Beitrag zur harmonischen Analyse periodischer Kurven. Von Dipl.-Ing. L. Zipperer, Mannheim. [ZIPPERER: Beitrag zur harmonischen Analyse periodischer Kurven.] Jede periodische Kurve kann mit Hilfe der Fourierschen Reihe wie folgt dargestellt werden: $$f(x)=A_0+\sum _{\text{n}=1}^{\mathrm{\infty }}(A_{\text{n}}\cos nx+B_{\text{n}}\sin nx).$$

Tafel I.

Hierin ist: $$A_{\text{n}}=\frac{1}{m}\sum _{\text{v}=1}^{2\text{m}}{f}_{\text{v}}(x)\cos n\frac{2\pi }{2m}.v,$$ $$B_{\text{n}}=\frac{1}{m}\sum _{\text{v}=1}^{2\text{m}}{f}_{\text{v}}(x)\sin n\frac{2\pi }{2m}.v,$$ wenn 2 m die Anzahl der Teile angibt, in die die Periode der gegebenen Kurve zerlegt ist und fv (x) die Abszissen des Kurvenzuges für ν = 0 bis ν = 2 m sind. Die Werte cos $$n\frac{2\pi }{2m}v$$ und sin $$n\frac{2\pi }{2m}v$$ können aus einer trigonometrischen Tafel entnommen werden. Für 2 m = 24 findet sich eine Zusammenstellung zum Beispiel in Hort „Die Differentialgleichungen des Ingenieurs“, Seite 279 ff.

Tafel II.

Die mühsame Vervielfachung der Werte mit den entsprechenden Winkelwerten cos n ∙ 15° ∙ ν bzw. sin n ∙ 15° ∙ ν kann erheblich vereinfacht werden durch das im folgenden angegebene Verfahren. In eine Tafel I werden in die erste Spalte + 1,000 die wirklichen fv (x)-Werte eingetragen. Mit einmaliger Einstellung des Rechenschiebers ergeben sich die Größen: fv (x) sin 75° = 0,966  ∙ fv (x), fv (x) sin 60° = 0,866 ∙ fv (x), fv (x) sin 45° = 0,707 ∙ fv (x), fv (x) sin 30° = 0,500 ∙ fv (x), fv (x) sin 15° = 0,259  ∙ fv (x). Rechts von der Spalte 0 werden die ermittelten Werte nochmals eingetragen mit entgegengesetztem Vorzeichen. Berechnet man in bisher üblicher Weise zum Beispiel die Werte: fv (x) sin 1 ∙ 15° ∙ ν und hebt diese auf Tafel I besonders hervor, so entsteht das in Tafel II wiedergegebene Bild. Für fv (x) cos 1 ∙ 15° ∙ ν erhält man in gleicher Weise Tafel III; für fv (x) ∙cos 3 ∙ 15° ∙ ν Tafel IV usw.

Tafel III. Nicht mitaddieren da die Integration nur zwischen 1 und 24 erfolgt.

Um die Tafel I und II für mehrere Berechnungen verwenden zu können, zeichnet man Tafel I auf starkes Zeichenpapier mit Tusche auf. Die aus der Kurve abgegriffenen Werte und der aus ihnen berechneten Größen werden mit Bleistift eingetragen, um ein nachheriges Auslöschen zu ermöglichen. Tafel II wird auf durchsichtiges Papier mit Tusche aufgezeichnet. Zur Zerlegung einer Kurve in n = 6 Sinuskurven sind 2 n = 12 Tafeln nach II erforderlich, die in kurzer Zeit aufgezeichnet werden können. Zur Berechnung des Koeffizienten $$A_3=\frac{1}{m}\sum _1^{24}{f}_{\text{v}}(x)\cos 3.{15}^{\circ }.v$$ legt man die Tafel IV auf Tafel I, zählt die in den Feldern ersichtlichen Werte zusammen und teilt die Endsumme durch m = 12.

Tafel IV.

Sollen die einzelnen Grundkurven aufgezeichnet werden, so wird der zu Anfang angegebene Ausdruck: $$f(x)=A_0+\sum _{\text{n}=1}^{\mathrm{\infty }}(A_{\text{n}}\cos nx+B_{\text{n}}\sin nx)$$ in bekannter Weise umgeformt in: $$f(x)=A_0+\sum _{\text{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{\text{n}}\sin (nx+{\phi }_{\text{n}}),$$ hierin ist: $$p_{\text{n}}=\sqrt{{A_{\text{n}}}^2+{B_{\text{n}}}^2}$$ und $$\text{tg}{\phi }_{\text{n}}=\frac{A_{\text{n}}}{B_{\text{n}}}.$$