Beitrag zur Untersuchung des Verhaltens von Francisturbinen bei veränderlicher Wassermenge, Umdrehungszahl und Gefällshöhe. Von R. Baumann, Regierungsbauführer, Stuttgart. Beitrag zur Untersuchung des Verhaltens von Francisturbinen bei veränderlicher Wassermenge, usw. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, zu zeigen, wie das Verhalten von Francisturbinen, deren Hauptabmessungen bekannt oder irgendwie ermittelt sind, für jeden beliebigen Zustand, d.h. für jede Wassermenge Schaufelöffnung, Umdrehungszahl und Gefällshöhe auf weit einfachere und rascher zum Ziel führende Weise, als es bis jetzt in der Literatur angegeben ist, untersucht werden kann. Als Leitapparat möge eine Drehschaufelregulierung angeordnet gedacht sein, erstens weil die meisten Francisturbinen mit einer solchen ausgerüstet werden, zweitens, weil bei allen anderen Regulierungsarten hinter dem Leitapparat Wirbelbildungen von erheblicher Stärke auftreten, deren Einfluss auf den Wirkungsgrad sich der Berechnung entzieht.

Fig. 1.

Die im Folgenden benützte, von dem bisher Bekannten häufig abweichende graphische Darstellungsart entspricht dem Vortrag des Herrn Professor R. Thomann an der K. T. Hochschule Stuttgart. Um in den Stand gesetzt zu sein, ein bestimmtes Beispiel durchzuführen, mögen die Annahmen: Normales Gefälle H = 5 m, normale Wassermenge Q = 1500 1 i. d. Sekunde, normale Tourenzahl n = 125 i. d. Minute getroffen werden. Diesen Annahmen entspricht die in Fig. 1 skizzierte Turbine, deren in bekannter Weise ermitteltes Ein- und Austrittsdiagramm (für Punkt 1 bezw. 2) durch Fig. 2 dargestellt ist. In diesem Diagramm sind nun die Geschwindigkeiten nicht in Metern, sondern in Teilen der dem Gefälle H entsprechenden Geschwindigkeit $$c=\sqrt{2gH}$$ (im sog. „Gefällsmaasstab“) gemessen eingezeichnet, was bei der Benützung desselben von grossem Wert ist, da letzt das Quadrat der dem Diagramm entnommenen Grösse angibt, welcher Teil des Gefälles zur Erzeugung der gleichgerichteten Geschwindigkeit aufgewendet wurde.1)Bezeichnet vorübergehend c eine beliebige, dem Diagramm entnommene Geschwindigkeit, cm dieselbe, gemessen in Metern, so ist bei Beachtung des Diagrammaasstabes:$$c_m=c\cdot \sqrt{2gH}$$ . . . . . . . 1).Wurde zur Erzeugung von cm das Gefälle Hc aufgewendet, so muss sein:cm2 = 2 g Hc;andererseits ist nach Gleichung 1):cm2= c2 . 2g H,somit muss auch sein:2 g Hc = c2 . 2 g H oder $$c^2=\frac{H_c}{H}$$, sowie Hc = c2 H.Für die absolute Austrittsgeschwindigkeit c2 findet sich z.B. c2 = 0,27 aus Fig. 2, c22 = 0,07; $$c_{2_m}=0,27\sqrt{2gH}=0,27\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 5}=\mathrm{\infty }2,7\text{ m};{c^2}_{2m}=7,3=2g{H}_{c_2};H_{c_2}=0,37\text{ m}=0,07H$$, wo H = 5 md.h. es sind zur Erzeugung der Geschwindigkeit c2 7 v. H. des Gefälles H aufgewendet worden.Einfacher hätte man nach der BeziehungHc= c2 . H direkt erhalten: $$H_{c_2}=0,07\cdot H$$. Im Folgenden bezeichne nun: u1 (= 0,625) die Umfangsgeschwindigkeit des Laufes am Eintritt (Durchmesser d1), u2 (= ∾ 0,7 . 0,625) die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am Austritt (Durchmesser d2 = ∾ 0,7 d1) w1 die relative Eintrittsgeschwindigkeit des Wassers ins Laufrad, w2 die relative Austrittsgeschwindigkeit des Wassers aus dem Laufrad, c1 die absolute Eintrittsgeschwindigkeit des Wassers ins Laufrad, c2 (= 0,27) die absolute Austrittsgeschwindigkeit des Wassers aus dem Laufrad a1 den Winkel von c1 mit u1 (= 25° für volle Beaufschlagung),

Fig. 2.

a2 den Winkel von c2 mit u2 (= 110° für volle Beaufschlagung), β2 den Winkel von w2 mit u2, β1 den Winkel der Schaufelanfänge des Laufrades mit u1 (= 90 °), He die „effektive“ Gefällshöhe, d.h. das Gefälle H vermindert um die in der Turbine ausser dem Stossverlust m Laufradeintritt vorhandenen Verluste, und $$c_e=\sqrt{2g{H}_e}$$, adie zugehörige Geschwindigkeit, wv die dem erwähnten Stossverlust entsprechende Geschwindigkeit (der Stossverlust selbst ist dann bestimmt durch w2v2)Davon, dass ein Teil von w2v sich in Druck umsetzt und so nicht verloren geht, möge der Einfachheit halber abgesehen werden, wie es ja auch allgemein üblich ist., entsprechend der Fussbemerkung auf S. 529.) Es möge nun zuerst der Fall: I. Wassermenge veränderlich, Gefälle und Umdrehungszahl konstant behandelt werden.

Fig. 3.

Zu diesem Zwecke pflegt man sich die Turbine der Breite b nach in einzelne Teilturbinen zerlegt zu denken (Fig. 3) und anzunehmen, die Verhältnisse am Spalt seien für diese alle gleich (also u1, c1, w1 und die der Spaltdruckhöhe Hp entsprechende Geschwindigkeit $$c_p=\sqrt{2g{H}_p}$$). Dann müssen sich die Austrittsgeschwindigkeiten w2 und c2 infolge des veränderlichen d2 und u2 von Punkt zu Punkt ändern. Ist w2' die relative Austrittsgeschwindigkeit einer die Radialturbine ersetzenden Achsialturbine von gleichen Eintrittsverhältnissen, so muss sein: w2'2= w12+ c2p . . . . . 1) und anderseits auch: w2'2= w22+ u12– u22 . . . 2)

Fig. 4.

Die Gleichung 1) ergibt, dass für eine und dieselbe Beaufschlagung die Grösse von w2' für alle Teilturbinen gleich ist, da dies nach obiger Voraussetzung für w1 und cp zutrifft. Nimmt man also die Grösse von w2 für eine der Teilturbinen in Fig. 3 (etwa für 1–2) an, so findet man aus Gleichung 2) die Grösse von w2' und rückwärts aus w2' die Werte der w2 für die anderen Teilturbinen (u2 veränderlich!) Im vorliegenden Fall wurde die relative Austrittsgeschwindigkeit des Punktes 2 in vier gleiche Teile geteilt und die zugehörigen Werte von w2 für Punkt 4, 6, 8, 10der Austrittskante (vergl. Fig. 3) ermittelt. Die Endpunkte der zusammengehörigen relativen Austrittsgeschwindigkeiten gleicher Beaufschlagung wurden in Fig. 4 durch Kurven verbunden. Die absoluten Austrittsgeschwindigkeiten sind bestimmt als Entfernungen der Endpunkte der w2 vom Ursprung O (Fig. 4); sie sind in Fig. 4 der Uebersichtlichkeit wegen nicht eingezeichnet. Die Bestimmung der w2 lässt sich sehr bequem graphisch ausführen, die wenigen hier nötigen Werte sollen jedoch der einfacheren Darstellung wegen durch Rechnung ermittelt werden, wie es die Tabelle auf S. 531, oben, erkennen lässt. Bestimmt man sich nun noch die Austrittsflächen f2 der einzelnen Teilturbinen, so kann man die von der Turbine jeweils geschluckte Wassermenge als Inhalt der Fläche f2 . w2 darstellen (s. Fig. 5). Die Grösse der Austrittsfläche ist, wie ohne weiteres verständlich, bestimmt durch: f2 = d2 π . Δ b2 . sin β2 . ψ, wo ψ ein Koeffizient zur Berücksichtigung der Querschnittsverengung durch die Schaufelstärke, Δ b2 der entsprechende Teil der Austrittsbreite ist. Es zeigt sich nun, dass die Inhalte der vier so bestimmten Flächen (für welche der Wert der relativen Austrittsgeschwindigkeit des Punktes 2 gleich 1/1, ¾, ½, ¼ des der vollen Beaufschlagung entsprechenden Wertes ist s . o) sich sehr angenähert wie 1/1 : ¾ : ½ : ¼ verhalten, dass also für Punkt 2 die Grösse von w2 nahezu der Wassermenge proportional ist. Bezeichnet φ den Beaufschlagungsgrad und gilt w2 für volle Beaufschlagung, so ist dies ausgedrückt durch: w2φ = φ . w2 . . . . . . . 3) Um ein Urteil über den Grad der Annäherung zu ermöglichen, seien die Werte der Wassermengen, welche den Vierteilpunkten von w2 für Punkt 2 entsprechen, wie sie aus Fig. 5 ermittelt wurden, angegeben.

Teilpunkt: 1/1 ¾ ½ ¼ Wassermenge-Liter: 1500 1135 765 363 Fehler in v. H. 0 + 0,9 + 2,0 – 3,2

Die Fehler sind in Fig. 6a dargestellt und bleiben bis etwa ¼ Beaufschlagung innerhalb der praktisch zulässigen Grenzen. Für die Durchführung der Untersuchung wäre es nun sehr wünschenswert, wenn es möglich wäre, derselben nicht die Diagramme mehrerer Punkte der Austrittskante, sondern dasjenige eines einzigen Punktes zugrunde zu legen. Dieses „mittlere“ Diagramm müsste erstens die Eigenschaft haben, dass die relative Austrittsgeschwindigkeit der Wassermenge proportional ist (da die Austrittsquerschnitte ja konstant bleiben). Diese Forderung ist, wie oben gezeigt wurde, bei dem Diagramm des Wasserweges 1–2 erfüllt. Hierbei ist Wasserweg 1–2 entweder dadurch bestimmt, dass bei voller Beaufschlagung die Hälfte der Wassermenge je über und unter ihm die Turbine durchströmt oder dadurch, dass er durch den Schwerpunkt der Austrittskante verläuft. Zweitens müsste der mittlere hydraulische Wirkungsgrad der Teilturbinen derselbe sein wie der des „mittleren“ Wasserweges. Auch dies trifft für Wasserweg 1-2 angenähert zu, wie sofort gezeigt werden soll.

Beaufschlagung; Punkt der Austrittskante

Die Grösse des hydraulischen Wirkungsgrades ηh ist bestimmt durch die Beziehung: ηh = c2e – c22 – w2v

Fig. 5.

wie ohne weiteres einzusehen ist, wenn man bedenkt, dass die Quadrate der Diagrammgrössen angeben, welcher Teil des Gefälles zur Erzeugung der gleichgerichteten Geschwindigkeit verwendet wurde und dass in c2e die hydraulischen Verluste, welche in der Turbine entstehen, enthalten sind. In Gleichung 4) darf nun die Grösse von c2e als konstant (etwa = 0,89) angesehen werden. Diese Annahme wird wohl allgemein gemacht und trifft bis in die Gegend von ¼-Beaufschlagung zu, soweit sich dies durch die Bestimmung der in den Kanälen der Turbine auftretenden hydraulischen Verluste3)Für u2 = 0,379 wird w2 = 0, wie sich aus der Beziehung:$$w_2-\sqrt{{w_2}^{\prime 2}-({u_1}^2-{u_2}^2)}=0$$ oder $${w_2}^{\prime 2}={u_1}^2-{u_2}^2{u}_2=\sqrt{{u_1}^2-{w_2}^{\prime 2}}$$ermitteln lässt. untersuchen lässt. Die Grösse von c2 und damit von c22 kann jeweils der Fig. 4 entnommen werden. Zur Bestimmung der Grösse von wv und w2v war bisher nur der Weg übrig, aus der Gleichung: $$c_1\text{cos}{\alpha }_1=\frac{{c^2}_e-{c_2}^2-{w^2}_v}{2u_1}+\frac{u_2}{u_1}{c}_{2}cos{\alpha }_2$$ . . . 5) nach vorerst willkürlicher Annahme von wv die Grösse von c1 cos α1 zu bestimmen und dann nachzusehen, ob (für β1 = 90° oder ∾ 90°) die Bedingung: wv = (c1 cos α1 – u1) . . . . 6) erfüllt ist, welche ohne weiteres verständlich ist, wenn man Fig. 2 oder 4 betrachtet. Trifft dies nicht zu, so ist der gefundene Wert von c1 cos α1 in die Gleichung 6) einzuführen, daraus wv zu ermitteln und damit aus Gleichung 5) ein neuer Wert von c1 cos α1 zu errechnen. Dies ist solange fortzusetzen, bis Gleichung 6) erfüllt ist. Diese aufhältliche Näherungsmethode lässt sich nun vermeiden, wenn man den geometrischen Ort des Endpunktes der absoluten Eintrittsgeschwindigkeit c1 ermittelt.

Setzt man:

x = (c1 cos α1) φ y = (c1 sin α1) φ

wo der Index φ den Beaufschlagungsgrad bezeichnet, so muss nach Gleichung 5) sein: $$x=\frac{{c^2}_e-(c_2{)}^2\phi -(w_v{)}^2\phi }{2u_1}+\frac{u_2}{u_1}$$ . . 54)Siehe G. Zeuner, Vorlesungen über Theorie der Turbinen. Die nach Zeuners Angaben ermittelten Versuche ergeben eine Kurve der c2e, welche, wenn die Turbine ohne Saugrohr betrachtet wird, die Gerade c2e = konstant zwei Mal schneidet, andernfalls sich nur wenig über dieselbe erhebt und sie in der Gegend von ¼-Beaufschlagung ebenfalls zum zweiten Male schneidet. Die Wiedergabe der betreffenden Kurven der c2e unterbleibt der Kürze halber. Es ist hier zu bemerken, dass man, um auf normale Wirkungsgrade zu kommen, wesentlich höhere Koeffizienten der Rechnung zugrunde legen muss, als Zeuner angibt. Hieraus ergibt sich ohne weiteres, dass es bei sorgfältiger Werkstattarbeit und guter konstruktiver Anordnung möglich sein muss, wesentlich höhere Wirkungsgrade zu erhalten, als sie in vorliegender Arbeit, welche normale Verhältnisse voraussetzt, sich ergeben. Dass dies zutrifft, zeigen viele neuerdings veröffentlichte Bremsergebnisse, welche auf Werte c2e > 0,90 schliessen lassen. (Hier angenommener Wert von c2e = 0,89). Ferner müss mit Rücksicht auf die Wasserförderung sein: (c1 sin α1) φ = φ . (c1 sin α1) wo (c1 sin α1) voller Beaufschlagung und φ dem Beaufschlagungsgrad entspricht. Ausserdem hat man nach Fig. 4: (c2)2φ = u22 + (w2)2φ + 2 u2 (w2) φ cos β2 (c2 cos α2) φ = u2 – (w2) φ cos β2 Nun ist aber: (w2) φ = φ . (w2) . . . . . . 3) wv = x – u1 . . . . . . 6) Damit ergibt Gleichung 51) 2 u1 x = c2e – u22 – φ2 (w2)2 + 2 φ u2 w2 cos β2 – x2 – u12 + 2 u1 x + 2 u22 – 2 φ u2 w2 cos β2 oder: x2 + φ2 w22 = c2e – u12 + u22, woraus mit: $$\phi =\frac{y}{c_1\text{sin}{\alpha }_1}$$ s. o. als Gleichung des gesuchten geometrischen Ortes sich ergibt: $$x^2+y^2{\left(\frac{w_2}{c_1\text{sin}{\alpha }_1}\right)}^2=c_e^2-{u_1}^2+{u_2}^2$$ oder: $$\frac{x^2}{(\sqrt{{c^2}_e-{u_1}^2+{u_2}^2}{)}^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{c_1\text{sin}{\alpha }_1}{w_2}\sqrt{{c^2}_e-{u_1}^2+{u_2}^2}\right)}=1$$ . . . 7) Der Endpunkt der absoluten Eintrittsgeschwindigkeit c1bewegt sich also auf einer Ellipse, deren Achsen, nachdem das Diagramm für volle Beaufschlagung (also auch das Verhältnis $$\frac{c_1\text{sin}{\alpha }_1}{w_2}$$) bekannt ist, sich ohne weiteres ermitteln lassen. Diese „Eintrittsellipse“ ist in Fig. 4 eingezeichnet und gestattet, die bisher unbekannte Grösse von wv für jede Beaufschlagung abzugreifen. Die Ellipse hat nun vorerst Giltigkeit für Wasserweg 1–2, da jedoch die Eintrittsverhältnisse für alle Teilturbinen als gleich vorausgesetzt wurden, muss auch die Eintrittsellipse für alle Punkte der Eintrittskante gelten. (Eine Probe dafür, dass dies zutrifft, gibt Gleichung 5 in Verbindung mit Fig. 4.) Nachdem so ce, c2 und wv für alle Wasserwege als bekannt angesehen werden dürfen, kann zur Ermittlung der hydraulischen Wirkungsgrade geschritten werden. Die Bestimmung des „mittleren“ hydraulischen Wirkungsgrades erfolgt auf Grund folgender Erwägung: Schluckt eine Teilturbine die Wassermenge q, bestimmt durch die Fläche zwischen je zwei voll ausgezogenen Ordinaten der Fig. 5, so ist die entsprechende Leistung Δ Nh ohne Berücksichtigung mechanischer Verluste: $$\mathrm{\Delta }{N}_h=q\cdot H\cdot {\eta }_b\frac{1}{75}$$ Die Leistung Nh der ganzen Turbine ist alsdann: $$N_h=\mathrm{\Sigma }(\mathrm{\Delta }{N}_h)=\frac{H}{75}\mathrm{\Sigma }(q\cdot {\eta }_h)=\frac{Q\cdot H\cdot {\eta }_h^{\prime }}{75}$$, wo η'h der „mittlere“ hydraulische Wirkungsgrad ist oder $${\eta }_h^{\prime }=\frac{\mathrm{\Sigma }(q\cdot {\eta }_h)}{Q}$$ . . . . . 8) Um ein Urteil darüber zu ermöglichen, inwieweit η'h mit dem ηh für Punkt 2 der Austrittskante übereinstimmt, sind in folgender Tabelle die Grössen der den einzelnen Teilturbinen und Beaufschlagungsgrade entsprechenden Werte von ηh, q, q . ηh, Σ (q . ηh), Σ (q) = Q, und η'h eingetragen.

ϕ = 1/1 ¾ ½ ¼ Punkt 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 ?h v.H. 82 81 82,3 81 83 84 84 84 84 84 83 82 83 82 83 76 70 78 79 q Liter 387 375 368 187 183 191 271 299 131 151 194 159 220 70 121 97 5 160 100 q . ?h 316 304 304 151 152 244 227 243 110 127 161 132 182 57 100 74 4 125 79 ? (q . ? h ) 1226 951 632 282 ? (q) 1500 1134 764 362 ?'h v.H. 82 84 83 78

Legt man also das Diagramm des Wasserweges 1–2 allein der Untersuchung zugrunde, so unterschätzt man den Wirkungsgrad (wie die Wassermenge) in der Gegend von φ = ¼. Ein klares Bild über den begangenen Fehler erhält man jedoch erst, wenn man die sich ergebenden Werte der Wh oder einfacher der Q . ηh vergleicht. Man erhält:

φ = 1/1 ¾ ½ ¼ Bei Zerlegung in Teilturbinen Q . η'h 1230 945 620 293 Wasserweg 1–2 allein; Q . ηh 1230 953 635 276 Fehler in v. H. 0 + 0,8 + 2,4 – 5,8

Die durch die alleinige Betrachtung des Diagrammes Fig. 2 (für Wasserweg 1–2) entstehenden Fehler der Leistung sind in Fig. 6b dargestellt. Sie bleiben bis φ = ¼ innerhalb der praktisch zulässigen Grenzen, ebenso wie auch bis zu dieser Beaufschlagung die Annahme ce2 = konstant berechtigt ist. Wäre der Betrachtung eine Turbine mit wesentlich grösserem, verhältnismässigem Saugrohrdurchmesser zugrunde gelegt worden, so ergäben sich etwas grössere Fehler und umgekehrt kleinere bei einer schmäleren Turbine. (Schluss folgt.)