Die Energieumwandlung durch Reibung und ihr Nutzeffekt. Von Dipl.-Ing. Dr. H. Heimann, Frankfurt a. M. Die Energieumwandlung durch Reibung und ihr Nutzeffekt. Ein Flüssigkeitsstrahl übt beim Durchströmen eines Rohres auf die Wandungen desselben eine Kraft aus, die nach der Newtonschen Hypothese über Flüssigkeitsreibung der Strömungsgeschwindigkeit proportional ist. Ist das Rohr nicht fest, sondern in Richtung des Flüssigkeitsstrahles beweglich, so wird es sich mit einer von der Grösse des äusseren Widerstandes abhängigen Geschwindigkeit fortbewegen und dabei Arbeit leisten. Es wird gefragt, welches ist der Nutzeffekt einer derartigen Umwandlung der Energie eines Flüssigkeitsstrahls, und lässt sich ein Rohr praktisch so dimensionieren, dass ein annehmbarer Nutzeffekt entsteht? Es werde zunächst der einfachste Fall vorausgesetzt:

Fig. 1.

Ein Rohr von lichtem Durchmesser 2r und der Länge l werde von einem Flüssigkeitsstrahl vom spezifischen Gewicht γ unter der Druckhöhe H durchströmt. Die Geschwindigkeit in der Rohrmitte sei W1. Es werde weiter die zulässige Annahme gemacht, dass in ein und derselben konzentrischen zylindrischen Flüssigkeitsschicht die Strömungsgeschwindigkeit konstant und von der Grösse sei: Wρ = W1 – αρ, wenn ρ der Radius der betreffenden Schicht ist. Da Wρ = 0 sein muss für ρ = r, weil infolge der Adhäsion an der Rohrwand die Flüssigkeit haftet, so ist $$a=\frac{W_1}{r}$$ und $$W_{\varrho }=W_1(1-\frac{\varrho }{r})$$ Die bei der Geschwindigkeit W1 sekundlich durch das Ruhr fliessende Menge bestimmt sich zu: $$Q={\int }_0^{r}2\pi \varrho d\varrho W_1(1-\frac{\varrho }{r})=\frac{r^2\pi W_1}{3}\mathrm{\infty }{r}^2{W}_1$$ Die Arbeitsverluste beim Durchströmen setzen sich zusammen aus dem Reibungsverlust und dem Austrittsverlust. Der Reibungsverlust bestimmt sich folgendermassen: Jede zylindrische Flüssigkeitsschicht übt auf die darüberliegende äussere konzentrische Schicht eine Kraft aus, die der Relativgeschwindigkeit beider Schichten proportional ist. Die bei dieser Relativgeschwindigkeit geleistete sekundliche Arbeit ist also gleich Reibungskraft × Relativgeschwindigkeit. Die gesamte Reibungsarbeit wird demnach: $$R={\int }_0^{r}2\varrho \pi la{\{W_1(1-\frac{\varrho }{r})-W_1(1-\frac{\varrho +d\varrho }{r})\}}^2=2\pi l\int \frac{\varrho d\varrho }{r^2}\cdot rd\varrho \cdot W_1^2$$ Dabei ist ε der Reibungskoeffizient für eine Flüssigkeitsschicht von der Dicke dρ; setzt man ε . dρ = η dem Reibungskoeffizienten einer Flüssigkeitsschicht von der Dicke 1 (Zähigkeit genannt), so wird $$R=2\pi l\eta W_1^2{\int }_0^r\varrho \frac{d\varrho }{r^2}=\pi l\eta {W_1}^2$$ Der gesamte Austritts verlust lässt sich ebenfalls durch Integration über die einzelnen Schichten bilden. Es sei U die Geschwindigkeit des Rohres in Richtung des Flüssigkeitsstrahles, dann ist der Austrittsverlust $$V={\int }_0^r\gamma \cdot 2\pi \varrho d\varrho W_1(1-\frac{\varrho }{r})\cdot \frac{(U+W_1[1-\frac{\varrho }{r}]{)}^2}{2g}$$ $$=\frac{W_1\pi \gamma }{g}{r}^2\{\frac{U^2}{6}+\frac{U{W}_1}{6}+\frac{{W_1}^2}{20}\}$$ oder in erster Annäherung $$=\frac{W_1\pi \gamma r^2}{3\cdot 2g}\cdot {(U+\frac{W_1}{2})}^2=\frac{Q\gamma }{2g}{(U+\frac{W_1}{2})}^2$$ Zur Bestimmung der Nutzarbeit muss die auf die Rohrwand ausgeübte Kraft berechnet werden. Auf die an der Rohrwand adhärierende Schicht und damit auf das Rohr selbst wird nach vorangehendem eine Kraft ausgeübt $$K=2\pi l\cdot \epsilon (r-dr)\{W_1(1-\frac{r-dr}{r})-0\}$$ und da ε d r η ist: K = 2 π l η W1. Die Arbeit bei der Geschwindigkeit U ist demnach: A = 2 π l η U · W1 Der Nutzeffekt als $$\frac{\text{Nutzarbeit}}{\text{Nutzarbeit}+\text{Verlustarbeiten}}$$ lässt sich jetzt in der Form schreiben $$\eta =\frac{2\pi l\eta U{W}_1}{\frac{2\pi l\eta U{W}_1+\pi l\eta {W_1}^2}{2\pi \text{l}\eta W_1(U+\frac{W_1}{2})}+\frac{W_1\pi \gamma r^2}{3\cdot 2g}{(U+\frac{W_1}{2})}^2}$$ Durch Einführung der Gefällhöhe H lässt sich dieser Ausdruck noch umformen. Es ist $$Q\gamma H=\frac{W_1{r}^2\pi }{3}\gamma H=2\pi l\eta W_1(U+\frac{W_1}{2})+\frac{r^{2}a}{3}\gamma W_1\frac{{(U+\frac{W_1}{2})}^2}{2g}$$ und hieraus $$2\pi l\eta U=\frac{U}{U+\frac{W_1}{2}}\cdot \frac{r^2\pi }{3}\cdot \gamma (H-\frac{(U+\frac{W_1}{2}{)}^2}{2g})$$ und $$\eta =\frac{U}{U+\frac{W_1}{2}}\cdot \frac{H-\frac{{(U+\frac{W_1}{2})}^2}{2g}}{H}$$ Die Grösse von η ist bedingt durch die Grösse seiner beiden Faktoren. Um den letzten Faktor gross zu halten, müsste U möglichst klein gehalten werden, und des ersten Faktors wegen W1 erst recht klein. Das würde, wie aus der vorangehenden Gleichung folgt, zu grossen Rohrabmessungen führen. Nun giebt es aber ein Mittel, den Einfluss des II. Faktors zu verringern, sodass bei der Berechnung nur der I. Faktor eine wesentliche Rolle spielt. Man denke sich nämlich das Rohr als Spirale aufgewickelt und sich um den 0-Punkt der Spirale drehend, der Flüssigkeitsstrahl trete in die äussere Spiralwindung ein und verlasse das Rohr nach Durchfliessen der innersten Windung. Der Austrittsverlust ist dann bestimmt durch die Grösse der Resultante zwischen innerer Rohrumfangsgeschwindigkeit und Durchflussgeschwindigkeit, kann also durch passende Wahl des inneren Radius der Spirale klein gehalten werden. Auf die Form der Spirale kommt es dabei gar nicht an. Es werde deshalb eine archimedische Spirale von der Gleichung R = α . φ vorausgesetzt; α sei so klein, dass für hinreichend grosses φ eine Windung als Kreis angesehen werden kann. Es kann dann die Umfangsgeschwindigkeit an irgend einer Stelle der Spirale (Fig. 2) in gleicher Richtung mit der Durchflussgeschwindigkeit angenommen werden. Denkt man sich demgemäss die Spirale vom äusseren Radius Ra, dem inneren Radius Ri und dem mittleren Radius Rm, entsprechend den n Windungen, der Spirale, ersetzt durch n Kreise vom Radius Rm, dann geht die Formel für η über in $$\eta =\frac{R_m\cdot w}{R_{}w+\frac{W_1}{2}}\cdot \frac{2gH-{(R_{i}w+\frac{W_1}{2})}^2}{2gH}$$

Fig. 2.

wobei w die Winkelgeschwindigkeit der Spirale bedeutet. Die Zahl der Spiralwindungen ist nach Fig. 2, wenn 2 (r + δ) gleich dem äusseren Rohrdurchmesser gesetzt wird $$z=\frac{R_a-R_i}{2(r+\delta )}$$ und die gesamte Rohrlänge l = z . 2πRm = z . π .(Ra + Ri) An einem Beispiel soll nun gezeigt werden, dass bei Flüssigkeiten von hoher Geschwindigkeit die Umwandlung von Energie in der angedeuteten Weise praktisch wohl möglich erscheint. Zu diesem Zwecke wird gesättigter Wasserdampf vorausgesetzt, welcher von hoher Spannung auf Atmosphären- oder Kondensatorspannung herab frei expandierend eine Geschwindigkeit von 1200 m angenommen habe. Man wähle W1 = 200 m, r = 2 cm, dann wird Q=r2 . W1 = 80000 ccm. Weiterhin ist die absolute Eintrittsgeschwindigkeit = Raw + Wi= 1200 m, also Raw = 100000 cm. Man wähle $$R_i=\frac{R_a}{6}$$, $$R_m=\frac{R_i+R_a}{2}=\frac{7}{13}{R}_a;$$ dann ist Rmw = 58400 cm, Riw = 16800 cm. Die Stärke der Rohrwand δ = 3 mm, dann wird die Zahl der Spiralwindungen $$z=\frac{R_a-R_i}{2(r+\delta )}=0,18R_a=0,309R_m$$ und l = 2πzRm = 1,84 Rm2. Für die Gefällshöhe H gilt nun nach obigem die Beziehung: $$r^2\gamma H=2\pi l\eta (R_{m}w+\frac{W_1}{2})+\frac{r^2\gamma }{2g}{(R_{i}w+\frac{W_1}{2})}^2;$$ im vorliegenden Falle ist $$H={\left(\frac{1,2\cdot {10}^3}{2g}\right)}^2$$ in cm, g, Sek. ausgedrückt. Man setze nun voraus, dass der Dampf auf eine Kondensatorspannung von 0,3 Atm. frei expandieren konnte, sein spezifisches Gewicht f. d. ccm in g demnach 0,0002 sei. Dann geht obige Gleichung über in $$\frac{4\cdot 0,0002}{2\cdot {10}^3}\{1,44\cdot {10}^{10}-7,2\cdot {10}^8\}=2\pi l\eta 68400$$ Setzt man voraus, dass das π des Wasserdampfes = π des Wassers sei (es wird eher grösser denn kleiner sein) so wird $$\frac{4\cdot 0,0002}{2\cdot {10}^3}\{1,44\cdot {10}^{10}-7,2\cdot {10}^8\}=2\pi 68400\cdot 0,0000106l$$ und hieraus l = 2430 cm = 24,3 m. Nach den obigen Formeln wird nun Rm = 36 cm, Ra = 62 cm, Ri = 10 cm, w = 1620 und die minutliche Tourenzahl n = 15500. Der Nutzeffekt η = 0,855 . 0,95 = 0,81 Die sekundlich durch das Rohr strömende Dampfmenge von 0,016 kg Gewicht = 80 000 . 0,0002 g entspricht einer stündlichen Dampfmenge von 57,5 kg, also etwa 10 PS. Der Durchmesser eines 10 PS Motors betrüge ungefähr 1,25 m, die Breite 4,6 cm. Ein 200 PS Motor durch Nebeneinanderordnung von 20 solchen Rohrspiralen bekäme bei demselben Durchmesser eine Breite von 1 m. Das sind praktisch mögliche Dimensionen. Eine Reduktion der Tourenzahl könnte, ähnlich wie beim Uebergang von der de Lavalschen Dampfturbine zur Parsonschen, durch allmähliche Expansion des Dampfes in der Spirale selbst erreicht werden. Die Spirale selbst müsste dann aber eine bestimmte mathematische Form erhalten, entsprechend dem Expansionsgesetz des Dampfes in einer solchen Rohre.