Titel: | Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und Kugellager. |
Autor: | Hermann Studte |
Fundstelle: | Band 318, Jahrgang 1903, S. 473 |
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Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und
Kugellager.
Von Hermann Studte,
Berlin.
(Schluss von S. 461 d. Bd.)
Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und
Kugellager.
Gehemmte Rollen- und Kugelsysteme.
Ein Rollensystem, dessen Glieder sich einander derartig berühren, dass die
Verbindungslinien ihrer Kontaktstellen in den Querschnitten die Kombination
regulärer Sechsecke mit gleichseitigen Dreiecken aufweisen, ist ein Gehemmtes. Zu
dieser Gruppe gehören:
1. Das Rollenrhombus mit den Winkeln von 60° bezw. 120°. Die Rollenanzahl ist:
A = n2
Die zugehörige Kontaktzahl ist:
\underset{R\,h}{K\,t}=(3\,n-1)\,(n-1)
2. Das aus Rollen gebildete Parallelogramm mit den Winkeln von 6O° bezw. 120°
(Fig. 8). Die Rollenzahl ist:
\underset{(m\,n\,60^{\circ},\ 120^{\circ})\ \ \ \ \ \ \ \ }{A-m\,n}
Die zugehörige Kontaktzahl ist:
\underset{(m\,n\,60^{\circ},\ 120^{\circ})}{K\,t=}n\,(m-1)+(2\,m-1)\,(n-1)
3. Das gleichseitige Rollendreieck, wie Fig. 9 zeigt.
Die Rollenzahl ist:
A=\frac{n\,(n-1)}{2}
Die zugehörige Kontaktzahl ist:
\underset{\triangle}{K\,t}=\frac{3}{2}\,\left(n-1\right)\,n
4. Das gerade Rollenparalleltrapez mit den Grundseitenwinkeln von je 60° (Fig. 10). Die Rollenanzahl beträgt:
A
=\frac{m}{2}\,(2\,n-m+1)
Als zugehörige Kontaktzahl besteht die Gleichung:
K t
=\frac{1}{2}\,\left[m\,(6\,u-3\,m+1)-4\,n\right]
Zu der gleichen Gattung gehört das reguläre Rollensechseck, dessen Verbindungslinien
der Kontakte im Querschnitte unvermischte Sternfiguren aus der Kombination von
regulären Sechsecken und gleichseitigen Dreiecken ergeben, wie Fig. 11 zeigt.
Textabbildung Bd. 318, S. 474
Fig. 8.
Textabbildung Bd. 318, S. 474
Fig. 9.
Die Rollenanzahl ist:
\underset{\left(\underset{eck}{Sechs-}\right)}{A}=3\,n\,(n-1)+1
Als zugehörige Kontaktzahl erhält man:
\underset{(Sechseck)}{K\,t}=\left[3\,(n-1)\right]^2+3\,(n-1)
Dieselben Ergebnisse gelten für entsprechende Kugelanordnungen.
Mehrschichtige, vielreihige Rollsysteme.
Legt man mehrere Kugelschichten gleicher Art so übereinander, dass sie kongruieren,
so erhält man eine Vertikalkugelsäule. Zur Ermittlung der Kugelanzahl einer solchen
Säule, welche mit A bezeichnet sein mag, hat man die
Schichtzahl mit der Rollkörperanzahl A aus einer
Schicht zu multiplizieren: man hat dann
A = Aξ
Textabbildung Bd. 318, S. 474
Fig. 10.
Textabbildung Bd. 318, S. 474
Fig. 11.
Die Kontaktzahl der aus Kugeln gebildeten Vertikalsäule heisse Kt; diese Zahl findet man nach dem Satze:
In jeder vertikalen Rollkörpersäule ist die Kontaktzahl gleich der Summe aus den
Produkten der Kontaktzahl aus einer Schicht multipliziert mit der Schichtzahl und
der einschichtigen Rollenzahl multipliziert mit der um Eins verminderten
Schichtzahl.
Kt = ξKt + (ξ –
1)A
Ungehemmte Anordnungen von vertikalen Rollkörpersäulen.
Legt man ξ Kugelschichten, welche bei quadratischer
Anordnung gegeneinander in Berührung sind, übereinander, so ist die Kugelanzahl
einer solchen Säule
A = n2ξ
Als Kontaktzahl findet man
\underset{n^2\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=2\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,n^2
Zu derselben Gattung gehört die aus rechteckigen Rollkörperschichten aufgebaute
Vertikalsäule, die Kugelanzahl ist
A =
mnξ
Als zugehörige Kontaktzahl besteht die Beziehung
\underset{m\,n\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[m\,(n-1)+n\,(m-1)]+(\xi-1)\,m\,n
oder in anderer Form geschrieben
\underset{m\,n\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[2\,m\,n-(m+n)]+(\xi-1)\,m\,n
Gehemmte Anordnungen von vertikalen Rollkörpersäulen.
Es darf wohl als selbstverständlich gelten, diejenigen Kügelsäulen als gehemmte
anzusehen, welche aus gehemmten einschichtigen Rollsystemen aufgebaut sind.
Zu dieser Gruppe gehören
1. Die Kugelrhombussäule mit den Querschnitts winkeln von 60° bezw. 120°. Die Anzahl
der Kugeln einer solchen Säule, sind
\underset{\mbox{Rh}}{\frakfamily{A}}=u^2\,\xi
Die zugehörige Kontaktzahl stellt sich als folgende Gleichung dar
\underset{\mbox{Rh}}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,(3\,n-1)\,(n-1)+(\xi-1)\,n^2
2. Das rhomboidische Kugelparallelepipedon mit den Querschnittswinkeln von 60° bezw.
120°. Die Kugelzahl einer solchen Säule ist
\underset{\#\,s}{\frakfamily{A}}=m\,n\,\xi
Die zugehörige Kontakt zahl ist
\underset{\#\,s}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[3\,m\,n-2\,(m+n)+1]+(\xi-1)\,m\,n
3. Das gleichseitige dreieckige Kugelprisma. Die Kugelanzahl ist
\underset{\Delta s}{\frakfamily{A}}=\frac{\xi}{2}\,(n+1)\,n
Als zugehörige Kontaktzahl gilt
\underset{\Delta s}{\frakfamily{K}\,t}=\frac{3}{2}\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,\frac{n\,(n+1)}{2}
4. Die gerade Kugelparalleltrapezsäule mit den an der grössten Parallelkante
liegenden Winkeln von 60°.
\frakfamily{A}
=\frac{\xi}{2}\,(n+1)\,n
s
Der zugehörigen Kontaktzahl entspricht die Gleichung
\frakfamily{K}\,t
=\frac{3}{2}\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,\frac{n\,(n+1)}{2}
s
5. Die Vertikalkugelsäule über dem regulären einschichtigen Kugelsechseck.
Die Kugelanzahl beträgt
\underset{\mbox{Sechseck}}{\frakfamily{A}}=\xi\,[3\,n\,(n-1)+1]
Die zugehörige Kontaktzahl ist
\underset{\mbox{Sechseck}}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,\{[3\,(u-1)]^2+3\,(n-1)\}+(\xi-1)\,[3\,u\,(n-1)+1]
+ (ξ – 1) [3n (n – 1) + 1]
Die gleichen Beziehungen gelten auch im allgemeinen Sinne unter besonderen
Voraussetzungen für entsprechende, aus Rollen aufgebaute Säulen.
Die Lageverhältnisse der Rollkörper gegeneinander.
Sind zwei Kugeln oder Rollen im Kontakt, so ist, wie Fig.
12 zeigt, der in der Mitte der Zentrallinie C1C2 liegende Entfernungswert K sowohl nach C1 als auch nach C2 je einer Radiuslänge gleich,
demnach ist
C1K = r, und C2K = r
Fig. 13 zeigt ein gehemmtes Rollsystem, welches aus
drei Kugeln C1,
C2, C3 besteht, darin
sind
C1K = C1K1
= r
ferner besteht die Beziehung
(C
1
K
2
)
2
= (2r)
2
– r
2
woraus folgt
C1K2= r√3
Textabbildung Bd. 318, S. 475
Fig. 12.
Textabbildung Bd. 318, S. 475
Fig. 13.
Textabbildung Bd. 318, S. 475
Fig. 14.
Bedeutend verwickelter werden die Lageverhältnisse eines Rollsystems von vier
Rollelementen gleichen Durchmessers. Zum Zwecke der geordneten Uebersichtlichkeit
sind die Lageverhältnisse einer graphischen Darstellung unterworfen, wie sie Fig. 14 zeigt. Angenommen die Rollkörper seien Kugeln.
In dem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y ist die
Kugel c1 nicht
aus dem Anfangspunkt der Koordinaten herausschiebbar gedacht. Es bilden c1, c2, c3, c4 ein im Kontakt
befindliches quadratisches Rollsystem. Die an c1 durch die Kugeln c2 und c3 gebildeten Kontakte k liegen auf dem Kontaktkreise r√1 = r; dagegen liegen die zwischen den
Rollkörpern c2, c3, sowie c3, c4 befindlichen
Kontakte k1 und
k1 auf
dem Kontaktkreise r√5. Das miteinander
beweglichverbundene Rollsystem sei in seinen Ecken c1, c2, c3, c4 mit beweglichen Scharnieren versehen gedacht;
dagegen sei die Diagonalaxe c1, cV als unveränderlich in ihrer Lage
angenommen. Der Rollkörper c3 sei auf c1;
cK
verschiebbar.
Man denke sich nun, der Rollkörper c3 werde auf der Diagonalaxe bis cV
hinaufgezogen, so wird aus dem Quadrat ein Rhombus mit den Winkeln von 60° bezw.
120°, wie es Fig. 14 darstellt, und man erhält, wie
aus der graphischen Darstellung der Kontaktkurve ersehen wird, den Kontaktwert r V 3, ausserdem die Kontaktwerte k6 bezw. k6. Die
beiden letzten Kontaktwerte liegen auf dem Kontaktkreise r√7 Schiebt man von cV aus den Rollkörper an c1, so erhält
man erstens den Kontaktwert k auf dem Kontaktkreise r, sowie die Kontakte 1k sowie 1k, welche beide auf dem Kontaktkreise r√3 liegen. Zwischen den Verschiebungsgrenzen der
Winkel von 60° bis 120° sind die Kontaktkurvenzweige in der Zeichnung dargestellt,
nämlich der Zweig 1k
bis k6, ferner der
Zweig 1k bis k6.
Weist das Rollsystem die Kontaktwerte k, sowie 1k und 1k auf, so ist das
System ein Gehemmtes, ebenso gilt es gehemmt, wenn es die Kontaktwerte = r√3, sowie k6 und k6
=r√7 hat. Alle zwischen diesen Anfangs- und Endwerten
liegenden Rollsysteme sind ungehemmte tetragonale Rollanordnungen. Als Gleichung für
die Rollkontaktkurve gewinnt man mit Hilfe des
Projektionssatzes die Beziehung
P2 =
r2 + (2r)2 – 2r . 2r cos α
woraus folgt
P=\pm\,r\,\sqrt{5-4\,cos\,a}
wenn α ein spitzer Winkel ist;
ferner
P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,a\,(180^{\circ}-\alpha)}
wenn α ein stumpfer Winkel
ist.
Angenommen, es sei
α =0°, dann ist cos α = 1
Setzt man nun in die allgemeine Kurvengleichung
P=r\,\sqrt{5-4\,cos\,a}
die zugehörigen Werte ein, so folgt
P=r\,\sqrt{1=r}
Es sei α = 60°, dann ist cos\,a=\frac{1}{2}
Man erhält
P=r\,\sqrt{5-4\cdot \frac{1}{2}}=r\,\sqrt3
Setzt man
α = 90°
dann ist
cos α = 0
dann folgt für
P = r√5
Ist α = 120°, so hat man
P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,(180^{\circ}-120^{\circ})}
woraus folgt
P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,60^{\circ}}=r\,\sqrt7
Unter Berücksichtigung der geometrischen Lageverhältnisse der Kurven erhält man für
die betrachteten Winkel dieselben Ergebnisse bei Anwendung des Pythagoräischen
Lehrsatzes.
Zur bequemeren Auffindung aller Reihen werte für jeden Kurvenzweig setzt man für den
spitzen Winkel α
α = 90° – φn
und für den stumpfen Winkel
α = 90° + φn
Demnach heisst die Reihe für die Kurvenelemente je beider Zweige von 60° angefangen
bis 120°
\underset{60^{\circ}}{P}=r\,\sqrt3
\underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-1)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-1)}]}
\underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-2)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-2)}]}
\underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}]}
\underset{90^{\circ}-\varphi_2}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_2)}
\underset{90^{\circ}-\varphi_1}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_1)}
\underset{90^{\circ}}{P}=r\,\sqrt5
\underset{90^{\circ}+\varphi_1}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}+\varphi_1)}
\underset{90^{\circ}-\varphi_2}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_2)}
\underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}+\varphi_{(n-3)}]}
\underset{90^{\circ}+\varphi_{(n-2)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}+\varphi_{(n-2)}]}
\underset{90^{\circ}+\varphi_{(n-1)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}+\varphi_{(n-1)}]}
\underset{120^{\circ}}{P}=r\,\sqrt7
Die Abstandswerte der Kontakte unter sich.
Textabbildung Bd. 318, S. 476
Fig. 15a.
Textabbildung Bd. 318, S. 476
Fig. 15b.
Textabbildung Bd. 318, S. 476
Fig. 15c.
Es sei C1, C2. C3, C4 ein
viergliedriges Rollsystem. Die Figuren 15a, b, c stellen das
viergliedrige System in den drei Hauptlagetypen dar; aus denselben ist ersichtlich,
dass, wenn das Zentrallinienviereck einen Rhombus mit Winkeln von 60° bezw. 120°
darstellt, die Verbindungslinien zwei gleichseitige kongruente Dreiecke mit
gemeinschaftlicher Spitze bilden. Jede der Dreieckseiten ist gleich r. Bildet das Zentrallinienviereck des Rollsystemes ein
Quadrat, so ist die Entfernung aller Kontakte unter sich, wie leicht zu übersehen
ist
r√2
Hieraus folgt:
Jedes mehrgliedrige Rollsystem ist ein gehemmtes, wenn die Kontakte desselben als die
Eckpunkte gleichseitiger Dreiecke angesehen werden können. In jedem anderen Falle
gilt das Rollsystem als läufig oder ungehemmt.
Die Abstandswerte der Kontakte n – gliedriger Rollsysteme
vom Koordinatenursprunge.
Fig. 7 stellt ein aus mn Rollkörpern gebildetes Rechteck so dar, dass zwei zusammenstossende
Randseiten auf den rechtwinkligen Koordinaten x und y liegen. In jedem Falle gilt für jeden beliebigen
Kontaktpunkt des gesamten Rollkörpersystemes die allgemeine Beziehung
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{x^2+y^2}
hierbei ist zu beachten, dass sowohl x als auch y in Radiuslängen der unter sich
gleichen Rollkörper auszudrücken sind.
Die Kontaktlagen aller Rollkörper bleiben, auch wenn das ganze System in drehende
Bewegung gesetzt wird, konstant.
Sind x und y grade Zahlen
der Radiuswerte, so stellen die Punkte \underset{(x,\,y)}{P} die Querschnittsmittelpunkte der
Rollkörper dar.
Sind dagegen x und y
verschiedenen Charakters, d.h. stellt die eine Grösse eine grade, die andere eine
ungrade Zahl dar, so erhält man durch die obige Gleichung für \underset{(x,\,y)}{P} die
verschiedenen Lagen der Kontaktpunkte.
Bedeutet x eine grade Zahl, also y eine ungrade, so liegen sämtliche Kontakte dieser Rollkörperreihen auf
der Zentrallinienrichtung für y. Bedeutet dagegen x eine ungrade, y eine
grade Zahl, so liegen sämtliche Kontakte dieser Rollkörperreihen auf der
Zentrallinienrichtung für x.
Diese Lagegesetze sind für das rechteckige Rollkörpersystem durchaus wichtig. Man ist
durch dieselben ohne weiteres imstande, die verschiedenen Lagebedingungen aller
Kontakte gegeneinander zu übersehen und auf ihre Lageunterschiedlichkeiten zu
untersuchen. Ohne Schwierigkeiten ergibt sich das ganze Punktlagenbild sowohl für
die Rollkörperkontakte, als auch für die Rollkörpermittelpunkte. Am wichtigsten
treten jetzt für die vorliegenden Untersuchungen die Kontaktreihen hervor.
Parallelscharen von Kontakt reihen, welche nach dem Theoreme der arithmetischen
Reihen höherer Ordnung in völliger Gesetzmässigkeit sich aufbauen, findet man jetzt
bequem auf. Es bleibt nur noch übrig, die einzelnen Glieder der Reihen genau
bestimmen zu können. Zu diesem Zwecke ist die allgemeine Gleichung
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{x^2+y^2}
gehörig zu transformieren. Wie bereits festgestellt, muss y eine ungrade Zahl sein, wenn x eine grade ist, damit Kontaktpunkte auftreten. Daher setze man bei
Einführung der Grössen u und v für x beziehungsweise y
x = 2u
dann erhält man für y
y = 2v – 1
In die obige allgemeine Gleichung substituiert man diese Werte für x und y und erhält
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v-1)^2}
Ist x eine ungrade Zahl, dagegen y eine grade, so setzt man für x und y bei Anwendung derselben Buchstaben
x = 2u –
1; y = 2v
Durch Eintragung dieser Werte in die Gleichung gewinnt man die Beziehung
\underset{(x,\,y)}{P}=\sqrt{(2\,u-1)^2+(2\,v)^2}
Diese abgeleiteten Gleichungen genügen, die Parallelscharen aller Kontaktreihen eines
mn-gliedrigen läufigen Rollkörpersystemes mit
den Zentrallinienwinkeln von 90° aufzustellen.
Zur Bestimmung der Rollkörpermittelpunkte setzt man
x = 2u, und y
= 2v
Hieraus findet man durch Substitution der Werte
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v)^2}
Die Allgemeingiltigkeit der Rollkontaktkurve für das m
n-gliedrige Rollsystem.
Richtet man wiederum seine Aufmerksamkeit auf die Fig.
14, welche ein viergliedriges verschiebbares Rollkörpersystem darstellt,
so liegt die Vermutung sehr nahe, dass man die Allgemeingiltigkeit der
Rollkontaktkurve für ein Rollkörpersystem aus m
n-Gliedern bestehend, feststellen kann. Und in der Tat ermittelt man nach dem
bekannten Verfahren für ein mehrgliedriges Rollsystem die Beziehung
\underset{(x,\,y)}{P^2}=x^2\,y^2+y^2\,r^2-2\,x\,r\,y\,r\,cos\,(90^{\circ}\mp\,\varphi)
hieraus folgt die allgemeine Gleichung:
\underset{(x,\,y)}{P}=\pm\,r\,\sqrt{x^2+y^2-2\,x\,y\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)}
Dementsprechend erhält man durch Einsetzung von u und
v die Gleichungen für die Parallelscharen der
Kontaktreihen.
I. x = 2u; y = (2v – 1).
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v-1)^2-2\,(2\,v-1)\,2\,u\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)}
II. x = 2u – 1 : y = 2z.
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u-1)^2+(2\,v)^2-2\,(2\,u-1)\,2\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)}
Für die Rollkörpermittelpunkte ergeben sich bei analoger Betrachtung:
x = 2u; y = 2v
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v)^2-2\cdot 2\,u\cdot 2\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)}
Aus dieser Beziehung erhält man vereinfacht:
\underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{4\,[u^2+v^2-2\,u\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)]}
Mit Hilfe voranstehender Gleichungen ist das Kontaktproblem eines einschichtigen
Rollsystems, welches aus vier Elementen gleicher Durchmesser besteht, nach den
Hauptrichtungen allgemein gelöst.
Zum Schlusse sei noch angegeben, wie weit die beiden Kontakte der Gipfelkugel eines
gleichseitigen Kugeldreiecks (s. Fig. 9) vom
Koordinatenursprung entfernt sind; die Kugelseitenzahl heisse n; dann ist der der y-Achse am nächsten liegende Kontakt Pn
P_n=r\,\sqrt{\left(\frac{2\,n-3}{2}\,\sqrt3\right)^2+\left(\frac{2\,m-3}{2}\right)^2}
der weiter von der y-Achse
abliegende, Pn
benachbarte Kontakt P_{n_1} ergibt die Relation
P_{n_1}=r\,\sqrt{\left(\frac{2\,n-3}{2}\,\sqrt3\right)^2+\left(\frac{2\,m-1}{2}\right)^2}
Während selbstverständlicher Weise durch die Gleichung der Rollkontaktkurve
äquivalente Werte ebenfalls gefunden werden und zwar durch Einsetzung cos 120° = – ½, so stellen die beiden letzten
Gleichungen die Grenzbestimmung der Kontaktlagenwerte
des Gipfelkörpers für ein gleichseitiges Dreieck dar.