Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. Von Dipl.-Ing. Adolf Schmoll von Eisenwerth, Darmstadt. (Fortsetzung von S. 294 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. 7. Das Reguliergetriebe sei nach dem Schema Fig. 9 konstruiert. Es besteht demnach im wesentlichen aus: Kolben mit Kolbenstange, Ausgleichhebel, zwei Schubstangen, zwei Regulierkurbeln, Regulierring und (zwanzig) drehbaren Leitschaufeln. Die Uebersetzungsverhältnisse vom Kolben bis zu den Leitschaufeln seien durch folgende Maasse festgelegt: grosser Hebelarm der Regulierkurbel: 300 mm, kleiner Hebelarm der Regulierkurbel: 50 mm. mittlerer Durchmesser des Regulierringes: 1500 mm.

Fig. 9.

a) Bei den Getriebeteilen vom Kolben bis einschliesslich Regulierring bleiben die Uebersetzungsverhältnisse ψy der einzelnen Massenpunkte annähernd konstant, unabhängig von den Kolbenstellungen. Wir haben daher zur Bestimmung des Massendruckes pmg dieser Teile die Formel anzuwenden: $$p_{mg}=\frac{dv}{dt}\cdot \mathrm{\Sigma }\frac{{{\psi }_y}^2\cdot m_y}{F}$$ (vgl. S. 261.) Für den Kolben mit Stange, Ausgleichhebel und die Schubstangen ist ψy aller Massenpunkte gleich l, wir erhalten also für diese Teile: $$p_{mg}=\frac{dv}{dt}\cdot \mathrm{\Sigma }\frac{m_y}{F}=\frac{\text{Masse}}{F}\cdot \frac{dv}{dt}$$. Es seien die Massen

des Kolbens mit Stange $$=\frac{30\text{ kg}}{g}$$, des Ausgleichhebels $$=\frac{10\text{ kg}}{g}$$, der Schubstangen zusammen $$=\frac{15\text{ kg}}{g}$$,

also a) $$p_{mg}=\frac{dv}{dt}\cdot \frac{30+10+15}{9,81\cdot 241,4}=0,02325\cdot \frac{dv}{dt}$$. Die übrigen Getriebeteile (Regulierkurbeln, Regulierring und Leitschaufeln) tragen infolge ihrer verhältnismässig langsamen Bewegung nur wenig zur Massenwirkung bei. Eine genaue Berechnung für diese Teile ist daher bei praktischen Untersuchungen im allgemeinen kaum nötig, zumal da ein absolut genaues Endergebnis der ganzen Rechnung doch nicht erwartet werden kann wegen der Unsicherheit der Koeffizienten für die Reibungs- und Durchflusswiderstände. Um jedoch zahlenmässig den geringen Einfluss dieser Getriebemassen nachweisen zu können, sei auch hierfür die Rechnung angedeutet. b) Bei den Regulierkurbeln und dem Regulierring haben alle in gleichem Abstande von den Drehachsen dieser Teile liegenden Punkte gleiches, annähernd konstantes Uebersetzungsverhältnis ψy. Die ψy der Punkte auf Kreisen von verschiedenen Radien sind proportional den Radien. Ist ψ1 das Uebersetzungsverhältnis für Punkte auf dem Kreise vom Radius 1 cm, so ist ψy = ry . ψ1, wobei ry der Radius in cm für den Massenpunkt my ist. Wir erhalten demnach für diese Getriebeteile: $$\begin{array}{rcl}{p}_{mg}& =& \frac{dv}{dt}\cdot \frac{\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot {{\varphi }_1}^2\cdot m_y}{F}\\ & =& \frac{dv}{dt}\frac{{{\varphi }_1}^2}{F}\cdot \mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y.\end{array}$$ Das Massenelement my ist nun gleich $$\frac{z_y{\mathrm{\Delta }}_{fy}\cdot \gamma }{g\cdot 1000000}$$, wenn zy die Ausdehnung des Massenelementes in Richtung parallel zur Drehachse in cm und Δfy seine Grundfläche (senkrecht zur Drehachse) in qcm ist. Also $$\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y=\frac{\gamma }{g\cdot 1000000}\cdot \mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot z_y\cdot {\mathrm{\Delta }}_{fy}$$. Für Teile mit konstantem zy = z (zylindrischer Körper mit parallelen Endflächen senkrecht zur Drehachse) ist $$\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y\frac{\gamma \cdot z}{g\cdot 1000000}\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot {\mathrm{\Delta }}_{fy}=\frac{\gamma \cdot z\cdot J_P}{g\cdot 1000000}$$, wobei Jp das polare Trägheitsmoment der Grundfläche in cm bezogen auf die Drehachse bedeutet. So ist für den Regulierring mit Da= 156 cm, Di = 144 cm und einer Stärke z = 3 cm: $$J_p=\frac{\pi }{32}({D_a}^4-{D_i}^4)=\sim 16400000$$ $$\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y=\frac{7200\cdot 3\cdot 16400000}{9,81\cdot 1000000}=\sim 36200.$$ Mit $${\psi }_1=\frac{5}{30\left(\frac{150}{2}\right)}=0,00222$$ erhält man $$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$ Für die beiden Regulierkurbeln ist auf ähnliche Weise gefunden; ∑ ry2 . my =810. Also ist mit $${\psi }_1=\frac{1}{30}$$ $$p_{\text{mg}(Kurbeln)}=\frac{dv}{dt}\cdot \frac{1}{{30}^2}\cdot \frac{810}{241,4}=\frac{dv}{dt}\cdot 0,00372.$$ Für die Teile b) ist daher $$p_{\text{mg}(b)}=\frac{dv}{dt}(0,00372+0,000736)=\frac{dv}{dt}\cdot 0,004456.$$

Fig. 10.

Für die Teile bis zu den Leitschaufeln ist $$\begin{array}{rcl}{p}_{mg(a+b)}& =& \frac{dv}{dt}(0,02325+0,004456)\\ & =& \frac{dv}{dt}\cdot 0,027706.\end{array}$$ c) Bei den Leitschaufeln ist gleichfalls ψy = ψ1 ry zu setzen, jedoch kann sich hier ψ1 je nach den Schaufelstellungen bezw. Kolbenstellungen wesentlich ändern, besonders dann, wenn die Bewegungsübertragung vomRing aus mittels kurzer Lenkstangen geschieht (z.B. nach System Voith). Die Abhängigkeit des Uebersetzungsverhältnisses ψ1 der Leitschaufeln von den Kolbenstellungen ist für den vorliegenden Fall in Fig. 10 oben dargestellt. Als Abszissen sind die Kolbenwege, als Ordinatendie ψ1 aufgetragen. Maasstab der Abszissen: 1 cm = 0,1 m Kolbenweg. Maasstab der Ordinaten: 1 cm = 0,01. ψ1 ist danach für „auf“ = 0,045 „zu“   = 0,015. Es soll hier untersucht werden, inwieweit dieser Veränderlichkeit Rechnung zu tragen ist. Wir wenden nach Anmerkung S. 261 die Formel an: $$p_{\text{mg}}=\frac{dv}{dt}\frac{\mathrm{\Sigma }{m}_y\cdot {{\psi }_y}^2}{F}+\frac{v^2}{F}\cdot \mathrm{\Sigma }{m}_y\frac{d{\psi }_y}{ds}\cdot {\psi }_y$$. Mit $${\psi }_y={\psi }_1\cdot r_y$$ und $$\frac{d\psi }{ds}=r_y\cdot \frac{d{\psi }_1}{ds}$$ erhält man: $$p_{\text{mg}}=\frac{pv}{dt}\cdot \frac{{{\psi }_1}^2}{F}\mathrm{\Sigma }\cdot m_y+\frac{v^2}{F}\cdot {\psi }_1\frac{d{\psi }_1}{ds}\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y$$

Fig. 11.

Die Leitschaufeln haben eine Grundfläche, wie die Fig. 11 im Maasstab 1 : 5 zeigt. Aus dieser berechnet sich für eine Schaufel ein polares Trägheitsmoment Jp = 2240 cm4. Die Schaufelbreite sei z= 10 cm, es ist daher für 20 Schaufeln: $$\mathrm{\Sigma }{r_y}^2\cdot m_y=\frac{20\cdot 7200\cdot 10\cdot 2240}{9,81\cdot 1000000}=330$$. Das erste Glied für pmg wird am grössten bei offenen Schaufeln, da dann nach Fig. 10 ψ1 am grössten ist, und zwar wird es gleich $$\frac{dv}{dt}\cdot \frac{0,{045}^2}{241,4}\cdot 330=\frac{dv}{dt}\cdot 0,00275$$; dagegen wird dieses Glied am kleinsten bei geschlossenen Schaufeln mit ψ1 = 0,015 und zwar gleich $$\frac{dv}{dt}\cdot 0,000308$$ Es war nun für die Getriebeteile bis zu den Schaufeln: $$p_{\text{mg (a + b)}}=\frac{dv}{dt}\cdot 0,027706,$$ für die Flüssigkeit: $${\eta }_{mf}=\frac{dv}{dt}\cdot 1,085$$, also beträgt der Koeffizient von $$\frac{dv}{dt}$$ im Höchstwert: 0,027706 + 1,085 + 0,00275 = ∾ 1,11546, im Mindestwert: 0,027706 + 1,085 + 0,000308 = ∾ 1,11301. Die Aenderung des Koeffizienten von $$\frac{dv}{dt}$$ beträgt also nur 1,11546 – 1,11301 = 0,00245 d.h. ∾ 0,22 v. H. Legen wir daher einen mittleren Wert ψ12 der Leitschaufeln für die Berechnung von pmg zu gründe, so wird der Fehler auf den Koeffizienten von $$\frac{dv}{dt}$$ keinen nennenswerten Einfluss haben. Wir setzen daher für die Leitschaufeln als erstes Glied von pmg: $$\sim 0,0015\frac{dv}{dt}$$. Zur Beurteilung des zweiten Gliedes von pmg ist noch $$\frac{d{\psi }_1}{ds}$$ zu ermitteln. Aus der Kurve für ψ1 als Funktion von s (Fig. 10 oben) lässt sich leicht graphisch die Kurve (Fig. 10 unten) für $$\frac{d{\psi }_1}{ds}$$ als Funktion von s abeiten. Maasstab für $$\frac{d{\psi }_1}{ds}$$ (Ordinaten): 1 cm = 01. Man erkennt, dass der absolute Wert von $${\psi }_1\frac{d{\psi }_1}{ds}$$ im vorliegenden Falle am grössten wird für „auf“, da in dieser Stellung sowohl ψ1 als auch $$\frac{d{\psi }_1}{ds}$$ absolut am grössten ist. Es ergibt sich hierfür: $$\psi \cdot \frac{d{\psi }_1}{ds}=0,045\cdot (-0,217)=-0,00977$$. Also wird das zweite Glied von pmg im Höchstwert: $$-v^2\cdot \frac{0,00977\cdot 330}{241,4}=-v^2\cdot 0,01335$$. Vergleicht man hiermit die Beträge der Koeffizienten von v2, die sich aus pw (4.) und pp (5) ergeben, nämlich 19,09 – 1,84= 17,25, so sieht man, dass im vorliegenden Falle und auch bei Wesentlich grösseren Schaufelmassen das zweite Glied von pmg ganz vernachlässigt werden darf. Wir setzen also: $$p_{{\text{mg}}_{(a+b+c)}}=\frac{dv}{dt}(0,027706+0,0015)$$ $$=\sim \frac{dv}{dt}\cdot 0,0292$$ . . . 7) Mit den Werten 1) bis 7) lautet nunmehr die Gleichgewichtsbedingung (vergl. S. 261) $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ $$+\frac{dv}{dt}(1,085+0,0292).$$ Geordnet:

$$-\frac{dv}{dt}\cdot$$ $$1,1142$$ $$-v^2\cdot$$ $$17,25$$ $$-v^{\frac{3}{2}}\cdot$$ $$0,545$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\text{frakfamily}M$$ $$A$$ $$B$$

$$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$               $$\parallel$$               $$C_0$$

Dividiert durch den Koeffizienten $$\text{frakfamily}M=1.1142$$ von $$-\frac{dv}{dt}$$ heisst die Bewegungsgleichung für Schliessen:

$$-\frac{dv}{dt}-v^2\cdot$$ $$15,5$$ $$-v^{\frac{3}{2}}\cdot$$ $$0,489$$ $$+1,16$$ $$=0,$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$a$$ $$b$$ $$c_0$$

für Oeffnen:

$$-\frac{dv}{dt}-v^2\cdot$$ $$15,5$$ $$-v^{\frac{3}{2}}\cdot$$ $$0,489$$ $$+1,72$$ $$=0.$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$a$$ $$b$$ $$c_0$$

Wir betrachten zunächst den Bewegungsvorgang beim Schliessen. Nach S. 273 zeichnen wir die Kurve der $$\frac{dv}{dt}$$ als Funktion von v. Die $$\frac{dv}{dt}$$ folgen aus:

$$\frac{dv}{dt}=$$ $$1,16$$ $$-(v^2\cdot$$ $$15,5$$ $$+v^{\frac{3}{2}}\cdot$$ $$0,489$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$c_0$$ $$a$$ $$b$$

unter Annahme der v. Es ergibt sich z.B. für

v (in m/sek.) $$v^2\cdot 15,5+v^{\frac{3}{2}}\cdot 0,489$$ $$\frac{dv}{dt}$$ m/sek.2 0,0 0,000   1,160 0,1 0,155 + 0,015 = 0,170   0,990 0,2 0,620 + 0,044 = 0,664   0,496 0,266 1,095 + 0,067 = 1,161 ∾ 0

Graphische Darstellung Fig. 2: Maasstab für v: 1 cm = 0,05 m/sek., Maasstab für $$\frac{dv}{dt}\cdot 1$$ cm = 0,5 m/sek.2 Die grösste erreichbare Kolbengeschwindigkeit beim Schliessen ist also vmax= vi = ∾ 0,266 m/sek Diese würde bei masselosem Relais sofort eintreten, es wäre daher die ideelle Schlusszeit bei einem Kolbenhub von 0,30 m: $$S_i=\frac{0,3}{0,266}=1,13\text{ sek.}$$ Zur Bestimmung des zeitlichen Verlaufes der tatsächlichen Kolbengeschwindigkeiten zeichnen wir die Kurve der reziproken Werte von $$\frac{dv}{dt}$$ als Funktion von s. So sind in Fig. 3 aufgetragen zu den

Abszissen v die Ordinaten $$\frac{1}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}$$ 0 0,863    0,1 1,012    0,2 2,018       (0,266 ∾ ∞) Maasstab für v: 1 cm = 0,05 m/sek.;

Maasstab für $$\frac{1}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}:1\text{ cm }=1:{\text{m/sek.}}^2$$ Die Fläche unter dieser Kurve von der Abszisse v = 0 bis zur Abszisse v = v stellt die Zeit t dar bis zur Erreichung der Geschwindigkeit v. Es ist nach Fig. 3 von v = 0 bis v = 0,1 m/sek. die Fläche ∾ 1,8 qcm. 1 qcm stellt dar; $$0,05\text{ m/sek.}\cdot \frac{1}{({\text{m/sek.}}^2)}=0,05\text{ sek.}$$ Also ist nach 0,05 . 1,8 sek. = 0,09 sek. die Kolbengeschwindigkeit v ∾ 0,1 m/sek. Die Fig. 4 zeigt die graphische Darstellung der zusammengehörigen Werte v und t; dabei sind die t als Abszissen, die v als Ordinaten aufgetragen. Maasstab für t: 1 cm = 0,1 sek.; Maasstab für v: 1 cm = 0,05 m/sek. Es ist aus der Figur ersichtlich, dass die Kolbengeschwindigkeiten anfangs sehr rasch wachsen. (Nach einer halben Sekunde vom Beginn der Bewegung an ist die Geschwindigkeit bereits ∾ 0,258 m/sek.), um dann allmählich sich der höchsten Geschwindigkeit vmax = 0,266 m/sek. zu nähern. Die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve Fig. 4 von der Abszisse t = 0 bis t = t stellt den in der Zeit t vom Kolben zurückgelegten Weg 5 dar; und zwar entspricht einer Fläche von 1 qcm ein Weg von 0,1 sek. × 0,05 m/sek. = 0,005 m. Für die Zeit t = 0,2 sek. vom Bewegungsanfang an ist beispielweise die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve ∾ 4 qcm, also s = ∾ 4 . 0,005 m = ∾ 0,02 m. Hätte sich dagegen der Kolben vom Anfang an mit der ideellen Geschwindigkeit vi = 0,266 m/sek. bewegt, so wäre nach 0,2 sek. der zurückgelegte Weg: si = 0,2 . 0,266 = 0,0532 m, d.h. mehr als das Doppelte des tatsächlichen Weges. Die Fig. 5 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegtem Wege. (Kolbenwegdiagramm.) Die Zeiten sind als Abszissen, die Wege als Ordinaten aufgetragen. Maasstab für t: 1 cm = 0,1 sek., Maasstab für s: 1 cm = 1 cm. Zum Vergleiche ist in Fig. 6 die ideelle Kolbenweglinie unter dem Winkel φ mit $$\text{tang }\phi =\frac{v_i}{0,10}=10\cdot 0,266\text{ (m/sek.)}=2,66$$ durch den Anfangspunkt gelegt. Man sieht, dass die Kolbenweglinie, mit horizontaler Tangente beginnend, allmählich sich einer Geraden nähert, die zur ideellen Kolbenweglinie parallel verläuft. Ueber die Bedeutung des Stückes ts auf der Zeitachse zwischen der ideellen Kolbenweglinie und der Asymptote siehe S. 274 u. 258. Zur Konstruktion ist die Kurve $$\text{cotg }\delta =\frac{v_{max}-v}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}$$ zu zeichnen. Es ergibt sich z.B. für

v = 0 cotg δ = 0,229 0,1 0,1678 0,2 0,1332 0,266 0,1183

Fig. 7 unten enthält als Abszissen die Werte v, als Ordinaten cotg δ. Maasstab für v:   1 cm = 0,05 m/sek., Maasstab cotg δ: 1 cm = 0,1. Der Mittelwert von cotg δ stellt sich auf 0,159. Also ts = 0,159 sek. Mit ts und $$\text{tang }\phi =\frac{v_i}{0,10}$$ ist die Asymptote des Kolbenwegdiagrammes leicht zu zeichnen. Zur Beurteilung des Kolbenwegdiagrammes genügt es meist schon, die Lage der Asymptote zu kennen. Während die ideelle Schlusszeit 1,113 sek. beträgt, würde der Kolben tatsächlich zum Zurücklegen seines Hubes in der Schliessrichtung beinahe Si+ ts = 1,13 + 0,159 = 1,2899 sek. brauchen. Der wesentliche Unterschied zwischen dem masselos gedachten Servomotor und dem tatsächlichen liegt jedoch nicht darin, dass die Zeit für den Hub des letzteren etwas länger ist; vielmehr ist der Umstand von Bedeutung, dass infolge des Beschleunigungsvorganges die Füllungen zu Anfang der Kolbenbewegung nur sehr wenig verändert werden, dass also die Umdrehungszahlen zunächst sich fast wie bei regulatorloser Turbine entwickeln. Es soll nun noch die gute Uebereinstimmung der angenäherten analytischen Formeln mit den Ergebnissen der richtigeren, aber umständlichen graphischen Methode gezeigt werden. Es war für die Kolbenwege (S. 276): $$s=\frac{1}{a^{\prime }}(ln\frac{e^{2\sqrt{a{e}_0}\cdot t}-1}{2}-t\sqrt{a^{\prime }{c}_0}).$$ Mit $$a^{\prime }=a+\frac{b}{\sqrt{v_{\text{max}}}}=15,5+\frac{0,489}{\sqrt{0,266}}=16,45,$$ (vmax aus Gleichung

$${v_{\text{max}}}^2\cdot$$ $$15,5$$ $$+{v_{\text{max}}}^{\frac{3}{2}}\cdot$$ $$0,489$$ $$=1,16$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$\parallel$$ $$a$$ $$b$$ $$c_0$$

berechnet) erhält man $$\begin{array}{rcl}s& =& \frac{1}{16,45}(\frac{e^{2\sqrt{10,45\cdot 1,10}\cdot t}+1}{2}-t\sqrt{16,45\cdot 1,16})\\ & =& 0,0608(ln\frac{e^{8,74\cdot t}+1}{2}-t\cdot 4,37).\end{array}$$ Z.B. für t = 0,2 sek.: $$s=0,0608(ln\frac{e^{8,74\cdot 0,2}+1}{2}-0,2\cdot 4,37)=0,0209\text{ m.}$$ Auf graphischem Wege war gefunden: s = 0,02 m. Für ts war die Formel entwickelt: $$t_s=\frac{0,693145}{c_0}\cdot v_{\text{max}}$$ (S. 276) Mit vmax = 0,266 und co = 1,16 folgt: ts = 0,159, genau wie nach den graphischen Ermittlungen. Wir wollen diese Formeln nun auch auf die Oeffnungsbewegung des Kolbens anwenden. Hierfür ist: a = 15,5 b   = 0,489 co = 1,72. Also: $$v_{\text{max}}^2\cdot 15,5+v_{\text{max}}^{\frac{3}{2}}\cdot 0,489=1,72$$. Daraus folgt (am besten durch Probieren zu finden): vmax = vi = 0,324 m/sek.; ferner: $$\begin{array}{rcl}{a}^{\prime }& =& 15,5+\frac{0,489}{\sqrt{0,324}}=16,36,\\ \text{Oeffnungszeit }{S}_i& =& \frac{0,3}{0,324}=0,926\text{ sek.}\\ S& =& \frac{1}{16,36}(ln\frac{e^{10,6\cdot t}+1}{2}-t\cdot 5,3)\\ \text{Z.B. für }t& =& 0,2\text{ sek.:}\\ s& =& \frac{1}{16,36}(ln\frac{e^{2,12}+1}{2}-1,06)=0,0294\text{ m.}\\ \text{Ferner ist: }{t}_s& =& \frac{0,693145\cdot 0,324}{1,72}=0,131.\end{array}$$ Zum Vergleiche sind die Kolbenwegdiagramme für die Oeffnungs- und Schlussbewegung in Fig. 12 zusammengestellt. Die Oeffnungskurve zeigt einen allgemein steileren Verlauf als die Schlusskurve. Insbesondere sind auch die Oeffnungswege gleich zu Beginn der Bewegung grösser als die in gleicher Zeit beim Schliessen zurückgelegten. Der Regulator wird also in der Oeffnungsperiodeallgemein günstiger arbeiten als in der Schliessperiode und wird insbesondere seinen Einfluss bei Beginn der Bewegung rascher geltend machen.

Fig. 12.

(Fortsetzung folgt.)