Beitrag zur Berechnung der Eintrittsgrössen einer Wasserturbine. Von Dipl.-Ing. Fritz Neumann, Darmstadt. Beitrag zur Berechnung der Eintrittsgrössen einer Wasserturbine. Aus der allgemeinen Arbeitsgleichung, deren Entwicklung hier fortgelassen werden soll, folgte die Beziehung u1w1 cos δ1 – u2w2 cos δ2 = εgHn . . 1) Die Bezeichnung der Geschwindigkeits- und Winkelgrössen sind aus den Diagrammen für Ein- und Austritt (Fig. 1 und 2) zu entnehmen. Hn bezeichne das Nettogefälle, d.h. Differenz zwischen Ober- und Unterwasserspiegel direkt an der Turbine gemessen. Q sei die gesamte zu verarbeitende Wassermenge, ε der hydraulische Wirkungsgrad der Turbine.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Aus bekannten Gründen werde das Austrittsdiagramm für eine Wassermenge von ⅞ Q bestimmt und sei für diese Wassermenge die absolute Austrittsgeschwindigkeit w2 senkrecht u2. Bei dieser Annahme wird, da δ2 = 90 °, das Glied u2 w2 cos δ2 = 0, so dass Gleichung 1) die einfache Form erhält u1w1 cos δ1 = εgHn . . . . 2) Zur Bestimmung der Grössen des Eintrittsdiagrammes Werde die ganze Wassermenge Q in Rechnung gezogen. Streng genommen gilt nun Gleichung 2) nur für ⅞ Q, weil ja nur für diese Wassermenge das Glied u2 w2 cos δ2 verschwindet. Die Gleichung 2) soll nun in ihrer einfachen Form auch für eine Wassermenge von Q verwendet werden unter Vernachlässigung des Gliedes u2 w2 cos δ2, das, da δ2 annähernd 90 °, nur einen sehr kleinen Wert annimmt. Ableitung der Gleichungen zur Bestimmung der Umfangsgeschwindigkeit u1. Gleichung 2) werde nach cos δ1 aufgelöst. $$\text{cos}{\delta }_1=\frac{\epsilon g{H}_n}{u_1{w}_1}$$ . . . .  . . 3) Aus Fig. 3, welche das Diagramm eines sogenannten Langsamläufer (β1 < 90 °) darstellt, folgt $$\text{cos}{\delta }_1=\frac{ae}{w_1}$$ . . . . . . 4) Aus der Gleichsetzung von Gleichung 3) und 4) ergibt sich $$ae=\frac{\epsilon g{H}_n}{u_1}$$ . . . . . 5) Ferner ist: $$eb=\frac{v}{\text{tg}{\beta }_1}$$ . . . . . 6) Dieselben Gleichungen kann man natürlich auch Fig. 4 entnehmen, welche das Diagramm eines Schnelläufers (β > 90 °) darstellt. In Gleichung 6) ist v die Vertikalkomponente der relativen Geschwindigkeit v1. Wenn einmal der Laufraddurchmesser; D1 und die Laufradhöhe b1 festgelegt ist, so wird für jeden Winkel β1 die Vertikalkomponente von v1 stets dieselbe Grösse haben. Aus Fig. 3 ist ferner zu entnehmen: u1 = ae – eb . . . . . . 7) Die Grössen von ae und be aus Gleichung 5) und 6) eingesetzt, so ergibt sich für die Umfangsgeschwindigkeit die Gleichung $$u_1=-\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}\underset{(-)}{+}\sqrt{{\left(\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}\right)}^2+\epsilon g{H}_o}$$ . . 8) Für β1 = 90 ° erhält man $$i_{1{90}^{\circ }}=\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$ . . . . . 9) Für v kann auch in Gleichung 8) eine Winkelfunktion von δ1 eingeführt werden. Es ist in Fig. 3 oder 4 $$\text{tg}{\delta }_1=\frac{v\cdot u_1}{\epsilon H{g}_n}$$ . . . . . . 10) oder $$v=\text{tg}{\delta }_1\cdot \frac{\epsilon g{H}_n}{u_1}$$ . . 11) Der Wert für v in Gleichung 8) eingesetzt, so erhält man die bekannte Beziehung $$u_1=\sqrt{\epsilon g{H}_n\cdot (1-\frac{\text{tg}{\delta }_1}{\text{tg}{\beta }_1})}$$ . . . 12) Aus Gleichung 2) ergibt sich eine Beziehung für w1 $$w_1=\frac{\epsilon g{H}_n}{u_1\text{cos}{\delta }_1}$$ . . . . . . . . 13) Ferner aus Fig. 3 oder Fig. 4 $$w_1=\sqrt{v^2+{\left(\frac{\epsilon g{H}_o}{u_1}\right)}^2}$$ . . . . . . . . 14) Wenn nun u1 noch nicht ermittelt ist, so berechnet sich w1 aus Gleichung 12) und 13) zu $$w_1=\sqrt{\frac{\epsilon g{H}_n\cdot (1+\text{tg}{\delta }_1)}{1-\frac{\text{tg}{\delta }_1}{\text{tg}{\beta }_1}}}$$ . . . 15) Nach den meisten Turbinentheorien (s. auch „Hütte“ 1902, S. 784 u. ff.) bestimmt man nun aus Gleichung 12) und 13) oder 15)1)Für Gleichung 15) ist in der „Hütte“ eine andere Form angegeben:$$w_1=\sqrt{\epsilon g{H}_n\cdot \frac{\text{sin}{\beta }_1}{\text{sin}({\beta }_1-{\delta }_1)\cdot \text{cos}\cdot {\delta }_1}}$$ das Eintrittsdiagramm und die Grössenverhältnisse am Laufradeintritt und war der Gang der Rechnung kurz folgender: Annahme des Winkels β1 und δ1 und Berechnung von u1 aus Gleichung 12). Nach Festlegung des Laufraddurchmessers D1, Annahme der Leitschaufelzahl z0. Teilung der Leitschaufel sei t0. Berechnung der Leitschaufelweite a0 aus der Beziehung a0+ s0= t0sin δ1 . . . . 16) worin s0 die Stärke der Leitschaufel an ihrem Ende bedeutet. Ermittlung von w1 aus Gleichung 13) oder 14) oder 15). Berechnung der Leitradhöhe b0 aus der Gleichung $$b_o=\frac{Q}{a_0\cdot z_0\cdot w_1}$$ . . . . . 17) Nun wird in den meisten Fällen b0 nicht eine runde Zahl werden, was natürlich aus Konstruktionsrücksichten unbedingt erforderlich ist, man ist also gezwungen, nach Abrundung von b0 auf eine brauchbare Grösse die ganze Rechnung noch einmal rückwärts durchzuführen. Ferner ist die Annahme von δ1, von welchem Winkel ja die Leitradhöhe b0 abhängt, namentlich, wenn es sich bei hohen Gefällen um Langsamläufer handelt, keine leichte Aufgabe und gelangt man meist erst nach verschiedenen Annahmen auf eine brauchbare Grösse. Wesentlich vereinfacht sich nun die oben angeführte Rechnung, wenn statt δ1 die Vertikalkomponente der relativen Eintrittsgeschwindigkeit v in die Rechnung eingeführt wird. Nach Annahme von v bestimmt sich die Leitradhöhe b0 einfach aus der Beziehung $$b_o=\frac{Q}{D_1\pi \cdot v}$$ . . . . . 18) Ergibt jetzt b0 eine nicht brauchbare Grösse, so ist einfach nach Abrundung von b0 das neue v zu berechnen, was mit einer Einstellung auf dem Rechenschieber geschehen kann. Die Umfangsgeschwindigkeit u1 bestimmt sich dann aus Gleichung 8). Man kann jetzt das Eintrittsdiagramm aufzeichnen und ist dann am einfachsten graphisch nach bekannter Weise a0 + s0 nach Annahme von z0 zu bestimmen. Es fragt sich nun, wie gross ist v, die Vertikalkomponente von v1 zu nehmen, damit man einen günstigen Winkel δ1 und eine brauchbare Radhöhe b0 bekommt. Gleichung 11) erhält für β1 = 90°, wofür $$u_1=\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$ die Form $$v_{{90}^{\circ }}=\text{tg}{\delta }_{1{90}^{\circ }}\cdot \sqrt{\epsilon g{H}_n}$$ . . . . 19) oder $$\text{tg}{\delta }_{1{90}^{\circ }}=\frac{v_{{90}^{\circ }}}{\sqrt{\epsilon g{H}_n}}$$ . . . . . . . 20) Die Geschwindigkeitshöhe $$\frac{v^2}{2g}$$ stelle nun ein e-faches der Gefällhöhe eHn dar, so dass $$v=\sqrt{e2g\epsilon H_n}$$ . . . . . 21) Diese Gleichung in Gleichung 20) eingesetzt, so ergibt sich tg δ190° = √2e . . . . . . . 22) oder e = tgδ1 90° . 0,5 . . . . . 23) Man kann jetzt die Werte für e für die verschiedenen Winkeln δ1 berechnen und ist in Fig. 5 die e-Kurve für δ1 = 0 bis δ1 = 40 ° eingezeichnet. Diese e-Kurve gilt natürlich für sämtliche Gefälle, da ja, wie Gleichung 23) zeigt, e unabhängig von Hn ist. Bevor weiter gezeigt werden soll, wie die Grösse von v bei β1 ≶ 90 ° zu nehmen ist, soll vorerst eine Betrachtung über Gleichung 12) angestellt werden. Diese lautete: $$u_1=\sqrt{\epsilon g{H}_n\cdot (1-\frac{\text{tg}{\delta }_1}{\text{tg}{\beta }_1})}$$ Es werde gesetzt $$\sqrt{1-\frac{\text{tg}{\delta }_1}{\text{tg}{\beta }_1}}=k$$ . . . . . 24) also $$a_1-k\cdot \sqrt{sg{H}_n}=k\cdot u_{1p{0}^{\circ }}$$ . . . . 25) Es wurde nun für verschiedene Winkel δ1 und β1 der Koeffizient k bestimmt. Fig. 6 zeigt diese k-Kurven für δ1 = 5 ° bis 40 ° und β1 = 30 ° bis 150 °. Die Kurven geben ein sehr klares Bild über die Abhängigkeit der Umfangsgeschwindigkeit u1 von δ1 und β1 Die verschiedensten Aufgaben lassen sich mit Hilfe dieser Kurven sehr leicht lösen. Wenn z.B. bei einer Turbine nach Festlegung des Laufraddurchmessers eine bestimmte Tourenzahl verlangt wird, so dass die Umfangsgeschwindigkeit u1 ≷ √εgHn wird, so bestimmt man einfach nach Berechnung der nötigen Umfangsgeschwindigkeit den Koeffizient k aus der Gleichung $$k=\frac{u_1}{\sqrt{\epsilon g{H}_n}}$$ . . . . . 26) Dann kann aus den k-Kurven direkt abgelesen werden, welche Kombination von β1 und δ1 die verlangte Umfangsgeschwindigkeit zulässt oder auch, ob es überhaupt möglich ist, die verlangte Anfangsgeschwindigkeit zuzulassen. Anderseits kann auch bei gegebener Tourenzahl nach Annahme von β1 und δ1 der Laufraddurchmesser berechnet werden aus der Gleichung $$D_1=\frac{k\cdot \sqrt{\epsilon g{H}_n}\cdot 60}{n\cdot \pi }$$ . . . 27) Mit Hilfe der k-Kurven bestimmt sich auch leicht die Grösse von v für β1 ≶ 90 °. In Gleichung 11) werde der Wert von u1 aus Gleichung 25) und der Wert für tg δ1 aus Gleichung 22) eingesetzt, man erhält dann $$v=\frac{\sqrt{2eg\epsilon H_n}}{k}$$ 28)

Fig. 5.

Für β1 = 90 ° ist k = 1 und Gleichung 28) erhält die Form von Gleichung 21). Auch für die absolute Geschwindigkeit w1 lässt sich eine einfache Beziehung aufstellen, wenn in Gleichung 15) die Werte von tg δ1 und $$\sqrt{1-\frac{\text{tg}{\delta }_1}{\text{tg}{\beta }_1}}$$ aus Gleichung 22) bezw. Gleichung 24) eingesetzt werden, es ist dann $$w_1=\frac{\sqrt{\epsilon g{H}_n}}{k}\cdot \sqrt{1+2e}$$ . . 29)

Fig. 6.

In zwei Rechenbeispielen soll jetzt die Anwendung der k-Kurven und der e-Kurve gezeigt werden. 1. Es soll eine Turbine von Hn = 1 m, Q = 1 cbm mit möglichst hoher Tourenzahl konstruiert werden. Angenommen der hydraulische Wirkungsgrad ε = 0,8, so ist √εgHn = 2,8 m. Es werde angenommen δ1 = 35 °, β1 = 135 °. Für diese Werte von δ1 und β1 ist (s. Fig. 5 und 6) k = 1,30, e = 0,245. Es ist dann u1= k . √εgHn = 3,64 m und $$v=\frac{\sqrt{e2g\epsilon H_n}}{k}=1,508\text{ m.}$$ Mit Bestimmung von u1 und v ist das Eintrittsdiagramm festgelegt und lässt sich dasselbe ohne Benutzungdes Transporteurs nach folgender Betrachtung leicht aufzeichnen. In Fig. 1 oder 2 war $$ae=\frac{\epsilon g{H}_n}{u_1}$$, den Wert von u1 aus Gleichung 26) eingesetzt, so ergibt sich $$ae=\frac{\sqrt{\epsilon g{H}_n}}{k}$$ . . . . 30) Im vorliegenden Beispiel ae = 2,15 m. Die Konstruktion des Diagramms ergibt sich jetzt sehr einfach auf folgende Weise: Zu u1 = ab = k . √εgHn wird im Abstande $$v=\frac{\sqrt{e2\epsilon g{H}_n}}{k}$$ eine Parallele gezogen und an u1 von a das Stück $$ae=\frac{\sqrt{\epsilon g{H}_n}}{k}$$ abgetragen. Dann werde ec ⊥ n1 gezogen, c mit a und b verbunden, ferner ad || bc gezogen, so stellt abcd das Eintrittsdiagramm dar. Um zu sehen, dass man keine Rechenfehler gemacht hat, wird man jetzt die Winkel β1 nnd δ1 auf ihre Richtigkeit prüfen. Nach Annahme von D1 bestimmt sich dann die Laufradhöhe b1 aus der Gleichung $$b_1=\frac{Q}{D_1\pi \cdot v}$$ . . . . . 31) Sehr schnell lässt sich mit Hilfe der Kurven auch folgende Aufgabe lösen: Für eine vorhandene Turbine soll ein neues Laufrad konstruiert werden, das als Schnelläufer ausgebildet werden soll. Konstruktionsgrössen der alten Turbine: Hn = 1,0 m; Q = 0,84 cbm; b = 0,2 m; β1 = 90 °; n1 = 53,5; D1 = 1,0 m; ε = 0,8. Das neue Laufrad soll für n2 = 60 Touren konstruiert werden. $$k=\frac{n_2}{n_1}=\frac{60}{53,5}=1,12;v=\frac{Q}{D_1\pi \cdot b_1}=1,335;e=\frac{v^2\cdot k^2}{2g\epsilon H_n}=0,1425.$$ Für e = 0,1425 ist δ1 = 28°. Der für k = 1,12 und δ1 = 28 ° zugehörige Winkel β1 ist gleich 115°. Also es müsste für das neue Laufrad δ1 = 28° und β1 = 115° sein. Für das alte Laufrad ist $$e=\frac{v^2}{2g\epsilon H_n}=0,1135$$; mithin δ1 = 25° 30'. Auch eine sehr einfache graphische Methode zur annähernden Bestimmung der Umfangsgeschwindigkeit möge hier noch angeführt werden. Gleichung 8) lautete: $$u_1=-\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}+\sqrt{{\left(\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}\right)}^2+\epsilon g{H}_n}$$ Das Glied $$\left(\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}\right)$$ ist nun gegen εgHn sehr klein bei β1 = 45 bis 135°; es kann dieses Glied bei nicht allzu grossem Wert von δ1, ohne einen nennenswertem Fehler zu machen, vernachlässigt werden. Dieser kleine Fehler ist auch deswegen schon erlaubt, weil ja die Annahme des Wirkungsgrades s eine mehr oder minder willkürliche ist. Die Gleichung 8) erhält dann die Form $$u_1=-\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}+\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$. Die Gleichung kann nun graphisch gelöst werden. Man zeichnet nach Annahme von v sich das Parallelogramm afgh für β1 = 90° (s. Fig. 7), für welchen Winkel ja u1 = √εgHn. Will man jetzt für irgend einen Winkel β1 die Umfangsgeschwindigkeit u1 bestimmen, so braucht man nur im Mittelpunkt m von v den Winkel β1 – 90 ° abzutragen, so stellt die Strecke ab (ab') die zu dem betreffenden ∡ β1 gehörige Umfangsgeschwindigkeit u1 dar und das Parallelogramm abcd (ab'c'd') ist dann das zum Winkel gehörige Geschwindigkeitsdiagramm.

Fig. 7.

Denn es ist $$f{b}^{\prime }=\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}$$ und $$af=\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$ somit $$a{b}^{\prime }=u_1=-\frac{v}{2\text{tg}{\beta }_1}+\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$ für β1 = 45 ° ist dann $$u_1=-\frac{v}{2}+\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$, für β1 = 135 ° ist dann $$u_1=\frac{v}{2}+\sqrt{\epsilon g{H}_n}$$