Kinematisch-statische Untersuchung des
eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes.Von Professor G. Ramisch,Breslau.(Schluss von S. 372 d. Bd.)Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen
Kreisbogen-Gewölbes.IV.Wir gehen nunmehr dazu über, die Einflusslinie für das Biegungsmoment eines
beliebigen Querschnitts zuermitteln. Es sei in Fig. 7C der Schwerpunkt dieses Querschnitts Sein Abstand von
sei y und die Punkte A1 und A2 sollen von y die
Abstände u1 bezw. u2 haben. Links von C befindet sich die Last P1 und hat von A1 den Abstand x1 und rechts vor C befindet sich die Last P2 und hat x2 zum Abstand von A2. In Formel III muss
man nun setzen x1 statt
p1, x2 statt p2, ferner u1 statt x1 und u2 statt x2. Diese Umwandlungen
geschehen der Uebersichtlichkeit wegen. Wir haben:wobei nach:ist.Dann ist nach Formel INach Formel II ist:und nach Formel III ist:Befindet sich die Last links von C, so muss man überall
x1 statt x in den drei letzten Gleichungen setzen, befindet sich
dagegen die Last rechts von C, so ist überall x2 statt x dann zu nehmen. Im ersten Falle nennen wir Ml das Moment und im
letzten Falle Mr. Es
entsteht daher:Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftoder auch;M1 = P1Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftIV.Mr findet man auch,
indem man u2 mit u1 in dieser Gleichung vertauscht, also ist:Missing or unrecognized delimiter for \left V.Wir setzen:Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftundMissing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftso erhalten wir:undHierbei ist, wie früher, n eine beliebige ganze Zahl, um
grosse Ordinaten für die Einflusslinie zu erhalten.Die Einflusslinie für irgend einen beliebigen Querschnitt des Bogens besteht also aus
zwei verschiedenen Kurven.
[Textabbildung Bd. 319, S. 440]
Erstere reicht von A1
bis C und letztere von A2 bis C. Die
Ordinate für C haben sie gemeinschaftlich, d.h. setzt
man in den Gleichungen IV und V
x1= u1 und x2 = u2 so sind die Werte
für Ml und für Mr einander gleich.In Fig. 8
ist die Einflusslinie für den mittleren Querschnitt M in Fig. 7
gezeichnet worden. Es ist hierbei zu nehmen und erhält:undBeide Teile der Einflusslinie liegen symmetrisch zur Mittellinie des Bogens. Man
nehme der Reihe nach: 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 und 0,5, so erhält man:
– 0,005125, – 0,0120, – 0,010125 + 0,008, + 0,046875. Ferner ergeben
sich für die Werte die gleichen Werte von entsprechend.
[Textabbildung Bd. 319, S. 441]
Weiter ist in Fig.
9 die Einflusslinie für den Querschnitt bestimmt, bei welchem u1 = 0,4 . l und u2 = 0,6 . l ist.Wir erhalten dann:undZur Zeichnung der Einflusslinie hat man für: 0,1, 0,2, 0,3 und 0,4
folgende Werte für: – 0,00111, + 0,00224, +0,01609, +0,05184 und für:
0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 und 0,6 hat man: – 0,00671, –
0,01856, – 0,02511, 0,01856, + 0,00625 und + 0,05184.Alle Einflussflächen liegen teils über, teils unter ihrer Grundlinie und es müssen die Flächenteile über der Grundlinie genau so
gross sein, wie die Flächenteile unter der Grundlinie. Man kann sich davon
überzeugen, wenn man die Gleichungen IV und V sinngemäss integriert. Es ist dies
aber schon deswegen klar, weil bei vollständiger gleichmässiger Belastung des
Gewölbes das Biegungsmoment der gesamten Einflussfläche proportional ist. Da aber
der flache Kreisbogen Stützlinie der gleichmässig verteilten Last ist, so kann in
keinem Querschnitt des Bogens ein Biegungsmoment
entstehen. Hieraus folgt, dass die gesamte Einflussfläche gleich Null sein
muss, also ist die Summe aller Flächenteile über der Grundlinie gleich der Summe der
Flächenteile unter der Grundlinie.In Fig. 10
ist die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts dargestellt, für
welcher u1 = 0,1 . l und u2 = 0,9 . l ist.Wir erhalten;und es ist für wenn man:gesetzt hat.Ferner ist:Man setze auchund bekommt für: 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5,0,6,
0,7, 0,8 und 0,9 der Reihe nach + 0,003115,+ 0,00864, + 0,009315, +
0,00544, – 0,003125 – 0,01296, – 0,017885, – 0,00896 und + 0,025515.Ferner ist in Fig. 11 die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts
dargestellt, für den u1
= 0,2 und l u2 = 0,8 .
l ist.Man hat:Für x = 0,1 und 0,2 erhält man beziehungsweise
+ 0,01421 und + 0,05376, wenn:ist.Dann ist:Mr= P . Zwobeiist.Man hat für 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7 und 0,8 der Reihe
nach: – 0,00259, – 0,00764, – 0,01531, – 0,01984, – 0,01875, – 0,00864,
+ 0,01421, und 0,05376.In Fig. 12
ist endlich die Einflusslinie für das Biegungsmoment des Querschnitts, für welchen
u1 = 0,3 . l und u2 = 0,7, l ist
gezeichnet worden.Setzt man:Ml =
P . Zso ist:Für 0,1, 0,2, und 0,3 ergibt sich: + 0,005335, + 0,02516
und + 0,059535.Setzt man ferner:Mr= P . Zso ist:und es entsteht für 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6
und 0,7 für der Reihe nach: – 0,005865, – 0,01644, – 0,026865, – 0,02864,
– 0,015625, + 0,01306 und + 0,059535.Alle diese Einflusslinien, also auch die für V1 und V2 sind mit n = 10
gezeichnet worden. Wie man sieht, haben letztere diegrössteAusdehnungen, woraus folgt,dass in dem Kämpfer stets, mag man es
mit bleibender oder mit beweglicher Belastung zu tun haben, die grössten
Biegungsmomente vorkommen. Hieraus folgt, dass zur Untersuchung des Gewölbes die Fig. 4
und 5vollkommengenügen. Wie man hierbei zu verfahren hat, braucht wohl
nicht besonders hervorgehoben zu werden, weil beim Gebrauch der Einflusslinien die
Methode stets dieselbe ist und mit Probieren immer am einfachsten zum Ziele führt.
Wir wollen uns zum Schluss nur noch damit beschäftigen, dass die Belastung
gleichmässig verteilt ist.
[Textabbildung Bd. 319, S. 442]
Fig. 13.Die Belastung für die Längeneinheit ist g und der Bogen
sei damit gleichmässig von Ende A1 an auf die Strecke x
belastet. Es ergibt sich dann der Auflagerdruck bei A1 aus der Formel:woraus folgt:Ferner ist nach Formel I der Horizontalschub:d.h.Nach Formel II ist:oderHeisst nun 2α der Zentriwinkel des elastischen Bogens,
so ist die Normalkraft, welche von A und H ausgeübt wird:H . cos α + A
. sin α.Wir bezeichnen die Spannung in jeder äussersten Faserschicht mit k, mit b die Breite und
mit h die Stärke des Gewölbes, so ist:d.h.Das positive Vorzeichen gilt für die eine und das negative Vorzeichen für die andere
äusserste Faserschicht. Mit Rücksicht auf die vorhergehende Gleichungen erzielt sich
nun:Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftMissing or unrecognized delimiter for \leftMan kann sich gestatten, weil α sehr klein sein muss,
sin α = 0 und cos α = 1 zu
setzen und hat:Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \left,
wobei also der Einfluss von A
wegen der Kleinheit von α vernachlässigt worden
ist.Hieraus kann man die grösste Spannung des Gewölbes ermitteln, wenn es vom linken
Ende bis auf eine beliebige Strecke belastet ist. Wir brachten zunächst das obere
Vorzeichen. Ist x < 0,4 l, so nehmen V1 und H
zugleich zu, ist aber x > 0,4 l, so nimmt mit x wohl H zu, jedoch V1 ab. Es wird deshalb die grösste Druckspannung, dann erreicht
wenn:x > 0,4 list. Beachtet man dann das untere Vorzeichen, so sieht man,
dass mit Zunahme von x die Spannung abnimmt, wenn x > 0,4 l ist und wir sie
als Zugspannung ansehen. Die grösste Zugspannung wird also
erreicht, wenn x > 0,4 l ist. – Für mineralische Stoffe ist es
wichtig, dass letztere Spannung gleich Null ist, was geschieht, wenn:ist wie man leicht ableiten kann, Nimmt man z.B. x = 0,1 . l, so ist h > 20 . f.Wenn also die Stärke des Gewölbes mehr wie die zwanzigfache
Pfeilhöhe ist, so sind Zugspannungen nicht Möglich. Da solche Gewölbe nicht
ausgeführt sind, sich übrigens den Voraussetzungen der Untersuchung entziehen,
so kommen in allen flachen Gewölben mit gleicher Stärke bei beweglicher Last
stets Zugspannungen vor.Endlich ist noch das Gewölbe vom anderen Ende an bis zu einem beliebigen Punkte
gleichmässig zu bersten. Es leitet sich dann mit Formel
IIIMissing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftab und wir haben nunmehr die Formel:Missing or unrecognized delimiter for \rightMissing or unrecognized delimiter for \leftAuf Grund derselben lassen sich ebensolche Betrachtungen, wie vorher machen.Da die Spannungen von h und f abhängig sind, so kann man allgemein Formel
für die Grösswerte von H nicht bilden. Doch müssten sich Tabellen anfertigen lassen, womit man sehr
rasch zu den nötigen Dimensionen gelangen könnte.Vorläufig könnte man sich des Höchstwertmomentes 0,01729 . G
. l bedienen, indem man zunächst Auflagerdruck und wagerechte Kraft
unbeachtet lässt.Da beim Bogen mit Kämpfergelenken die Horizontalkraft denselben Wert wie hier hat, so
sieht man, dass, weil er ein geringeres Höchstwertmoment hat, dem eingemauerten
Bogen stets vorzuziehen ist; merkwürdigerweise findet dies in der Praxis schon
Beachtung, weil z.B. Betonbrücken mit Gelenken absichtlich ausgeführt werden.