Titel: | Zur Theorie der Riementriebe. |
Autor: | G. Duffing |
Fundstelle: | Band 333, Jahrgang 1918, S. 233 |
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Zur Theorie der Riementriebe.
Von Oberingenieur G. Duffing, Berlin.
DUFFING: Zur Theorie der Riementriebe.
In seiner Arbeit „Theorie des Riementriebes“, Berlin, Springer 1918, hat
Dr.-Ing. Wilhelm Stiel zum ersten Male den Versuch
gemacht, den Uebergang des Riemens über die Scheibe im stationären Zustand ohne einschränkende Annahmen bezüglich der physikalischen
Grundlagen zu beschreiben und denselben mit Erfolg durchgeführt.
Stiel hat die Gesetze der Dehnung des Leders und der
Reibung unverändert in seinen Rechnungsgang aufgenommen, so wie sich diese Gesetze
aus dem spärlichen Versuchsmaterial herausschälen ließen. Sollten diese Gesetze
infolge künftiger Forschungsergebnisse eine andere Gestalt annehmen, so bleibt doch
der eingeschlagene Rechnungsgang in derselben Form anwendbar. Da aber gerade der
rechnerische Teil der Arbeit noch verbesserungsfähig ist, so möchte ich, in
Anbetracht der Wichtigkeit der Sache, hierzu einige ergänzende Ausführungen
machen.
Die Grundlagen der Rechnung sind hier wie dort:
I. Das Dehnungsgesetz
\lambda=f\,\left(\frac{S}{q}\right)=f\,(k),
dargestellt durch die Kurve λ der Abb. 53, S. 84
(Stiel). Hierin bedeutet S die totale Trumkraft, q den Riemenquerschnitt (im unbelasteten Zustande), k die Materialanstrengung und λ die Verlängerung gegenüber dem unbelasteten
Zustande,
II. Das Gesetz der kombinierten Druck- und Flächenreibung
d R = μ p d F + v d F,
worin d F das Element der
Berührungsfläche zwischen Riemen und Scheibe, p der
spezifische Normaldruck, μ und ν Funktionen der Gleitgeschwindigkeit w : μ =
f1 (w), ν = f2 (w) sind.
III. Das Gesetz der Kontinuität, welches beim stationären
Zustand die einfache Form hat:
u – ϒ = konst.
Hierin bedeutet u die
Geschwindigkeit an einem im Raum festliegenden Punkt der Riemenbahn (Riemen durch
ein Band von verschwindender Dicke ersetzt), ϒ das
Gewicht der Längeneinheit des im Dehnungszustand befindlichen Riemens. Das Gesetz
besagt, daß in der Zeiteinheit an jedem Punkt der räumlich festliegenden Riemenbahn
dieselbe Masse vorbeigehen muß. Sein Inhalt ist, mit Rücksicht auf die
Unveränderlichkeit der Riemenbahn und Unveränderlichkeit der Spannung in einem
festen Raumpunkt identisch mit dem Prinzip von der Erhaltung der Masse und so
unumstößlich daß Versuche, die den stationären Zustand voraussetzen, und deren
Resultate damit im Widerspruch sind, vom wissenschaftlichen Standpunkt unbedingt verworfen werden
müssen.
Textabbildung Bd. 333, S. 233
Abb. 1.
Beim Uebergang des Riemens über die Scheibe ist die Geschwindigkeit u an jedem Punkt des als fest im Raume gedachten
Scheibenkreises eine andere, und ein Riemenelement von der Länge d s ist beim Uebergang (streng genommen sogar beim
ganzen Riemenlauf) einem Geschwindigkeitswechsel unterworfen, so daß
u ∙ ϒ = c
∙ ϒ0 . . . . . (1)
wo ϒ0 das Gewicht der Längeneinheit des ungedehnten
Riemens und c eine Konstante, die man als ideelle
Riemengeschwindigkeit auffassen kann.
Das Riemenelement von der Länge d s habe im ungedehnten
Zustand die Länge d σ, dann ist zufolge. I:
d s = dσ [1 +
f (k)] . . . . . (2)
und weil d s ∙ ϒ = d σ ∙ ϒ0 so folgt
\gamma=\frac{\gamma_0}{1+f} . . . . . (3)
und ferner
u = c (1
+ f) . . . . . (4)
wo f als Abkürzung für f (k) zu gelten hat. Die
Beschleunigung, welche das Riemenelement erhält, ist
\frac{d\,u}{d\,t}=\frac{d\,u}{d\,s}\,.\,\frac{d\,s}{d\,t}=u\,.\,\frac{d\,u}{d\,s}.
Nun ist aber
\frac{d\,u}{d\,s}=c\,\frac{d\,f}{d\,s}=c\,\frac{d\,f}{d\,S}\,.\,\frac{d\,S}{d\,s}=c\,\frac{d}{d\,S}\,\left[f\,\left(\frac{S}{q}\right)\right]\,\frac{d\,S}{d\,s}
oder
\frac{d\,u}{d\,t}=\frac{c^2}{q}\,(1+f)\,.\,f'\,.\,\frac{d\,S}{d\,s} . . . . . (5)
worin f' als Abkürzung für
\frac{d\,f\,(k)}{d\,k} dient.
Wir betrachten nun zunächst die getriebene Scheibe mit der
Umfangsgeschwindigkeit a, wo also stets u – a ≧ 0 ist.
An dem Riemenelement von der Länge d s greifen außer
den Trumkräften die Reibungskräfte nach II in tangentialer Richtung an und
verursachen mit jenen zusammen die Tangentialbeschleunigung \frac{d\,u}{d\,t}.
Textabbildung Bd. 333, S. 234
Abb. 2.
Mit Berücksichtigung der Zentrifugalkraft wird der Normaldruck
p\,d\,F=S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{u^2}{r},
entsprechend der Reibungkraft nach II
d\,R=\mu\,\left[S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{u^2}{r}\right]+v\,b\,d\,s . . . . . (6)
wo b die Riemenbreite
bedeutet.
Man erhält dann die Tangentialbeschleunigung des Riemenelements von der Masse
\gamma\,\frac{d\,s}{g} aus der Beziehung
\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{d\,u}{d\,t}=d\,S-d\,R . . . . . (7)
oder unter Benutzung von (5)
d\,S=\mu\,\left[S\,d\,\varphi-\gamma\,\frac{d\,s\,u^2}{g\,.\,r}\right]+v\,b\,d\,s+\gamma\,\frac{d\,s}{g}\,\frac{c^2}{q}\,(1+f)\,f'\,\frac{d\,S}{d\,s}.
Mit Rücksicht auf Gleichung (3) und (4) folgt hieraus
d\,S=\frac{\mu\,d\,s}{r}\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,d\,s+\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,.\,q}\,.\,f'\,d\,S
oder
\frac{d\,S}{d\,s}\,\left[1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,.\,q}\,f'\right]=\frac{\mu}{r}\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b . . . . .(8)
In dieser Differentialgleichung sind f und f' gemäß I Funktionen von S, und damit auch u gemäß
Gl. (4), ebenso w = u – a Funktionen von S. Nach II stellen sich dann auch μ = f1 (w) und v = f2 (w) als Funktionen
von S dar.
Die Integration der Differentialgleichung (8) wird auf eine Quadratur zurückgeführt,
da die Variabeln ohne Weiteres getrennt werden können. Man erhält
\frac{\left[1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,q}\,.\,f'\right]\,d\,S}{\mu\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,r}=\frac{d\,s}{r}=d\,\varphi . . . . . (9)
woraus der Umspannungsbogen
\varphi_1-\varphi_2=\int_{\mbox{S}_2}^{\mbox{S}_1}\,\frac{1-\frac{\gamma_0\,c^2}{g\,q}\,f'}{\mu\,\left[S-\frac{\gamma_0}{g}\,c^2\,(1+f)\right]+v\,b\,r}\,d\,S . . . . . (10)
als Funktion der beiden Trumkräfte S1, S2 gefunden wird. Sind die Funktionen f, f1, f2 gegeben, d.h.
existieren Rechenvorschriften, nach denen man die zu einem beliebigen S gehörigen f, f1, f2 ermitteln kann, so begegnet die Auswertung der
rechten Seite von (10) mit beliebigem Genauigkeitsgrad nicht den geringsten
Schwierigkeiten, so lange der Integrand endlich bleibt, was wir hier zunächst
voraussetzen wollen.
Die Möglichkeit, die rechte Seite von (10) in entwickelter Form als Funktion von S1 und S2 darzustellen, wird
natürlich durch die Beschaffenheit der Funktion f
bedingt sein, und da diese Funktionen empirisch aufgebaut werden, so hat man es
unter Umständen in der Hand, durch zweckmäßige Auswahl dieser Funktionsformen, eine
explizite Darstellung von (10), die für den ausführenden Maschinenbau sehr erwünscht
ist, anzubahnen.
Sind die f, f1, f2 rationale Funktionen
von S, so läßt sich das unbestimmte Integral wohl
ermitteln, vorausgesetzt, daß die Nullstellen des Nenners leicht angegeben werden
können, anderenfalls wird man auch in diesem Falle bequem mit der näherungsweisen
Quadratur auskommen.
Angesichts der Tatsache, daß das bis heute bekannte Versuchsmaterial nicht ausreicht,
um die Funktionen f, f1, f2 mit
genügender Sicherheit zu bestimmen, dürfte es, um eine ungefähre Uebersicht über die
Vorgänge zu erhalten, vorläufig zulässig sein, lineare Funktionen als rohe
Näherungen für f, f1,
f2 einzusetzen.
In diesem Sinne sei angenommen
f\,(k)=\varepsilon_0+\frac{1}{E}\,k=\varepsilon_0+\frac{S}{E\,q} . . . . . (11)
f1
(w) = μ = konst. . . .
. . (12)
f2(w) = v = v0 + β (u – a) . . . . . (13)
(Getriebene Scheibe u ≧ a.)
Nach dem Aussehen der Abb. 53 bei „Stiel, Theorie des Riementriebes“ (vgl.
Abb. 2) kommen die Abweichungen von (12) und (13)
nur bei ganz kleinen Werten von w = u – a in Betracht,
während in (11) ε0 und
E so zu wählen sind, daß in dem für k benutzten Intervall die Abweichungen möglichst gering
werden. Schließlich ist das Ergebnis der Annahmen (11) bis (13) durch Vergleich mit
dem Ergebnis von (10), unter Benutzung der genauen Gesetze leicht zu prüfen.
Aus (11) folgt
f'=\frac{1}{E} . . . . . (14)
Ferner
u=c\,\left[1+\varepsilon_0+\frac{S}{E\,q}\right] . . . . . (15)
und damit
v=v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c+\beta\,c\,\frac{S}{E\,q} . . . . . (16)
Setzt man diese Resultate in Gl. (9) ein, so ergibt sich durch
eine einfache Rechnung
S\,\left[1-\frac{m\,c^2}{E\,q}+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]-m\,c^2\,(1+\varepsilon_0)+\frac{b\,r}{\mu}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi} . . . . . (17)
wo
\mu_1=\mu\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,(E\,q-m\,c^2)}\right]=\mu+\frac{b\,r\,\beta\,c'}{E\,q-m\,c^2}
und m=\frac{\gamma_0}{g} die Masse der Längeneinheit des ungedehnten
Riemens ist.
In dem speziellen Fall ε0 = 0, v0 =
0, β = 0 ist die Gl. (17) identisch mit der Gl. (27)
meiner Arbeit „Vorspannung und Achsdruck“, Zeitschr. d. V. d. I. 1913 S. 967,
welche die Spannungsverteilung längs des Scheibenumfangs auf der Grundlage des alten Reibungsgesetzes darstellt.
Bezüglich der Formel (17) ist zu bemerken, daß sie nur innerhalb gewisser Grenzen für
die Werte k und w eine
gute Annäherung an die nach dem Verfahren Von Stiel
berechneten Werte geben kann, auf alle Fälle sind ganz kleine Werte von k und w auszuschließen. Im
Uebrigen ist noch nicht abzusehen, wie weit beide Resultate der Wirklichkeit
entsprechen, da die elastische Nachwirkung nicht berücksichtigt ist, über deren
Rolle beim Riementrieb wir bis heute absolut nichts wissen. Die Formel müßte also
nach allen Richtungen auf dem Versuchsstand geprüft werden, ehe sie zur Berechnung der Riementriebe empfohlen werden kann. Die
Formel enthält aber in ihrer jetzigen Gestalt schon die bekannte Tatsache, daß
Triebe mit hoher Geschwindigkeit und großen Scheiben günstiger arbeiten als man
früher angenommen hat.
Wir wollen nun an Hand der Formel (10) eine Stichprobe auf die Richtigkeit der Stielschen Berechnung machen und greifen hierzu aus
Tabelle I S. 86 Ziffer 1 bis 7 heraus. Die Massenwirkungen sind daselbst
vernachlässigt, so daß ϒ0 = 0 zu setzen ist, und demgemäß
\varphi_1=\int_{\mbox{S}_2}^{\mbox{S}_1}\,\frac{d\,S}{\mu\,S+v\,b\,r}=\int_{\mbox{k}_2}^{\mbox{k}_1}\,\frac{d\,k}{\mu\,k+v\,\frac{r}{\delta}},
wo δ die Riemendicke bedeutet,
und φ2 = 0 angenommen wird, was uns freisteht. Wir
wählen das Intervall k2
= 4, k1 = 238,7 und
berechnen den zugehörigen Umspannungswinkel φ1.
Den Integranden \frac{1}{\mu\,k+50\,v} bezeichnen wir kürzer mit y.
(r = 25 cm, δ = 0,5
cm, b = 10 cm). Wir teilen das Intervall k2 ≤ k ≤ k1 in acht Teile und erledigen die Quadratur
vermittels der Simpsonschen Regel.
Um w zu berechnen, müssen wir zuerst eine Festsetzung
über c treffen. Nehmen wir an, daß die angegebene
Riemengeschwindigkeit von 10 m/sek. sich auf eine Anstrengung k = 72 kg/cm2
bezieht, so folgt aus Abb. 53 (Stiel) f = 2,36 v. H.
und damit c = 9,77 m/sek.
Mit dem Anfangsschlupf von 40 cm/sek. ergibt sich die Umfangsgeschwindigkeit der
Riemenscheibe
a = 977 ∙ 1,0025 – 40 = 939,44
cm/sek.
Damit sind aber sämtliche w = u
– a= c [1 + f
(k)] – a
leicht aus Abb. 53 (Stiel) (vgl. Abb. 2.) zu
ermitteln. Wir erhalten dann untenstehende Tabelle, und φ1 = Σφ = 3,537 gegenüber 3,500 bei Stiel. Die Uebereinstimmung ist befriedigend. Unser
Rechnungsgang, der φ in Abhängigkeit von k darstellt,
verursacht augenscheinlich weniger Mühe als das Stielsche
Verfahren, bei welchem φ als unabhängige Variable gewählt wird. Aber auch diese
Arbeit ist noch viel zu groß, wenn man einen Ueberblick über alle Riementriebe erlangen will.
Wir wollen deshalb einmal die Zulässigkeit unserer Formel (17) an Hand der Abb. 54
(Stiel) prüfen, um so vielleicht doch zu einem brauchbaren Ersatz für die genaueren
Berechnungen zu gelangen.
Unter der Voraussetzung m = 0 (Vernachlässigung der
Massen Wirkung) vereinfacht sich unsere Formel (17) in
S\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]+\frac{b\,r}{\mu}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi}
\mu_1=\mu\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right] . . . . . (18)
oder wenn durch q dividiert
wird
k\,\left[1+\frac{b\,r\,\beta\,c}{\mu\,E\,q}\right]+\frac{b\,r}{\mu\,q}\,[v_0+\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi}
Mit q = b ∙ δ erhält man schließlich
k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,[v_0+\beta\,(c-\alpha)+\beta\,\varepsilon_0\,c]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi}
\mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (19)
Der Schlupf, welcher, dem Auflaufpunkt entsprechend, der
Materialanstrengung k2, zugehört, ist
w2 =
u2 – a = c – a + c
f (k2)
also
c-a=w_2-c\,f\,(k_2)=w_2-c\,\left(\varepsilon_0+\frac{k_2}{E}\right)
und
\beta\,(c-a)+\beta\,\varepsilon_0=\beta\,\left[w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right],
womit man aus (19)
k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right)\right]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi}
wo
\mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (20)
erhält.
Für das in Rede stehende Beispiel von Stiel
Riemengeschwindigkeit
1000 cm/sec.
Scheibenradius
r = 25 cm,
Riemenbreite
b = 10 cm,
Riemenstärke
δ = 0,5 cm,
Anstrengung im schlaffen Trum
k2 = 4
kg/cm2,
Textabbildung Bd. 333, S. 235
nehmen wir wie oben (mangels näherer Festsetzung über den
Begriff der „Riemengeschwindigkeit“) c = 977
cm/Sek. an. Wir setzen an Stelle der μ Kurve einen
konstanten Wert μ = 0,595. Bei Ersatz der ν-Kurve durch eine Gerade wählen wir v0 = 0,08, β = 0,005 und bei der λ-Kurve wählen wir, entsprechend dem benutzten Intervall für k; ε0 = 0,01,
\frac{1}{E}=0,0001765. Diese Annahme ergibt dann zum Beispiel für
k = 30,
f = 0,0153 gegen
λ = 1,4 v. H. bei Stiel
k = 150,
f = 0,0365 gegen
λ = 3,56 v. H.,
während für k = 4 die Abweichung
sehr groß wird; es
wird f = 0,0100 gegen λ ~ 0,4
v. H.
Es zeigt sich aber, daß selbst dieser anfechtbare Punkt unserer Annahme beim
Schlußresultat wenig ausmacht. Es wird dann
\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}=0,0733,\ \mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]=0,6386.
Wenn wir nun die Verhältnisse bei w2 = 40 cm/Sek. (bei Stiel wg = 40, Abb. 54. S.
88) prüfen, so erhalten wir
\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_2-\frac{c\,k_2}{E}\right)\right]=23,2.
Aus Formel (20) ergibt sich dann leicht φ als Funktion von k in der Form
0,6386 ∙ φ = log [1,0733 k + 23,2] –
log [1,0733 k2 + 23,2]
= log [1,0733 k + 23,2] – 3,3138
zum Beispiel ergibt sich für kn = 110, k =
114. φ = 2,610 gegen 2,500 nach Abb. 54 (Stiel), also ein Fehler von etwa 4 v. H.,
der gegenüber den Unsicherheiten der Grundkurven λ, μ,
ν gar keine Bedeutung hat.
Textabbildung Bd. 333, S. 236
Abb. 3.
Es macht keine große Mühe, auf diese Weise die Kurven für w2 = 40, 30, 20 usw. nachzurechnen, die
Sache geht aber noch einfacher zeichnerisch vermittels einer einzigen
logarithmischen Linie: man ziehe, für unser obiges Beispiel eine Parallele A B zur Achse der k im
Abstand 3,3138 und trage auf derselben die Skala 1,0733 (kn + 4) ab, so kann man unmittelbar den
Winkel 0,6386 φ abgreifen und an einer geeigneten Skala φ selbst ablesen (vgl. Abb. 3). Für andere Werte von w2 ändert sich nur die Lage der Skala
gegenüber der logarithmischen Kurve. Führt man die kleine Arbeit durch, so findet
man in dem Gebiet w2 =
1 cm bis 40 cm/Sek., kn
= 0 – 250 kg/cm2 eine Abweichung von den
Ergebnissen von Stiel, die nicht mehr als 7 v. H. beträgt. Bei w2 = 0,1 cm/Sek. ist
die Abweichung etwas größer als 10 v. H. Man wird vielleicht bessere Ersatzkurven
wählen, wenn erst einmal die Grundgesetze über λ, μ, ν
feststehen. Eventuell gibt man aber damit die Einfachheit des Schlußresultats preis.
Unsere Formeln (19) und (20) ergeben alles, was in den Abb. 54 bis 68 (Stiel),
soweit sie sich auf die getriebene Scheibe beziehen, enthalten ist. Die Kurve für
we in Abb. 55 geht
natürlich zufolge Gl. (11) in eine Gerade über. Qualitativ hat dies jedoch keine
Bedeutung, wenn man kleine kn und w, also die linke untere Ecke des
Diagramms ausschließt.
Wir wollen unsere Formel noch mit Abb. 68 vergleichen und zu diesem Zweck kn bei gegebenem
Gesamtschlupf w1, φ =
3, c = 10 m/Sek., k2 = 4 kg/cm2 als
Funktion von r bestimmen.
Auf dieselbe Weise wie Gl. (20) folgt aus (19)
k\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right]+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,\left[v_0+\beta\,\left(w_1-\frac{c\,k_1}{E}\right)\right]=\mbox{konst.
}e^{\mu_1\,\varphi}
\mu_1=\mu\,\left[1+\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\right] . . . . . (21)
Hieraus ergibt sich dann
\frac{k_1+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}{k_2-\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\,k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}=e^{\mu_1\,(\varphi_1-\varphi_2)}=e^{\mu_1\,\varphi_{1\,2}}
oder
\frac{k_2+k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}{k_2-\beta\,\frac{r}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}\,k_{\mbox{n}}+\frac{1}{\mu}\,\frac{r}{\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)}=e^{\mu_1\,\varphi_{1\,2}} . . . . . (22)
In unserem Falle ist dann
k2 = 4, \frac{\beta}{\delta}\,\frac{c}{\mu\,E}=0,00297, μ1 = 0,595 + 0,00177
r. Wählen wir w1 = 40, so folgt \frac{1}{\mu\,\delta}\,(v_0+\beta\,w_1)=0,941, φ12 = 3 und aus Gl. (22) folgt
\frac{4+k_{\mbox{n}}+0,941\,r}{4-0,00297\,r\,k_{\mbox{n}}+0,941\,r}=e^{1,785=0,00531\,\mbox{r}} . . . . . (23)
Bestimmt man hieraus kn, so erhält man für
r = 0
kn =
19,84
gegen
kn = 20,0
nach Abb. 68 (Stiel)
r = 50
kn =
160,5
„
kn =
159
r = 100
kn =
227
„
kn =
225
r = 150
kn =
256
Diese Zahl ist jedoch bedeutungslos, da sich
hierfürw2 < 0 ergibt, im
Widerspruch mit unserer Voraussetzung
r = ∞
kn = 317
Mit Ausnahme der beiden letzten Werte findet eine sehr gute
Uebereinstimmung mit Abb. 68 statt.
Wenn die Konstanten der Relationen (11), (12), (13) bekannt sind, wird man nach dem
Vorhergehenden die Formeln (17) und (19) zur Berechnung des Riemens benutzen dürfen,
wenigstens so lange, bis eine Formel gefunden ist, die besseren Anschluß an die
tatsächlichen Verhältnisse bei kleinen k und w gewährt.
Umgekehrt können auch, wenn zuverlässige Versuchsreihen von besonderen
Versuchs-Riementrieben vorliegen (genaue Messung von k1, k2, w, a) diese
Konstanten bestimmt werden Die Konstante c müßte aus
der Umlaufzeit des Riemens, die sich durch optische Mittel leicht feststellen läßt,
berechnet werden. Die Berechnung der übrigen Konstanten erfordert die Auflösung
einer transzendenten Gleichung mit einer Unbekannten, die Erörterung dieser Materie
soll jedoch auf einen geeigneten Zeitpunkt aufgeschoben werden.
Ob die elastische Nachwirkung formelmäßig zum Ausdruck gebracht werden kann, steht
noch dahin. Hinsichtlich des stationären Zustandes, auf den sich unsere ganze
Betrachtung bezieht, muß man noch Zweifel hegen, ob er überhaupt dauernd unterhalten
werden kann; denn in sehr vielen Fällen sind bei elastischen Systemen Reibungskräfte
Erzeuger von Schwingungserscheinungen, und deshalb wäre es von Wichtigkeit für die
Einschätzung der Theorie, wenn einmal ein stationärer
Zustand eines Riementriebes experimentell einwandfrei
nachgewiesen würde.
(Schluß folgt.)