1\cdot [a+(n-1)d]=\frac{n}{2}\cdot [2a+(n-1)d]$$

Fig. 1.

Nach Fig. 1a ergiebt sich für Σ (n): $$1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3+....1\cdot n=\mathrm{\Sigma }(n)=\frac{n}{2}\cdot (n+1)$$

Fig. 1a.

Fig. 1b liefert als Summenformel der ungeraden Zahlen: $$1\cdot 1+1\cdot 3+1\cdot 5+....1\cdot (2n-1)=\frac{n}{2}\cdot 2n=n^2$$

Fig. 1b.

und für die Summe der geraden Zahlen erhält man nach Fig. 1c: $$1\cdot 2+1\cdot 4+1\cdot 6+...1\cdot 2n=\frac{n}{2}\cdot 2(n+1)=n(n+1)$$

Fig. 1c.

II. Bestimmung von Σ (n2). Wird die in Fig. 2 angenommene Belastungsfläche zunäghst als Summe von Rechtecken und dann als Summe von Dreiecken aufgefasst, so entsteht in Bezug auf B das statische Moment: $$1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{2}{2}+3\cdot \frac{3}{2}+....n\cdot \frac{n}{2}=n\cdot \frac{n}{2}\cdot \frac{n}{3}+\frac{n}{2}[\frac{2}{3}+\frac{1}{2}(n-1)]$$ $$$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$$$

Fig. 2.

Zwischen Σ (n2) und Σ (n) besteht folglich noch die Bezeichnung $$\mathrm{\Sigma }(n^2)=\frac{2n+1}{3}\mathrm{\Sigma }(n).$$ III. Bestimmung von Σ (n3). Die in Fig. 3 gewählte Belastungsfläche werde einmal als Summe von Quadraten, sodann als Summe langgestreckter Rechtecke angesehen; bestimmt man für beide Fälle das Lastmoment in Bezug auf B, so folgt: $$1^2\cdot \frac{1}{2}+2^2\cdot \frac{2}{2}+3^2\cdot \frac{3}{2}+...n^2\cdot \frac{n}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }(n)+\frac{3}{2}[\mathrm{\Sigma }(n)-1]+\frac{5}{2}[\mathrm{\Sigma }(n)-(1+2)]+...\frac{2n-1}{2}[\mathrm{\Sigma }(n)-\sum _0^{n-1}(n)]$$ $$$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Sigma }(n^3)& =& [1+3+5+...(2n-1)]\mathrm{\Sigma }(n)-\mathrm{\Sigma }(2n-1)\sum _0^{n-1}(n)\\ & =& n^2\cdot \mathrm{\Sigma }(n)-\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }n(n-1)(2n-1)\\ & =& n^2\cdot \mathrm{\Sigma }(n)-\frac{1}{2}[2\mathrm{\Sigma }(n^3)-3\mathrm{\Sigma }(n^2)+\mathrm{\Sigma }(n)]\end{array}$$$$

Fig. 3.

$$2\cdot \mathrm{\Sigma }(n^3)=(n^2-\frac{1}{2})\mathrm{\Sigma }(n)+\frac{3}{2}\mathrm{\Sigma }(n^2)=(n^2-\frac{1}{2}+\frac{2n+1}{2})\mathrm{\Sigma }(n)-n(n+1)\mathrm{\Sigma }(n)$$ $$\mathrm{\Sigma }(n^3)=\frac{n}{2}(n+1)\mathrm{\Sigma }(n)=\frac{n^2\cdot (n+1{)}^2}{4}=[\mathrm{\Sigma }(n){]}^2$$ IV. Bestimmung von Σ (n4). Mit der in Fig. 4 angenommenen Belastung ergiebt sich für Punkt B:

Fig. 4.

$$1^3\cdot \frac{1}{2}+2^3\cdot \frac{2}{2}+3^3\cdot \frac{3}{2}+...n^3\cdot \frac{n}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }(n^3)+\frac{3}{2}[\mathrm{\Sigma }(n^2)-1^2]+\frac{5}{2}[\mathrm{\Sigma }(n^2)-(1^2+2^2)]+...\frac{2n-1}{2}[\mathrm{\Sigma }(n^2)-\sum _0^{n-1}(n^2)]$$ $$$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Sigma }(n^4)& =& [1+3+5+...(2n-1)]\cdot \mathrm{\Sigma }(n^2)-\mathrm{\Sigma }(2n-1)\sum _0^{n-1}(n^2)\\ & =& n^2\cdot \mathrm{\Sigma }(n^2)-\frac{1}{6}\mathrm{\Sigma }(2n-1{)}^2(n-1)\cdot n\\ & =& n^2\cdot \mathrm{\Sigma }(n^2)-\frac{1}{6}\mathrm{\Sigma }(4n^2-8n^3+5n^2-n)\end{array}$$$$ $$$$\begin{array}{rcl}10\mathrm{\Sigma }(n^4)& =& (6n^2-5)\mathrm{\Sigma }(n^2)+8\mathrm{\Sigma }(n^3)+\mathrm{\Sigma }(n)\\ & =& [(6n^2-5)\cdot \frac{2n+1}{3}+4n(n+1)+1]\mathrm{\Sigma }(n)\\ & =& (4n^3+6n^2+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3})\mathrm{\Sigma }(n)\end{array}$$$$ $$$$\begin{array}{rcl}60\mathrm{\Sigma }(n^4)& =& (12n^3+18n^2+2n-2)\cdot n(n+1)=12n^5+30n^4+20n^3-2n\end{array}$$$$ $$\mathrm{\Sigma }(n^4)=\frac{1}{5}{n}^5+\frac{1}{2}{n}^4+\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{30}\cdot n$$ Carl Herbst, Dipl.-Ing. Parabelkonstruktion. Ist von einer Parabel der Punkt P0, der Scheitel S und die Achsenrichtung gegeben, so kann man den zwischen P0 und S liegenden Teil der Parabel auch mit Hilfe der aus der Figur ersichtlichen Konstruktion finden.

Fig. 5.

Der Beweis gestaltet sich folgendermassen. Es ist: AB : P0 Q0 = SB : SQ0 = SC : SQ0 $$y:y_0=SC:x_0=\sqrt{x\cdot x_0:x_0}$$ daher $$y^2:{y_0}^2=x:x_0$$ Carl Herbst.