Titel: | Eine neue kritische Wellengeschwindigkeit. |
Autor: | A. Stodola |
Fundstelle: | Band 333, Jahrgang 1918, S. 17 |
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Eine neue kritische
Wellengeschwindigkeit.
Von Professor Dr. A. Stodola, Zürich.
(Schluß von S. 3 d. Bd.)
Eine neue kritische Wellengeschwindigkeit.
2. Welle mit vielen gleichmäßig
verteilten Scheiben.
Meine hierüber a. a. O. veröffentlichte Arbeit bezog sich auf vollständig
ausgewuchtete Scheiben (e streng = 0) und führte auf
das Vorhandensein eines indifferenten Gleichgewichts bei der Hälfte der jeweiligen
gewöhnlichen kritischen Drehzahl. Nachfolgende Untersuchung zeigt, daß bei endlicher
Exzentrizität die Verhältnisse unvergleichlich verwickelter sind.
Machen wir die Verbindungslinie der Lagermitten zur X-Achse, legen die Y-Achse wagerecht, die Z-Achse senkrecht. Die wirklichen Räder denken wir in
unendlich dünne gleichmäßig verteilte Scheiben gespalten und bezeichnen mit
m
1
die Masse der Scheiben und der Welle für 1 cmder Länge,
\Theta_{\mbox{p}_1}=m_1\,q^2
polares Massenträgheitsmoment f. 1 cm d. L.,
Θ1 = m1q12
auf einen Durchmesser bezogenes Trägheits-moment f. 1 cm d.
L.,
Jp, J
entsprechende Querschnitts-Trägheitsmomente
Sy, Sz
Schubkräfte parallel zu Y und Z,
My, Mz
Biegungsmomente in den YOX-,
ZOX-Ebenen.
Ein Element zwischen den Achsenlängen x und x + dx bietet in Richtung der Achse den Anblick in der
Abbildung (vgl. S. 2), wobei S den Schwerpunkt der.
zugehörigen Scheiben und Wellenmasse bedeutet. Mit y, z
bezeichnen wir hier jedoch die Koordinaten des Wellendurchstoßpunktes W. Für den Schwerpunkt ist ys
=y + ey; zg = z + ez. Daher
\dot{y}_{\mbox{s}}=\dot{y}+\dot{e}_{\mbox{y}}; \ddot{y}_{\mbox{s}}=\ddot{y}+\ddot{e}_{\mbox{y}} ähnlich für z. In der Projektion
auf die YOX-Ebene wirkt die Schubkraft Sy, auf die Stirnfläche
bei x nach abwärts, My im Sinne des Uhrzeigers, auf die Stirnfläche bei
x + dx beide entgegengesetzt. Die Resultierende der
Fliehkräfte ist m1dxω2 (y + ey), diejenige der
Corioliskräfte 2\,m_1\,d\,x\,\omega\,(\dot{z}+\dot{e}_{\mbox{z}}). Daher lauten die Schwerpunktsgleichungen (nach Kürzung
mit m1dx), wenn man noch bei
unendlich kleinem Wert des Winkels τ die Annäherungen
e_{\mbox{y}}=e;\ \dot{e}_{\mbox{y}}=0;\ e_{\mbox{z}}=e\,\tau;\ \dot{e}_{\mbox{z}}=e\,\dot{\tau} . . (17a)
einführt
\ddot{y}=(y+e)\,\omega^2+2\,\omega\,(\dot{z}+e\,\dot{\tau})+\frac{1}{m_1}\,\frac{d\,S_{\mbox{x}}}{d\,x}-g\,\sin\,\omega\,t (18)
(\ddot{y}+e\,\ddot{\tau})=(z+e\,\tau)\,\omega^2-2\,\omega\,\dot{y}+\frac{1}{m_1}\,\frac{d\,S_{\mbox{z}}}{d\,x}-g\,\cos\,\omega\,t (19)
Für die Drehungsgleichungen um den Schwerpunkt müßte man
strenggenommen, da Drehung um drei Achsen stattfindet, die Eulersche Form benutzen. Da indessen die
Winkelgeschwindigkeiten der relativen Drehung ebenso wie die Auslenkungen als
unendlich klein vorausgesetzt werden müssen, darf man die mit dem Produkt der
Geschwindigkeiten behafteten Glieder weglassen. Die Neigungen gegen die festen
Achsen sind τ, yI,
zI, wenn wir mit
römischen Ziffern I, II... die Ableitungen nach x bezeichnen, die Winkelgeschwindigkeiten \dot{\tau}\,\dot{y}^{\mbox{I}}\,\dot{z}^{\mbox{I}},
die Winkelbeschleunigungen \ddot{\tau}\,\ddot{y}^{\mbox{I}}\,\ddot{z}^{\mbox{I}}. Es findet grundsätzlich auch eine Verdrehung
der Welle statt, so daß dτ die Zunahme von τ auf der Länge dx ist.
Bedeutet Mx das
Torsionsmoment, so ist dτ = Mxdx : JpG oder Mx = JpGdτ/dx. Im Endpunkt
x + dx wirkt Mx + d . Mx, das freie Moment
ist d\,M_{\mbox{x}}=J_{\mbox{p}}\,G\,\frac{\partial^2\,\tau}{\partial\,x^2}\,d\,x. Mit Rücksicht auf die Abbildung Seite 2 erhalten wir also die
Drehungsgleichung für die zur X-Achse parallele
Schwerpunktsachse
\Theta_{\mbox{p}_1}\,d\,x\,\ddot{\tau}=e_{\mbox{z}}\,d\,S_{\mbox{y}}-e_{\mbox{y}}\,d\,S_{\mbox{z}}+J_{\mbox{p}}\,G\,\tau^{\mbox{II}}\,d\,s . (20)
In die Drehgleichung für die Y-Achse tritt das Moment
der Fliehkräfte ein, welches der Neigung yI entsprechend = – Θ1dxω2yI ist. Die Corioliskräfte ergeben kein Moment, die
Schubkraft erzeugt Sydy, die
elastischen Spannungen liefern dMy. Da immer JEyII
= My gilt, ist dMy
= JEyIIIdx, und die Drehungsgleichung wird:
\Theta_1\,\ddot{y}^{\mbox{I}}=S_{\mbox{y}}-\Theta_1\,y^{\mbox{I}}\,\omega^2+J\,E\,y^{\mbox{III}} . . (21)
ähnlich für z:
\Theta_1\,\ddot{z}^{\mbox{I}}=S_{\mbox{z}}-\Theta_1\,z^{\mbox{I}}\,\omega^2+J\,E\,z^{\mbox{III}} . . (22)
In den fünf Grundgleichungen (18) bis (22) kommen yzτ und SySz als Veränderliche vor; wir differentieren (21),
(22) nach y bzw. z, und
setzen die Werte dSy/dx: dSz/dx in Gleichung (18) und (20) ein. Wir bestimmen dann
diejenige Auslenkung y = y0; z = 0 die bei stationärer Bewegung für g = 0 an unserer Welle zustande kommen würde, und
setzen y = y0 + η: z =
z0
+ ζ. Dadurch gehen (18) und (19) über in
-\ddot{\eta}+\eta\,\omega^2+2\,\omega\,(\dot{\zeta}+e\,\dot{\tau})+{q_1}^2\,(\ddot{\eta}^{\mbox{II}}+\eta^{\mbox{II}}\,\omega^2)-\frac{J\,E}{m_1}\,\eta^{\mbox{IV}}-g\,\sin\,\omega\,t=0 . . . (23)
-(\ddot{\zeta}+e\,\ddot{\tau})+(\zeta+e\,\tau)\,\omega^2-2\,\omega\,\dot{\eta}+{q_1}^2\,(\ddot{\zeta}^{\mbox{II}}+\zeta^{\mbox{II}}\,\omega^2)-\frac{J\,E}{m_1}\,\zeta^{\mbox{IV}}-g\,\cos\,\omega\,t=0 . . . (24)
Die Lösung y0 für die stationäre Bewegung muß aus Gleichung
(y_0+e)\,\omega^2+{q_1}^2\,{y_0}^{\mbox{II}}\,\omega^2-\frac{J\,E}{m_1}\,{y_0}^{\mbox{IV}}=0 (24a)
genommen werden. Indem man in der Drehungsgleichung (20)
Produkte der kleinen Größen ηζτ vernachlässigt,
entsteht
-\Theta_1\,\ddot{\tau}+(\Theta_1\,{y_0}^{\mbox{II}}\,\omega^2-J\,E\,{y_0}^{\mbox{IV}})\,e\,\tau-[\Theta_1\,(\ddot{\zeta}^{\mbox{II}}+\zeta^{\mbox{II}}\,\omega^2)-J\,E\,\zeta^{\mbox{IV}}]\,e+J_{\mbox{p}}\,G\,\tau^{\mbox{II}}=0 (25)
Der Ansatz η = Y sin ωt: ζ = Z cos ωt: τ = T cos ωt, wo Y, Z, T Funktionen
von x allein sind, liefert die partikuläre, periodische
Lösung, die der Wirkung der Schwerkraft entspricht. Die Gleichungen lauten:
2\,\omega^2\,Y-2\,\omega^2\,(Z+e\,T)-\frac{J\,E}{m_1}\,Y^{\mbox{IV}}-g=0 . (26)
-2\,\omega^2\,Y+2\,\omega^2\,(Z+e\,T)-\frac{J\,E}{m_1}\,Z^{\mbox{IV}}-g=0 . (27)
(\omega^2\,\Theta_{\mbox{p}_1}+\Theta_1\,{y_0}^{\mbox{II}}\,\omega^2\,e-J\,E\,{y_0}^{\mbox{IV}}\,e)\,T+J\,E\,e\,Z^{\mbox{IV}}+J_{\mbox{p}}\,G\,T^{\mbox{II}}=0 . . (28)
Es ist hiernach grundsätzlich die Biegungsschwingung mit einer
Drehschwingung vereinigt, und es kommt ganz auf die Verhältnisse jedes besonderen
Falles an, ob man letztere vernachlässigen darf oder nicht. Bei verschwindend
kleiner Verdrehung, d.h. unendlich großem Jp ist in der Grenze JpGτIIdx = dMx der Unterschied der Drehmomente am Element dx. Wir eliminieren diese Unbekannte durch Integration
von Gleichung (24) zwischen 0 und L, der Länge der
Welle, wobei an den Grenzen Mx = 0 gesetzt wird (unbeschadet des zur Ueberwindung des Widerstandes
dienenden Momentes, da Mx nur das freie Moment bedeutet). Indem wir Gleichungen (26) und (27)
einmal addieren, dann subtrahieren, erhält man mit
Y + Z = U: Y – Z = V. . . . (29)
JEUIV= – 2m1g. . . . . (30)
4\,\omega^2\,V-\frac{J\,E}{m_1}\,V^{\mbox{IV}}-4\,\omega^2\,e\,T=0 . . (31)
wo T als Konstante betrachtet
wird. Indem wir weiter die Veränderliche W = V – eT
einführen, wird die letzte Gleichung
JEWIV = 4ω2m1W. . . . (32)
die in bekannter Weise integriert, mit
h4 =
4m1ω2/JE. . . . . (33)
V = W + eT = aehx+ a'e– hx+ b cos h . x + b' sin hx + eT liefert. Zufolge der Bedingungen am Wellenende
werden alle Konstanten zu eT proportional, also wird
auch V die Form V = eTf1 (x) haben. Schreiben wir Gleichung (30) in der Form
\frac{1}{2}\,J\,E\,U^{\mbox{IV}}=-m_1\,g, so wird klar, daß U/2 nichts anderes ist,
als die Verbiegung der Welle unter dem Eigengewicht. Das Integral hiervon schreiben
wir als U = 2 f2 (x) und erhalten aus
den Gleichungen (29)
\left{{Y=\frac{1}{2}\,(U+V)=\frac{1}{2}\,e\,T\,f_1\,(x)+f_2\,(x)\ \ }\atop{Z=\frac{1}{2}\,(U-V)=-\frac{1}{2}\,e\,T\,f_1\,(x)+f_2\,(x)}}\right\}\
\ \ (34)
Indem wir mittels des Integrals von (24a) y0IIy0IV und mittels
(34) ZIV in (28)
einsetzen, kann diese Gleichung, wie angeführt, integriert, und zur Bestimmung von
T benutzt werden. Diese vereinfachte Behandlung der
Aufgabe würde zu gleichen Folgerungen führen, wie mein zitierter Aufsatz. Die
wirklichen Verhältnisse können jedoch nur aus der vollständigen Lösung der
Gleichungen (26) bis (28) abgeleitet werden. Wir behalten uns späteres Eingehen
hierauf vor, und teilen inzwischen mit, was die praktische
Integration, d.h. der Versuch ergab.
Unterhalb der 1. normalen kritischen Drehzahl tritt eine Störung durch das Gewicht sehr nahe bei der halben
kritischen Drehzahl auf, und zwar sowohl bei freier Auflagerung und
Antrieb mittels des Kreuzgelenkes, als auch bei doppelseitiger Einspannung. Diese Störung verschwinde vollkommen, wenn man die Welle
senkrecht aufstellt.
Zwischen der 1. und 2. normalen kritischen Drehzahl zeigt sich bei Kreuzgelenkantrieb
eine Störung sowohl bei wagerechter wie bei senkrechter Welle. Wenn man jedoch die
Ueberwucht sinusförmig über die Scheiben verteilt, bleibt die Störung bei
wagerechter, verschwindet bei senkrechter Welle. Dabei findet sich folgendes
Verhältnis
\frac{\mbox{Drehzahl der }2.\mbox{ Gewichtsstörung}}{\mbox{Drehzahl der
}1.\mbox{ normalkritischen Geschwindigkeit}}=2,5.
An der eingespannten Welle konnte bei wagerechter Aufstellung nur eine Unstabilität
des Gleichgewichts bis zum 1,4-fachen der normalen 1. kritischen Drehzahl
festgestellt werden. Wir setzen die Versuche fort und werden nach deren Abschluß
über das Ergebnis berichten.
3. Die Stabilität des relativen
Gleichgewichts bei stationärer Bewegung über der kritischen
Drehzahl.
Ueber dem kritischen Punkt liegt der Schwerpunkt S
gegenüber der Abbildung innen und der Wellenstoßpunkt W
außen, daher für die „Anschauung“ eine Unstabilität des Gleichgewichts
besteht. Die von mir hierüber veröffentlichte Untersuchung glaubt Gümbel durch eine Energiebetrachtung ersetzen zu können,
indem er für eine Anzahl von Winkelgeschwindigkeiten die aus dem kritischen und dem
potentiellen Anteil bestehende Gesamtenergie der Gleichgewichtslage bestimmt Ist
diese größer als die Energie bei der kritischen Geschwindigkeit, so soll das
Gleichgewicht stabil, im anderen Fall labil sein. Dieses Kriterium ist jedoch
grundsätzlich fehlerhaft, wie Gümbel selbst gesehen
hätte, wenn er es auf die widerstandsfreie Bewegung angewendet hätte.Im übrigen will er gewiß S. 254, 2. Spalte unten
vom Bahnwiderstand absehen, rechnet indes doch mit den allgemeinen
Gleichungen. Man findet für diesen Fall leicht, daß mit λ = ω : ωk
E=\frac{m}{2}\,\left[\frac{e^2\,(\lambda^2+1)}{(\lambda^2-1)^2}+g^2\right]\,\lambda^2\,{\omega_{\mbox{k}}}^2
wird, und daß diese Energie bei ω =
ωk aus dem Unendlichen herabsteigend,
für
(\lambda^2-1)^3=4\,\frac{e^2}{g^2}
ein Minimum erreicht und mit wachsendem ω wieder ins Unendliche geht.Es hat vielleicht Interesse zu bemerken, daß die
von mir aufgestellte richtige Stabilitätsbedingung\left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)^3\,>\,4\,\frac{e^2}{g^2}lautet, daß hiernach die Stabilität
auch nicht etwa mit dem Minimum, sondern stets
jenseits desselben beginnt. In Wirklichkeit besteht
bekanntlich Stabilität der stationären Bewegung nicht bloß, wenn der allgemein
gefaßte Wert der Gesamtenergie verglichen mit allen nahe benachbarten möglichen
Zuständen ein Maximum, sondern ebenso gut wenn er ein Minimum
ist. Führt man diese Untersuchung,Zum
Beispiel nach Routh, Dynamik II S. 75 u.
f. deren Wiedergabe hier zu weit führen würde, durch, so zeigt sich,
daß über der kritischen Geschwindigkeit weder ein Maximum noch ein Minimum auftritt.
Damit ist jedoch über die Stabilität nichts entschieden, und man muß zur Methode der
kleinen Schwingungen greifen. Es nützt also nichts, daß Gümbel meine Rechnungen als „abstrakt“ ablehnt, und mir die
Richtigstellung eines Versehens, welches einen nicht unheiklen Fall der Dynamik betrifft, so schwer
ankreidet. Es gibt keinen anderen Weg, um zur Klarheit zu gelangen, will man nicht,
wie Gümbel nun an sich erlebt, Irrtümern
anheimfallen.
Zusammenfassung.
1. An der wagerecht gelagerten eine einzelne Scheibe tragenden Welle wurde das
Bestehen eines neuen kritischen Gebietes in der Gegend der halben gewöhnlichen
kritischen Drehzahl theoretisch und durch Versuche erwiesen. Stellt man die Welle
senkrecht auf, verschwindet diese Störung vollständig, sofern keine
Ungleichförmigkeit des Antriebes durch Kreuzgelenkübertragung, d.h. bewegliche
Kupplung vorliegt.
2. Für die durch viele gleichverteilte Scheiben belastete Welle sind die Verhältnisse
theoretisch, wie eine Untersuchung mit Inbetrachtnahme der endlichen Exzentrizität
zeigt, weit verwickelter. Versuche erweisen das Bestehen eines ersten
kritischen Gebietes bei der halben gewöhnlichen ersten kritischen Drehzahl. Zwischen
der 1. und 2. gewöhnlichen kritischen Drehzahl ist bei beweglicher Antriebskupplung
eine Störung sowohl bei wagerechter wie bei senkrechter Wellenlage vorhanden, hängt
jedoch ab von der Verteilung der Ueberwuchtmassen.
3. Die „Ablehnung“, die Gümbel gegenüber der unter
1. angeführten Störung aussprach, beruht auf einer irrtümlichen Auffassung der
„Pendelschwingung“ und muß als unbegründet zurückgewiesen werden.
4. Die Gümbelsche Stabilitätsuntersuchung der stationären
Bewegung ist ebenfalls verfehlt, und muß durch die Methode der kleinen Schwingungen,
wie ich sie anwendete, ersetzt werden.