Ueber die Berechnung der Schornsteine. Von R. Leupold, Lehrer a. d. Ingenieurschule zu Zwickau. (Schluss von S. 641 d. Bd.) Ueber die Berechnung der Schornsteine. Für den zweiten Schuss ergiebt sich: V2 = 5 . 0,23 . 2,03 π = 7,3340 cbm; G2 ≌ 11740 kg für den dritten: V3 = 5 . 0,28 . 2,18 π = 9,5882 cbm; G3 ≌ 15340 kg für den vierten: V4 = 5 . 0,33 . 2,33 π = 12,0779 cbm; G4 ≌ 19330 kg für den fünften: V5 = 5 . 0,38 . 2,48 π = 14,8032 cbm; G5 ≌ 23690 kg für den sechsten: V6 = 5 . 0,43 . 2,63 π = 17,7642 cbm; G6 ≌ 28420 kg für den siebenten: V7 = 5 . 0,48 . 2,78 π + 2 cbm = 22,9608 cbm; G7 ≌ 36740 kg denn das Volumen der Hohlkehle, mit welcher der unterste Schuss in den Sockel übergeht, kann zu ∾ 2 cbm veranschlagt werden. Das Volumen des Sockels über Erdgleiche ergiebt sich durch Zerlegung in für die Rechnung bequeme Teile, nachdem man für die Eingangsöffnung des Fuchses, sowie für die mittels Einsteigeloches zugängige Reinigungsöffnung, soweit beide über Erdgleiche liegen und den Raum zwischen feuerfestem Futter und Sockel zusammen ∾ 6,5 cbm berechnet hat, zu V_\frakfamily{S}^0=68,1088\mbox{ cbm},\ G_\mbox{S}^0=108970\mbox{ kg} Das Volumen des Sockels unter Erdgleiche ist V_\frakfamily{S}^a=(2,15^2-1,20^2)\,\pi\,\cdot\,2,1-2,3=18,7\mbox{ cbm,} G_\frakfamily{S}^u\,\underset{-}{\infty}\,29920\mbox{ kg} denn für den Durchgang des Fuchses und die Reinigungsöffnung können 2,3 cbm abgerechnet werden. Die unterste Sohle des Fundamentes, die 7 m im Quadrat und 1,2 m hoch ist, soll aus Stampfbeton hergestellt werden, für den wir für den cbm 1800 kg rechnen. Die unterste Sohle wiegt dann 7 . 7 . 1,2 . 1800 = 105840 kg Die obere aus Ziegelmauerwerk mit 10 Steinlagen hergestellte Schicht 6 . 6 . 0,77 . 1600 = 44350 kg Die Winddrücke werden erhalten, wenn man die durch die einzelnen Schüsse gelegten Achsialschnitte, die sich als Trapeze darstellen, multipliziert mit dem grössten, an dem Bauplatz voraussichtlich vorkommenden Winddruck für den qm, hier zu 125 kg angenommen und einem Koeffizienten φ, der für Kreiszylinderflächen, wie oben abgeleitet = 0,667 ist. Ist a die eine, b die andere Seite und h die Höhe des Trapezes, dann ist der Winddruck auf den Kegelstumpf mit den entsprechenden Abmessungen: W=\frac{a+b}{2}\,h\,\cdot\,125\,\cdot\,0,667=(a-b)\,\frac{h\,\cdot\,125\,\cdot\,0,667}{2} Mit h = 5 m wird \frac{h\,\cdot\,125\,\cdot\,0,667}{2}=208,44 und es ist dann: W 1 = (2,16 + 1,96) . 208,44 ≌   860 kg W 2 = (2,36 + 2,16) . 208,44 ≌   940 „ W 3 = (2,56 + 2,36) . 208,44 ≌ 1025 „ W 4 = (2,76 + 2,56) . 208,44 ≌ 1110 „ W 5 = (2,96 + 2,76) . 208,44 ≌ 1190 „ W 6 = (3,16 + 2,96) . 208,44 ≌ 1275 „ W 7 = (3,36 + 3,16) . 208,44 ≌ 1360 „ Für den Sockel berechnet sich der Winddruck zu W_{\frakfamily{S}}=4\,.\,7\,.\,125\,.\,0,667\,\underset{=}{\infty}\,2340 kg worin der Winddruck auf das Gesims, dessen Berechnung später bei dem Verzeichnen der Stützlinie noch gezeigt werden soll, nicht mit eingerechnet ist. Da für das Verzeichnen der Stützlinie die möglichst genaue Berechnung der Winddrücke von grosser Wichtigkeit ist, so beachte man den folgenden kleinen Vorteil: Der Wert des Klammerausdruckes nimmt für jeden Schuss um 0,40, der Winddruck also um 0,40 . 208,44 = 83,376 kg zu. Der Winddruck auf den ersten Schuss ist genau = 858,7728 kg. Man addiere hierzu 83,376 und erhält den Winddruck auf den zweiten Schuss etc.; erst dann rundet man die so erhaltenen Winddrücke ab. Die Rauminhalte, Gewichte, Winddrücke, Querschnittsinhalte, Kernweiten und die aus der Zeichnung entnommenen Stützweiten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Schuss V (cbm) G (kg) W(kg) F (qcm) p (cm) r (cm)             1.            2.            3.            4.            5.            6.            7.Sockel (über             Erdgl.)Sockel (unter             Erdgl.)Fundament    5,3156    7,3341    9,5882  12,0779  14,8032  17,7642  22,9608  68,1088  18,7000  28,8000  58,8000     8510  11740  15340  19330  23690  28420  367401089702992046080105840   860  940102511101190127513602340 11196,615390,620056,025192,430800,236879,180425,0 45,7548,6251,0454,4758,2860,4368,00 25,0043,5057,3068,0076,2582,7586,00 Summa 264,2528 434580 Die Fundamentsohle hat einen Flächeninhalt von 490000 qcm. Die Belastung des Baugrundes ist also =\frac{434580}{490000}=\,\infty\,0,9 kg, die unter Voraussetzung guten Baugrundes vollständige Sicherheit gewährt. III. Berechnung der Spannungen im Mauerwerk. Die resultierenden Spannungen können berechnet werden, entweder mit Hilfe der Gleichungen (10) und (11) oder (10 a) und (11a). Nach (10) und (11) ist ausser dem Winddruckmoment Ww in kg/cm noch das Widerstandsmoment \frac{J}{e} zu ermitteln, welches für einen Kreisring bekanntlich =\frac{(D^4-d^4)\,\pi}{23\,D} ist. Die Ingenieurkalender und sonstigen Tabellen enthalten aber nur die 2. und 3. Potenzen der natürlichen Zahlen; wir müssten also bilden n4 = n 2 . n2 oder = n3 n. Ist nun auch für einen sicheren und zuverlässigen Rechner die Gefahr eines Versehens so gut wie ausgeschlossen, so liefern doch die Formeln (10) und (11) für das praktische Rechnen zu anbequeme Zahlen. Wir kommen schneller zum Ziele mit Hilfe der Gleichungen (10a) und (11a). Nach diesen Gleichungen ist die kleinste Druckspannung der dem Winde zugekehrten Seite, der sogenannten Luvseite s_1=\frac{G}{F}\,\left(1-\frac{r}{p}\right) welche Zugspannung wird, wenn r > p. Die grösste Druckspannung der im Windschatten liegenden Seite, der Leeseite, ist s_2=\frac{G}{F}\,\left(1+\frac{r}{p}\right) Die Stützweiten r können nun gefunden werden auf rechnerischem Wege mit Hilfe der Gleichung (15) oder zeichnerisch, indem man aus den Schwerpunkten der Trapezflachen, die den Schornsteinteilen über den Querschnittsebenen aa (bis zur Mündung natürlich gerechnet) entsprechen, Parallele zu den Resultanten aus Winddruck und Eigengewicht zieht. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte dieser Parallelen mit ihren bezüglichen Querschnittsebenen ergiebt dann die Stützlinie, aus dem Grunde so genannt, weil in ihr die Stützpunkte der Resultanten liegen und dieselbe die Stützweite für irgend einen beliebigen Querschnitt sofort ergiebt. Die zeichnerische Ermittelung der Stützweiten verdient entschieden den Vorzug vor den rechnerischen; denn der Verlauf der Stützlinie lässt sofort jeden etwa gemachten Dehler erkennen, und wenn man sorgsam zeichnet, erhält man so genaue Werte von r, dass sie sich von den rechnerisch ermittelten erst in der 2. Dezimale unterscheiden. Textabbildung Bd. 317, S. 653 Fig. 4. Um aber r möglichst genau zu erhalten, nimmt man die Winddrücke gewöhnlich 10fach grösser an, als sie wirklich sind, erhält also eine 10fach verzerrte Stützlinie, die Natürlich 10 r statt r ergiebt, was ohne weiteres aus der Betrachtung von Fig. 4 erhellt. Ist also die Zeichnung in 1/100 der natürlichen Grösse, gezeichnet, dann sind a mm Stützweite in Wirklichkeit a cm, weil \frac{a\,100}{10}=a\,\cdot\,140 ist. Die aus der Zeichnung in Millimetern abgegriffenen Masszahlen für die Stützweiten sind also einfach in die Gleichungen (10a) und (11a) einzusetzen, um die Mauerwerksspannungen pro Quadratcentimeter zu erhalten. Die Angriffspunkte der Winddruckresultanten, die man, um die Stützlinie überhaupt konstruieren zu können, gleich als Angriffspunkte der Eigensüchte der Schornsteinteile wählt, weil man diese Eigengewichte nach jedem Punkt in der Vertikalen durch den Schwerpunkt verlegen kann, werden oftmals auch mit Hilfe der Seilpolygonkonstruktion wie folgt bestimmt: Man ermittelt auf die allgemein bekannte Weise die Schwerpunkte der einzelnen Stockwerke, deren äussere Umrisslinien Trapeze darstellen, und zieht durch diese Schwerpunkte Horizontallinien, in denen dann die Winddrücke W1, W2, W3 etc. wirken. Aus einem beliebigen Pole 0 konstruiert man hierauf zu den parallelen Kräften W1, W2, W3 etc. das Seilpolygon. Wie aus der graphischen Statik bekannt, wird dann die Lage der Resultante der beiden parallelen Winddrücke W1 und W2 bestimmt durch den Schnittpunkt der beiden Polygonseiten I und III; die der Resultante von W1, W2 und W3 durch den Schnittpunkt der Polygonseiten I und IV und schliesslich die Lage der Resultante aller 7 Winddrücke durch den Schnittpunkt der äussersten Seiten I und VIII. Man hat also nur zu beachten, dass n Kräften n + 1 Polstrahlen entsprechen. Dieses Verfahren, so theoretisch einfach es auch ist, leidet aber an der Ungenauigkeit der Bestimmung der Schnittpunkte stark konvergierender Linien, wovon das Verfahren der Schwerpunktsermittelung eines Trapezes frei ist. Und da nun dieses letztere Verfahren doch angewendet werden muss, um die Lage von W1, W2, W3 etc. zu ermitteln und damit das Seilpolygon überhaupt konstruieren zu können, so ist es doch entschieden vorteilhafter, die Schwerpunktsermittelung eines Trapezes durchweg anzuwenden, um die Lage der Winddruckresultanten zu bestimmen. Je weiter man nun mit den Querschnittsebenen nach unten kommt, um so schmäler werden die Trapeze, die von diesen Querschnittsebenen und der Schornsteinmündungsebene begrenzt werden und desto mehr konvergiert auch hier die Schnittlinie B E mit der Mittellinie A D und schliesslich würde die Bestimmung der Schnittpunkte C ebenso ungenau werden wie bei der Seilpolygonkonstruktion (s. Fig. 5). Man kann nun aber die dann stark mit der Mittellinie konvergierende Schnittlinie durch eine weniger stark konvergierende, die denselben Schnittpunkt C liefert, auf folgende Weise ganz einfach ersetzen: Man trägt an B die Strecke \frac{a}{2}+b an und an E die Strecke \frac{b}{2}+a. Verbindet man nun G mit F durch eine Gerade, so ist der Schnittpunkt C dieser Geraden mit der Mittellinie der Schwerpunkt des Trapezes; denn in den ähnlichen Dreiecken (Fig. 5) DCE und ABC ist \frac{h_2}{h_1}=\frac{\frac{b}{2}+a}{\frac{a}{2}+b} (1) und wenn DF vorläufig mit x bezeichnet wird, dann ist in den ähnlichen Dreiecken D G F und AG C Textabbildung Bd. 317, S. 653 Fig. 5. \frac{h_2}{h_1}=\frac{x}{2\,\left(\frac{a}{2}+b\right)} (II) Aus (I) und (II) folgt \frac{x}{2\,\left(\frac{a}{2}+b\right)}=\frac{\frac{b}{2}+a}{\frac{a}{2}+b} also x=2\,\left(\frac{b}{2}+a\right) womit die Richtigkeit der mitgeteilten Schwerpunktsermittelung bewiesen ist. Sollte GF mit der Mittellinie noch zu stark konvergieren, dann mache man nach Bedarf AG und D\,F=3\,\left(\frac{a}{2}+b\right) bezw. 3\,\left(\frac{b}{2}+a\right) etc. Die Berechnung der Spannungen in den einzelnen Querschnittsebenen ergiebt nun die folgenden Werte: Querschnittsebene a 1 a 1 s_1=\frac{8510}{11196,6}\,\left(1-\frac{25}{45,75}\right)=0,33\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{8510}{11196,6}\,\left(1+\frac{25}{45,75}\right)=1,16\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 2 a 2 s_1=\frac{20250}{15390,6}\,\left(1-\frac{43,50}{48,62}\right)=0,14\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{20250}{15390,6}\,\left(1+\frac{43,50}{48,62}\right)=2,50\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 3 a 3 s_1=\frac{35590}{20056}\,\left(1-\frac{57,30}{51,01}\right)=0,22\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{35590}{20056}\,\left(1+\frac{57,30}{51,01}\right)=3,77\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 4 a 4 s_1=\frac{54920}{25192,1}\,\left(1-\frac{68,00}{54,47}\right)=0,73\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{54920}{25192,1}\,\left(1+\frac{68,00}{54,47}\right)=4,90\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 5 a 5 s_1=\frac{78610}{30800,2}\,\left(1-\frac{76,25}{58,28}\right)=0,79\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{78610}{30800,2}\,\left(1+\frac{76,25}{58,28}\right)=5,89\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 6 a 6 s_1=\frac{107030}{36879,1}\,\left(1-\frac{82,75}{60,43}\right)=1,07\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{107030}{36879,1}\,\left(1+\frac{82,75}{60,43}\right)=6,72\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 7 a 7 s_1=\frac{143770}{80425}\,\left(1-\frac{86,00}{68,00}\right)=0,42\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{143770}{80425}\,\left(1+\frac{68,00}{54,47}\right)=4\mbox{ kg Druck.} Um den Verlauf der Spannungen weiter abwärts im Sockelmauerwerk zu verfolgen, muss man das Seilpolygonverfahren anwenden, da man hier mit der beim Schaft angewendeten Methode der Schwerpunktsermittelung eines Trapezes, die ich kurzweg die Trapezmethode nennen will, nicht zum Ziele kommen kann. Man legt also die Querschnittsebenen a8 a8 bis a12 a12 und ermittelt die Eigengewichte der einzelnen Schornsteinteile und die auf sie wirkenden Winddrücke. Die Berechnung von W8 fällt nun weiten des Gesimses, mit dem der Sockel versehen ist, etwas umständlich aus. Am vorteilhafteten ist es, das Gesimsprofil im vergrösserten Massstabe heraus zu zeichnen, die Winddrücke auf die einzelnen Teile zu bestimmen und dann die Lage von W8 nach dem Seilpolygonverfahren zu ermitteln. Ist p der auf diesen schrägen Teil in horizontaler Richtung auftreffende Winddruck und a der Neigungswinkel der Gesimslinie, dann ist der zur Wirkung kommende Winddruck p'' = p sin2 a. Grösse und Lage der übrigen Winddrücke, W9 bis W12 sind einfach zu bestimmen. AB = p. AE = p' = p sin α. AD = p'' = p' sin α = p sin2 α. Die Anwendung des Seilpolygons gestaltet sich jetzt wie folgt: Textabbildung Bd. 317, S. 654 Fig. 6. Man zieht durch s7 eine Horizontale bis zum Schnittpunkt β7 mit Seilpolygonseite I, legt durch diesen Punkt Seilpolygonseite VIII (parallel Polstrahl VIII), bis zum Schnittpunkt mit der Richtung von W8, durch diesen Punkt Seilpolygonseite IX und erhält β8 und s8 etc. Mit den so erhaltenen Stützweiten kann nun die Spannungsberechnung für die Sockelquerschnitte fortgesetzt werden. Querschnittsebene a 8 a 8 s_1=\frac{161380}{80425}\,\left(1-\frac{83,00}{68,00}\right)=0,442\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{161380}{80425}\,\left(1+\frac{83,00}{68,00}\right)=4,452\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 9 a 9 s_1=\frac{174250}{80425}\,\left(1-\frac{81,75}{68,00}\right)=0,438\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{174250}{80425}\,\left(1+\frac{81,75}{68,00}\right)=4,471\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 10 a 10 s_1=\frac{187120}{80425}\,\left(1-\frac{80,50}{68,00}\right)=0,428\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{187120}{80425}\,\left(1+\frac{80,50}{68,00}\right)=5,069\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 11 a 11 s_1=\frac{199990}{80425}\,\left(1-\frac{79,25}{68,00}\right)=0,411\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{199990}{80425}\,\left(1+\frac{79,25}{68,00}\right)=5,385\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 12 a 12 s_1=\frac{212860}{80425}\,\left(1-\frac{78,00}{68,00}\right)=0,389\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{212860}{80425}\,\left(1+\frac{78,00}{68,00}\right)=5,682\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 13 a 13 s_1=\frac{225730}{80425}\,\left(1-\frac{76,75}{68,00}\right)=0,361\mbox{ kg Zug;} s_2=\frac{225730}{80425}\,\left(1+\frac{76,75}{68,00}\right)=5,975\mbox{ kg Druck.} Querschnittsebene a 14 a 14 In der nächsten Querschnittsebene a14 a14 hat p den Wert 72,25 und r wird noch kleiner als in a13 a13 und also auch s1. Wenn man nun bedenkt, dass der Sockel selten ganz frei steht und der Wind in geringer Hohe über dem Erdboden nicht die Stärke besitzt als in bedeutender Höhe, dann ist jedenfalls die Annahme berechtigt, dass die Resultanten R8 bis R14 in Wirklichkeit steiler verlaufen als hier gezeichnet, folglich auch die Stützweiten r und die Spannungen s1 rascher abnehmen. Unter den hier gegebenen Verhältnissen wird daher in der untersten Fundamentsohle r < p ein Auftreten von Zugspannungen ausgeschlossen sein. Hat man es aber mit einem Schornstein zu thun, dessen Sockelwandungen schwächer sind, als hier angenommen und für den sich in den untersten Querschnittsebenen immer noch beträchtlich Zugspannungen ergeben, dann ist es unbedingt nötig, den Verlauf der Stützlinie bis in die unterste Fundamentsohle zu verfolgen, um zu ermitteln, ob r auch wirklich kleiner p ist: denn in der untersten Fundamentsohle dürfen Zugspannungen nicht auftreten, da sonst der Schornstein windseitig vom Erdboden abgehoben werden würde. p ist dann =\frac{a}{8,5} zu setzen, welcher Wert sich ergiebt, wenn die Windrichtung senkrecht zur Diagonale des quadratischen Fundamentes, dessen Seite a ist, steht. In Bezug auf die Zulässigkeit von Zugspannungen ist zu bemerken, dass dieselben für gutes Ziegelmauerwerk in Cementmörtel mit Kalkzusatz, sogenanntem verlängerten Cementmörtel 1,5 kg und für Klinkermauerwerk in reinem Cementmörtel 2,5 kg pro qcm nicht überschreiten dürfen. Wird aber mit einem Winddruck von 150, 175 oder 200 kg gerechnet, dann dürfte es sich empfehlen, noch unter diese hier als zulässig angenommenen Grenzen her abzugehen. Sollen die Schornsteinwände so stark sein, dass Zugspannungen überhaupt nicht auftreten, dann muss, wie sich aus der Definition der Kernweite ergiebt, r höchstens = p sein. Um nun die Wände dieser Bedingung entsprechend zu verstärken, ermittelt man zwei auf einander folgende Querschnittsebenen, welche die grösste Zugspannungsdifferenz aufweisen, in unserem Falle z.B. a4 a4 und a5 a5 . a6 a6 und a7 a7 können deswegen nicht in Betracht kommen, weil a7 a7 schon Sockelbegrenzungsebene ist. Nun denkt man sich auf den Schornstein eine überall gleiche Mauerwerkschicht δ aufgetragen und berechnet Gewicht, Winddruck, Schwerpunktsabstand w des über a5 a5 sich erhebenden Schornsteinteiles und die neue Kernweite in a5 a5. Die Mauerwerkschicht ist nun so lange zu verstärken, bis die Rechnung r = p ergiebt. Ist r nur etwas kleiner als p, dann ist es natürlich vorteilhafter (auf der Luvseite), eine kleine Druckspannung mit in den Kauf zu nehmen, als eine nochmalige Proberechnung durchzuführen und die genaue Gleichheit zwischen r und p zu erreichen zu suchen.