Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes. Von Dr. ing. Hermann Meuth, Karlsruhe. (Fortsetzung von S. 519 d. Bd.) Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes. Ausgleich der von den bewegten Massen herrührenden Reaktionen. Die vom Kolbendruck herrührenden Reaktionen finden ihren Ausgleich durch Vermittlung des Maschinenrahmens in den gleich grossen Drucken auf die Zylinderdeckel. Die sogen. freien Massenkräfte dagegen suchen die Maschine auf ihrem Fundament zu verschieben und zu verdrehen. Bei grossen Geschwindigkeiten wird es notwendig, dieses durch Ausgleich der Massenkräfte zu verhindern. Vollkommen würde ein Ausgleich der die Ortsveränderung der Maschine verursachenden Kräfte und Momente nur durch die Anordnung von Massen möglich sein, welche eine entgegengesetzte und nach demselben Gesetze veränderliche Bewegung haben, wie die Massen des Getriebes, so dass der Schwerpunkt der ganzen bewegten Masse seine Lage nicht ändert. Man begnügt sich indessen für den Ausgleich mit der Anbringung rein rotierender Massen im Kurbelkreis, wenn auch, wie bei einer liegenden Maschine, die Horizontalkomponente der Bewegung einer solchen Masse nicht genau der Bewegung des Getriebes entspricht und durch die Vertikalkomponente neue Massenkräfte erzeugt werden, welche aber den senkrechten Lagerdruck in einer nicht schädlichen Weise beeinflussen. Letzteres gilt auch bei stehenden Maschinen für die freien Massenkräfte in Richtung der Kolbenbewegung; würde man hier Ausgleichsmassen anwenden, so würden die viel gefährlicheren horizontalen Kräfte entstehen. Man könnte damit zwar gleichzeitig einen für die Gleichförmigkeit des Ganges nützlichen Gewichtsausgleich der Getriebeteile erzielen, was aber besser durch Verschiedenheit der Füllung auf der Kurbel- und Deckelseite erreicht wird. – Von dem Ausgleich der Massen-Kräfte bei Mehrkurbelmaschinen ist bei der Besprechung des Ausgleichs der Gesamtreaktionen später die Rede. b) Reaktion der Kreuzkopfführung. In der Kreuzkopfführung tritt eine Reaktion nur in einer Richtung senkrecht zur Kolbenbewegung auf, da in der Kolbenstangenrichtung keine Stützung stattfindet. Der Druck auf die Gleitbahn wird, abgesehen von den Gewichten, durch die Lenkstange in ihrer Schräglage erzeugt. Fasst die Lenkstange den Kreuzkopf nicht in dessen Mittelpunkt, so tritt noch eine Verdrehung der Führung ein, von welcher aber im folgenden abgesehen werde. Textabbildung Bd. 320, S. 533 Fig. 6. Zur Bestimmung der Reaktion wird eine Trennung des Fundamentrahmens durch den in Fig. 6 angedeuteten Schnitt angenommen, so dass sich die Führung gegenüber dem festen Kurbellager um einen Betrag u senken kann. Die lebendige Kraft des so in seiner Bewegung erweiterten Getriebes ist L=\frac{1}{2}\,\dot{\varphi}^2\,[(M_1+M_2+M_3)\,r^2]+\frac{l^2}{2}\dot{\eta'}^2\,(M_2+b\,M_3)-l\,r\,\dot{\varphi}\,\dot{\eta'}\,\mbox{cos}\,(\varphi+\eta')\,(M_2+a\,M_3), da die Koordinaten eines Schubstangenpunktes in bezug auf XY x = r cos φ + z cos η' und y = r sin φ – z sin η' sind. Die Konnexbedingung des erweiterten Getriebes lautet r sin φ = l sin η' – u und daraus folgt \dot{\eta}'=\lambda\,\mbox{cos}\,\varphi\,\dot{\varphi}+\frac{\dot{u}}{l} und \mbox{cos}\,(\varphi+\eta')=cos\,\varphi-\lambda\,\mbox{sin}^2\,\varphi-\frac{u}{l}\,\mbox{sin}\,\varphi wenn, wie früher die Annäherung cos η = 1 ∾ cos η' eingeführt wird. Hiermit wird L=\frac{1}{2}\,\dot{\varphi}^2\,(M_1+M_2+M_3)\,r^2 +\frac{M_2+b\,M_3}{2}\,(r^2\,\mbox{cos}^2\,\varphi\,\dot{\varphi}^2+2\,r\,\dot{\varphi}\,\dot{u}\,\mbox{cos}\,\varphi+\dot{u}^2) -(M_2+a\,M_3)\,l\cdot r\,\dot{\varphi}\,\left(\lambda\,\mbox{cos}\,\varphi\,\dot{\varphi}+\frac{\dot{u}}{l}\right) \left(\mbox{cos}\,\varphi-\lambda\,\mbox{sin}^2\,\varphi-\frac{u}{l}\,\mbox{sin}\,\varphi\right) . . . . . . 2b) Die Ausführung der Differentiation nach u ergibt die Bewegungsgleichung für den Kreuzkopf; für u = o erhält man daraus die Grösse der Reaktion R_u=r\,\ddot{}varphi}\,\left[\frac{M_2+a\,M_3}{2}\,\lambda-(a-b)\,M_3\,\mbox{cos}\,\varphi\right \left-\left(\frac{M_2+a\,M_3}{2}\right)\,\lambda\,\mbox{cos}\,2\,\varphi\right]+r\,\dot{\varphi}^2\,\left[(a-b)\,M_3\,\mbox{sin}\,\varphi\right \left+(M_2+a\,M_3)\,\frac{\lambda}{2}\,\mbox{sin}\,2\,\varphi\right]-Q_n. Die Summe der äusseren Kräfte Qu erhält man wieder unter Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeiten: ΣK1δx + ΣK2δy = Qu . δu. Führen wir wieder wie auf S. 503 einen Neigungswinkel der Gleitbahn gegen die Horizontale = γ ein, so gilt für den Kreuzkopfzapfen: x = r cos (φ + γ) + l cos (η' – γ) und y = r sin (φ + γ) – l sin (η – γ) daraus δx = – tg η δu, wenn tg η' = tg η gesetzt wird. Die einzige Horizontalkraft in der X-Richtung ist der Kolbendruck – P = K1; senkrecht K2 = – M2gWieviel von dem Gewicht der hin- und hergehenden Teile bei liegenden Maschinen durch den Kreuzkopf oder durch den Zylinder getragen wird, müsste durch eine besondere Untersuchung festgestellt werden. mit δy = (– cos γ – sin γ tg η) δu für die Lenkstange: im Schwerpunkt derselben greift die Schwerkraft – M3 g = K2 an, K1 = o. Hierfür ist \begin{array}{rcl}\lambda\,y&=&\left(-\frac{z'_0}{l}\,\mbox{cos}\,\gamma-\frac{z'_0}{l}\,\mbox{sin}\,\gamma\,\mbox{tg}\,\eta\right)\,\delta\,u\\ &=&-a\,(\mbox{cos}\,\gamma+\mbox{sin}\,\gamma\,\mbox{tg}\,\eta)\,\delta\,u. \end{array} Sonach ist Q = P tg η + M2g (cos γ + sin γ tg η)                      + M3ga (cos γ + sin γ tg η) für liegende Maschinen γ = 0° Q1 = P tg η + M2g+M3g . a, für stehende Maschinen γ = 90° Qst = P tg η + M2g tg η + M3ga tg η                                          = (P + M2g+M3ga) tg η Dieses Resultat hätte man in dem vorliegenden einfachen Falle auch direkt anschreiben können. Die Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeiten gibt aber, besonders bei komplizierterer geometrischer Konfiguration des Getriebes, eine sichere Prüfung für die Richitgkeit der Vorzeichen. Die aus der Bewegung entstehenden Kräfte, welche zur Reaktion Ru einen Beitrag liefern, rühren her von den Trägheitskräften der Lenkstange senkrecht zu ihrer Achse, dann auch von den Trägheitskräften der Lenkstange und der Masse M2 in Richtung der Kolbenbewegung, welche infolge der Schräglage der Stange eine Komponente senkrecht zur Gleitbahn liefern. Das im Vorstehenden angewandte Verfahren ermöglichte die getrennte Ermittlung der Einzelreaktionen im Kurbellager und im Kreuzkopf. Die Horizontalreaktion im Kurbellager hätte auch leicht unter Anwendung des d'Alembertschen Prinzips angegeben werden können; sie setzt sich aus dem Kolbendruck und dem horizontalen Beschleunigungsdruck des Gestänges zusammen. Dagegen lässt sich die Vertikalreaktion im Kurbellager und im Kreuzkopf, wohl in ihrer Summe, aber nicht in den Einzelwerten auf diese Weise ermitteln, sie ist gleich der Vertikalkomponente des Kolbendruckes aus der senkrechten: Beschleunigungskraft des Gestänges. Die Vertikalkomponente des Kolbendruckes hat am Kurbellager und am Kreuzkopf dieselbe Grösse und entgegengesetzte Richtung. Für die Verteilung der vertikalen Beschleunigungskraft des Gestänges auf das Kurbellager und den Kreuzkopfzapfen gibt LorenzDynamik der Kurbelgetriebe, S. 20. an, dass man die auf diese Punkte entfallenden Einzelreaktionen durch Anwendung des Satzes von den statischen Momenten finden könne. Das würde aber eine Massenverlegung in einen Punkt des Getriebes zur Voraussetzung haben, was mit einer konstanten reduzierten Masse unmöglich ist. Die Anwendung des Momentensatzes muss daher auf andere Werte der Einzelreaktionen führen, als wir sie oben gefunden haben. Uebrigens ist der Unterschied nicht sehr gross und könnte allein die Anwendung der Lagrangeschen Methode in diesem Falle noch nicht rechtfertigen, wenn nicht gerade die Einfachheit des Kurbelgetriebes besonders dafür geeignet erschiene, die Leistungsfähigkeit der Lagrangeschen Mechanik in der dargelegten Richtung zu erkennen und sich mit derselben vertraut zu machen. Nebenbei sei bemerkt, dass Lorenz die Unsicherheit seines vorgeschlagenen Weges gefühlt zu haben scheint, sonst wäre die Bemerkung, die er bei der Besprechung der Reaktionen hinzufügt, nicht recht verständlich, dass selbst bei völlig bekannten Werten der Massen und Geschwindigkeiten eine zahlenmässige Angabe der Einzelreaktionen unmöglich sei. Beispiel. Im folgenden soll für das Kurbelgetriebe einer einzylindrigen Dampfmaschine ein Zahlenbeispiel durchgerechnet werden. Es lassen sich dabei mehrere Fragen erörtern, über die man erst nach Angabe zahlenmässiger Grössen ein Urteil gewinnt. Hieran werden sich noch einzelne Bemerkungen anschliessen, die mit dem Kurbelgetriebe in Zusammenhang stehen. Damit für das Zahlenbeispiel die Geschwindigkeitsschwankungen nicht zu klein ausfallen und ihr Einfluss auf das Drehmoment an der Kurbel und auf die Reaktionen überhaupt zu erkennen ist, erschien es zweckmässig, die Grösse der Schwungmasse gegenüber der Masse der hin- und hergehenden Teile, abweichend von normalen Verhältnissen, nicht zu sehr überwiegen zu lassen. Textabbildung Bd. 320, S. 535 Fig. 7. Indikatordiagramm.Druckmasstab 7,64 mm = 1 kg. Es werde eine liegende Einzylindermaschine mit Kondensation zugrunde gelegt, welche bei 85 Umdrehungen i. d. Minute und einem absoluten Dampfdruck von 6 Atm. eine Nutzleistung von 300 PS aufweist. Ein Satz Indikatordiagramme der Kurbel- und Deckelseite liegt vor (Fig. 7). Die Gewichte der Triebwerksteile betragen: Kolben 600 Dmr. mit Ringen und Mutter 300 kg, Kolbenstange 130  „ Kreuzkopf mit Zapfen 370  „ Lenkstange, 3 m lang 660  „ Kurbel mit Zapfen 260  „ Der Kurbelradius r beträgt 0,6 m; der Schwerpunktsabstand der Kurbel von der Wellenmitte k' = 0,4 m, das Verhältnis der Kurbel- zur Lenkstangenlänge \lambda=\frac{1}{5}. Das Gewicht des Schwungrades, ferner der Welle, der Kurbel und sonstiger rotierender Teile betrage auf den Kurbelzapfen reduziert insgesamt 5000 kg. Es ist daher M1 = 500, M2 = 80, M3 = 66. Nach der Tabelle auf S. 469 werde der Schwerpunktsabstand der Lenkstange vom Kurbelzapfen z'o = 1,05 m mit a = 0,35 und deren Trägheitsradius mit bezug auf den Kurbelzapfen z' = 1,65 m mit b – 0,3 angenommen. Die lebendige Kraft des Triebwerks ist dann nach Gleichung 2) L=0,18\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2\,(593+10,3\,\mbox{cos}\,\varphi-53\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-10,3\,\mbox{cos}\,3\,\varphi). Vernachlässigen wir noch die Glieder mit cos φ und. cos 3 φ gegenüber dem konstanten Glied, so wird L=0,18\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2\,(593-53\,\mbox{cos}\,2\,\varphi). Die Bestimmung der Kurbelgeschwindigkeit \frac{d\,\varphi}{dt} aus der Energiegleichung erfordert zunächst die Aufstellung des analytischen Ausdrucks für die äusseren Kräfte: für die Gewichte der Getriebeteile, den Dampfdruck und den Widerstand. Die Gewichte sind bekannte Grössen, der Widerstand soll zunächst, tangential im Kurbelkreis wirkend, während der Dauer einer Umdrehung konstant angenommen werden. Den Verlauf des Dampfdruckes geben die Indikatordiagramme der Kurbel- und Deckelseite. Um diesen Verlauf analytisch darzustellen, und zwar in Abhängigkeit vom Drehwinkel der Kurbel, bilden wir die Tangentialkomponente des Dampfdruckes P im Kurbelkreis mit Hilfe der Beziehung auf S. 504 T=P\,\frac{\mbox{sin}\,(\varphi+\eta)}{\mbox{cos}\,\eta} unter Benutzung der Tabelle auf 504 oder in der in Fig. 9 angedeuteten Weise, nachdem wir zuvor den Betrag für die Reibung schätzungsweise in Abzug gebracht haben.Streng genommen hätte die Bestimmung der Tangentialdrucke aus den Kolbendrucken auch unter Berücksichtigung der Abweichungen der Kräfte von den durch die Konfiguration des Getriebes bestimmten Richtungen, welche durch die Grösse des Reibungswinkels gegeben sind, zu geschehen. Im vorliegenden Fall begnügen wir uns jedoch, die Gesamtreibungsarbeit = 0,1 der indizierten Arbeit mit einem konstanten Betrag für Kolben, Stopfbüchse und Kreuzkopf zu 60 v. H. und mit einem vom Kolbendruck abhängigen Betrag für Kurbel- und Wellenzapfen zu 40 v. H. von der Kolbenkraft in Abzug zu bringen. Die so bestimmten Werte der Tangentialkomponente tragen wir auf der Basis des abgewickelten Kurbelkreises als Ordinaten auf und erhalten damit das weiterhin zu analalysierende Tangentialdruckdiagramm in Fig. 10. Textabbildung Bd. 320, S. 535 Fig. 8. Kolbenüberdruck.Druckmasstab 15,28 mm = 1 kg. Bei der harmonischen Analyse des Tangentialdruckdiagrammes, d. i. der Zerlegung desselben in einzelne Kraftschwingungen von bekannter Gesetzmässigkeit, mögen in der periodischen Reihe noch die Glieder mit 4 φ berücksichtigt werden. Der Tangentialdruck stellt sich hiernach dar durch die Reihe T = A0+ A1 cos φ + A2 cos 2 φ + A3 cos 3 φ + A4 cos 4 φ              + B1 sin φ + B2 sin 2 φ + B3 sin 3 φ + B4 sin 4 φSind die Diagramme für Hin- und Rückgang gleich, so verschwinden die Glieder mit ungeraden Koeffizienten; sie drücken also die Ungleichheiten beider Diagrammhälften aus, welche von der endlichen Schubstangenlänge und der Verschiedenheit der Füllungen herrühren. Die Koeffizienten dieser Reihe werden so bestimmt, dass der durch die Reihe dargestellte Verlauf des Tangentialdruckes in den Hauptpunkten die gleichen Ordinaten wie das vorliegende Diagramm zeigt. Als charakteristische Punkte sind zu betrachten die Werte des Tangentialdruckes in den Totlagen bei 0 und π, dessen Maxima bei \frac{\pi}{3} und \frac{4\,\pi}{3} und Minima bei \frac{11\,\pi}{12} und \frac{23\,\pi}{12}. Weiter wurden noch die Punkte \frac{\pi}{2} und \frac{3\,\pi}{2} gewählt. – Das Tangentialdruckdiagramm erstreckt sich über eine volle Umdrehung, der abgewickelte Kurbelkreis ist in 24 gleiche Teile geteilt. – In den angegebenen 8 Punkten wird die Grösse des Tangentialdruckes dem Diagramm entnommen, womit für einen bestimmten Wert φ die Grösse T bekannt ist. Man kann daher zur Bestimmung der Koeffizienten mit Benutzung der im Anhang beigefügten Tabelle die 8 Gleichungen anschreiben: Textabbildung Bd. 320, S. 536 Fig. 9. Zur Bestimmung der Tangentialkomponente des Dampfdruckes. T1= A0+ A1+ A2+ A3+ A4 = 0 . . . . 1) T_2A_0+\frac{A_1}{2}-\frac{A_2}{2}-A_3-\frac{A_4}{2}+\frac{B_1}{2}\,\sqrt3+\frac{B_2}{2}\,\sqrt3-\frac{B_4}{2}\,\sqrt3=11500 . . . . . . . 2) T3 = A0 – A2 + A4 + B1 – B3 = 5750 . . . 3) T_4=A_0-0,966\,A_1+\frac{A_2}{2}\,\sqrt3-\frac{A_3}{2}\,\sqrt2+\frac{A_4}{2}-0,259\,B_1-\frac{B_2}{2}+\frac{B_3}{2}\,\sqrt2-\frac{B_4}{2}\sqrt3=-700 4) T5 = A0 – A1 + A2 – A3 + A4 = 0 . . . . 5) T_6=A_0-\frac{A_1}{2}-\frac{A_2}{2}+A_3-\frac{A_4}{2}-\frac{B_1}{2}\,\sqrt3+\frac{B_2}{2}\,\sqrt3-\frac{B_4}{2}\,\sqrt3=9500 6) T7 = A0 – A2 + A4 – B1+ B3 = 5750 . . . 7) T_8=A_0+0,966\,A_1-\frac{A_2}{2}\,\sqrt3+\frac{A_3}{2}\,\sqrt2+\frac{A_4}{2}+0,259\,B_1-\frac{B_2}{2}-\frac{B_3}{2}\,\sqrt2-\frac{B_4}{2}\,\sqrt3=980 8) Ausserdem liefert die Forderung der Flächengleichheit mit dem gegebenen Diagramm den Wert von A0 aus F=\int_0^{2\,\pi}\,T\,d\,\varphi=A_0\cdot 2\,\pi, da die periodischen Glieder bei der Integration von 0 bis 2 π verschwinden. Ao ist eben der mittlere Wert des Tangentialdruckes während einer Umdrehung = 4200 kg. Durch Zusammenfassen entsprechender Gleichungen, z.B. von 1 und 5, 2 und 6 usw., und durch Addition und Subtraktion derselben erhält man ohne Mühe die Koeffizienten A1 = 620, A2 = – 2870, A3 = – 620, A4 = – 1330, B1 = 520, B2 = 4470, B3 = 520, B4 = – 390. Damit lautet die Reihe für den Tangentialdruck: T = 4200 + 620 cos φ – 2870 cos 2 φ – 620 cos 3 φ – 1330 cos 4 φ + 520 sin φ + 4470 sin 2 φ + 520 sin 3 φ – 390 sin 4 φ, wofür man auch unter Einführung eines Phasenwinkels schreiben kann: T = 4200 + 810 cos (φ – 40°) – 5320 cos 2 (φ + 28 ¾°) – 810 cos 3 (φ + 13 ⅛) – 1385 cos 4 (φ – 4 ⅛°). Das unregelmässige Tangentialdruckdiagramm erscheint hiernach aufgelöst in einen konstanten Teil und in 4 Cosinusschwingungen, die in ihrer Phase gegeneinander verschoben sind. Die Annäherung an den wirklichen Verlauf ist, wie Fig. 10 zeigt, eine ausreichende; die Abweichungen beschränken sich auf Stellen von untergeordneter Bedeutung. Der Widerstand soll unserer Voraussetzung nach konstant sein; im Beharrungszustand, der bei der ganzen Untersuchung betrachtet wird, ist er dann gleich dem mittleren Tangentialdruck = 4200 kg. Das Drehmoment, welches die Gewichte der Triebwerksteile liefern, ist – (Gkk' + M3g . r(1 – a)) cos φ = – 360 cos φ. Mithin ist das Moment der äusseren Kräfte Q = 0,6 (20 cos φ – 2870 cos 2 φ – 620 cos 3 φ – 1330 cos 4 φ + 520 sin φ + 4470 sin 2 φ + 520 sin 3 φ = 390 sin 4 φ) und \int_0^{\varphi}\,Q\,d\,\varphi=1700-310\,\mbox{cos}\,\varphi-1340\,\mbox{cos}\,2\,\varphi, – 100 cos 3 φ + 60 cos 4 φ – 860 sin 2 φ – 120 sin 3 φ – 200 sin 4 φ. Textabbildung Bd. 320, S. 537 Fig. 10. Tangentialkomponente des Dampfdruckes am Kurbelzapfen; Analysiertes Tangential-Diagramm; Tangentialkomponente des Massendruckes um die Abszissenachse geklappt; Tangentialkomponente der Gewichte um die Abszissenachse geklappt. Aus der Energiegleichung folgt dann \left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2=\frac{L_0+\int_0^{\varphi}\,E\,d\,\varphi}{0,18\,(593-53\,\mbox{cos}\,2\,\varphi)} Textabbildung Bd. 320, S. 537 Fig. 11. Quadrat der Winkelgeschwindigkeit im Kurbelkreis. Textabbildung Bd. 320, S. 537 Fig. 12. Winkelbeschleunigung. =\frac{97\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_0^2+\int_0^{\varphi}\,Q\,d\,\varphi}{105\,(1-0,09\mbox{ cos }2\,\varphi)} Die Auflösung dieses Wertes ergibt mit der Annäherung \frac{1}{1-0,09\mbox{ cos }2\,\varphi}=1+0,09\mbox{ cos }2\,\varphi, \left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2=\underbrace{\left[0,925\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_0^2+15,5\right]}_{\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_m^2}-3,00\,\mbox{cos}\,\varphi -\left(11,35-0,083\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_0^2\right)\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-1,0\,\mbox{cos}\,3\,\varphi -8,2\,\mbox{sin}\,2\,\varphi-1,1\,\mbox{sin}\,3\,\varphi-2,3\,\mbox{sin}\,4\,\varphi. Die periodischen Glieder geben die Schwankungen der Geschwindigkeit während einer Umdrehung an, die konstanten Glieder werden dem Quadrat der mittleren Geschwindigkeit gleichgesetzt =\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_m^2=\left(\frac{\pi\cdot n}{30}\right)^2=79,2. Daraus bestimmt sich die Totpunktgeschwindigkeit \left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_0^2=\left[\left(\frac{\pi\cdot n}{30}\right)^2-15,5\right]\cdot \frac{1}{0,925}=69,0 somit \left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2=79,2-3,0\,\mbox{cos}\,\varphi-6,1\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-1,0\,\mbox{cos}\,3\,\varphi-8,2\,\mbox{sin}\,2\,\varphi-1,1\,\mbox{sin}\,3\,\varphi-2,3\,\mbox{sin}\,4\,\varphi. Bei grösserer Geschwindigkeit treten die Schwankungen derselben gegenüber dem konstanten Glied, der mittleren Geschwindigkeit, immer mehr zurück. Die Winkelbeschleunigung im Kurbelkreis erhält man nun aus der Bewegungsgleichung durch Einsetzen des Wertes der Geschwindigkeit in dieselbe zu \frac{d^2\,\varphi}{dt^2}=-8,0\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-1,7\,\mbox{cos}\,3\,\varphi-4,7\,\mbox{cos}\,4\,\varphi+2,2\,\mbox{sin}\,\varphi+5,7\,\mbox{sin}\,2\,\varphi-0,4\,\mbox{sin}\,3\,\varphi-0,8\,\mbox{sin}\,4\,\varphi.. Der Verlauf von \left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2 und \frac{d^2\,\varphi}{dt^2} ist in Fig. 11 und 12 auf der Basis des abgewickelten Kurbelkreises aufgetragen durch graphische Summierung der durch die einzelnen Glieder der Reihen dargestellten harmonischen Kurven. Man bringt zu diesem Zwecke die Reihen auf die auf S. 504 angegebene Form, in welcher dieselben nur Kosinusfunktionen enthalten, die dann, um die Phasenwinkel gegeneinander verschoben, in einfacher Weise aufgezeichnet werden können. Aus der Kurve, welche das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit darstellt, lässt sich die Grösse des periodischen Ungleichförmigkeitsgrades bestimmen, welcher definiert ist durch \delta=\frac{\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_{\mbox{max}}-\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_{\mbox{min}}}{\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)_\mbox{m}} \delta=\frac{\sqrt{8839}-\sqrt{62,6}}{\sqrt{79,2}}=\sim\,\frac{1}{6} Aus der Kurve der Geschwindigkeitsquadrate lässt sich auch leicht die Kurve der Geschwindigkeit selbst auftragen und daraus durch Integration der während einer Umdrehung zurückgelegte Weg des Kurbelzapfens bestimmen, wenn wieder Zeitabszissen statt der Kurbelwinkel als Basis der Geschwindigkeitskurve eingeführt werden. Die Wegkurve ist in denjenigen Fällen von Bedeutung, in welchen es auf das Voreilen bezw. Zurückbleiben in der Bewegung gegenüber einer mit konstanter oder variabler Geschwindigkeit umlaufenden Maschine ankommt. Zur Ausführung der Integration empfiehlt sich nachstehende Newtonsche Integrationsformel, welche ein sehr genaues Ergebnis liefert, weil zur Bestimmung der Fläche eines Streifens immer vier bestimmte Ordinaten, nicht Mittelwerte derselben herangezogen werden. Werden die Ordinaten der Reihe nach mit y0, y1, y2 usw., die von ihnen eingeschlossenen Flächenstreifen von der konstanten Breite b mit F0–1, F1–2 . . . F23–24, so lautet die Formel für das erste Flächenstück F_{0-1}=\frac{b}{24}\,(9\,y_0+19\,y_1-5\,y_2+y_3), für das zweite Flächenstück F_{1-2}=\frac{b}{24}\,(-y_0+13\,y_1+13\,y_2-y_3), für das dritte Flächenstück F_{2-3}=\frac{b}{24}\,(-y_1+13\,y_2+13\,y_3-y_4), usw. und für das letzte Flächenstück F_{20-24}=\frac{b}{24}\,(y_05-\,y_1+19\,y_2+9\,y_3). (Fortsetzung folgt.)