Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe. Von W. Schüle, Breslau. Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe. Einleitung. Die Gesetze, nach denen Wasserdämpfe und Gase aus einfachen Mündungen mit geringen Widerständen ausströmen, sind heute als im allgemeinen bekannt zu betrachten, nachdem Versuche, darunter solche aus jüngster Zeit, die theoretischen Annahmen und Formeln bestätigt haben.1)Vergl. Zeuner, Technische Thermodynamik, IV. Aufl. 1902. Die Ausströmungsgeschwindigkeit und die sekundliche Ausflussmenge bei gleichbleibendem inneren Druck sind die Grossen, uni deren Bestimmung es sich für praktische Aufgaben hauptsächlich handelt; diese Werte konnten in allgemein giltiger Weise theoretisch nicht festgestellt werden, ehe nicht der Druck im Mündungsquerschnitt bekannt war. Nach der älteren Annahme sollte dieser unter allen Umständen gleich dem äusseren Druck sein.1)Vergl. Zeuner, Technische Thermodynamik, IV. Aufl. 1902. Bei Anwendung der hieraus sich ergebenden Formeln auf grössere Druckunterschiede, sowie aus den Ergebnissen mancher Versuche (De Saint-Venant 1845 mit Luft, Napier 1869 mit Wasserdampf)2)Noch in der 1875 erschienenen Aufl. von Weisbachs „Lehrbuch der Theoret. Mechanik“ ist eine andere Annahme nicht vertreten. ergab sich jedoch, dass diese Annahme über den Mündungsdruck nur bis zu einer bestimmten Grenze des Verhältnisses von innerem zu äusserem Druck (rund 2 : 1) möglich ist. Darüber hinaus führt die ältere Formel für das Ausflussgewicht auf Widersprüche mit den Versuchen und schliesslich, für Ausströmung in das Vakuum, auf die ungereimte Folgerung, dass Gase oder Dämpfe in den luftleeren Raum garnicht ausströmen. Als Ursache dieses scheinbaren Versagensder älteren Theorie hat man erkannt, dass Gase oder Dämpfe in den leeren Kaum höchstens mit der ihrem Zustand in der Mündungsebene entsprechenden Schallgeschwindigkeit ausströmen können, während die erste Annahme schon oberhalb des Druckverhältnisses von rund 2 : 1 und vollends für das Verhältnis pi : pa = ∞ (d.h. pa = 0) auf viel grössere Geschwindigkeiten führt. Der Druck in der Mündungsebene ist also immer dann grösser als der äussere Druck, wenn das Druckverhältnis 2 : 1 überschritten ist, und er wächst proportional mit dem inneren Druck, wenn der äussere konstant gehalten wird. Bei gleichbleibendem inneren, aber abnehmenden äusseren Druck wächst aber das Ausflussgewicht von jenem Druckverhältnis ab nicht mehr, sondern bleibt selbst bei der grösstmöglichen Verminderung des Gegendrucks konstant.3)Dieses von De Saint-Venant und Wantzel entdeckte, seither insbesondere durch Zeuner bestätigte Gesetz wurde nach Zeuner a. a. O. I. S. 251 selbst von Poncelet öffentlich als „seltsam und wunderlich“ bezeichnet und die Entdeckung fiel während 30 Jahren der Vergessenheit anheim. Weitere Schwierigkeiten ergaben sich, als auch die Ausflusswiderstände berücksichtigt wurden, und diese sind auch heute nicht völlig überwunden. Sehr übersichtliche Formeln für diesen Fall verdankt man Zeuner; wieder ist es aber der Mündungsdruck, dessen Bestimmung auf Hindernisse stösst und Zeuner selbst vertritt in der III. und in der IV. Auflage seiner Thermodynamik in dieser Beziehung ganz verschiedene Standpunkte. Seine alte Theorie ergab den Mündungsdruck auch bei beträchtlichen Strömungswiderständen nur wenig verschieden gegenüber dem freien Ausfluss,während sich nach Zeuners neuester Theorie der Mündungsdruck mit dem Widerstand ganz bedeutend ändert.4)a. a. O. I. S. 243. Für widerstandsfreien Ausfluss soll bei Gasen der Mündungsdruck 0,5266 oder rd. $$\frac{1}{1,9}$$ des inneren Druckes, für grosse Widerstände bis zu 0,1286 oder rd. $$\frac{1}{7,5}$$ des inneren Druckes sein, also im letzteren Falle rd. 4 mal kleiner als im ersten, wenn in beiden Fällen der innere Druck gleich ist. Die Ausflussgeschwindigkeit in den leeren Raum soll dagegen ganz unabhängig von den Widerständen und immer gleich der Schallgeschwindigkeit sein.5)a. a. O. S. 242. „Ich gehe daher in den weiteren Untersuchungen von der neuen Hypothese aus, dass die Luft in den luftleeren Raum mit der dem Zustand der Luft in der Mündung entsprechenden Schallgeschwindigkeit w = √2gkpv ausströmt, welche Widerstände hierbei auch beim Hinströmen nach der Mündung vorliegen mögen.“ Weiter unten wird eine gewisse Folgerung aus dieser Theorie hervorgehoben werden, die sich bei Zeuner nicht beachtet findet, aber recht bemerkenswert, ja auffallend erscheint. Im ferneren wird dann gezeigt werden, dass die Ausflussformel für Wasserdämpfe im Gebiet der Gleichheit von Mündungsdruck und äusserem Druck wesentlich vereinfacht werden kann, ohne die für praktische Rechnungen benötigte Genauigkeit zu verlieren. Ein Bedürfnis liegt dafür insofern vor, als mit der gebräuchlichen Formel die Behandlung von Ausflussproblemen, bei welchen der innere Druck oder Druck und Volumen gleichzeitig sich verändern,6)Vergl. Weyrauch, Zeitschr. d. Vereins deutsch. Ingenieure, 1899, S. 1162. analytisch so gut wie unmöglich ist. Im Anschluss daran wird die einfachste hierher gehörige, bis jetzt nicht vollständig gelöste Aufgabe behandelt werden, die Zeit für den Druckausgleich beliebig hoch gespannten Dampfs aus einem Gefäss ohne Zufluss zu berechnen, wenn die Ausströmung durch eine einfache Mündung in einen Raum mit konstantem Druck erfolgt. Die Ausflussformeln von Zeuner. Bezeichnungen: pi der Druck im Dampfgefäss in kg/qm pa der Druck im äusseren Raum in kg/qm p der Mündungsdruck v1, va, v die zugehörigen spezifischen Volumina in cbm/kg F der Mündungsquerschnitt in qm w die Ausströmgeschwindigkeit in m/Sek. G das Ausflussgewicht in kg/Sek. k der Exponent der Adiabate des Wasserdampfs m der „Ausflussexponent“ ξ der Widerstandskoeffizient $$m=\frac{(1+\zeta )\cdot k}{1+\zeta \cdot k}$$ 1. Fall. Kleines Ueberdruckverhältnis. Der Mündungsdruck ist gleich dem äusseren Druck, also p = pa, solange, nach der neuen Hypothese, $$\frac{p}{p_a}<{\left(\frac{k+1}{2}\right)}^{\frac{m-1}{m}}$$ ist. Ferner ist $$w_1=\sqrt{\frac{2gk}{k-1}{p}_i{r}_i\cdot (1-{\left(\frac{p_a}{p_i}\right)}^{\frac{m-1}{m}})}$$7)Die Zeichen 1 und 2 bei w sollen andeuten, dass die Ausflussgeschwindigkeit im Gebiet des Falles 1 oder des Falles 2 gemeint ist. Desgl. bei ψ und G. 1.) $$G_1=F\cdot \sqrt{\frac{2gk}{k-1}\frac{p_i}{v_i}\{{\left(\frac{p_a}{p_i}\right)}^{\frac{2}{m}}-{\left(\frac{p_a}{p_i}\right)}^{\frac{m+1}{m}}\}}$$ 2.) Diese Formeln sind von der besonderen Annahme über den Mündungsdruck ganz unabhängig, nur ihr Giltigkeitsgebiet ist durch den Mündungsdruck begrenzt. Es ist weiter als nach der älteren Theorie. Die Formeln sind die ursprünglichen Zeunerschen Formeln, die mit m = k schon vor Zeuner für adiabat. Ausfluss gebräuchlich waren. 2. Fall. Grosses Ueberdruckverhältnis. Der Mündungsdruck ist grösser als der äussere Druck. Dies soll nach der neuen Hypothese der Fall sein, solange $$\frac{p_i}{p_a}>{\left(\frac{k+1}{2}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ . . . 3.) ist. Der Mündungsdruck selbst ist dann $$p=p_i\cdot {\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ Ferner ist $$w_2=\sqrt{\frac{2gk}{k+1}{p}_i{v}_i}=\sqrt{gkpv}$$ . 4.) (Schallgeschwindigkeit für den Zustand p, v.) $$G_2=F\cdot {\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{1}{m-1}}\cdot \sqrt{\frac{2gk}{k+1}\cdot \frac{p_i}{v_i}}$$ 5.) Setzt man für beide Fälle $$G=\phi \cdot F\cdot \sqrt{\frac{p_i}{v_i}}$$ 8) Vergl. Weyrauch, a. a. O. S. 1162. und zwar ψ = ψ1 für den Fall 1, ψ = ψ2 für Fall 2, so ist für kleines Ueberdruckverhältnis: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ für grosses Ueberdruckverhältnis: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Nach der älteren Theorie Zeuners war der Mündungsdruck für Fall 2.) $$p=p_i\cdot {\left(\frac{2}{m+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ Dieser Ausdruck war unter der Annahme erhalten worden, dass der Mündungsdruck in dem Augenblick anfange, grösser als der äussere Druck zu werden, in welchem bei abnehmend gedachtem äusserem Druck die Ausflussmenge G1 ihren grössten Wert erreicht, sodass G2 = G1max = konst. war. Es war demnach nach der älteren Hypothese auch $${\phi }_2={\phi }_{1max}={\left(\frac{2}{m+1}\right)}^{\frac{1}{m-1}}\sqrt{2g\frac{k}{k-1}\frac{m-1}{m+1}}$$ 8.) Trägt man die Werte G, oder die ihnen (bei konstantem innerem und veränderlichem äusserem Zustand) proportionalen Werte ψ nach der älteren Hypothese als Ordinaten, die Werte $$\frac{p_a}{p_i}$$ als Abszissen auf, so erhält man (Fig. 1) den Kurvenzug AB'E',9)bezw. ABE für anderes m (bezw. ζ.) der sich aus einer krummen und einer der Abszissenachse parallelen geraden Strecke zusammensetzt. Die letztere, B'E' bezw. BE, gilt, solange der Mündungsdruck grösser als der äussere Druck und die Ausflussmenge konstant, vom äusseren Druck unabhängig ist, die krumme Strecke dagegen betrifft das Gebiet der Gleichheit von Mündungsdruck und äusserem Druck, wobei also die Ausflussmenge bei zunehmendem äusseren und konstantem inneren Druck allmählich bis auf Null abnimmt (ebenso der Wert ψ1). Die gerade Strecke ist Tangente an die krumme im höchsten Punkt derselben. Trägt man nun nach der neuen Hypothese dieselben Grossen auf, so ändert sich dadurch die krumme Linie in keiner Weise, nur gilt sie auch noch über ihren höchsten Punkt hinaus ein Stück weit auf ihrem absteigenden Ast und die gerade Linie ist nicht mehr Tangente an sie, sondern trifft sie unter einem stumpfen Winkel. Der Augenblick, wo der Mündungsdruck gleich dem äusseren Druck wird, fällt nach der neuen Hypothese keineswegs mehr mit dem „Maximum der Ausflussmenge“ zusammen.10)Zeuner, a. a. O., IV. Aufl., sagt zwar auf S. 163 des II. Bandes gelegentlich der Einführung der Widerstände in die Ausflussformeln ausdrücklich: „Nach den dort (I. Band, Gase) vorgeführten Sätzen berechnet man nun für das Maximum der Ausflussmenge den Mündungsdruck p aus u.s.w. Die gleiche, offenbar im Widerspruch mit der neuen Hypothese stehende Anschauung ist in Bd. 1 ausgesprochen. Es heisst dort S. 244: „Würde man vom freien atmosphärischen Kaum aus die Luft durch eine einfache Mündung in ein weites geschlossenes Gefäss eintreten lassen, in welchem anfänglich Luftleere herrscht, so würde in jeder Zeiteinheit immer dieselbe Luftmenge einströmen..., und die Einströmungsgeschwindigkeit ist unveränderlich, die Schallgeschwindigkeit... Sobald aber der Druck p2 im Gefässe den Wert nach der Gleichung $$p_2=p_1{\left(\frac{1}{k+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ erreicht hat, ändern sich die Verhältnisse; von da an ist die Einströmungsgeschwindigkeit w und die in der Zeiteinheit eintretende Luftmenge G nach den Gleichungen (33) und (34),“ unseren obigen Gl. 1. und 2., „zu beurteilen: dabei nimmt der Wert von $$\frac{G}{F}$$ allmählich ab“. Das letztere ist nicht richtig, er nimmt vielmehr zunächst zu und dann erst allmählich ab bis auf Null, wie aus dem Verlauf des Kurvenzugs D'C'B'A (bezw. DCBA für anderes k und m), deutlich hervorgeht.

Fig. 1.

Dass dies unter allen Umständen der Fall ist, sobald Widerstände da sind, und nicht blos für die zufälligen Verhältnisse der Fig. 1, die übrigens masstäblich gezeichnet ist, geht aus folgender Ueberlegung hervor. Es ist nach der älteren Hypothese an der Uebergangsstelle der geraden in die krumme Strecke die Abszisse $$\frac{p_a}{p_i}={\left(\frac{2}{m+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ nach der neueren dagegen $$\frac{p_a}{p_i}={\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ Nun ist stets m < k also $$\frac{2}{m+1}$$ grösser als $$\frac{2}{k+1}$$; somit ist nach der neuen Hypothese an der Anschlusstelle $$\frac{p_a}{p_i}$$ kleiner, als nach der alten; nach der letzteren fällt die fragliche Abszisse mit der des Kulminationspunktes des; krummen Astes zusammen, also muss die Anschlussstelle nach der neuen Annahme, weil sie jedenfalls weiter dem Ursprung zu liegt, sich auf dem absteigenden Ast der krummen Linie befinden. Ein Zusammentreffen der geraden und der krummen Linie ist freilich nur möglich, wenn ψ1max < ψ2 ist. Dies ist immer der Fall, wie sich aus Folgendem ergibt. Man hat $$\frac{{\phi }_{1max}}{{\phi }_2}=\frac{{\left(\frac{2}{m+1}\right)}^{\frac{1}{m-1}}\cdot \sqrt{2g\frac{k}{k-1}\frac{m-1}{m+1}}}{{\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{1}{m-1}}\sqrt{2g\frac{k}{k+1}}}$$         $$={\left(\frac{k+1}{m+1}\right)}^{\frac{1}{m-1}}\cdot \sqrt{\frac{k+1}{k-1}\cdot \frac{m-1}{m+1}}$$         $$=\sqrt{{\left(\frac{k+1}{m+1}\right)}^{\frac{m+1}{m-1}}\cdot \frac{m-1}{k-1}}$$ Ist nun der Ausdruck unter der Wurzel > 1, so ist ψ1max > ψ2. Es ist aber immer m < k, daher k = m + μ, worin μ eine positive kleine Zahl. Damit wird $$\frac{k+1}{m+1}=\frac{m+\mu +1}{m+1}=1+\frac{\mu }{m+1}$$ somit $${(1+\frac{\mu }{m+1})}^{\frac{m+1}{m-1}}=1+\frac{\mu }{m+1}\cdot \frac{m+1}{m-1}$$ $$+{\left(\frac{\mu }{m+1}\right)}^2\cdot \frac{\frac{m+1}{m-1}-1}{2}\frac{m+1}{m-1}+..$$ $$=1+\frac{\mu }{m-1}+{\mu }^2\cdot \frac{1}{(m+1{)}^2\cdot (m-1)}+..$$ $$=\frac{m+\mu -1}{m-1}+{\mu }^2\cdot \frac{1}{(m+1{)}^2\cdot (m-1)}$$ $$=\frac{k-1}{m-1}+{\mu }^2\cdot \frac{1}{(m+1)\cdot (m-1{)}^2}$$ Nun ist also: $${\left(\frac{k+1}{m+1}\right)}^{\frac{m+1}{m-1}}\cdot \frac{m-1}{k-1}=1+{\mu }^2\cdot \frac{1}{(k-1)\cdot (m^2-1)}$$ ein Ausdruck, der für alle Werte von k und m, die ja immer grösser als 1 sind, einen grösseren Wert als 1 besitzt. Damit ist erwiesen, dass ψ1max immer > ψ2 ist.11)Wäre dies nicht der Fall, so würde der Anschluss der geraden an die krumme Strecke überhaupt fehlen. Die Fig. 1 nach der älteren Annahme mit tangentialem Anschluss der geraden Strecke findet sich bei Zeuner, aber nicht der Verlauf D'C'B'A nach der neuen Annahme, die gewiss nicht ebenso plausibel und durch direkte Versuche, wenigstens nach Wissen des Verfassers, nicht erwiesen ist. Folgendes Beispiel möge die Sachlage noch näher erläutern: Man denke sich aus einem Dampfkessel, dessen Druck konstant gehalten wird, Dampf durch eine Mündung mit nicht zu kleinem Widerstand in einen Raum ausströmend, dessen Druck nach Belieben verändert werden kann. Stellt man in diesem Raum zunächst geringen Druck (Vacuum) ein, so wird die sekundliche Ausflussmenge den Ordinaten der geraden Strecke entsprechen und sich erst ändern, nachdem der Gegendruck wesentlich gestiegen ist. Ist dieser so gross geworden, dass $$\frac{p_a}{p_i}={\left(\frac{2}{k+1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}$$ 12) Punkte C' bezw. C in Fig. 1. so wird in dem Augenblick der Mündungsdruck gleich dem äusseren Druck. Nimmt nun der äussere Druck (und damit auch der Mündungsdruck) weiter zu, vermindert sich also der Druckunterschied weiter, so soll trotzdem das sekundliche Ausflussgewicht zuzunehmen beginnen und schliesslich hei B' (Fig. 1) einen beträchtlich grösseren Wert erreichen, als früher bei der grössten Druckdifferenz. Im weiteren Verlauf, bei stetig zunehmendem äusseren Druck, soll dann die Ausflussmenge abnehmen, zunächst bis C'', wo sie den ursprünglichenWert bei ganz kleinem Druckunterschied wieder erreicht, und dann schliesslich bis Null. Dieses Anschwellen und Wiederabnehmen der Ausflussmenge ist eine eigentümliche, von Zeuner nicht erwähnte Erscheinung, die noch des direkten Beweises durch den Versuch bedarf. Der Einfluss der Widerstände auf die Ausflusserscheinungen, auch bei kurzen Mündungen, kann hiernach noch nicht als sicher bekannt betrachtet werden. (Fortsetzung folgt.)