Titel: | Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus Flusseisen. |
Autor: | Max Ensslin |
Fundstelle: | Band 318, Jahrgang 1903, S. 705 |
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Studien und Versuche über die Elastizität
kreisrunder Platten aus Flusseisen.
Von Dr.-Ing. Max Ensslin,
Stuttgart.
Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus
Flusseisen.
Das Studium der Versuche Bachs über die
Widerstandsfähigkeit ebener PlattenS.
Zeitschrift d. Ver. deutsch. Ing. 1890, S. 1041; od. C Bach, Versuche über die Widerstandsfähigkeit
ebener Platten, Berlin 1891 (Springer) oder C. Bach,Abhandlungen und Berichte, S. 111;
Stuttgart 1897 (Bergsträsser). und
das Studium theoretischer Abhandlungen über diesen Gegenstand erweckten in mir den
Wunsch, Versuche über die Elastizität ebener Platten – zunächst an kreisrunden
Scheiben aus Flusseisen – anzustellen, um das Verhalten des Materials in der
Plattenform aus eigener Anschauung kennen zu lernen und mir Grundlagen für ein
eigenes Urteil über die Zuverlässigkeit der allgemeinen Elastizitätstheorie
plattenförmiger Körper zu verschaffen. Insbesondere hat mich der grosse, von Bach gefundene Unterschied zwischen dem unmittelbar
beobachteten und dem mit Hilfe der allgemeinen Elastizitätstheorie plattenförmiger
Körper berechneten Biegungspfeil einer Kreisscheibe veranlasst, mich eingehender mit
dem Gegenstand zu beschäftigen. Dem Entgegenkommen des Herrn Baudirektor v. Bach habe ich es zu danken, dass ich die nachher
beschriebenen Versuche in der Materialprüfungsanstalt der Technischen Hochschule in
Stuttgart ausführen konnte; Herr Baudirektor v. Bach
stellte mir dazu seine eigene Versuchsvorrichtung zur Plattenprüfung zur Verfügung
und liess hierzu in bereitwilligster Weise einige Einrichtungen neu anschaffen, die
ich in Vorschlag gebracht hatte und die später beschrieben sind. Meinem verehrten
Lehrer spreche ich hierfür auch an dieser Stelle meinen warmen Dank aus.
Es liegen bis jetzt, soweit mir bekannt ist, von 3 Seiten Versuche mit ebenen Platten
vor, die hier in zeitlicher Ordnung aufgezählt sind.
1) Versuche von Wehage
(Mitteilungen der mechanischtechnischen Versuchsanstalt zu Berlin, 1888, 3.
Heft, S. 89).
2) Versuche von Bach 1890 (s.
Fussbemerkung 1).
3) Versuche von Föppl
(Mitteilungen aus dem mechanischtechnischen Laboratorium der K. Technischen
Hochschule München, 1900, S. 28).
Wehage hatte die Absicht, die wichtige Frage zu
untersuchen, ob im Fall einer gleichzeitigen Beanspruchung eines Körpers nach
mehreren Dichtungen die grösste Dehnung als massgebend
für die Materialanstrengung angesehen werden dürfe, wie man das in weiten Kreisen
anzunehmen pflegt. Er folgerte aus seinen Versuchen, dass dies nicht zutreffe. Die
Schlussfolgerung Wehages lautet wörtlich: Wenn ein
schmiedeeiserner Körper zugleich nach zwei aufeinander senkrechten Richtungen gleich
stark auf Zug oder auf Druck beansprucht wird, so wird die Elastizitätsgrenze (=
Proportionalitätsgrenze) schon bei einer Dehnung erreicht, die kleiner ist, als
\frac{0,0011}{0,0014}=0,78
von derjenigen Dehnung, welche der Elastizitätsgrenze bei
einfachem Zug entsprichtNeuerdings hat J. J. Guest im Philos. Magaz. 1900, S. 69 durch
sehr zweckmässig ausgedachte und mehrfach wiederholte Versuche mit dünnen
Röhren, die auf Zug, Drehung und inneren Ueberdruck je allein bezw. auf Zug
und inneren Ueberdruck, Zug und Drehung, Drehung und inneren Ueberdruck
gleichzeitig beansprucht werden konnten, ein ähnliches Ergebnis wie Wehage bezüglich der Streckgrenze gefunden,
dass nämlich bei gleichzeitiger Beanspruchung auf Zug nach zwei aufeinander
senkrechten Richtungen die Streckgrenze schon bei kleinerer Dehnung erreicht
wird, als bei einfacher Zuganstrengung. Betreffs der Zahlenwerte und der
sonstigen Ergebnisse muss auf diese sehr beachtenswerte Arbeit selbst
verwiesen werden.. Da die Frage nicht weiter verfolgt wurde, hat
das auf sehr heiklen Feinmessungen beruhende Ergebnis eine weitergehende Beachtung
nicht gefunden. Auch sind die Beobachtungsergebnisse nicht so ausführlich
mitgeteilt, dass man sämtliche Schlüsse Wehages selbst
nachprüfen kann.
Föppl bestimmte, ebenso wie dies von Bach 10 Jahre vorher geschehen war, die Durchbiegung
von schweisseisernen Kreisscheiben, die in der Mitte belastet waren und frei
auflagen, und fand den aus der Plattendurchbiegung berechneten Dehnungskoeffizienten
im Mittel um 7 v. H. (5 bis 10,2 v. H.) grösser als den Dehnungskoeffizienten, der
sich aus der Biegung von Stäben aus dem gleichen Material ergab. Auf die
Versuchsergebnisse komme ich später zurück. Ausserdem stellte Föppl auf mittelbarem Wege (s. die oben angeführte
Veröffentlichung Föppls) fest, dass die Form der
elastischen Mittelfläche in Versuch und Theorie miteinander übereinstimmen.
Bach ist der erste gewesen, der die Widerstandsfähigkeit
ebener Platten durch den Versuch geprüft hat; seine
Bruchversuche mit gusseisernen Platten und die hierauf begründete
Näherungsberechnung, durch welche er die Aufgabe der Plattenberechnung auf den
allgemein geläufigen Fall der Biegung eines geraden Stabes zurückgeführt und die
hierin gelegene Vernachlässigung durch Einführung eines aus den Versuchen bestimmten
Koeffizienten berichtigt hat, hat die Aufgabe der Berechnung ebener Platten dem
allgemeinen Verständnis näher gerückt. Die Bach sehe
Berechnungsweise kreisförmiger, elliptischer und rechteckiger Platten wird an
mehreren Hochschulen vorgetragen und ist in die „Hütte“ und andere
Ingenieurtaschenbücher und damit in den praktischen Gebrauch übergegangen.
Bach ist auch der erste gewesen, der einen Weg gezeigt
hat, auf dem die allgemeine Elastizitätstheorie plattenförmiger Körper durch den
Versuch geprüft werden kann, indem der Dehnungskoeffizient aus der Durchbiegung von
Platten einerseits und von Stäben desselben Materials andererseits mit Hilfe der
entsprechenden Gleichungen ermittelt und verglichen wird. Dieses Verfahren hat Bach selbst an einer flusstählernen Kreisscheibe von
8,4 mm Stärke durchgeführt, die in der Mitte durch eine Einzelkraft belastet
wurde und nach einem Kreis von 56 cm frei auflag. Das Ergebnis dieses einen Versuchs
schien die Richtigkeit der allgemeinen Elastizitätstheorie ebener Platten schon für
den einfachsten Fall der kreisförmigen Platte stark in Frage zu stellen; der
Elastizitätsmodul fand sich nämlich im günstigsten Fall aus dem Plattenversuch zu
2900000, aus der Durchbiegung eines Stabes zu 2120000, entsprechend einem
Unterschied von 37 v. H. des letzten Wertes, sodass die Nachgiebigkeit der Platte um
rund ⅓ kleiner wäre, als die Theorie vermuten lässt. Dieses Ergebnis bedurfte der
Aufklärung durch weitere Versuche. Mit der gütigen Erlaubnis des Herrn Baudirektor
v. Bach habe ich 10 weitere Versuche mit 4
Flusseisensorten ausgeführt und zwar mit vollen und gelochten Kreisscheiben in
Stärken von 9 bis 16 mm. Meine Absicht war zu untersuchen, in welchem Mass man der
allgemeinen Theorie der Platten Vertrauen entgegenbringen darf.
Dass zunächst nur kreisförmige Scheiben aus Flusseisen geprüft worden sind, in der
Mitte belastet und am Rande frei aufliegend, dafür waren im Einzelnen folgende
Gründe massgebend:
1. Das MaterialBezogen von G. Kuhn in Berg.
ist Flusseisen, wie es zu Feuerblechen an Dampfkesseln verwendet wird, also ein
Material, für welches Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen besteht;
dies aus dem Grunde, weil die Theorie plattenförmiger Körper unter der Annahme des
Proportionalitätsgesetzes entwickelt wird.
Gusseisen war eben darum ausgeschlossen, weil die Möglichkeit bestand, dass
Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen entweder gar nicht oder nur bei
niederer Beanspruchung vorhanden seiBei einem
Vorversuch mit einer gusseisernen Scheibe von rund 25 mm Stärke, in der
Mitte nach einer Kreislinie von 3 cm Durchmesser belastet, am Rande nach
einem Kreis von 56 cm Durchmesser freiaufliegend, ergab sich, nach 3 maliger
Belastung innerhalb derselben Grenzen:Belastung P kg6009001200150018002100240027003000Zunahme des Biegungspfeiles mm0,110,110,110,120,110,120,110,12also mit grosser Annäherung Proportionalität zwischen
Belastung und Durchbiegung., und überdies, weil der Wert des
Verhältnisses
m=\frac{\mbox{Längsdehnung}}{\mbox{Querzusammenziehung}}
für Gusseisen nicht bekannt ist.
2. Als frei aufliegend wurden die Platten geprüft, weil
diese Art der Stützung in erster Reihe geeignet ist, Ergebnisse zur Prüfung der
Theorie zu liefern. Ein vollkommener Einspannungszustand, für den die Theorie der
kreisförmigen Scheibe entwickelt ist, lässt sich mit der vorhandenen
Versuchseinrichtung nicht herstellen. Bei unvollkommener Einspannung ist aber der
Grad der erreichten Vollkommenheit der Einspannung zunächst ganz unbekannt und kann
höchstens aus den Versuchen mit Hilfe der theoretischen Gleichungen berechnet werden
– sofern die letzteren selbst als zuverlässig angesehen werden dürfen, und darüber
sollte ja erst ein Urteil gewonnen werden.
Durch die Wahl der angegebenen Unterstützung war auch die Art der Belastung durch
eine in der Mitte angreifende Einzellast mitbedingt, eine gleichmässig über die
Plattenoberfläche verteilte Last dagegen nicht anwendbar.
3. Kreisförmige Scheiben wurden geprüft, weil die Wahl
elliptischer oder rechteckiger Platten als Versuchskörper die hier gestellte Aufgabe
nur verwickelter gemacht hätte wegen der erheblich grösseren Schwierigkeiten, welche
die Entwicklung der Theorie dieser Platten in sich birgt. Die Prüfung der Theorie
elliptischer und rechteckiger Platten kann naturgemäss erst in zweiter Reihe in
Betracht gezogen werden.
Wenn auf der einen Seite neues Versuchsmaterial beizubringen war, so habe ich auf der
anderen Seite auch die Theorie der Platten durchgesehen, ob gegen die Fassung
derselben vom Standpunkt der Ueberlegung ein Einwanderhoben werden kann.
Hierüber ist in einem der nachfolgenden Abschnitte berichtet.
Nach dem ursprünglichen Plan war in Aussicht genommen:
1. die gesamte, bleibende, federnde Durchbiegung der Platten zu
messen und die gleichzeitig eintretende Materialanstrengung zu berechnen;
2. die Zugelastizität und
3. die Drehungselastizität zweier senkrecht aufeinander
stehender Streifen aus dem Plattenmaterial zu ermitteln – auch um ein Urteil
über die Gleichartigkeit des Materials zu gewinnen;
4. das Verhältnis m =
Längsdehnung: Querdehnung aus dem Zug- und
Schubelastizitätsmodul\left(E=\frac{1}{a},\ G=\frac{1}{\beta}\right)nach der bekannten Gleichung zu
berechnen.
Besonderer Verhältnisse halber konnten die Drehungsversuche nicht ausgeführt werden,
weshalb die Punkte 3 und 4 wegfallen mussten.
a) Versuchseinrichtung und Versuchskörper.
Die Versuchseinrichtung ist im wesentlichen dieselbe, welche Bach entworfen und in der Schrift über die Widerstandsfähigkeit ebener
Platten (vergl. Fussnote 1) beschrieben hat.Abbildung der bei den vorliegenden Versuchen benutzten hydraulischen
Presse C. Bach, Elastizität und Festigkeit, 4.
Aufl. S. 571. Die kreisrunden Platten liegen nach einem Kreis von
56 cm Durchmesser frei auf und werden zentrisch belastet. Die Belastung wird mit
einer hydraulichen Presse von Amsler-Laffon erzeugt, ihre Grösse an der Skala einer offenen
Quecksilberröhre abgelesen, wie sie die Firma Amsler-Laffon ihren hydraulischen Pressen
beizugeben pflegt. Die Flüssigkeit im Presszylinder, die mittels einer Handpumpe auf
den erforderlichen Druck gebracht wird, steht nicht unmittelbar mit einer
Manometerröhre in Verbindung, sie wirkt zunächst auf einen kleinen Kolben, von dem
die Kraft auf einen konaxialen Kolben mit grosser Fläche übertragen wird. Ueber dem
letzteren befindet sich erst das Quecksilber; es wird nach Eintritt der Belastung
durch den grossen Kolben in der offenen Manometerröhre zum Steigen gebracht und
belastet diesen mit einer Druckhöhe, welche an der Skala ersichtlich ist. Der hier
beschriebene Differentialkolben ist nichts anderes als eine ungleicharmige Wage, ins
Hydraulische übersetzt. Bei der hydraulischen Wage und der Hebel wage ist es für die
Genauigkeit der Wägung gleich wichtig, dass die Wage möglichst frei von
Reibungswiderständen ist. In dieser Hinsicht hat die Firma Amsler-Laffon folgende Einrichtungen
getroffen: Der Presskolben ist nicht luftdicht in den Zylinder eingeschliffen, wie
das früher gemacht worden ist, es ist vielmehr zwischen beiden ein gewisser
Spielraum gelassen. Die Abdichtung erfolgt dadurch, dass der Kolben auf eine lange
Strecke im Zylinder geführt ist, wodurch gleichzeitig einem Kanten des Presskolbens
entgegengewirkt wird. Immerhin ist der Spielraum so gross, dass von dem
dünnflüssigen Mineralöl, mit welchem die Presse nach Angabe der Firma gefüllt werden
soll, stets eine wenn auch geringe Menge zwischen Kolben und Zylinder herausquillt,
wenn die Flüssigkeitspressung eintritt. Da der Zylinder sorgfältig vertikal gestellt
wird, hat man es nur mit Flüssigkeitsreibung zu tun.
Der Differentialkolben ist mit kleinerem Spielraum ausgeführt; um dem Auftreten von
Reibungen nach Möglichkeit entgegenzuwirken, kann man dem Differentialkolben bis
unmittelbar vor der Messung von Hand eine kleine schwingende Bewegung in Richtung
seiner Achse, wie auch um dieselbe erteilen.
Die Belastung kann an der Skala von 10 zu 10 kg abgelesen werden; die Entfernung
zweier Teilstriche beträgt 1,2 mm. Die Skalenteilung wurde möglichst gross gemacht,
so gross, als es nach den Erfahrungen der Firma Amsler
angezeigt erschien. Von der Firma war eine Genauigkeit der Druckmessung bis auf 10
kg gewährleistet. Nachdem der Apparat fertig aufgestellt war, wurden auf den
Presskolben Gewichte von 20, 40, 60, 80 und 100 kg aufgelegt, diese Belastungen konnten
an der Skala vollständig genau abgelesen werden.
Textabbildung Bd. 318, S. 707
Fig. 1.
Zur Messung des Biegungspfeils wurde der von Bach
angegebene und früher benutzte Zeigerapparat verwendet, der in der Abhandlung über
die Widerstandsfähigkeit ebener Platten (s. Fussnote 1) abgebildet und beschrieben
ist.
Eine nachträglich vorgenommene Eichung des Instruments ergab, dass es innerhalb des
benützten Messungsbereichs dieDurchbiegung um 1,27 v. H. zu klein angab. Die
aus der Plattendurchbiegung berechneten Dehnungskoeffizienten sind daher
entsprechend abgeändert worden.
Der Biegungspfeil der gelochten Platten wurde gemessen, indem ein genau passendes
Plättchen mit einem überstehenden Rand in die Bohrung vom Durchmesser d1 (Fig. 1) eingelegt wurde, auf diesem Plättchen ruhte
das Instrument zur Messung des Biegungspfeiles.
Der Druck auf die Platten wurde mittels eines Kupferringes von 3 cm mittlerem
Durchmesser (bei Versuch I bis VI) bezw. von 6 cm Durchmesser (bei Versuch VII bis
X) ausgeübt, welcher auf den Presskolben zentrisch aufgesetzt ist. Dadurch ist der
Kraftangriff eindeutig festgelegt, was nicht der Fall ist, wenn der Druck von einem
abgerundeten Druckstück ausgeht. Die zuerstgenannte Art des Kraftangriffs entspricht
genau den Annahmen der Theorie (vergl. Abschnitt c), derzufolge die Kraft
gleichmässig über den Umfang eines Kreises hin verteilt angreift.
Die genaue Festlegung des Kraftangriffs empfiehlt sich weniger mit Rücksicht auf
Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus der Durchbiegung als mit Rücksicht auf die
Ermittlung der Materialanstrengung. Es ist für die Grösse der beobachteten
Durchbiegung und des aus dieser berechneten Dehnungskoeffizienten gleichgiltig, ob
die Kraft nach einem kleinen Kreisumfang oder über eine kleine Kreisfläche verteilt
ist, wenn der Durchmesser derselben nur genügend klein ist im Vergleich zum
Durchmesser des Auflagerkreises (vergl. später folgende Gleichung 9) und 13). Für
eine genauere Ermittlung der grössten Spannung ist es jedoch erforderlich, auch die
Durchmesser des Kreises genau zu kennen, über dessen Umfang sich die Belastung
verteiltDie Grösse des
Druckringhalbmessers Ri ist zufolge der ersten in der
Fussbemerkung 13 stehenden Gleichung von grösserem Einfluss auf den
Spannungswert als auf die Grösse des Biegungspfeiles.. Aus diesem
Grunde wurde der beschriebene Druckring benutzt.
(Fortsetzung folgt.)