Untersuchung eines einerseits eingespannten und anderseits mit festen Auflagergelenke versehenen halbkreisförmigen elastischen Bogens. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Untersuchung eines einerseits eingespannten und anderseits mit festen Auflagergelenke versehenen Bogens. I. Der Bogen von überall konstantem Querschnitt, Trägheitsmoment und Elastizitätsmodul soll zunächst B zum festen und A zum wagerechten, also parallel zur Geraden $$\overline{mn}$$ beweglichen Auflager haben. Er möge von den Kräften P, X1 und X2 beansprucht sein und zwar wirken P und X2 lotrecht, d.h. senkrecht zu $$\overline{mn}$$ darauf. P wirkt im beliebigen Punkt N des Bogens und hat vom linken und fechten Auflager bezw. die Abstände b und a . X2 greift im beliebigen Punkt D des Bogens an und hat p zur Entfernung von B. Die Kraft X2 wirkt im Punkt A parallel zu $$\overline{mn}$$, wie man aus Fig. 1 entnehmen kann. Während P eine gegebene Belastung des Bogens bedeutet, sollen X1 und X2 statisch unbestimmte Kräfte sein und zwar tollen sie veranlassen, dass die beiden Punkte A und D unbeweglich sind, hierdurch ist der Bogen am linken Ende eingespannt und am rechten Ende mit einem festliegenden Auflager versehen. Es sollen ferner die Auflagerplatten, worauf A, B und D lagern, unbeweglich sein, es wird sich dann zeigen, dass es weniger auf die Kraft X2, als vielmehr auf das Moment X2 . p, welches wir später gleich Z setzen werden, ankommt. Unsere Aufgabe ist es also, X1 und Z so zu bestimmen, dass obige Bedingungen erfüllt werden. Zur Untersuchung behalten wir aber bei, dass B ein festliegendes und A ein horizontal bewegliches Auflager ist. Wir bezeichnen die Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte kurz mit elastischer Linie, dieselbe soll halbkreisförmig sein und die beiden Punkte A und B enthalten. Es sind nun C1 und C2 zwei beliebige Punkte der elastischen Linie, welche jedoch zu verschiedenen Seiten von N liegen. Sind nur die Fasern bei C1 elastisch, so dreht sich der Querschnitt um seinen Schwerpunkt C1, wenn auch nur momentan, und dasselbe gilt auch für C2 wie für jeden anderen Punkt der elastischen Linie. Ausser dieser Beanspruchung der Fasern findet auch eine solche infolge der Längs- und Querkräfte statt; da sie jedoch von geringem Einfluss ist, so soll darauf keine Rücksicht genommen werden. Man stelle sich vor, dass der Bogen längs des Querschnittes bei C1 durchschnitten ist und verbinde statt Jessen die beiden Bogenteile mittels eines elastischen Stabes in u1 und v1 gelenkartig miteinander. Hierdurch bleibt die Konstruktion statisch bestimmt, wie sie vorher War. Wirkt nun in A statt X1 die Kraft Eins, so bringt sie eine Spannung in $$\overline{u_1{v}_1}$$ hervor, welche wir mit $$\text{frakfamily}{S}^{\prime }$$ bezeichnen wollen; um diese Spannung zu bestimmen, nenne man r1 den Abstand des Punktes C1 von $$\overline{u_1{v}_1}$$, fälle von C1 auf die zu ziehende Gerade $$\overline{AB}$$ die Senkrechte und bezeichne sie mit y1, so ist: $$\text{frakfamily}{S}^{\prime }=\frac{y_1}{r_1}\cdot 1.$$ Wirkt ferner in D statt X2 die Kraft Eins, so bringt sie ebenfalls in $$\overline{u_1{v}_1}$$ eine Spannung hervor, welche wir mit $$\text{frakfamily}{S}^{″}$$ bezeichnen wollen. Nennt man x1 den Abstand des Punktes C1 vom rechten Auflager, r den Radius der elastischen Linie und setzt 2r = a + b = l, so berechnet sich: $$S^{″}=\frac{p\cdot x_1}{l\cdot r_1}\cdot 1,$$ wie sich leicht ableiten lässt.

Fig. 1.

Bewegt sich infolge irgend welcher Ursachen A um die Strecke dσ1 und verändert damit zugleich $$\overline{u_1{v}_1}$$ seine Länge um ds1, so ist $$d{\sigma }_1=\text{frakfamily}{S}^{\prime }.d{s}_1$$, also mit Rücksicht auf den Wert von $$\text{frakfamily}{S}^{\prime }$$ entsteht $$d{\sigma }_1=\frac{y_1}{r_1}\cdot d{s}_1.$$ Ist der sehr kleine Winkel, mit dem sich die beiden Bogenteile um C1 drehen, dγ1, so hat man zunächst ds1 = r1 . dγ1 und dann: dσ1= y1 . dγ1. Bewegt sich ferner infolge derselben Ursache D um die Strecke dσ2 und verändert damit zugleich $$\overline{u_1{v}_1}$$ seine Länge um ds2 so ist: $$d{\sigma }_2=\text{frakfamily}{S}^{″}.d{s}_2$$, wobei selbstverständlich ds1 = ds2 ist. Also haben wir mit Rücksicht auf den Wert von $$\text{frakfamily}{S}^{″}$$ $$d{\sigma }_2=\frac{p\cdot x_1}{l\cdot r_1}\cdot d{s}_1.$$ Da nun ds1 = r1 . dγ1 ist, so ist endlich: $$d{\sigma }_2=\frac{p\cdot x_1}{l}\cdot d{\gamma }_1.$$ Wird von der betreffenden Ursache das Moment M erzeugt und nennt man E den Elastizitätsmodul und J das Trägheitsmoment des Bogens und ds das Bogenelement der elastischen Linie, so hat man: $$M=\frac{E\cdot J\cdot d{\gamma }_1}{ds},$$ welche Formel nur angenähert richtig ist, aber sie ist desto genauer, je dünner der Bogen gegen den Halbmesser der elastischen Linie ist. Wir erhalten nunmehr: E . J . dσ1 = M . y1 . ds und $$E\cdot J\cdot d{\sigma }_2=M\cdot \frac{p\cdot x_1}{l}\cdot ds.$$ Indem wir das von der Kraft P erzeugte Moment mit M0 benennen, ergeben sich die von X1 und X2 hervorgebrachten Momente $$X_1.\text{frakfamily}{S}^{\prime }.r_1$$ bezw. $$X_2.\text{frakfamily}{S}^{″}.r_1$$ oder auch X1 . y1 und $$X_2\cdot \frac{p\cdot x_1}{2r}.$$ Das von allen drei Kräften erzeugte Moment ist daher: $$M=M_0-X_1\cdot y_1-X_2\cdot p\cdot \frac{x_1}{2r}.$$ Also erhalten wir jetzt, wenn man X2 p = Z setzt: $$E\cdot J\cdot d{\sigma }_1=y_1\cdot ds\cdot (M_0-X_1\cdot y_1-Z\cdot \frac{x_1}{2r})$$ und $$E\cdot J\cdot d{\sigma }_2=\frac{p\cdot x_1}{2r}\cdot ds\cdot (M_0-X_1\cdot y_1-Z\cdot \frac{x_1}{2r})$$. Diese Gleichungen kann man für alle Punkte der elastischen Linie bilden und sämtliche so entstandenen dσ1 und dσ2 addieren. Nennen wir σ1 und σ2 die Summen, so haben wir: $$E\cdot J\cdot {\sigma }_1=\int M_0\cdot y_1\cdot ds-X_1\int {y_1}^2\cdot ds-Z\cdot \frac{\int x_1\cdot y_1\cdot ds}{2r}$$ und $$E\cdot J\cdot {\sigma }_2=\frac{p}{2r}\{\int M_0\cdot x_1\cdot ds-X_1\int x_1\cdot y_1\cdot ds-Z\cdot \frac{\int {x_1}^2\cdot ds}{2r}\}.$$ Wir hatten aber bestimmt, dass das Auflager A und der Punkt D unverschieblich sein sollen, infolgedessen ist σ1 = 0 und σ2 = 0, so dass man aus den beiden letzten Gleichungen erhält: $$X_1\cdot \int {y_1}^2\cdot ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int x_1{y}_1\cdot ds=\int M_0\cdot y_1\cdot ds$$ und $$X_1\int x_1\cdot y_{1}ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int {x_1}^2\cdot ds=\int M_0\cdot x_{1}ds$$. 1)Wie wir vorher erwähnt hatten, ist p aus den Gleichungen verschwunden. Hier machen wir darauf besonders aufmerksam, dass für alle Punkte der elastischen Linie unter x der Abstand derselben vom rechten Auflager zu verstehen ist. Befindet sich der Punkt der elastischen Linie, wie z.B. C1 rechts von P, so ist: $$M_0=P\cdot \frac{b}{l}\cdot {\xi }_1,$$ wobei ξ1 den Abstand des Punktes vom rechten Auflager, also mit x1 identisch ist. Befindet sich dagegen der Punkt der elastischen Linie, wie z.B. C2 links von P, so ist, wenn man mit η2 den Abstand dieses Punktes vom linken Auflager bezeichnet: $$M_0=P\cdot \frac{a}{l}\cdot {\eta }_2.$$ Daher ist zu setzen: $$\int M_0\cdot y\cdot ds=P\cdot \frac{1}{l}\cdot \{a\cdot {\int }_B^{N}y\cdot \eta \cdot ds+b\cdot {\int }_A^{N}y\cdot \xi \cdot ds\}$$ und $$\int M_0\cdot x\cdot ds=P\cdot \frac{1}{l}\cdot \{a\cdot {\int }_B^{N}x\cdot \eta \cdot ds+b\cdot {\int }_A^{N}x\cdot \xi \cdot ds\}.$$ Man nenne dx die Projektion des Bogenelements ds der elastischen Linie auf AB, so ist y . ds = r . dx. Versteht man unter n1 eine beliebige Zahl, so kann man nunmehr: $$\int {\text{M}}_0\cdot y\cdot ds=\frac{1}{n_1}\cdot P\cdot \frac{1}{l}\cdot \{a\cdot {\int }_B^N\eta \cdot (n_{1}r\cdot dx)+b\cdot {\int }_A^N\xi \cdot (n_{1}r\cdot dx)\}$$ setzen. Man zeichne in Fig. 1 im Abstande n1 . r zu $$\overline{AB}$$ die Parallele a0 b0 und betrachte die Fläche AB b0 a0 als Belastung eines einfachen Balkens $$\overline{AB}$$, wozu man mit dem beliebigen Polabstand H1 in Fig. 1 die Momentenfläche zeichne. Die Momentenfläche ist bekanntlich eine Parabel und ist z1 die Ordinate für P darin (es ist dies die Strecke der Kraftlinie von P zwischen der Schlusslinie $$\overline{a_1{b}_1}$$ und der Parabellinie), so ist nach der graphischen Statik: $$\frac{1}{l}\cdot \{a\cdot {\int }_B^N\eta \cdot (n_{1}r\cdot dx)+b\cdot {\int }_A^B\xi \cdot (n_{1}r\cdot dx)\}=H_1\cdot z_1,$$ so dass: $$\int M_0\cdot y\cdot ds=\frac{1}{n_1}\cdot P\cdot H_1\cdot z_1,$$ also: $$X_1\cdot \int {y_1}^2\cdot ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int x_1\cdot y_1\cdot ds=\frac{1}{n_1}\cdot P\cdot H_1\cdot z_1$$ ist. Würde sich eine Last P' auf irgend einer anderen Stelle des Bogens befinden und wäre die Ordinate in der Parabelfläche hierzu z1', so ergäbe sich entsprechend: $$X_1\cdot \int {y_1}^2\cdot ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int y_1\cdot x_1\cdot ds=\frac{1}{n_1}\cdot P^{\prime }\cdot H_1\cdot z_1^{\prime }$$ u.s.w. Hieraus folgt, dass die Parabelfläche die Bedeutung einer Einflussfläche hat. –––––––––– Weiter entsteht: $$\int M_0\cdot x\cdot ds=\frac{1}{n_2}\cdot P\cdot \frac{1}{l}$$ $$\cdot \{a\cdot {\int }_B^N(\frac{x}{y}\cdot n_{2}r\cdot dx)\eta +b\cdot {\int }_A^N(\frac{x}{y}\cdot n_{2}r\cdot dx)\xi \}.$$ Hierin bedeutet wiederum n2 eine beliebige Zahl. Ist c ein beliebiger Punkt der elastischen Linie, welcher vom rechten Auflager den Abstand x und von AB den Abstand y hat, so ziehe man $$\overline{cA}$$. Hierauf lege man zu $$\overline{AB}$$ im Abstand n2 . r die Parallele $$\overline{a^{\prime }{b}^{\prime }}$$, welche $$y=\overline{cd}$$ in f trifft und lege zu $$\overline{cA}$$ durch f die Parallele, die mit $$\overline{BA}$$ den Punkt e gemeinschaftlich hat. Dann mache man auf $$\overline{cd}$$ die Strecke $$\overline{dJ}=de$$, so ist: $$\overline{dJ}=\frac{x}{y}\cdot n_2\cdot r.$$ So verfahre man mit vielen Punkten c der elastischen Linie; verbindet man die so entstandenen Punkte J miteinander, so erhält man eine krumme Linie in Fig. 1. Wir setzen jedesmal die Ordinate $$\overline{dJ}$$ dieser krummen Linie gleich ξ, so wird: $$\int M_0\cdot x\cdot ds=\frac{1}{n_2}\cdot P\cdot \frac{1}{l}$$ $$\cdot \{a\cdot {\int }_B^N(\zeta \cdot dx)\cdot \eta +b{\int }_A^N(\zeta \cdot dx)\cdot \zeta \}.$$ Man betrachte die Fläche, welche von A B um der krummen Linie begrenzt wird, als Belastung eines einfachen Balkens $$\overline{AB}$$, wozu man mit dem beliebigen Polabstande H2 in Fig. 1 die Momentenfläche zeichne. Ist nun z2 die Ordinate für P darin, so ist: $$\frac{1}{l}\cdot \{a\cdot {\int }_B^N(\zeta \cdot dx)\cdot \eta +b\cdot {\int }_A^N(\zeta \cdot dx)\cdot \zeta \}=1,H_2\cdot z_2,$$ so dass $$\int M_0\cdot x\cdot ds=\frac{1}{n_2}\cdot P\cdot H_2\cdot z_2$$ ist. Also ergibt sich: $$X_1\cdot \int x_1\cdot y_1\cdot ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int {x_1}^2\cdot ds=\frac{1}{n_2}\cdot P\cdot H_2\cdot z_2.$$ Würde sich die beliebige Last P' an irgend einer anderen Stelle des Bogens befinden, und wäre die Ordinate in der Momentenfläche hierzu z2 ', so ergibt sich: $$X_1\cdot \int x_1\cdot y_{1}ds+\frac{Z}{2r}\cdot \int {x_1}^2\cdot ds=\frac{1}{n_2}\cdot P^{\prime }\cdot z_2^{\prime }\cdot H_1$$ u.s.w., so dass die Momentenfläche ebenfalls die Bedeutung einer Einflussfläche hat. Vorläufig sind die Zahlen n1 und n2 und die Polabstände H1 und H2, welch letztere als Flächen anzusehen sind, beliebig. Künftig werden wir sie dem Vorteile entsprechend noch bestimmen. II. Mit Rücksicht auf die Gleichung, dass r . dx = y . ds ist, entsteht: ∫y2 . ds = r . ∫y . dx. Letzteres Integral ist nichts anderes, als der Inhalt des Halbkreises, so dass man hat: $$\int y^2\cdot ds=\frac{1}{2}\cdot r^3\pi .$$ Dann ist: $$\int y\cdot x\cdot ds=r\cdot {\int }_0^{2r}x\cdot dx=r\cdot \frac{1}{2}\cdot (2r{)}^2=2r^3,$$ und endlich ist: $$\int x^2\cdot ds=\int {\text{limit}}_0^{\frac{\pi }{2}}(2r\cdot co{s}^2\phi {)}^2\cdot r\cdot d2\phi ,$$ wenn der Winkel cAB mit φ benannt wird. Es ist nämlich zunächst $$\overline{Ac}=2r\cdot cos\phi$$ und dann $$\overline{Ad}=x=2rcos\phi \cdot cos\phi =2rco{s}^2\phi$$, endlich ist noch ds = r . d2 φ. Wir haben deshalb: $$\int x^2\cdot ds=8r^3\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^4\phi \cdot d\phi$$ Da $$co{s}^2\phi =\frac{cos2\phi +1}{2}$$ ist, so hat man weiter: $$\int x^2\cdot ds=r^3\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(co{s}^2\phi +1{)}^2\cdot d2\phi =\frac{3}{2}\pi \cdot r^3.$$ Daher haben wir jetzt: $$\frac{1}{2}\cdot r^3\pi \cdot X_1+Z\cdot r^2=\frac{1}{n_1}\cdot P\cdot H_1\cdot z_1$$ und $$2\cdot r^3\cdot X_1+\frac{3}{4}\pi \cdot Z\cdot r^2=\frac{1}{n^2}\cdot P\cdot H_2\cdot z_2.$$ Wir wählen ein für alle Mal H1 = H2 = r2, so entsteht hieraus: $$\frac{\pi }{2}\cdot r\cdot X_1+Z=\frac{1}{n_1}\cdot P\cdot z_1$$ und $$2\cdot r\cdot X_1+\frac{3}{4}\pi Z=\frac{1}{n_2}\cdot P\cdot z_2$$ und hieraus folgt schliesslich: $$X_1=\frac{\frac{3}{4}\pi \cdot \frac{z_1}{n_1}-\frac{z_2}{n_2}}{\frac{3}{8}{\pi }^2-2}\cdot P\cdot r$$ . . . . I) und $$Z=\frac{\frac{\pi }{2}\cdot \frac{z_2}{n_2}-2\frac{z_1}{n_1}}{\frac{3}{8}{\pi }^2-2}\cdot P$$ . . . . II) Bevor wir fortfahren, sind noch einige wichtige Angelegenheiten zu erledigen. Wir stellen zunächst die Gleichung der krummen Linie auf und nehmen dazu A zum Anfangspunkt eines rechtwinkeligen Koordinatenkreuzes mit $$\overline{AB}$$ als X-Achse und nennen die andere Achse die Z-Achse. Nach der Konstruktiondist: ζ : n2 r = x : y, also $$\zeta =n_2\cdot r\cdot \frac{x}{y}$$. Da $$\frac{x}{y}=ctg\phi$$ ist, so entsteht: ζ = n2 . r . ctg φ. Wie schon erwähnt, ist x = 2r . cos2 φ, also ist die Gleichung der verlangten Kurve: $$\zeta =n_2\cdot r\sqrt{\frac{x}{2r-x}}.$$ Dieselbe geht durch A und berührt die Tangente in B an der elastischen Linie in der Unendlichkeit, hat dieselbe also zur Asymptote. – Wir berechnen jetzt den Inhalt der Fläche, welche von der krummen Linie und von $$\overline{AB}$$ begrenzt wird. Es entsteht, wenn wir F den Inhalt nennen: F = ∫ζ . dx, wobei ζ = n2 r ctg φ und dx = – 4r sin φ . cos φ . dφ ist. Man hat demgemäss: $$F=+4n_2\cdot r^2\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^2\phi \cdot d\phi$$ oder F= n2 . r2 π. Für n2 = 1 würde der Inhalt genau der Kreisfläche sein; der Inhalt der Fläche ist also nicht unendlich gross, wie es ja auch vorauszusehen war. Diese Fläche ist bekanntlich als Belastung des einfachen Balkens A B anzusehen. Es ist nun von Wichtigkeit, die Auflagerdrücke davon in A und B zu wissen, welch letztere natürlich auch als Flächen aufzufassen sind. Hierzu bilden wir: ∫ζ . dx . x, wobei sich dieses Integral innerhalb der Punkte A und B erstreckt. Dasselbe ist: $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{n}_2\cdot r\cdot ctg\phi -4rsin\phi \cdot cos\phi \cdot 2\cdot d\phi \cdot r\cdot co{s}^2\phi$$ $$=8r^3\cdot n_2\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^2\phi \cdot d\phi =\frac{3}{2}{n}_2\cdot r^3\pi .$$ Der Auflagerdruck bei B ist nun: $$\frac{\int \zeta \cdot dx\cdot x}{2r}=\frac{3}{4}{n}_2{r}^2\pi ,$$ also ist der Auflagerdruck bei A = $$n_2{r}_2\cdot \pi -\frac{3}{4}{n}_2{r}^2\cdot \pi =\frac{1}{4}{n}^2\cdot r^2\cdot \pi .$$ Nennen wir A0 bezw. B0 diese Auflagerdrücke, so hat man: $$A_0=\frac{1}{4}{n}_2\cdot r^2\cdot \pi$$ und $$B_0=\frac{3}{4}{n}_2\cdot r^2\pi .$$. Um die Momentenfläche zu der Belastungsfläche darzustellen, muss letztere in Streifen zerlegt werden. Man verwandle alle diese Streifen in Rechtecke von derselben Grundlinie r, so ist als Polabstand die Strecke r zu nehmen. Ferner ist das Krafteck gleich n2 . r . π, welches in Fig. 1 die Strecke $$\overline{a^{″}{b}^{″}}$$ ist. Man mache $$\overline{b^{″}{c}^{″}}=\frac{3}{4}{n}_2\cdot r\cdot \pi ,$$ errichte in c'' auf $$\overline{a^{″}{b}^{″}}$$ das Lot, welches gleich r zu machen ist, so erhält man den Pol O2 zur Zeichnung der Momentenfläche. Dieselbe hat die Horizontale a2 b2 zur Schlusslinie und die durch a2 und b2 gehenden Seileckseiten sind zu $$\overline{a^{″}{O}_2}$$ bezw. $$\overline{O_2{b}^{″}}$$ parallel. Diese Vorzeichnung auszuführen, ist weniger wegen der horizontalen Schlusslinie wichtig, als vielmehr deswegen, weil der Streifen rechts von B eine sehr grosse Höhe hat, welche desto grösser ist, je schmaler der Streifen ist. Man erlangt also hierdurch eine sehr genaue Zeichnung der Momentenfläche. Man kann auch leicht die Gleichung der Seilecklinie finden, doch wird die Konstruktion danach zu umständlich sein, so dass die gegebene Konstruktion unbedingt vorzuziehen ist. Wichtig wird die Gleichung der Seilecklinie dann sein, wenn es sich um Berechnung der Ordinate z2 handelt. Hier wollen wir jedoch darauf nicht eingehen. Auch für die Parabel kann man eine horizontale Schlusslinie $$\overline{a_1{b}_1}$$ schaffen, wenn man $$\overline{a_1{b}_3}=2r\cdot n_1$$ = 2r. n1 macht und im Mittelpunkt dieser Strecke c3 das Lot errichtet, welches gleich r zu machen ist. Hierdurch erhält man den Pol O1 für die Parabel. Die Gleichung der Parabel aufzustellen würde dann erforderlich sein, wenn es sich um Berechnung von z1 handelt. Die Konstruktion ist am einfachsten mittels des Seilecks, so dass sie stets vorzuziehen sein wird. Nachdem wir das Notwendige gegeben haben, um die Momentenfläche darzustellen, gehen wir wieder darauf zurück, n1 und n2 zu bestimmen. Man wähle für n2 stets einen echten Bruch, z.B. $$\frac{\pi }{8}=0,3927$$ und zwar deshalb, damit die Kurve so weit wie möglich auf die Zeichenfläche geht und für die Gleichung I nehme man: $$n_1=\frac{3}{4}\pi \cdot n_2=\frac{3}{4}\pi \cdot \frac{\pi }{8}\sim \frac{15}{16},$$ dagegen für Gleichung II wähle man: $$n_1=\frac{4}{\pi }\cdot n_2=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}$$. Es wird dann: $$X_1=\frac{\frac{3}{4}\pi \cdot \frac{z_1}{\frac{3}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{8}}-\frac{z_2}{\frac{\pi }{8}}}{1,75}\cdot P\cdot r.$$ weil ja: $$\frac{3\cdot {\pi }^2}{8}-2\sim \frac{30}{8}-2=3,75-2=1,75$$ ist. Es entsteht hierdurch: $$X_1=\frac{8}{\pi }\cdot \frac{z_1-z_2}{1,75}\cdot P\cdot r$$ und $$Z=\frac{\frac{\pi }{2}\cdot \frac{z_2}{\frac{\pi }{8}}-2\cdot \frac{z_1}{\frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi }{8}}}{1,75}\cdot P$$ oder $$Z=\frac{4}{1,75}(z_2-z_1)\cdot P.$$ Also haben wir endlich: X1 = 1,46 . Pr .  (z1 – z2), wofür mit $$n_2=\frac{\pi }{8}$$ und $$n_1=\frac{15}{16}$$ die Seillinie der Kurve und die Parabel vorher gezeichnet worden sind, und: Z = 2,29 . P . (z2 – z1), wofür dieselbe Seillinie, jedoch die Parabel mit $$n_1=\frac{1}{2}$$ vorher gezeichnet worden sind. Die Seillinie wird doppelt darzustellen sein und zwar mit der ersten und dann mit der anderen Parabel. Seillinie und Parabel müssen in beiden Fällen dieselbe Schlusslinie haben und auf ein und derselben Seite von ihr liegen. Ist dies geschehen, so hat man beidemal in der Differenz der Momentenflächen die Einflussflächen für X1 und Z ermittelt. –––––––––– Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt des Bogens ist, wie wir bereits erwähnt hatten: $$M=M_0-X_1\cdot y_1-X_{2}p\cdot \frac{x_1}{2r}=M_0-X_1{y}_1-Z\cdot \frac{x_1}{2r}$$ worin, je nachdem der Querschnitt links oder rechts von der Last liegt, der betreffende Wert für M0, welchen wir auch vorhin angegeben haben, einzusetzen ist. Auf Grund dieser Gleichung kann man auch für das Biegungsmoment des betreffenden Querschnitts die Einflussfläche zeichnen. Es ist hierbei ähnlich zu verfahren, wie in der Arbeit des Verfassers auf S. 104 bis 106 d. Bd. Es wird aber vorteilhafter sein, nur die Einflusslinien für X1 und Z zu benutzen. – Man bestimmt dazu für irgend eine Stellung der beweglichen Belastung mit Einschluss der bleibenden Last X1 und Z und zeichnet hierfür, indem man auch die Auflagerdrücke berücksichtigt, das durch den Punkt A hindurchgehende Gelenkpolygon. Hat man von vornherein den Querschnitt des Bogens gewählt, so kann man auf bekannte Weise prüfen, ob die zulässige Beanspruchung des Materials nicht überschritten ist. Ist es der Fall, so ist der Querschnitt des Bogens zu verstärken. Selbstverständlich wird das Verfahren für verschiedene Laststellungen zu wiederholen sein, bis man endlich mit dem Querschnitt zufrieden ist. Soll auf die Längskräfte und auf die Temperaturveränderung Rücksicht genommen werden, so muss man ähnlich verfahren, wie in der Arbeit des Verfassers in dieser Zeitschrift (1901 316 S. 597 bis 599). Ohne Rücksicht auf die Temperatur und Längskräfte wird man verfahren, wenn als Bedingung gestellt wird, Zugspannungen des Materials auszuschliessen. Hier wird der Querschnitt des Bogens gesucht, indem man wiederum für verschiedene Laststellungen mit Rücksicht auf die bleibende Last Seilpolygone zeichnet. Hat man den Querschnitt gefunden, so wird jetzt Rücksicht auf die Temperaturveränderung und die Längskräfte genommen und der Querschnitt eventuell verstärkt. Ist der Bogen somit gefunden, so geht man endlich dazu über, X1 und Z für die ungünstigste Laststellung zu ermitteln. Selbstverständlich werden die Maximalwerte für X1 und Z nicht bei ein und derselben Laststellung eintreten.