Titel: | Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus Flusseisen. |
Autor: | Max Ensslin |
Fundstelle: | Band 318, Jahrgang 1903, S. 801 |
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Studien und Versuche über die Elastizität
kreisrunder Platten aus Flusseisen.
Von Dr.-Ing. Max Ensslin,
Stuttgart.
(Schluss von S. 789 d. Bd.)
Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus
Flusseisen.
f) Beurteilung der Grundlagen, auf denen die Gleichungen (1)
bis (12) beruhen.
Die Grundgleichungen der Elastizitätslehre, welche den Spannungs- und
Formänderungszustand eines Körpers beschreiben und den Zusammenhang zwischen
Spannungen und Formänderung zum Ausdruck bringen, beruhen auf den Annahmen,
1. dass die Gestaltsänderungen im Vergleich zu den Abmessungen des Körpers klein
seien,
2. dass zwischen einfachen Zugspannungen und den durch sie bewirkten Dehnungen,
zwischen einfachen Druckspannungen und den durch sie bewirkten Zusammendrückungen
und zwischen einfachen Schubspannungen und den durch sie bewirkten Schiebungen
Proportionalität bestehe, und
3. dass Zug- und Druckelastizität gleich gross seien.
Für den Fall, dass senkrecht auf einander stehende Normalspannungen gleichzeitig
wirksam sind, ist fernerhin vorausgesetzt,
4. dass die Gesamtdehnung gleich ist der algebraischen Summe der Einzeldehnungen,
welche jede Normalspannung für sich allein hervorbringen würde, wobei die
Vorstellung zu Grunde liegt, dass jede einfache Normaldehnung von einer ihr
proportionalen Querdehnung begleitet ist. (Bei einer Schiebung wird bekanntlich vom
Auftreten analoger Begleiterscheinungen abgesehen.)
5. dass das Material isotrop und homogen sei.Zahlenrechnungen sind bis jetzt meines Wissens nur für diese Annahme
ausgeführt. Bezüglich allgemeiner Gleichungen nicht isotroper Körper (s. Clebsch annoté S. 85).
Tritt ein Widerspruch zwischen Theorie und Versuch auf, etwa in dem Fall der
kreisförmigen Platte, so kann derselbe zwei Ursachen haben: entweder sind die eben
aufgeführten Grundlagen der allgemeinen Elastizitätslehre in einem Punkt nicht
richtig, oder es sind die besonderen Voraussetzungen, die bei der Entwicklung der
Theorie für den Fall der kreisförmigen Platte gemacht worden sind, nicht genau.
Ich will hier zunächst die zweite Möglichkeit näher ins Auge fassen.
Die Theorie der ebenen Platten, insbesondere der ebenen Kreisscheibe, ist von einer
Reihe Gelehrter behandelt wordenGeschichtliche Darstellungen des Problems, siehe Navier, Resistance des corps solides, annoté
par de St. Venant. Love Theory of Elasticity, II Bd.,
Einleitung., zum Teil unter der Annahme, dass die Normalen auf der
Mittelfläche nach wie vor Eintritt der Belastung gerade und senkrecht zur
Mittelfläche bleiben, zum Teil auch ohne diese Annahme. Unter der zuerst genannten
Voraussetzung hat neben anderen Grashof die Gleichungen
für die kreisförmige Scheibe gegeben, welche in dieser Arbeit (Abschnitt c) benutzt worden sind.
Die Annahme des Geradebleibens der Normalen ist streng richtig nur, wenn die Scheibe
allein von reinenBiegungsmomenten ergriffen wird, welche über den
Scheibenumfang gleichmässig verteilt sind (wie das z.B. für die innere Zone der
untersuchten Vollscheiben zutrifft), und deren Ebenen durch die Normale in der
Scheibenmitte gehen. Unter diesen Umständen treten nur Normalspannungen in Richtung
des Scheiben-Halbmessers und –Umfanges auf, und zwar sind dieselben proportional dem
Abstand von der Mittelfläche, und in gleichem Abstand von der Mittelfläche gleich
gross. Der strenge Nachweis hierfür ist, wie schon oben S. 785, Fussbemerkung 10
bemerkt, von St. Venant geführt worden.
Sobald jedoch Schubkräfte, d.h. Kräfte senkrecht zur Plattenoberfläche vorhanden
sind, hört das Geradebleiben der Normalen auf. Dieselben krümmen sich Sförmig, ähnlich, wie sich die Querschnitte gerader auf
Biegung beanspruchter Balken unter dem Einfluss von Schubkräften wölben.Siehe Clebsch, St
Venant, S. 344, Abschn. 6, Gleichung (x).
Anzunehmen, dass die Normalen gerade bleiben, auch wenn
Schubkräfte in Tätigkeit sind, heisst also: es wird die Schiebung vernachlässigt
und nur die von den Normalspannungen hervorgerufene Dehnung berücksichtigt. Je
mehr die tatsächlich auftretenden Schiebungen gegen die Normaldehnungen
zurücktreten, umsomehr ist man zur Annahme vom Geradebleiben der Normalen
berechtigt.
Macht man die letztgenannte Annahme, so enthält die
Gleichung für die Durchbiegung der Platte nur den Anteil der Formänderung, der
mit den Normalspannungen zusammenhängt, nicht aber den Anteil, den die
Schubspannungen hervorrufen; die berechnete Durchbiegung wird dann je nach der
Sachlage mehr oder weniger unterschätzt.
Man vergegenwärtige sich nun den Gang der Lösung, welcher oben (S. 785) zur
Ermittlung der Gleichungen für die volle Scheibe führte: die Scheibe zerfällt in
eine Ringzone, auf die Zugkräfte einwirken und in eine zentrale Zone, in welcher die
Schubkräfte gleich Null sind. Nimmt man, wie oben, an, von der äusseren Zone würden
auf die innere nur reine Biegungsmomente ausgeübt, so würden dem vorhin gesagten
zufolge die Normalen in der inneren Zone gerade bleiben, in der äusseren dagegen
sich wegen der Schubkräfte krümmen. An der Uebergangsstelle aus der äusseren in die
innere Zone würden so Normalen zusammentreffen, von denen die eine gerade, die
andere gekrümmt ist; dies wäre nur dann möglich, wenn der Zusammenhang der beiden
Zonen in einzelnen Punkten der Uebergangsstelle unterbrochen wäre. Da aber eine
Aufhebung des Zusammenhangs in Wirklichkeit nicht vorhanden ist, so sieht man, dass
die Annahme, derzufolge die Ringzone nur mit reinen Biegungsmomenten auf die innere
Zone einwirkt, nicht in voller Strenge zutrifft; es müssen in der Uebergangsstelle
Kräfte wirken, welche die erwähnte Unstetigkeit ausgleichen, derart, dass die der
Ringzone angehörigen Normalen weniger stark gekrümmt sind, die Normalen der inneren
Zone dagegen eine schwache Krümmung erfahren.
Ob durch die Vernachlässigung der zuletzt genannten Kräfte in der
Uebergangsstelle ein wesentlicher Fehler begangen wird, kann experimentell geprüft
werden, wenn man eine kreisförmige Platte einmal als volle, dann als gelochte
Scheibe untersucht. Im letzteren Fall ist eine zentrale Zone nicht vorhanden, womit
auch die Unsicherheit bezüglich der Kräfte in der Uebergangsstelle entfällt. Die
Gleichungen für die gelochte Scheibe, wie sie auf S. 786 entwickelt wurden, sind
daher von dem Mangel frei, welcher den für die volle Scheibe angegebenen
GleichungenBei der auf S. 785
ausgeführten Rechnung ist der hier angemerkte Widerspruch deswegen nicht
offenkundig hervorgetreten, weil von vornherein die Wirkung der Schubkräfte
in der Ringzone vernachlässigt und das Geradebleiben sämtlicher Normalen
vorausgesetzt wurde. Der Widerspruch tritt aber zu Tage in einer von St. Venant gegebenen Lösung (Clebsch-St. Venant
S. 354, Absatz 13), in welcher berücksichtigt ist, dass die Normalen in der
Ringzone sich krümmen, während diejenigen in der zentralen Zone als
geradebleibend angenommen werden. Berechnet man aus den von St. Venant angegebenen Gleichungen (i'') und (j'') S.
356 a. a. O. die Koordinatenänderung eines beliebigen, den beiden Zonen
angehörigen Punktes in Richtung des Scheibenhalbmessers (Bezeichnung von St. Venant: U), so ergeben sich – abgesehen von
den Punkten der Mittelfläche – verschiedene Werte, wenn man einmal die für
die Ringzone, das andere Mal die für die zentrale Zone giltige Gleichung
benutzt, so dass an der Uebergangsstelle scheinbar ein Klaffen stattfindet.
Auch die Spannungen in den Punkten der Uebergangsstelle findet man
verschieden, je nachdem man sie als zur Ringzone oder zur zentralen Zone
gehörig ansieht. in grundsätzlicher Hinsicht zum Vorwurf gemacht
werden muss. Den Versuchen zufolge war der reciproke Wert des Dehnungskoeffizienten
(der Elastizitätsmodul) der 1,616 cm starken Scheibe A
im ungelochten Zustand bei Versuch I \frac{1}{a}=E
= 2336000
im gelochten Zustand bei Versuch II
= 2326000
d der Elastizitätsmodul der 1,193 cm starken Scheibe
B
im ungelochten Zustand bei Versuch III \frac{1}{a}=E
= 2170000
im gelochten Zustand bei Versuch IV
2158000
„ „ „ „ „ VIII
2156000
Der Elastizitätsmodul der gelochten Scheiben erscheint
hiernach etwas kleiner als derjenige der vollen Scheiben, doch ist der
Unterschied kleiner als 1 v. H. Die grundsätzlich nicht vollständig zutreffende
Annahme, dass an einer vollen Kreisscheibe, welche wie in Fig. 1 belastet und gestützt ist, von der äusseren
Zone auf die innere nur reine Biegungsmomente ausgeübt werden, hat nach den
angegebenen Versuchen – zunächst unter Verhältnissen, welche mit den
untersuchten Aehnlichkeit besitzen – einen wesentlichen Fehler nicht zur Folge,
ein nennenswerter Einfluss auf die Grösse des Elastizitätsmoduls ist nicht
festzustellen.
Es erklärt sich dies daraus, dass der gerügte Fehler sich nur auf einen
verhältnismässig kleinen Bezirk der Scheibe in der Nähe der Uebergangsstelle
erstreckt, während das Verhalten der ganzen Platte nicht wesentlich davon
beeinflusst wird, ob die in der Uebergangsstelle tätigen Kräfte ganz scharf oder mit
einer kleinen Vernachlässigung in Rücksieht gezogen werden. Bei grosser
Plattenstärke würde der Fehler in stärkerem Masse zum Vorschein gekommen sein.
Zu einer weiteren Berücksichtigung dieser Feinheit bei der Entwicklung der
Gleichungen für die kreisförmige Platte scheint mir, wenigstens vom technischen
Standpunkt aus, kein Bedürfnis vorzuliegen. Es ist kaum zu erwarten, dass durch eine
feinere Ausgestaltung der Theorie in der hier erörterten Richtung eine bessere
Uebereinstimmung mit den Versuchen erzielt wird.
Bemerkungen zu der Lösung von St. Venant.
Die Gleichung der elastischen Mittelfläche der Scheibe, welche zur Aufstellung der
Gleichungen (1) – (12) benutzt worden ist, wurde von Grashof unter der Annahme entwickelt, dass die Normalen auf der
Mittelfläche der Scheibe vor und nach der Durchbiegung gerade und senkrecht zur
Mittelfläche bleiben. Ich hatte anfänglich beabsichtigt, eine Theorie der
Kreisscheibe zu benutzen, welche ohne Beiziehung dieser Hypothese lediglich mit
Hilfe der Gleichungen der allgemeinenElastizitätslehre aufgestellt ist. In der
Tat ist von St Venant im Clebsch annoté S. 346 und
folg, der Versuch gemacht, solche Gleichungen für einen Kreisring abzuleiten. Die
gelochten Scheiben, wie sie bei Versuch II, IV bis VIII untersucht worden sind,
würden einen Sonderfall des von St. Venant betrachteten
Kreisrings dargestellt haben und es wäre von Interesse gewesen, den
Dehnungskoeffizienten der Platten aus einer Gleichung zu berechnen, welche auf
keinen weiteren Annahmen beruht, als die Gleichungen der allgemeinen
Elastizitätslehre. Die Gleichungen St Venants für den
Kreisring sind jedoch mit einem Mangel behaftet, der die Veranlassung gab, dass ich
meine anfängliche Absicht aufgab und auf die Grashofschen Gleichungen zurückgriff, deren Herleitung zwar nicht so allgemein
angelegt ist, wie diejenige der St Venantschen
Gleichungen, die aber dafür den weiter unten anzuführenden Widerspruch nicht
enthalten.
St Venant gibt für die Koordinatenänderungen U und W eines Punktes des
Kreisrings, welche in Richtung des Radius bezw. der Normalen auf der Scheiben
Oberfläche erfolgen, Gleichungen an, und fernerhin für die Normalspannungen σx in Richtung
des Radius, sowie für das Moment der Radialspannungen, welche auf einer beliebigen
Normalen zur Scheibenoberfläche (d.h. auf dem zwischen Ober- und Unterfläche
gelegenen Normalenstück) gelegen sind. Von diesen Gleichungen ist, wie St Venant im Abschnitt 11, S. 352 bemerkt, nachgewiesen
worden, dass sie den allgemeinen GleichgewichtsbedingungenZ.B. C. Bach,
Elastizität und Festigkeit, 4. Aufl. S. 617, Gleichung 3.
zwischen den Spannungen in einem beliebigen Punkt des Platteninneren, sowie den
besonderen Bedingungen an den Begrenzungsflächen der Scheibe genügen. Die letzteren,
die sog. Grenz- oder Randbedingungen, nimmt St Venant
in folgender Fassung an:
a) Die Summe der Radialspannungen, welche auf einer
beliebigen Normalen zur Scheibenoberfläche liegen, ist gleich Null; eine
Radialkraft, welche die Mittelfläche der Platte dehnt, ist nicht vorhanden. Dies
gilt sowohl im Innern der Scheibe, als in den zylindrischen Begrenzungsflächen (x = Ra, x = Ri
Fig. 1) am innern und äusseren Umfang des
Kreisrings.
b) Die Radialspannungen ergeben am äusseren und inneren Umfang des Kreisrings
Biegungsmomente, „Einspannungsmomente“, deren Ebenen durch die Normale in der
Scheibenmitte gehen. Die übrigen Grenzbedingungen sind für die vorliegende
Betrachtung ohne Interesse.
Im Fall der gelochten Scheibe, welche wie in Fig. 1
(S. 707) gestützt und belastet ist, sind die Einspannungsmomente am äusseren und
inneren Umfang der Scheibe gleich Null, da die Scheibe in beiden Umfangen frei
aufliegt. Berechnet man unter diesen Bedingungen die in der
Biegungsmomentengleichung, (Clebsch annoté S. 352 Gleichung (x')) enthaltenen zwei willkürlichen Konstanten, so zeigt sich das
auffallende Ergebnis, dass die Radialspannungen am inneren und äusseren Scheibenrand
nicht durchweg den Wert Null besitzen, wie dies in Wirklichkeit der Fall sein muss.
Ihre Summe ist Null, ihr Moment ist Null, und doch weisen sie in gewissen Abständen
von der Mittelfläche, wenn auch kleine, positive oder negative Werte auf. Der
einfache Ausweg, der hier anscheinend zum Ziel führen muss, nämlich die beiden
Konstanten so zu bestimmen, dass die Radial Spannungen in jedem Punkt der äusseren
und inneren Begrenzungsfläche Null werden, erweist sich als unmöglich. Die Gleichung
für die Radial Spannungen lautet nämlich mit den auf S. 785 angegebenen
Bezeichnungen:
\sigma_z=\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{a}\,\left[-\frac{m+1}{m-1}\,\frac{1}{v_1}+\frac{1}{H}\,\left\{1+\frac{m+1}{m-1}\,ln\,\frac{x^2}{{R_a}^2}-\frac{2}{m-1}\,\frac{1}{x^2}\,\left(2\,m\,\frac{h^2}{4}-(2\,m-1)\,\frac{2}{3}\,\lambda^2\right)\right\}-\frac{c^2}{x^2}\right]
wobei
\frac{1}{H}=\frac{b}{4}=\frac{3}{2}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P}{h^3}\,u
Man sieht, dass es für die zwei Konstanten c1 und c2 keinen Wert gibt, durch welche die Radialspannung
am inneren und äusseren Umfang (x = Ra; x = Ri) für jeden Wert
von k zum Verschwinden gebracht werden kann.
Die Lösung von St. Venant, obwohl auf ganz
allgemeiner Grundlage aufgebaut, kann hiernach nicht als eine völlig befriedigende
angesehen werden, da sie den grundsätzlichen Mangel besitzt, dass sich mit der für
die Radialspannungen angegebenen Gleichung die am inneren Rande der gelochten
Scheibe zu erfüllende Grenzbedingung nicht ausdrücken lässt, derzufolge die
Normalspannungen daselbst gleich Null sein müssen.
Im übrigen muss hervorgehoben werden, dass der hier ausgesprochene Mangel mehr
grundsätzlicher Natur ist; die tatsächlich errechneten Zahlenwerte für Spannungen und Durchbiegungen zeigen keine erheblichen
Abweichungen von denjenigen, welche mit den Grashofschen Gleichungen erhalten werden.
Schliesslich ist zu bemerken, dass St. Venant die
Gleichungen nicht unter der Annahme vollkommener Isotropie entwickelt hat; er hat
vielmehr angenommen, dass das Plattenmaterial zwar nach allen Richtungen in der
Ebene der Platte selbst gleiche Elastizität besitze, senkrecht dazu jedoch d.h. in
Richtung der Plattendicke eine andere Elastizität aufweise. Der hierin gelegene
grundsätzliche Vorzug konnte indessen in der vorliegenden Arbeit nicht verwertet
werden, weil die experimentelle Bestimmung aller erforderlichen
Elastizitätskonstanten aus verschiedenen Gründen nicht vorgenommen werden konnte. Es
muss daher die Frage offen gelassen werden, ob nach einer sorgfältigen Bestimmung
aller Elastizitätskonstanten die Uebereinstimmung zwischen Theorie und Versuch nicht
eine noch bessere gewesen wäre.
Die oben angeführte Gleichung für σx ist aus der Gleichung von St. Venant für den Fall vollkommener Isotropie
abgeleitet.
g) Zusammenfassung und Schlüsse.
1. Wie aus den Versuchsergebnissen in Zusammenstellung 2 bis 11, oder auch aus der
bildlichen Darstellung derselben Fig. 2 hervorgeht,
besteht – im Einklang mit der Theorie – Proportionalität
zwischen Belastung und federnder (elastischer)
Durchbiegung bis zu einer Grenze, jenseits welcher
die federnden Durchbiegungen langsamer wachsen, als die
Belastungen. Die gesamten Durchbiegungen wachsen im
Gegensatz hierzu von einer gewissen Belastung ab rascher als die Belastungen. Der Verlauf der bleibenden Durchbiegungen ist aus Fig. 2
ersichtlich.
Proportionalitätsgrenze, Elastizitäts- und Streckgrenze haben sich sehr schwach
ausgeprägt, eine Folge davon, dass die grösste Beanspruchung, welche diese Grenzen
bedingt, nur in einem kleinen Bezirk der Platten auftritt – und hier überdies nur an
der Ober- und Unterfläche, während im Inneren kleinere Beanspruchungen herrschen
(vergl. hierzu die Bilder der Spannungsverteilung an der Ober- oder Unterfläche Fig. 3-6). Ein Schluss
über die Lage der Proportionalitätsgrenze usw., so interessant er wäre, kann daher
nicht gezogen werdenIch überlasse es dem
Leser zu entscheiden, inwiefern der versuch X mit der Ansicht Wehages und den Versuchsergebnissen von Guest (s. S. 2 und Fussbemerkung 2), dass die
grösste resultierende Dehnung nicht als Masstab
für die Materialanstrengung angesehen werden darf,
übereinstimmt..
2. Die gelochte Platte A ergibt zufolge Versuch II, V
und VI bei gleichem Lochdurchmesser für verschiedene Stärken
h = 1,616; 1,257; 1,024 cm nahezu den gleichen Wert des Elastizitätsmoduls
E=\frac{1}{a}, nämlich: 2326000; 2307000; 2330000. Der Einfluss
der Plattenstärke kommt hiernach in der Theorie zu richtigem Ausdruck.
3. Der Elastizitätsmodul der Platten und der Zugstäbe
desselben Materials hat folgende Werte:
Zusammenstellung 16
(vergl. hierzu Zusammenstellung 1).
Platte
Versuch
Elastizitätsmodul E kg/qcm
Unterschiedin % von Eaus dem
Zug-versuch
der Platten
der Zugstäbe
A
I
2336000
+ 7,45
II
2326 000
+ 7
V
2307000
2174000
+ 6,12
VI
2330000
+ 7,18
VII
2283000
± 5,01
Zusammenstellung 16.
(vergl. hierzu Zusammenstellung 1).
B
IIIIVVIII
217000021580002154000
2170000
0– 0,55– 0,74
C
IX
2090000
2140000
– 2,33
D
X
2084000
2162000
– 3,6
Der Elastizitätsmodul der Platten hat sich also zum Teil grösser, zum Teil kleiner
als derjenige der Zugstäbe des gleichen Materials ergeben.
Die Platte A lieferte ein Mehr von 7 v. H. im Mittel aus
den Versuchen I, II, V und VI; nach dem Ausglühen hat sich zufolge Versuch VII nur
noch ein Unterschied von + 5 v. H. feststellen lassen.
Die Abweichung nach der positiven Seite hin ist bei sämtlichen Versuchen mit Platte
A gefunden worden: bei verschiedener Wandstärke, im
vollen und gelochten Zustande.
Bei Platte B ist der Unterschied zwischen den beiden
Elastizitätsmodulen ein sehr geringer (im Mittel – 0,42 v. H.)
Bei Platte C und D fand
sich ein Unterschied nach der entgegengesetzten Richtung, d.h. ein Weniger von 2,33
bezw. 3,6 v. H. aus dem Platten versuch gegenüber dem Zugversuch.
Dass sich der Unterschied zwischen den beiden Dehnungskoeffizienten infolge des
Ausglühens vor dem Versuch VII um 2 v. H. ermässigt hat, beweist, dass sich das
Material, so wie es angeliefert worden ist, in einem anderen Zustande befunden hat,
als nach dem Ausglühen. Welcher Art dieser Zustand gewesen ist, darüber lassen sich
nur Vermutungen aussprechen, nämlich etwa, dass in dem angelieferten Material vom
Walzprozess herrührende, innere Spannungen vorhanden gewesen sind. Dass das Material
durch Ausglühen in einen mehr normalen Zustand übergeführt wird, folgt aus dem
Vorhergehenden; nicht gewiss ist es, dass hierdurch der innere Zwangszustand ganz
beseitigt worden ist. Mit der Möglichkeit, dass das gewalzte Material (und auch das
gegossene) sich beim Anliefern in einem gewissen Zwangszustand befindet, hat der
Ingenieur jedenfalls zu rechnen.
Bei der Beurteilung der Zahlenwerte in Zusammenstellung 16 ist im Auge zu behalten,
dass das Verhältnis m = Längsdehnung: Querdehnung (Prissonsche Zahl \left\sigma=\frac{1}{m}\right) nicht experimentell
bestimmt werden konnte, sondern mit dem Werte m=\frac{10}{3} eingeführt worden ist.Einige Angaben über das Verhältnis \sigma=\frac{1}{m}
mögen hier Platz finden (s. Love, Theory of
Elasticity, vol. I S. 77 und die in Fussbemerkung 2 angegebene Arbeit von
Guest, Bauschinger: Mitteilungen a. d.
mech. techn: Laboratorium der Königl. techn. Hochschule in München).MaterialE=\frac{1}{a}\mbox{ kg/qcm}G=\frac{1}{\beta}\mbox{ kg/qcm}\sigma=\frac{1}{m}BeobachterStahl2181000834000[0,306]Everett„––0,294Kirchhoff„2081000–0,268AmagatSchmiedeeisen2000000785000[0,274]EverettWeicher Stahl2085000785000[0,33]GuestStahlröhren2227000823000[0,355]„„2185000785000[0,393]„„2180000787000[0,365]„„2170000809000[0,344]„„2137000771000[0,39]„„2074000805000[0,287]„„2032000750000[0,355]„„2025000764000[0,328]„Stahl2210000878000[0,26]Bauschinger„2240000853000[0,31]„„2200000856000[0,284]„„2140000837000[0,28]„„2220000869000[0,28]„„2300000851000[0,35]„„2220000850000[0,306]„„225000087000[0,285„Die
eingeklammerten Werte sind berechnet aus der bekannten Gleichung\frac{1}{m}=o=-\frac{\beta}{2\,a}-1=\frac{E}{2\,G}-1.Die mittelbare Bestimmung setzt (ausser der
Richtigkeit der letzten Gleichung) eine sehr genaue Ermittlung von E und G voraus;
kleine Aenderungen der beiden Werte haben einen ziemlich starken Einfluss
auf den Rechnungwert von \frac{1}{m} Dies ist zu beachten, wenn der oder
jener Wert von \sigma=\frac{1}{m} in der obenstehenden Zusammenstellung nicht ganz
wahrscheinlich erscheinen sollte.Unmittelbare Bestimmungen von m sind sehr schwierig und nur in spärlicher
Anzahl ausgeführt.
Da nach theoretischen Erwägungen für vollkommen isotropes Material \frac{1}{m}=0,25
sein soll, so würden Abweichungen von diesem Wert auf eine mehr oder minder grosse
Isotropie hindeuten. Die vollständige experimentelle Ermittlung der Elastizität
eines gewalzten oder gezogenen, also nicht isotropen Materials nach 3 aufeinander
senkrechten Achsenrichtungen ist aber eine überaus heikle und zeitraubende Arbeit,
worüber man die Ausführungen von St. Venant im Clebsch
annoté S. 81, nachlesen möge; da bei der vorliegenden Arbeit nicht einmal die
Drehungselastizität zweier zueinander senkrecht aus dem Plattenmaterial
herausgeschnittener Streifen bestimmt werden konnte, so muss die Frage offen
bleiben, inwieweit Mangel an Isotropie, bezw. die ungenaue Kenntnis des Wertes m die festgestellten Unterschiede zwischen den
Dehnungskoeffizienten der Platten und Zugstäbe zur Folge gehabt hat. Man würde keinen Unterschied finden, wenn man bei Versuch VII \frac{1}{m}=0,34; bei Versuch IX \frac{1}{m}=0,28 und bei Versuch X \frac{1}{m}=0,265 setzen dürfte.
Vergleicht man diese Zahlen mit den in der Fussbemerkung zusammengestellten Werten,
so erscheint es nicht ausgeschlossen, dass die oben festgestellten Unterschiede
zwischen den beiden Dehnungskoeffizienten bei genauer Ermittlung von m noch kleiner ausgefallen wären.
Als wahrscheinliche Ursachen der Unterschiede zwischen den Dehnungskoeffizienten der
Platten und der Zugstäbe sind also anzuführen:
a) Die ungenaue Kenntnis des Wertes m, sowie der
Elastizitätskonstanten des Materials nach 3 auf einander senkrechten Richtungen.
b) Ein eigenartiger Zustand des Materials im Anlieferungszustand (innere Spannungen,
herrührend von dem Walzprozess), der durch Ausglühen verändert wird.
c) In dem Ausserachtlassen des Einflusses der Schubkräfte auf die Durchbiegung der
Platte (vergl. Abschnitt f, S. 801).
Letzterer Umstand würde zur Folge haben, dass der Elastizitätsmodul der Platte
kleiner gefunden wird, als derjenige des Zugstabes; Abweichungen nach der
entgegengesetzten Richtung können damit nicht erklärt werden.
Föppl hat, wie schon eingangs erwähnt, an
schweisseisernen Platten den Elastizitätsmodul stets kleiner gefunden, als aus
Biegungsstäben desselben Materials, und zwar im Mittel um 7 v. H. in einem
Einzelfall um mehr als 10 v. H. Wollte man den Unterschied auch dadurch erklären,
dass m nicht den Wert \frac{10}{3} sondern einen anderen
besessen hat, so müsste \frac{1}{m} im Mittel = 0,238, in dem Einzelfall 0,21 gewesen
sein, das sind kleinere Zahlen als sämtliche in der Fussbemerkung 20 aufgezählten.
So grosse Unterschiede zwischen den beiden Dehnungskoeffizienten wie Föppl habe ich bei den vorliegenden Versuchen nicht
finden können. Ich halte es für wohl möglich, dass Föppl kleinere Unterschiede gefunden hätte, wenn er statt Kreisscheiben
von 20 cm Durchmesser grossere verwendet hätte, z.B. wie bei Bachs ersten und den vorliegenden Versuchen, Platten von 56 cm
Durchmesser, und wenn ferner die Auflagerschneiden etwas weniger scharf gemacht
worden wären, damit sie in geringeremMasse zur Zusammendrückung, bezw. zum
Eindringen in die Platte geneigt sind.Ein
deutlicheres Urteil in dieser Hinsicht gestattet der Vergleich des Versuches
X in dieser Arbeit an einer 10 mm starken Scheibe mit dem Versuch 8 oder 9
Föppls an einer gleich starken Scheibe; es
stehen sich gegenüber:hier:für200kgLastzuwachseineDurchbiegungvon0,0400cmbei Föppl:„200„„„„„0,0053„das ist nur der 7. bis 8. Teil. Dabei verteilt sich
die Last von 200 kg im 1. Falle auf einen Kreisumfang von 56 cm Durchmesser
mit flacher Auflage (s. Bach, Abhandlungen und
Berichte, Fig. 84), im zweiten auf einen Kreisumfang von 20 cm Durchmesser
mit verhältnismässig scharfer Schneide (s. Föppl, Mitteilungen, Heft 27, Tafel V). Bei dem Föpplschen Versuch muss deshalb offenbar die
örtliche Zusammendrückung bezw. Eindrückung am Auflager, ihrem Absolutwert
nach, und insbesondere im Vergleich zu dem kleinen Biegungspfeil grösser
gewesen sein, als bei den vorliegenden Versuchen. Die örtliche Deformation
ist nun in der Ablesung finden Biegungspfeil enthalten, weshalb die
Nachgiebigkeit der Scheibe grösser erscheint, als sie in Wirklichkeit
ist.
4. Die Durchsicht der Theorie kreisförmiger Scheiben hat zu dem Schluss geführt, dass
zwar Einwendungen grundsätzlicher Art gemacht werden können, dass es sich aber nur
um Feinheiten handelt, deren Berücksichtigung auf das ziffernmässige Ergebnis
voraussichtlich von geringem Einfluss sein wird. Sollte es wünschenswert erscheinen,
eine bessere Uebereinstimmung zwischen Theorie und Versuch herzustellen, so müsste
in erster Linie das Plattenmaterial genau auf seine Isotropie hin untersucht werden,
sodass man die Folgen mangelhafter Isotropie zahlenmässig feststellen kann.
Vom technischen Standpunkt aus scheint mir ein Bedürfnis nach feinerer Ausgestaltung
der Theorie kreisförmiger Scheiben nicht vorzuliegen.
5. Inwieweit der Ingenieur berechtigt ist, den Entwicklungen der allgemeinen
Elastizitätslehre für kreisförmige Scheiben Vertrauen entgegen zu bringen, ergibt
sich aus den unter Ziffer 3) aufgeführten Zahlen, nach denen ein Unterschied von + 7
bis – 3,6 v. H. zwischen Theorie und Versuch festgestellt worden ist, sofern für das
Verhältnis m = Längsdehnung: Querdehnung der Wert
\frac{10}{3} gesetzt wird. Da nun bei technischen Rechnungen eine absolute Genauigkeit
meist gar nicht verlangt wird, in zahlreichen Fällen wegen der Schwierigkeit der
Aufgabe überhaupt nicht erreichbar ist, so dürfen die
Ergebnisse der Theorie kreisförmiger Scheiben vom technischen Standpunkt als
hinreichend zuverlässig bezeichnet werden, bis zu der Grenze hin, bis zu
welcher die allgemeine Theorie der Elastizität ihren Voraussetzungen gemäss (s.
Abschn. f) noch anwendbar ist. Damit tut sich eine neue Schwierigkeit in doppelter
Hinsicht auf: fürs erste kann diese Grenze nach dem heutigen Stand unserer
Kenntnisse über das Verhalten des Materials bei gleichzeitigen Beanspruchungen nach
mehreren Richtungen nicht mit Sicherheit angegeben werden, fürs zweite aber ist es
keineswegs sicher, dass diese Grenze, wenn sie bekannt wäre, auch gleichzeitig die
Grenze für die praktische Verwendbarkeit eines Maschinenteiles bilden würde. Der
erste Teil der Frage kann nur auf dem Wege des Versuchs geklärt, der zweite nur
durch die Erfahrung im Betrieb entschieden werden. Ein sprechendes Beispiel hierzu
liefert die Hertzsche Theorie über die Berührung
elastischer Körper und die Versuche Stribecks mit
Kugellagern. Auch hier haben die Ergebnisse der allgemeinen Elastizitätztheorie eine
Prüfung durch den Versuch erfahren. Der Versuch bestätigte die Hertzsche Theorie fast vollkommen. Stribeck bemerkt selbst,Mitteilungen über Forschungsarbeiten.
Herausgegeben vom Verein deutscher Ingenieure, Heft 2, S. 7.
dass, wenn die Kugeln mit verhältnismässig kleiner Kraft gegen einander gepresst
wurden, sodass bleibende Eindrückungen nicht mit Sicherheit; nachgewiesen werden
konnten, die bei den Versuchen beobachteten und die nach Hertz berechneten Eindrückungen fast vollständig mit einander
übereinstimmten. Trotz der Bestätigung für kleine Formänderungen und Anstrengungen
innerhalb der Proportionalitätsgrenze hat sich aber die Hertzsche Theorie für den praktischen Zweck der Dimensionierung als völlig
unzureichend erwiesen.Vergl. hierzu die
Darlegungen Bachs in „Elastizität und
Festigkeit“ 4. Aufl. S. 164. Die Kugeln sind nach den Stribeckschen Versuchen und den bis heute gemachten
Betriebserfahrungen auch bei Anstrengungen, die weit jenseits der
Proportionalitätsgrenze liegen und für welche die Hertzschen Gleichungen nicht mehr gelten, noch gebrauchsfähig. Das konnte nach
den Gleichungen von Hertz keineswegs erwartet werden;
es lag vielmehr die Gefahr vor, dass aus diesen Gleichungen der Schluss gezogen
wurde, die Kugellager seien für hohe Belastungen ganz unbrauchbar, sofern man in
diese Gleichungen für die zulässige Materialanstrengung die sonst üblichen Werte
einführt. „Wollte man die zulässige Belastung gehärteter Stahlkugeln so niedrig
wählen, dass die grösste Dehnung die Proportionalitätsgrenze9000 kg/qcm. Das ist im Vergleich mit den
üblichen Werten der zulässigen Druckbeanspruchung überaus
viel. nicht überschreitet, so käme das einem Verzicht auf
Kugellager für grössere Belastungen gleich.“ (Stribeck, a. a. O. S. 4.) Für die Wertschätzung der Theorie seitens des
Ingenieurs ist dieser Fall sehr lehrreich. Hervorzuheben ist, dass sich dabei nicht
allein die praktische Brauchbarkeit der Hertzschen
Theorie als unzureichend herausgestellt hat; es zeigt sich auch, dass unsere
heutigen Anschauungen über die zulässige Anstrengung des Materials keineswegs als
allgemein giltig und abgeschlossenangesehen werden können, sondern durch
weitere Versuche und Sammlung von Erfahrungen erweitert werden müssen.Wenn sich die von Stribeck mitgeteilten Erfahrungen mit Kugellagern für hohe
Belastungen in der Praxis im Dauerbetrieb auch fernerhin bestätigen, so
müssen die üblichen Anschauungen über die Grösse der zulässigen Anstrengung
eine wesentliche Erweiterung erfahren.
Unter Berücksichtigung des zuletzt Dargelegten kann die Frage, inwieweit der
Ingenieur der Theorie kreisförmiger Platten Vertrauen entgegenbringen darf, dahin
beantwortet werden:
Die Genauigkeit der theoretischen Ergebnisse darf vom technischen Standpunkt aus
innerhalb der Proportionalitätsgrenze als eine genügend grosse bezeichnet werden.
Wird es in irgend einem Falle nötig, sich eingehender über den Formänderungs- und
Spannungszustand zu unterrichten, so können die Ergebnisse der Theorie mit Vertrauen
benutzt werden.
Ueber die Giltigkeitsgrenzen der Theorie kann aus den
vorliegenden Versuchen ein allgemeiner Schluss nicht gezogen werden (s. Ziff. 1),
noch weniger über die zulässige Materialanstrengung; die Bestimmung der letzteren
erfordert ausser wissenschaftlichen Versuchen die Beachtung der Erfahrungen im
Betrieb.