Zur graphischen Behandlung des Kurbeltriebes. Von Dr. techn. Josef Kuhn, Bielitz. KUHN, Zur graphischen Behandlung des Kurbeltriebes. Die in Dinglers Polytechnischem Journal Bd. 326, Heft 35 und Bd. 327, Heft 48, vom Verfasser angegebenen Verfahren zur zeichnerischen Bestimmung des Weges (s), der Geschwindigkeit (c) und der Beschleunigung (p) des Kolbens (Kreuzkopfes) sowie des Tangentialdruckes (t) beim Kurbeltrieb mit endlich langer Pleuelstange haben noch den Mangel, daß sich diese Größen erst durch Addition zweier Strecken ergeben, deren eine den Wert bei endlich langer Pleuelstange, die andere die wegen deren endlicher Länge erforderliche Korrektur darstellt. In den folgenden Ausführungen werden diese Verfahren, die den Vorteil haben, daß bei ihnen die Verzeichnung der Pleuelstange entfällt, noch so verbessert, daß sich die gesuchten Werte als Ganzes ergeben und ihr stetiger Verlauf zur Darstellung gelangt. Dies wird dadurch erreicht, daß die Ermittlung der Bewegungsgrößen mit Benutzung einfacher Kurven geschieht, die sich auf Grund ihrer Gleichungen genau verzeichnen lassen. Mittels dieser Kurven können wir dann auch den zu einem beliebigen Kolbenwege gehörigen Kurbelwinkel und damit alle anderen zugehörigen Werte finden, während bisher nur die zu einem gegebenen Kurbelwinkel gehörigen Bewegungsgrößen ermittelt werden konnten. Erst hierdurch wird eine vollständige zeichnerische Lösung der vom Kurbeltrieb mit endlicher Stangenlänge gestellten Aufgaben erreicht. Die mathematische Genauigkeit dieser Lösung wird nur dadurch unwesentlich beeinträchtigt, daß wir auch den neuen Konstruktionen, anstatt der genauen, die nachstehenden, für die Praxis vollständig genügenden, Näherungsformeln zugrunde legen: s=r\,(1-\cos\,\omega\,\pm\,\frac{\lambda}{2}\,\sin^2\,\omega), 1) c=v\,(\sin\,\omega\,\pm\,\frac{\lambda}{2}\,\sin\,2\,\omega), 2) p=\frac{v^2}{r}\,(\cos\,\omega\,\pm\,\lambda\,\cos\,2\,\omega), 3) Textabbildung Bd. 342, S. 253 Abb. 1. und t=\frac{c}{v}\,q=q\,(\sin\,\omega+\frac{\lambda}{2}\,\sin\,2\,\omega) 4). In ihnen bezeichnet r den Kurbelradius, \lambda=\frac{r}{l} sein Verhältnis zur Kurbelstangenlänge 1, v die konstante Umdrehungsgeschwindigkeit des Kurbelzapfens, q den resultierenden Horizontaldruck und ω den Winkel, den die Kurbel beim Vorwärtsgang mit der inneren, beim Rückwärtsgang – für den das negative Vorzeichen gilt – mit der äußeren Totlage bildet. Der größte Fehler, der bei Verwendung dieser allgemein gebrauchten Näherungsformeln entsteht, beträgt – wie in den eingangs angeführten Arbeiten gezeigt wird – beim Wege + 0 . 09 v. H. (± 0 . 0010 r), bei der Geschwindigkeit und dem Tangentialdruck ± 0 . 14 v. H. (0 . 0013 v, beziehungsweise 0 . 00131) und bei der Beschleunigung ± 2 . 6 v. H. (\pm\,0.0206\,\frac{v^2\,\lambda}{r}). Der letztere, verhältnismäßig große, Fehler tritt bei \omega=\frac{\pi}{2}, also dort auf, wo sich für p nur ein sehr kleiner absoluter Wert ergibt, wodurch er ebenfalls praktisch bedeutungslos wird. Textabbildung Bd. 342, S. 254 Abb. 2. 1. Der Kolbenweg. Drücken wir in Formel 1) sin2 ω durch die Funktion des doppelten Winkels aus, so wird für den Kolbenhingang: \begin{array}{rcl}s&=&r\,(1-\cos\,\omega \frac{\lambda}{2}\,\frac{1-\cos\,2\,\omega}{2}) \\&=&(r+r\,\frac{\lambda}{4})-(r\,\cos\,\omega+r\,\frac{\lambda}{4}\,\cos\,2\,\omega).\end{array} Setzen wir r\,\frac{\lambda}{4}=m und den mit to veränderlichen Ausdruck r cos ω + m cos 2ω = σ . . . . . . . . . . 5), so ist      s = (r + m) – σ . . . . . . . . . . 6). Um zunächst σ darzustellen, ziehen wir in Abb. 1 durch den zu dem beliebigen Kurbelwinkel ω gehörigen Punkt M des Kurbelkreises die Strecke MN = r cos ω und nehmen NP = m cos2 ω an; dann ist: σ = MN + NP = MP . . . . . . . . . . 7). Es läßt sich nun leicht zeigen, daß der Punkt P auf einer Parabel liegt. Beziehen wir ihn auf das Achsenkreuz XOY (T1OA), so ist: OQ = NP = x = – m cos 2ω = – m (1 – 2 sin2 ω) und PQ = NO = y = r sin ω. Eliminieren wir aus diesen Koordinatengleichungen \sin\,\omega=\frac{y}{r}, so wird y^2=\frac{2\,r}{\lambda}\,(m+x) 8) und      y^2=\frac{2\,r}{\lambda}\,\cdot\,x', wenn m + x = x' gesetzt wird. Der geometrische Ort der Punkte P ist also eine Parabel, deren Achse mit der positiven X-Achse zusammenfällt und deren Scheitel S in der Entfernung OS = m vom Mittelpunkte des Kurbelkreises auf der negativen Seite der Abszissenachse liegt. Die Werte von σ ergeben sich somit bei liegenden Maschinen als die Horizontalabstände des Kurbelzapfens von der Parabel und sind positiv, wenn sie links von ihr liegen (Abb. 1). Die Kolbenwege Ti1', Ti2' u.s.f. für den Hingang (s = r + m – σ = TiS – σ) ergeben sich dann, indem wir die positiven Werte von σ von S aas auf der Kolbenschublinie nach links und die negativen nach rechts abtragen (längs der Parabel parallel zu sich selbst verschieben). Zählen wir – um mit der oberen Hälfte des Kurbelkreises auszulangen – die Kurbelwinkel ω' für den Rückgang vom äußeren Totpunkte Ta aus im entgegengesetzten Sinne wie bisher, so stellen, wie sich leicht ergibt, die Strecken Ta11', Ta10' u.s.f. bereits die Wege für den Kolbenrückgang dar. Teilen wir den Kurbelhalbkreis, wie dies meist geschieht, in 12 gleiche Teile, so ergeben sich (Abb. 1) in einfachster Weise die in Tabelle I angegebenen Punkte, die für die Aufzeichnung der Parabel vollkommen genügen. Tabelle I. Punkt: S a P b c d x = – m -\frac{3}{4} m -\frac{1}{2} m 0 \frac{1}{2} m m y = 0 \frac{1}{2}\,\frac{r}{\sqrt{3}} \frac{1}{2}\,r \frac{r}{\sqrt{2}} \frac{r}{2}\,\sqrt{3} r ω = 0° – 30° 45° 60° 90° Für die gebräuchlichen Werte von λ läßt sich die Wegparabel auch – wenn hier ausnahmsweise die Benützung der Pleuelstangenlänge zugelassen wird – genauer als praktisch notwendig durch ihren Krümmungskreis im Scheitel ersetzen, dessen Halbmesser \frac{r}{\lambda}=1 ist. Wählen wir normal 1 = 5r, so ist die Horizontalprojektion des benützten Parabelbogens 2\,m=r\,\frac{\lambda}{2}=0,1\,r. Die Horizontalprojektion δ des ihn ersetzenden Bogens des Krümmungskreises, der mit dem Parabelbogen die gleiche Vertikalprojektion r hat, bestimmt sich aus der bekannten Gleichung r^2=(21-\delta)\,\delta\mbox{ zu }\delta=1-\sqrt{l^2-r^2}=0,10102\,r. Dann ist δ – 2 m = 0,00102 r oder rund 1 v. H. (für r = 50 mm und \lambda=\frac{r}{5} nur 0,05 mm). Mittels der Wegparabel können wir nun auch den zu einem beliebigen Kolbenwege sv gehörigen Kurbelwinkel ωx bestimmen. Machen wir in Abb. 1 SE = sx = OD, EOx = r und beschreiben aus Ox mit dem Kurbelradius einen Kreisbogen, der die Parabel in Px schneidet, so ist MxPx ∥ TiO gleich σx und ∢ TiOMx = ωx. Mit ωx lassen sich dann auch die zu s, gehörigen Werte von c, p und t nach den noch zu erörternden Verfahren bestimmen. 2. Die Kolbengeschwindigkeit. Bezeichnen wir in der Formel 2) den Wert v\,\frac{\lambda}{2} mit ρ, so wird für den Hingang c = v sin ω + ρ sin 2ω Beschreiben wir in Abb. 2 mit den Radien v und ρ Kreise und wählen auf ihnen die Punkte M und m so, daß ∢ TiOM = ω und ∢ TiOm = 2ω, so ist MN = v sin ω, mn = ρ sin 2ω = n II = NP und MN + NP = MP = c . . . . . . . . . . 9). Beziehen wir den Punkt P auf das Koordinatensystem XOY, so ist seine Abszisse ON = x = v cos ω. und die zugehörige Ordinate NP = y = – ρ sin 2ω = – 2ρ cos ω√1 – cos2 ω. Setzen wir in letzterem Ausdrucke \cos\,\omega=\frac{x}{v}, \varrho=v\,\frac{\lambda}{2} und quadrieren, so wird y^2=\lambda^2\,v^2\,\left(1-\frac{x^2}{v^2}\right) oder      x^4=v^2\,x^2-\left(\frac{v}{\lambda}\right)^2\,y^2 10). Dies ist die Gleichung der Lemniskate von Gerono, auch Achterkurve genannt. Ihre einfache Konstruktion ist aus Abb. 2 ohne weiteres zu entnehmen. Der hier weggelassene Teil der Kurve kommt für den Rückgang in Betracht. Machen wir TiT = 2ρ, so ist TO eine Tangente für den Doppelpunkt O der Lemniskate. Die Krümmungskreise für die Punkte Ti und b besitzen die Radien v λ2 und \frac{v}{4\,\lambda}. 3. Die Kolbenbeschleunigung. Der Ausdruck für die Kolbenbeschleunigung: p=\frac{v^2}{r}\,(\cos\,\omega\,\pm\,\lambda\,\cos\,2\,\omega) unterscheidet sich von dem für \sigma=r\,(\cos\,\omega\,\pm\,\frac{\lambda}{4}\,\cos\,2\,\omega) nur dadurch, daß an Stelle von r und \frac{\lambda}{4} die Werte \frac{v^2}{r} und λ stehen. Er kann daher in ähnlicher Weise wieder mittels einer Parabel konstruiert werden, deren Gleichung jetzt y^2=\frac{v^2}{2\,r\,\lambda}\,\left(x+\frac{v^2}{r}\,\lambda\right) wird. Wählen wir den Maßstab der Kolbengeschwindigkeit so, daß v = r, so wird auch \frac{v^2}{r}=r und y^2=\frac{r}{2\,\lambda}\,(x+r\,\lambda) 11a). Der Scheitel dieser Parabel liegt in der Entfernung rλ = m1 = 4m vom Mittelpunkt des Kurbelkreises auf der negativen Seite der Abszissenachse. Zwischen den beiden Parabeln, die zur Konstruktion des Weges und der Beschleunigung dienen, besteht eine einfache Beziehung. Bezeichnen wir die laufenden Koordinaten der Beschleunigungsparabel zur Unterscheidung mit x1y1 und setzen y1 = y, so ist \frac{r}{2\,\lambda}\,\left(x_1+r\,\lambda\right)=\frac{2\,r}{\lambda}\,\left(x+r\,\frac{\lambda}{4}\right), woraus x1 = 4x folgt. Für gleiche Ordinaten sind also die Abszissen der Beschleunigungsparabel viermal so groß als die der Wegparabel. Die Verwertung dieser Beziehung zur Konstruktion der Beschleunigungsparabel wird sich besonders dann empfehlen, wenn die Wegparabel durch ihren Krümmungskreis im Scheitel ersetzt wird. Abb. 3 zeigt die Ermittlung der Kolbenbeschleunigungen beim Hingang für v = r und \lambda=\frac{2}{5}. Dieses abnormale Verhältnis wurde gewählt, um eine deutlichere Zeichnung zu erhalten. Tragen wir die Werte von p als Ordinaten zu den Kolbenwegen auf, so gelangen wir zu der üblichen Darstellung der Beschleunigungskurve im rechtwinkligen Koordinatensystem. Dieselbe schneidet die Abszissenachse im Punkt a, wobei aS = bb1 ist und hat in R einen negativen Höchstwert, der sich aus \frac{d\,p}{d\,\omega}=-r\,(\sin\,\omega+4\,\lambda\,\sin\,\omega\,\cos\,\omega)=0 Textabbildung Bd. 342, S. 255 Abb. 3. für \cos\,\omega=-\frac{1}{4\,\lambda} mit p_{\mbox{max}}=-r\,\left(\lambda+\frac{1}{8\,\lambda}\right) ergibt. 4. Die Tangentialkraft. Zu ihrer zeichnerischen Bestimmung benutzen wir die aus der Gleichung 4) folgende Proportion: t : q = c : v . . . . . . . . . . 12). Um auf Grund derselben die zu ω gehörige Tangentialkraft t zu erhalten, verwenden wir das Dreieck OMP in Abb. 2. Machen wir OF = q und ziehen FG ∥ MP, so ist FG = t. Ebenso finden wir für den Kurbelwinkel (180 – ω)die Tangentialkraft t10 = HJ mittels des Dreieckes O10P'. Hinsichtlich des Tangentialdruckdiagrammes wird auf die Arbeit des Verfassers in Bd. 327 dieser Zeitschrift verwiesen.