Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. Von Professor G. Ramisch, Breslau. (Schluss von S. 372 d. Bd.) Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. IV. Wir gehen nunmehr dazu über, die Einflusslinie für das Biegungsmoment eines beliebigen Querschnitts zuermitteln. Es sei in Fig. 7 C der Schwerpunkt dieses Querschnitts Sein Abstand von $$\overline{A_1{A}_2}$$ sei y und die Punkte A1 und A2 sollen von y die Abstände u1 bezw. u2 haben. Links von C befindet sich die Last P1 und hat von A1 den Abstand x1 und rechts vor C befindet sich die Last P2 und hat x2 zum Abstand von A2. In Formel III muss man nun setzen x1 statt p1, x2 statt p2, ferner u1 statt x1 und u2 statt x2. Diese Umwandlungen geschehen der Uebersichtlichkeit wegen. Wir haben: $$M_0=P_1\cdot x_1\cdot \frac{u_2}{l}+P_2\cdot x_2\cdot \frac{u_1}{l}-(V_1\cdot \frac{u_2}{l}+V_1\cdot \frac{u_1}{l}+H\cdot y)$$ wobei nach: $$y=\frac{4\cdot f\cdot u_1\cdot u_2}{l^2}$$ ist. Dann ist nach Formel I $$H\cdot f=15\cdot P\cdot l\{\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^3+\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ Nach Formel II ist: $$V_1=P\cdot l\{\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+6\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ und nach Formel III ist: $$V_2=P\cdot l\{-\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+4\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ Befindet sich die Last links von C, so muss man überall x1 statt x in den drei letzten Gleichungen setzen, befindet sich dagegen die Last rechts von C, so ist überall x2 statt x dann zu nehmen. Im ersten Falle nennen wir Ml das Moment und im letzten Falle Mr. Es entsteht daher: $$M_1=P_1\cdot x_1\cdot \frac{u_2}{l}-P_1$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$-u_1[-\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^2-4\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^4]$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ oder auch; M1 = P1 $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$+{\left(\frac{x_1}{l}\right)}^3\cdot [-6\cdot u_2-4\cdot u_1+30\cdot \frac{u_1\cdot u_2}{l}]$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ IV. Mr findet man auch, indem man u2 mit u1 in dieser Gleichung vertauscht, also ist: $$\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^2\cdot [+\frac{9}{2}\cdot u_1+\frac{3}{2}\cdot u_2-15\cdot \frac{u_1\cdot u_2}{l}]$$ $$+{\left(\frac{x_2}{l}\right)}^3[-6\cdot u_1-4\cdot u_2+30\cdot \frac{u_1\cdot u_2}{l}]$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ V. Wir setzen: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$+{\left(\frac{x_1}{l}\right)}^3\cdot [-6\cdot u_2-4\cdot u_1+30\cdot \frac{u_1\cdot u_2}{l}]+{\left(\frac{x_2}{l}\right)}^4$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$+{\left(\frac{x_2}{l}\right)}^3[-6\cdot u_1-4\cdot u_2+30\cdot \frac{u_1\cdot u_2}{l}]+{\left(\frac{x_2}{l}\right)}^4$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ so erhalten wir: $$M_1=\frac{P_1\cdot Z_1}{n}$$ und $$M_r=\frac{P_2\cdot Z_2}{n}$$ Hierbei ist, wie früher, n eine beliebige ganze Zahl, um grosse Ordinaten für die Einflusslinie zu erhalten. Die Einflusslinie für irgend einen beliebigen Querschnitt des Bogens besteht also aus zwei verschiedenen Kurven.

Erstere reicht von A1 bis C und letztere von A2 bis C. Die Ordinate für C haben sie gemeinschaftlich, d.h. setzt man in den Gleichungen IV und V x1 = u1 und x2 = u2 so sind die Werte für Ml und für Mr einander gleich. In Fig. 8 ist die Einflusslinie für den mittleren Querschnitt M in Fig. 7 gezeichnet worden. Es ist hierbei zu nehmen $$u_1=u_2=\frac{l}{2}$$ und erhält: $$M_1=\frac{P_1\cdot l}{4}\cdot \{-3\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^2+10\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^3-5\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^4\}$$ und $$M_2=\frac{P_2\cdot l}{4}\cdot \{-3\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^2+10\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^3-5\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^4\}$$ Beide Teile der Einflusslinie liegen symmetrisch zur Mittellinie des Bogens. Man nehme der Reihe nach: $$\frac{x_1}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 und 0,5, so erhält man: $$\frac{Z_1}{l}=$$ – 0,005125, – 0,0120, – 0,010125 + 0,008, + 0,046875. Ferner ergeben sich für die Werte $$\frac{x_2}{l}$$ die gleichen Werte von $$\frac{Z_2}{l}$$ entsprechend.

Weiter ist in Fig. 9 die Einflusslinie für den Querschnitt bestimmt, bei welchem u1 = 0,4 . l und u2 = 0,6 . l ist. Wir erhalten dann: $$M_1=P\cdot l\cdot \{-0,3\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^3-1,1\cdot {\left(\frac{x_1}{l}\right)}^4\}$$ und $$M_r=P\cdot l\cdot \{-0,9\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^3+2,4\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^3-1,1\cdot {\left(\frac{x_2}{l}\right)}^4\}$$ Zur Zeichnung der Einflusslinie hat man für: $$\frac{x_1}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3 und 0,4 folgende Werte für: $$\frac{Z_1}{l}=$$ – 0,00111, + 0,00224, +0,01609, +0,05184 und für: $$\frac{x_2}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 und 0,6 hat man:$$\frac{Z_2}{l}=$$ – 0,00671, – 0,01856, – 0,02511, 0,01856, + 0,00625 und + 0,05184. Alle Einflussflächen liegen teils über, teils unter ihrer Grundlinie und es müssen die Flächenteile über der Grundlinie genau so gross sein, wie die Flächenteile unter der Grundlinie. Man kann sich davon überzeugen, wenn man die Gleichungen IV und V sinngemäss integriert. Es ist dies aber schon deswegen klar, weil bei vollständiger gleichmässiger Belastung des Gewölbes das Biegungsmoment der gesamten Einflussfläche proportional ist. Da aber der flache Kreisbogen Stützlinie der gleichmässig verteilten Last ist, so kann in keinem Querschnitt des Bogens ein Biegungsmoment entstehen. Hieraus folgt, dass die gesamte Einflussfläche gleich Null sein muss, also ist die Summe aller Flächenteile über der Grundlinie gleich der Summe der Flächenteile unter der Grundlinie. In Fig. 10 ist die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts dargestellt, für welcher u1 = 0,1 . l und u2 = 0,9 . l ist. Wir erhalten; $$M_1=P\cdot 1\cdot \{2,85\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-3,1{\left(\frac{x}{l}\right)}^3+1,15\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ und es ist für $$\frac{x}{l}=0,1\frac{Z}{l}=+0,025515$$ wenn man: $$Z=1\cdot \{2,85\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-3,1{\left(\frac{x}{l}\right)}^3+1,15\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ gesetzt hat. Ferner ist: $$M_r=P\cdot 1\cdot \{0,45\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-1,5\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+1,15\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ Man setze auch $$Z=1\cdot \{0,45\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-1,5\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+1,15\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ und bekommt für: $$\frac{x}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5,0,6, 0,7, 0,8 und 0,9 der Reihe nach $$\frac{Z}{l}=$$ + 0,003115,+ 0,00864, + 0,009315, + 0,00544, – 0,003125 – 0,01296, – 0,017885, – 0,00896 und + 0,025515. Ferner ist in Fig. 11 die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts dargestellt, für den u1 = 0,2 und l u2 = 0,8 . l ist. Man hat: $$M_1=P\cdot l\cdot \{1,5\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-0,8\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+0,1\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ Für x = 0,1 und 0,2 erhält man beziehungsweise $$\frac{Z}{l}=$$ + 0,01421 und + 0,05376, wenn: $$Z=l\cdot \{1,5\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-0,8\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+0,1\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ ist. Dann ist: Mr= P . Z wobei $$Z=l\cdot \{-0,3\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+0,4\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+0,1\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ ist. Man hat für $$\frac{x}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7 und 0,8 der Reihe nach: $$\frac{Z}{l}=$$ – 0,00259, – 0,00764, – 0,01531, – 0,01984, – 0,01875, – 0,00864, + 0,01421, und 0,05376. In Fig. 12 ist endlich die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts, für welchen u1 = 0,3 . l und u2 = 0,7, l ist gezeichnet worden. Setzt man: Ml = P . Z so ist: $$Z=l\cdot \{0,45\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+0,9\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-0,65\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ Für $$\frac{x}{l}=$$ 0,1, 0,2, und 0,3 ergibt sich: $$\frac{Z}{l}=$$ + 0,005335, + 0,02516 und + 0,059535. Setzt man ferner: Mr= P . Z so ist: $$Z=l\cdot \{-0,75\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+1,7\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-0,65\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4\}$$ und es entsteht für $$\frac{x}{l}=$$ 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 und 0,7 für $$\frac{Z}{l}$$ der Reihe nach: – 0,005865, – 0,01644, – 0,026865, – 0,02864, – 0,015625, + 0,01306 und + 0,059535. Alle diese Einflusslinien, also auch die für V1 und V2 sind mit n = 10 gezeichnet worden. Wie man sieht, haben letztere die grösste Ausdehnungen, woraus folgt, dass in dem Kämpfer stets, mag man es mit bleibender oder mit beweglicher Belastung zu tun haben, die grössten Biegungsmomente vorkommen. Hieraus folgt, dass zur Untersuchung des Gewölbes die Fig. 4 und 5 vollkommen genügen. Wie man hierbei zu verfahren hat, braucht wohl nicht besonders hervorgehoben zu werden, weil beim Gebrauch der Einflusslinien die Methode stets dieselbe ist und mit Probieren immer am einfachsten zum Ziele führt. Wir wollen uns zum Schluss nur noch damit beschäftigen, dass die Belastung gleichmässig verteilt ist.

Fig. 13.

Die Belastung für die Längeneinheit ist g und der Bogen sei damit gleichmässig von Ende A1 an auf die Strecke x belastet. Es ergibt sich dann der Auflagerdruck bei A1 aus der Formel: $$A\cdot l-g\cdot x\cdot (l-\frac{x}{2})=0$$ woraus folgt: $$A=g\cdot x\cdot (1-\frac{x}{2l})$$ Ferner ist nach Formel I der Horizontalschub: $$H=15\cdot g\cdot \frac{l}{f}\cdot {\int }_0^x[\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4]dx,$$ d.h. $$H=15\cdot \frac{g{l}^2}{f}\cdot \{\frac{1}{12}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-\frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4+\frac{1}{20}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^5\}$$ Nach Formel II ist: $$V_1=g\cdot l\cdot {\int }_0^x[\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{9}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^2+6\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4]dx,$$ oder $$V_1=g\cdot l^2\cdot [\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{l}\right)}^2-\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^4-\frac{1}{2\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^5}]$$ Heisst nun 2α der Zentriwinkel des elastischen Bogens, so ist die Normalkraft, welche von A und H ausgeübt wird: H . cos α + A . sin α. Wir bezeichnen die Spannung in jeder äussersten Faserschicht mit k, mit b die Breite und mit h die Stärke des Gewölbes, so ist: $$k=\frac{H\cdot \text{cos}\alpha +A\cdot \text{sin}\alpha }{bh}\pm \frac{V_1}{\frac{b\cdot h^2}{6}}$$ d.h. $$k=\frac{1}{bh}\cdot \{H\cdot \text{cos}\alpha +A\cdot \text{sin}a\pm \frac{6\cdot V_1}{h}\}.$$ Das positive Vorzeichen gilt für die eine und das negative Vorzeichen für die andere äusserste Faserschicht. Mit Rücksicht auf die vorhergehende Gleichungen erzielt sich nun: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Man kann sich gestatten, weil α sehr klein sein muss, sin α = 0 und cos α = 1 zu setzen und hat: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$, wobei also der Einfluss von A wegen der Kleinheit von α vernachlässigt worden ist. Hieraus kann man die grösste Spannung des Gewölbes ermitteln, wenn es vom linken Ende bis auf eine beliebige Strecke belastet ist. Wir brachten zunächst das obere Vorzeichen. Ist x < 0,4 l, so nehmen V1 und H zugleich zu, ist aber x > 0,4 l, so nimmt mit x wohl H zu, jedoch V1 ab. Es wird deshalb die grösste Druckspannung, dann erreicht wenn: x > 0,4 l ist. Beachtet man dann das untere Vorzeichen, so sieht man, dass mit Zunahme von x die Spannung abnimmt, wenn x > 0,4 l ist und wir sie als Zugspannung ansehen. Die grösste Zugspannung wird also erreicht, wenn x > 0,4 l ist. – Für mineralische Stoffe ist es wichtig, dass letztere Spannung gleich Null ist, was geschieht, wenn: $$\frac{h}{f}=\frac{l-3\left(\frac{x}{l}\right)+3{\left(\frac{x}{l}\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{l}\right)}^3}{5[\frac{1}{12}\left(\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{8}{\left(\frac{x}{l}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{x}{l}\right)}^3]}$$ ist wie man leicht ableiten kann, Nimmt man z.B. x = 0,1 . l, so ist h > 20 . f. Wenn also die Stärke des Gewölbes mehr wie die zwanzigfache Pfeilhöhe ist, so sind Zugspannungen nicht Möglich. Da solche Gewölbe nicht ausgeführt sind, sich übrigens den Voraussetzungen der Untersuchung entziehen, so kommen in allen flachen Gewölben mit gleicher Stärke bei beweglicher Last stets Zugspannungen vor. Endlich ist noch das Gewölbe vom anderen Ende an bis zu einem beliebigen Punkte gleichmässig zu bersten. Es leitet sich dann mit Formel III $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$=g{l}^2\cdot [\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^3-{\left(\frac{x}{l}\right)}^4+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x}{l}\right)}^5]$$ ab und wir haben nunmehr die Formel: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Auf Grund derselben lassen sich ebensolche Betrachtungen, wie vorher machen. Da die Spannungen von h und f abhängig sind, so kann man allgemein Formel für die Grösswerte von H nicht bilden. Doch müssten sich Tabellen anfertigen lassen, womit man sehr rasch zu den nötigen Dimensionen gelangen könnte. Vorläufig könnte man sich des Höchstwertmomentes 0,01729 . G . l bedienen, indem man zunächst Auflagerdruck und wagerechte Kraft unbeachtet lässt. Da beim Bogen mit Kämpfergelenken die Horizontalkraft denselben Wert wie hier hat, so sieht man, dass, weil er ein geringeres Höchstwertmoment hat, dem eingemauerten Bogen stets vorzuziehen ist; merkwürdigerweise findet dies in der Praxis schon Beachtung, weil z.B. Betonbrücken mit Gelenken absichtlich ausgeführt werden.