Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. Von Professor G. Ramisch, Breslau. Kinematisch-statische Untersuchung des eingemauerten flachen Kreisbogen-Gewölbes. I.

Fig. 1.

In Fig. 1 ist die Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte, die sogenannte elastische Linie eines flachen Kreisbogengewölbes dargestellt, welche A1 zum festen und A2 zum beweglichen Auflager hat. A1 und A2 sind Vorerst die Mittelpunkte von Auflagergelenken und dieser ist parallel beweglich zur wagerechten Strecke $$\overline{uv}$$. P1 und P2 sind zwei Belastungen des Gewölbes, welche die elastische Linie bezw. in den Punkten D1 und D2 treffen; sie sind äussere Kräfte und können auch als Mittelkräfte von äusseren Belastungen aufgefasst werden, welche beziehungsweise zu beiden Seiten des beliebigen Punktes C der elastischen Linie liegen. Alle Belastungen sollen zueinander parallel und normal zu $$\overline{uv}$$ gerichtet sein. Ausserdem wirkt im Punkte A2 des Gewölbes eine Kraft H parallel zu $$\overline{uv}$$, ferner wirken die Kräfte U2 und U1. U1 ist an einem Hebel $$\overline{A_1{K}_1}$$ wirksam, welcher mit dem Gewölbe im Punkte A1 in fester Verbindung steht und U2 ist es am Hebel $$\overline{A_2{K}_2}$$ und steht mit dem Gewölbe im Punkte A2 in fester Verbindung. Beide Hebel sollen als starr angesehen werden, während das Gewölbe sonst in allen Teilen elastisch und dem Hookeschen Gesetze unterworfen ist. Wir setzen $$\overline{A_1{K}_1}=u_1$$ und $$\overline{A_2{K}_2}=u_2$$ und die Momente U1 . u1 und U2 . u2, welche künftig von Wichtigkeit sein werden, beziehungsweise V1 und V2. Die Spannweite der elastischen Linie $$\overline{A_1{A}_2}$$ nennen wir l und f die Pfeilhöhe $$\overline{MN}$$; dann ist p1 der Abstand der Kraft P1 von A1 und p2 der Abstand der Kraft P2 von A2. Endlich sind die Abstände des Punktes C vom linken und rechten Auflager bezüglich x1 und x2, und y von $$\overline{A_1{A}_2}$$. Sind nun die Fasern nur in dem Querschnitte des Schwerpunktes C elastisch, so werden infolge der Kräfte die beiden Teile von A1 bis C und von C bis A2 sich, wenn auch nur momentan, drehen müssen. Ersterer dreht sich um A1 und letzterer um den Schnittpunkt B von $$\overline{A_{1}C}$$ mit dem Lote von A2 auf $$\overline{uv}$$. Der Punkt B ist zwar nicht genau, jedoch sehr angenähert der Drehpunkt des rechten Bogenteiles, wir gelangen daher nicht zu absolut richtigen, jedoch vollständig genügenden Ergebnissen. Der Fehler, welchen wir machen werden, besteht darin, dass wir auf die Formänderungen, hervorgebracht von den Kräften normal zum Querschnitte und im Querschnitte, verzichten und zwar deswegen, weil sie ausserordentlich gering sind. Wir ziehen also nur die Formänderungen, welche von Kräftepaaren verursacht werden, in Betracht, und diese dürfen nicht vernachlässigt werden. Die Vernachlässigung jener Formänderungen ist für derartige Untersuchungen sehr vorteilhaft; denn andernfalls würden sie sich sehr langwierig gestalten. Die Drehwinkel um A1 und B mögen beziehungsweise dα und dβ sein; sie sind unendlich klein, müssen aber später als sehr klein aufgefasst werden, was an der Unzulänglichkeit des Hookeschen Gesetzes liegt. Die beiden Teile des Bogens drehen sich gleichzeitig mit einem unendlich kleinen Winkel, der dγ heissen soll. Wir haben nun folgende Beziehungen: $$\overline{A_{1}C}\cdot d\gamma =\overline{A_{1}B}\cdot d\beta$$ und $$\overline{CB}\cdot d\gamma =\overline{A_{1}B}\cdot d\alpha$$ welche sich mittels kinematischer Geometrie leicht ableiten lassen und für unsere Zwecke allein nötig sind. Weil $$\overline{A_{1}C}:\overline{CB}:\overline{A_{1}B}=x_1:x_2:l$$ ist, so entsteht: $$d\alpha =\frac{x_2}{c}\cdot d\gamma$$ . . . . 1) und $$d\beta =\frac{x_1}{c}\cdot d\gamma$$ . . . . 2) Von den Kräften P1, P2, U1, U2 und H werden in derselben unendlich kleinen Zeit die Arbeiten P1 . p1 . d α, P2 . p2. d β, U1 u1 . d a, U2 u2 . d β und $$H\cdot \overline{B{A}_2}\cdot d\beta$$ geleistet. Alle Arbeiten erzeugen die Arbeit des Biegungsmomentes bei C. Nennen wir M0 dieses Biegungsmoment, so ist die davon in der nämlichen unendlich kleinen Zeit geleistete Arbeit M0 . d γ. Wir haben jetzt folgende Grundgleichung: $$M_0\cdot d\gamma =P_1\cdot p_1\cdot d\alpha +P_2\cdot p_2\cdot d\beta -U_1\cdot u_1\cdot d\alpha -U_2\cdot u_2\cdot d\beta -H\cdot \overline{B{A}_2}\cdot d\beta$$ Hierin ist: $$\overline{B{A}_2}\cdot d\beta =\overline{B{A}_2}\cdot \frac{x_1}{c}\cdot d\gamma$$ und weil: $$\frac{x_1}{y}=\frac{c}{\overline{B{A}_2}}$$ ist, so entsteht: $$\overline{B{A}_2}\cdot d\beta -y\cdot d\gamma$$. Mit Rücksicht auf die Gleichungen 1) und 2) erhält man: $$M_0=P_1\cdot p_1\frac{x_2}{l}+P_2\cdot p_2\cdot \frac{x_1}{l}-(U_1\cdot u_1\cdot \frac{x_2}{l}+U_2\cdot u_2\cdot \frac{x_1}{l}+H\cdot y)$$ oder auch: $$M_0=P_1\cdot p_1\cdot \frac{x_2}{l}+P_2\cdot p_2\cdot \frac{x_1}{l}-(V_1\cdot \frac{x_2}{l}+V_2\cdot \frac{x_1}{l}+H\cdot y)$$ . . . 3) Zu dieser Gleichung würde man auch auf anderem Wege, jedoch mit vorheriger Bestimmung der Auflagerkräfte gekommen sein. Die Punkte A2, K1 und K2 bewegen sich gleichzeitig in derselben unendlich kleinen Zeit und wir nennen beziehungsweise d b0, d b1 und d b2 die unendlich kleinen Wege. Dieselben ergeben sich: $$d{b}_0=\overline{B{A}_1}\cdot d\beta =y\cdot d\gamma$$ $$d{b}_1=u_1\cdot d\alpha =u_1\cdot \frac{x_2}{l}\cdot d\gamma$$ und $$d{b}_2=u_2\cdot d\beta =u_2\cdot \frac{x_1}{l}\cdot d\gamma$$ Da ferner: $$M_n=E\cdot J\cdot \frac{d\gamma }{ds}$$ . . . . . . 4) ist, wenn E der überall konstante Elastizitätsmodul, J das überall konstante Trägheitsmoment der Querschnitte des Bogens und ds das Bogenelement der elastischen Linie bei C ist, so erhält man, wenn man noch angenähert statt ds die Projektion dx davon auf $$\overline{A_1{A}_2}$$ setzt: $$d\gamma =\frac{M_0\cdot dx}{E\cdot J}$$ und wir haben nunmehr: E . J . d b0 = y . dx . M0 . . . . 5) $$E\cdot J\cdot d{b}_1=u_1\cdot \frac{x_2}{l}\cdot dx\cdot M_0$$ . . 6) und $$E\cdot J\cdot d{b}_2=u_2\cdot \frac{x_1}{l}\cdot dx\cdot M_0$$ . . 7) wobei für M0 der Wert in Gleichung 3 enthalten ist. Es sind dies die Grundgleichungen, womit wir uns im folgenden Abschnitt beschäftigen wollen. II.

Fig. 2.

Das Gewölbe möge ausser mit U1, U2 und H nur mit der äusseren Kraft P belastet sein und letztere soll in Fig. 2 vom linken und rechten Auflager die Abstände p1 bezw. p2 haben. C möge links von P liegen. Man hat dann nach Formel 3: $$M_0=P\cdot p_2\cdot \frac{x_1}{l}-(V_1\cdot \frac{x_2}{l}+V_2\cdot \frac{x_1}{l}+H\cdot y)$$ also entsteht nach den drei letzten Gleichungen des vorigen Abschnittes: $$E\cdot J\cdot d{b}_0=\frac{P{p}_2}{l}\cdot y\cdot x_1\cdot dx$$ $$-(\frac{V_1}{l}\cdot y\cdot x_2\cdot dx+\frac{V_2}{l}\cdot y{x}_{1}d{x}_1+H\cdot y^2\cdot dx)$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Diese drei Gleichungen bilden wir für alle Punkte der elastischen Linie zwischen A1 und dem Schnittpunkte D von P mit derselben in Fig. 2 und addieren sämtliche d b0, d b1 und d b2; nennen wir b0', b1' und b2' die bezüglichen Summen, so entsteht: $$E\cdot J\cdot b_0^{\prime }=\frac{P\cdot p_2}{l}\cdot {\int }_{A_1}^{D}y\cdot x_1\cdot dx$$ $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Dann soll C rechts von P in Fig. 2 liegen. Nach Formel 3 hat man dann: $$M=P\cdot p_1\cdot \frac{x_2}{l}-(V_1\cdot \frac{x_2}{l}+V_2\cdot \frac{x_1}{l}+H\cdot y)$$ und nach den Gleichungen 5, 6 und 7 erhält man: $$E\cdot J\cdot d{b}_0=\frac{P\cdot p^1}{l}\cdot y\cdot x_2,\cdot dx$$ $$-(\frac{V_1}{l}\cdot y\cdot x_2\cdot dx+\frac{V_2}{l}\cdot y\cdot x_1\cdot dx+H\cdot y^2\cdot dx)$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Diese drei Gleichungen bilden wir für alle Punkte der elastischen Linie zwischen A2 und D und addieren sämtliche d b0, d b1 und d b2. Die Summen nennen wir entsprechend b0'', b1'' und b2'' und erhalten: $$E\cdot J\cdot b_0^{″}=\frac{P\cdot p_1}{l}\cdot {\int }_{A_2}^{D}y\cdot x_2\cdot dx$$ $$-\{\frac{V_1}{l}\cdot {\int }_{A_2}^{D}y\cdot x_2\cdot dx+\frac{V_2}{l}\cdot {\int }_{A_2}^{D}y\cdot x_1\cdot dx+H\cdot {\int }_{A_2}^D{y}^2\cdot dx\}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Weiter kann man b0' und b0'', ferner b1' und b1'' und endlich b2 und b2'' zusammenzählen und wir setzen: b0' + b0'' = b0 b1' + b1'' = b1 und b2' + b2'' = b2 wodurch wir erhalten: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ und $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Hierin ist $${\int }_{A_1}^{A_2}y\cdot dx\cdot x_2$$ das staatische Moment der Fläche, welche von der elastischen Linie und der Geraden $$\overline{A_1{A}_2}$$ begrenzt ist in bezug auf eine durch A2 gehende und zu $$\overline{A_1{A}_2}$$ senkrechten Gerade. Wir nennen F diese Fläche, so ist: $${\int }_{A_1}^{A_2}y\cdot dx\cdot x_2=F\cdot \frac{l}{2}.$$ Ebenso ist: $${\int }_{A_1}^{A_2}y\cdot dx\cdot x_1=F\cdot \frac{l}{2}$$ denn es ist das statische Moment derselben Fläche in bezug auf eine durch A1 gehende und auf $$\overline{A_1{A}_2}$$ senkrecht stehende Achse. Man kann setzen: $${\int }_{A_1}^{A_2}{y}^{2}dx=2{\int }_{A_1}^{A_2}y\cdot \frac{y}{2}dx$$ und es ist das Intregal nichts anderes, als das statische Moment der Fläche in bezug auf die Achse $$\overline{A_1{A}_2}$$. Der Schwerpunkt der Fläche hat von $$\overline{A_1{A}_2}$$ den Abstand $$\frac{2}{5}f$$, weil die Fläche als Parabelstück angesehen werden kann, so dass man hat: $${\int }_{A_1}^{A_2}{y}^2\cdot dx=2\cdot F\cdot \frac{2}{5}f\cdot =\frac{4}{5}\cdot F\cdot f$$ Weiter betrachte man die Fläche als Belastung eines einfachen Balkens zwischen A1und A2 und denke zu dieser Belastungsfläche mit einem beliebigen Polabstande h1 die Momentenfläche gezeichnet. Ist η1 die Ordinate in der Momentenfläche zu P, d.h. liegt sie auf der Kraftlinie von P, so ist: $$\frac{p_1}{l}\cdot {\int }_{A_1}^{D}y\cdot x_{2}dx+\frac{p_2}{l}\cdot {\int }_{A_1}^{D}y\cdot d_1\cdot dx=h_1\cdot {\eta }_1$$ und es ensteht $$E\cdot J\cdot b_0=P\cdot h_1\cdot {\eta }_1-(V_1\cdot \frac{F}{2}+V_2\cdot \frac{F}{2}+H\cdot f\cdot \frac{4}{5}F)$$ . . 8) Weiter haben wir: $${\int }_{A_1}^{A_2}{x_2}^2\cdot dx=\frac{1}{3}\cdot l^3$$ und $${\int }_{A_1}^{A_2}{x}_1\cdot x_2\cdot dx$$ $$-{\int }_{A_1}^{A_2}{x}_2(l-x_2)dx=l\cdot \frac{l^2}{2}-\frac{l^3}{3}=\frac{l^3}{6}.$$ Das Intregal $${\int }_{A_1}^{A_2}y\cdot x_2\cdot dx$$ ist, wie wir bereits erwähnt hatten $$F\cdot \frac{1}{2}$$. Man erreichte in A1 auf $$\overline{A_1{A}_2}$$ die Senkrechte, mache darauf A1G1 = l und verbinde G1 mit A2, so entsteht das Dreieck A1A2G1. Die Dreiecksfläche sehe man nun als Belastung eines einfachen Balkens zwischen A1 und A2 an und zeichne dazu mit einem beliebigen Polabstande h2 die Momentenfläche. In derselben nenne man die Ordinate zu P d.h. die Strecke darin, welche auf der Kraftlinie von P liegt η2, so ist: $$\frac{p_1}{l}\cdot {\int }_{A_1}^D{x_2}^2\cdot dx+\frac{p_2}{l}\cdot {\int }_{A_1}^{A_2}{x}_1\cdot x_2\cdot dx=h_2\cdot {\eta }_2$$ so dass wir nunmehr erhalten: $$E\cdot J\cdot b_1=\frac{u_1}{l}\cdot \{P\cdot h_2\cdot \eta (\frac{V_1}{3}\cdot l^2+\frac{V_2}{6}\cdot l^2+H\cdot F\cdot \frac{1}{2})\}$$ . . . 9) Ferner zeichne man in A2 auf $$\overline{A_1{A}_2}$$ das Lot, mache es gleich l, wodurch man G2 erhält und ziehe A1G2. Das Dreieck A1A2G2 sehe man ebenfalls als Belastungsfläche eines Balkens zwischen A1 und A2 an und zeichne dazu mit dem beliebigen Polabstande h3 die Momentenfläche, nenne darin h3 in Ordinate zu P d.h. die Strecke in derselben auf der Kraftlinie von P, so erhält man aus der folgenden Gleichung, ähnlich wie vorher: $$E\cdot J\cdot b_2=\{\frac{u_2}{l}\cdot P\cdot h_3\cdot {\eta }_3-(\frac{V_1}{6}\cdot l^2+\frac{V_2}{3}\cdot l^2+H\cdot F\cdot \frac{l}{2})\}$$ . . 10) Damit nun das Gewölbe als eingemauert angesehen werden soll, müssen b0 = 0, b1 = 0 und b2 = 0 sein und wir erhalten dann aus den Gleichungen 8, 9 und 10 folgende: $$V_1\cdot \frac{F}{2}+V_2\cdot \frac{F}{2}+H\cdot f\cdot \frac{4}{5}\cdot F=P\cdot h_1\cdot {\eta }_1$$ $$V_1\cdot \frac{l^2}{3}+V_2\cdot \frac{l^2}{6}+H\cdot F\cdot \frac{l}{2}=P\cdot h_2\cdot {\eta }_3$$ und $$V_1\cdot \frac{l^2}{6}+V_2\cdot \frac{l^2}{3}+H\cdot F\cdot \frac{l}{2}=P\cdot h_3\cdot {\eta }_3$$. Hierin sind h1, h2 und h3 als Flächen aufzufassen, welche vorläufig beliebig gross sind, wir werden erst später ihnen passende Werte geben. Diese drei Gleichungen dienen zur Ermittlung von H1, V1 und V2. Hierbei sind V1 und V2 die Biegungsmomente in A1 bezw. A2 und H bewirkt, dass neben dem linken Auflager auch dass rechte Auflager fest liegt. Wir setzen nach $$F=\frac{2}{3}\cdot f\cdot l$$ weil man den Kreisabschnitt angenähert als Parabelfläche ansehen darf und erhält: $$V_1+V_2+\frac{8}{5}Hf=P\cdot \frac{3h_1{\eta }_1}{f\cdot l}$$ $$v_1+\frac{V_2}{2}+Hf=P\cdot \frac{3\cdot k_1{\eta }_2}{l^2}$$ und $$\frac{V_1}{2}+V_2+Hf=P\cdot \frac{3h_3\cdot {\eta }_0}{l^2}$$ zur Bestimmung von V1, V2 und H. Es ergibt sich: $$Hf=\frac{15}{4}\cdot \frac{P}{l}\cdot (3\cdot \frac{h_1\cdot {\eta }_1}{f}-2\cdot \frac{h_2\cdot {\eta }_2+h_3\cdot {\eta }_3}{l})$$ $$V_1=\frac{3P}{l}\cdot (-\frac{5}{2}\cdot \frac{h_1\cdot {\eta }_1}{f}+\frac{3h_2\cdot {\eta }_2}{l}+\frac{h_3\cdot {\eta }_3}{l})$$ und $$V_2=\frac{3P}{l}\cdot (-\frac{5}{2}\cdot \frac{h_1\cdot {\eta }_1}{f}+\frac{h_2\cdot {\eta }_2}{l}+\frac{3h_3\cdot {\eta }^2}{l})$$ Wir gehen jetzt zur passenden Wahl von h1, h2 und h3 über, Zur Berechnung von Hf nehme man; $$h_1=\frac{4}{3}\cdot f\cdot l$$ . . . . 11.) und $$h_2=h_3=2l^2$$ . . . . 12.) so entsteht: $$H\cdot f=\frac{15}{4}\cdot \frac{P}{l}\cdot (3\cdot \frac{4}{3}\cdot l\cdot {\eta }_1-\frac{2}{2}\cdot 2\cdot l^2\cdot ({\eta }_1+{\eta }_3))$$ d.h. $$H\cdot f=15\cdot P\cdot ({\eta }_1-({\eta }_2+{\eta }_3))$$. . 13.) Zur Berechnung von V1 nehme man: $$h_1=\frac{2}{15}\cdot lf$$ . . . . 14.) $$h_2=\frac{l^2}{9}$$ . . . . 15.) und $$h_3=\frac{l^2}{3}$$ . . . . 16.) wodurch entsteht: $$V_1=\frac{3P}{l}$$ $$\cdot (-\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{15}\cdot l\cdot {\eta }_1+\frac{3}{l}\cdot \frac{l^2}{9\cdot {\eta }_1+\frac{l}{3}\cdot {\eta }_3})$$ oder auch: V1 = P . ( –η1 + η2 + η3) . . 17.) Zur Bestimmung von V2 nehme man endlich: $$h_1=\frac{2}{15}\cdot lf$$ . . . . . 18.) $$h_1=\frac{l^2}{3}$$ . . . . . 19.) und $$h_3=\frac{l^2}{9}$$ . . . . . 20.) und es ergibt sich: $$V_2=\frac{3P}{l}\cdot (=\frac{5}{2}\cdot \frac{2}{15}l\cdot {\eta }_1+\frac{1}{l}\cdot \frac{l^2}{3}+\frac{3}{l}\cdot \frac{l^2}{9}\cdot {\eta }_3)$$ oder auch: V2 = P . (– η1 + η2 + η3) . . 21.) Zeichnet man mit den angegebenen Werten für h1, h2 und h3 die betreffenden Momentflächen, so findet man mittels der Gleichungen 13, 17 und 21 die Einflussflächen der drei Kräftepaare H . f, V1 und V2. Man setze in Gleichung 13.) η1 – (η2 + η3) = z1 . . . . . 22.) so wird H . f = 15 P . z1 Die Z1 – Linie ist dann Einflusslinie zur Ermittlung von H . f mit dem Divisor $$\frac{1}{15}$$. Ferner setze man in Gleichung 17.) – η1 + η2 + η3 = z1 . . . . . 23.) Es ist dann die z 2 – Linie die Einflusslinie zur Bestimmung von V 1 mit dem Multiplikator 1. Schliesslich setze man in Gleichung 21.) – η1 + η2 + η3 = z3 . . . . . 24.) und erhält in der z3 – Linie die Einflusslinie zur Berechnung von V2 mit dem Multiplikator 1. So geschieht die Darstellung der Einflusslinien auf graphostatischen Wege. Im nächsten Abschnitte wollen wir sie jedoch auf rein mechanischem Wege ermitteln und zwar deswegen, weil die Bestimmung von H, V1 und V2 infolge einer gleichmässig verteilten Belastung des Gewölbebogens von grosser Wichtigkeit ist. (Fortsetzung folgt.)