Ein neues Verfahren zur Bestimmung der Schwungradgewichte von Dampfmaschinen. Von A. Baumann, Lehrer an der Ingenieurschule Zwickau. (Schluss von S. 293 d. Bd.) Ein neues Verfahren zur Bestimmung der Schwungradgewichte von Dampfmaschinen. Bestimmung des Fehlers. Wie schon erwähnt, liegt der ganzen Entwickelung die Annahme zu Grunde, dass die Kolbendruckordinaten zweier Diagramme von verschiedenem Anfangsdruck für gleiche Füllungen und Kolbenstellungen proportionale Werte sind, die sich verhalten wie die Admissionskolbendrücke. Diese Annahme ist streng genommen nicht richtig, es soll deshalb der durch sie entstehende Fehler berechnet werden. Zunächst soll die Grösse des Fehlers im Dampfdiagramm selbst ermittelt werden. Es bedeute: s Hub bezw. Diagrammlänge, s1 die der Füllung entsprechende Diagrammlänge, s0 schädlicher Raum, $$\epsilon =\frac{s+s_0}{s_1+s_0}$$ Expansionsgrad, sa der dem Kurbelwinkel α entsprechende Kolbenweg, dsa Differential des Kolbenwegs, P Admissionskolbendruck (d.h. Dampfdruck abzüglich des Gegendrucks), für den die Diagramme verzeichnet sind, Pa der dem Kurbelwinkel α und der Kolbenstellung sa entsprechende Kolbendruck, P0 Gegendruck hinter dem Kolben, p, pa, p0 die analogen Werte des thatsächlichen Kolbendrucks (in dem thatsächlichen aber nicht gezeichneten Diagramm), $$k=\frac{P}{p}$$ Verhältnis beider Drücke.

Fig. 25.

Auf der Strecke s1 (Fig. 25, in ihr sind der besseren Anschaulichkeit halber p und P verschieden gross eingezeichnet, d.h. im gleichen Massstab) herrschen die Kolbendrücke p bezw. P, beide sind also thatsächlich proportional und für die Strecke s1 liefert die Annahme demnach keinen Fehler. Für die Expansionsperiode ist: (p + p0) (s1 + s0) = (pa + p0) (sa + s0) und (P + P0) (s1 + s0) = (Pa + P0) (sa + s0) oder $$p_a=\frac{(p+p_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-p_0$$ und $$P_a=\frac{(P+P_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-P_0,$$ infolge der obigen Annahme ist gesetzt: $$\frac{P_a}{p_a}=k,$$ d. h. pa · k = Pa oder $$P_a^{\prime }=k(\frac{(p+p_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-p_0),$$ während thatsächlich ist: $$P_a=\frac{(kp+P_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-P_0.$$ Hieraus ergibt sich der Fehler als Differenz: $$x=P_a-P_a^{\prime }$$ $$=\frac{(kp+P_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-P_0-k\frac{(p+p_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}+k{p}_0$$ $$=\frac{(s_1+s_0)}{s_a+s_0}(kp+P_0-kp-k{p}_0)-(P_0-k{p}_0)$$ $$=(P_0-k{p}_0)(\frac{s_1+s_0}{s_a+s_0}-1)=\frac{s_1-s_a}{s_a+s_0}(P_0-k{p}_0)$$ und speziell mit p0 = P0 $$x=\frac{s_1-s_a}{s_a+s_0}(1-k)p_0.$$ Der Unterschied in den Diagrammflächen ist damit: $$d{f}_x=xd{s}_a=\frac{s_1-s_a}{s_a+s_1}(P_0-k{p}_0)d{s}_a,$$ $$f_x=(P_0-k{p}_0){\int }_{s_a=s_1}^{s_a=s}\frac{s_1-s_0}{s_a+s_0}d{s}_a,$$ $$=(P_0-k{p}_0){[\int \frac{s_1}{s_a+s_0}d{s}_a-\int d{s}_a+\int \frac{s_0}{s_a+s_0}d{s}_a]}_{s_a=s_1}^{s_a=s}$$, $$=(P_0-k{p}_0)[(s_1+s_0)ln\frac{s+s_0}{s_1+s_0}-(s-s_1)];$$ mit $$\epsilon =\frac{s+s_0}{s_1+s_0};s_1+s_0=\frac{s+s_0}{\epsilon }$$ wird: $$f_x=(P_0-k{p}_0)[\frac{s+s_0}{\epsilon }ln\epsilon -(s+s_0)+\frac{s+s_0}{\epsilon }]$$ $$=(k{p}_0-P_0)[1-\frac{1}{\epsilon }(1+ln\epsilon )](s+s_0).$$ Der Ausdruck lehrt, dass der Fehler um so grösser ist, je mehr k von 1 verschieden ist, und je kleiner die Füllung, d.h. je grösser ε ist. Es werde deshalb für eine kleine Füllung und einen hohen Dampfdruck der Fehler berechnet, und zwar für p = 9,85 at s1 = 10 % s0 = 5 % P0 = p0 = 0,15 at $$k=\frac{7,85}{9,85}=0,805,$$ dann ist: $$f_x=0,15\cdot (0,805-1)[1-\frac{1}{7}(1+ln7)]1,05=-0,01776.$$ Entsprechend dem Massstab der Diagramme sind das 17,76 mm2. Der Inhalt des entsprechenden Diagramms wäre zu $$\frac{2685}{0,805}=3360$$ mm2 nach der Annahme errechnet worden und er würde thatsächlich sein 3342,24 mm2, der Fehler wäre also nicht ganz 0,6 %. Ferner erhält man mit p = 4,85 s1 = 40 % s0 = 5 % P0 = p0 = 0,15 $$k=\frac{7,85}{4,85}=1,515\epsilon =2,33$$ $$f_x=(1,515-1)0,15[1-\frac{1}{2,33}(1+ln2,33)]1,05=0,0167,$$ entsprechend 16,7 qmm. Der Inhalt der Diagrammfläche wäre nach der Annahme 3875 mm2, anstatt 3891,7 mm2, entsprechend einem Fehler von etwa 0,5 %. Dieser Fehler stellt aber noch nicht den für das Tangentialdruckdiagramm sich ergebenden Fehler dar. Um diesen zu erkennen, muss folgendes bedacht werden.

Fig. 26.

In dem Tangentialdruckdiagramm ABCD (Fig. 26) stellt die Spitze B den Abschluss der Füllung dar. Es sei dieses Diagramm für P verzeichnet. Der Fehler würde sich dann dadurch zu erkennen geben, dass das Diagramm mit dem der Verhältniszahl k entsprechend geänderten Massstab für den Anfangskolbendruck p den gestrichelten Verlauf nimmt. Zugleich würde die Ausgleichende MM in die Lage mm um t' hinaufrücken nach Massgabe des Flächenzuwachses, dargestellt durch die zwischen den Linienzügen BCD und BC'D liegende schraffierte Fläche. Diese Fläche ist die Fläche des Fehlers, die wir zuvor mit fx bezeichneten. Aus der Figur geht schon hervor, dass nur ein Bruchteil dieser Fläche auf Vergrösserung der Ueberschussfläche entfällt. – Nun sei EFd die Fläche fx im Tangentialdruckdiagramm, wenn der jeweilige Fehler von Kurbelstellung zu Kurbelstellung für sich als Ordinate im Tangentialdruckdiagramm aufgetragen ist. Dann ist die korrigierte Ordinate ta des Tangentialdruckdiagramms gleich Ta + ta'. Ganz allgemein ist also, wenn dF das Flächenelement des ursprünglichen Tangentialdruckdiagramms, Ta die zugehörige Ordinate, r den Radius des Kurbelkreises, α den Drehwinkel der Kurbel und dα dessen Differential bedeutet dF = Tar . dα, worin Ta =dF (α), mithin dF = rF (α) dα und $$F=r{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha .$$ Die Höhe der Ausgleichenden ist: $$T=\frac{F}{r\pi }=\frac{1}{r\pi }r{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha =\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha [=\frac{2P_i}{\pi }].$$ Diese Linie schneide die Tangentialdrucklinie in den Punkten mit den Abscissen rα1 und rα2 damit ist die Ueberschussfläche bestimmt durch den Ausdruck $$F_u=r{\int }_{a=a_1}^{a=a_2}F(\alpha )d\alpha -r({\alpha }_2-{\alpha }_1)\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha .$$ Für das korrigierte Tangentialdruckdiagramm ist nach dem zuvor gefunden, wenn f die Fläche dieses Tangentialdruckdiagramms, df ein Flächenelement, dessen zugehörige Ordinate ta ist, bedeutet: df = (Ta + ta') rdα. Nach dem Vorhergehenden ist: Ta = F (α), ebenso ist: ta' = f1 (α), also: df =[F (α) + f1 (α)] r . dα = rF (α) dα + rf1 (α) dα, und $$f=r{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha +r{\int }_{a=0}^{a=\pi }{f}_1(\alpha )d\alpha .$$ Ferner ist die Höhe der ausgleichenden Linie t: $$t=\frac{f}{r\pi }=\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha +\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }{f}_1(\alpha )d\alpha =\left[\frac{2p}{\pi }\right],$$ und die Ueberschussfläche, wenn die Ausgleichende die Tangentialdrucklinie in den Abscissenpunkten rα1' und rα2' schneidet: $$f_n=r{\int }_{a=a_1^{\prime }}^{a=a_2^{\prime }}F(\alpha )d\alpha +r{\int }_{a=a_1}^{a=a_2^{\prime }}{f}_1(\alpha )d\alpha -\frac{r}{\pi }({\alpha }_{-}^{\prime }{\alpha }_1^{\prime })$$ $$[{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha +{\int }_{a=0}^{a=\pi }{f}_1(\alpha )d\alpha ],$$ $$=[r{\int }_{a=a_1^{\prime }}^{a=a_2^{\prime }}F(\alpha )d\alpha -r({\alpha }_2^{\prime }-{\alpha }_1^{\prime })\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }F(\alpha )d\alpha ]$$ $$+[r{\int }_{a=a_1^{\prime }}^{a=a_2^{\prime }}{f}_1(\alpha )d\alpha -r({\alpha }_2^{\prime }-{\alpha }_1^{\prime })\frac{1}{\pi }{\int }_{a=0}^{a=\pi }{f}_1(\alpha )d\alpha ]$$ In Worten: Die korrigierte Ueberschussfläche ist gleich der Fläche des ursprünglichen Tangentialdruckdiagramms zwischen den Ordinaten α1' und α2' einerseits und der eigenen ausgleichenden Linie andererseits, vermehrt um den Teil der neu hinzukommenden Fläche, der zwischen denselben Ordinaten und der ausgleichenden Linie der hinzukommenden Fläche liegt. – Im vorliegenden Fall ist der Flächenzuwachs ein erwiesen kleiner (da er gleich der Fehlerfläche im Kolbendruckdiagramm ist). Die Ungenauigkeit ist deshalb nicht nennenswert, wenn man setzt α1' = α1 und α2' = α2, womit man erhält: $$f_u=F_u+rin{t}_{a=a_1}^{a=a_2}{f}_1(\alpha )d\alpha -({\alpha }_2-{\alpha }_1)\frac{fx}{\pi };$$ hierin sind zu bestimmen α1 und α2, sowie $$r{\int }_{a=a_1}^{a=a_2}{f}_1(\alpha )d\alpha .$$ Es ist noch zu bemerken, dass hierin α1 > αf sein muss, wenn αf die Kurbelstellung für Abschluss der Füllung kennzeichnet, andernfalls ist für α, αf zu setzen, weil sonst der negative Teil der Fehlerfläche fx unrichtigerweise mit in Rechnung gesetzt würde. Bestimmung der Winkel α1und α2. Die Grösse des Tangentialdruckes, wenn Pa' den jeweiligen Kolbendruck nach Abzug des Beschleunigungsdruckes darstellt, ist: $$T_a=\frac{P_a^{\prime }}{cos\beta }sin(\alpha +\beta );$$ α1 und α2 bezeichnen die Winkel, wo $$T_a+2\frac{P_i}{\pi }$$ d.h. gleich der Höhe der ausgleichenden Linie wird; also: $$2\frac{P_i}{\pi }=\frac{P_a^{\prime }}{cos\beta }sin(\alpha +\beta ).$$ Bezeichnet Ba den jeweiligen Beschleunigungsdruck für den Kurbelwinkel α, so ist Pa' = Pa – Ba. Für Ba gilt für Kolbenhingang $$B_a=v\frac{v^2}{r}(cos\alpha +0,2cos2\alpha ),$$ wobei $$B_{max}=c\frac{v^3}{r}1,2$$ ist; nun ist entsprechend den Diagrammaufzeichnungen: $$\frac{P}{B_{max}}=x,$$ also $$\frac{P}{c\frac{v^2}{r}1,2}=x,$$ oder $$\frac{P}{1,2x}=\frac{c{v}^2}{r},$$ und es wird $$B_a=\frac{P}{1,2x}(cos\alpha +0,2cos2\alpha ),$$ und $$\frac{2R}{\pi }=(P_a-\frac{P}{1,2x}(cos\alpha +0,2cos2\alpha ))\frac{sin(\text{lpha}+\beta )}{cos\beta };$$ nach bekannter Umformung von $$\frac{sin(\text{lpha}+\beta )}{cos\beta }$$ erhält man: $$\frac{2P_i}{\pi }=(P_a-\frac{P}{1,2x}(cos\alpha +0,2cos2\alpha ))$$ $$(sin\alpha +\frac{cos2\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha }).$$ Für die Füllungsperiode ist Pa = P, und damit: $$\frac{2P_i}{\pi }=P(1-\frac{1}{2,2x}(cos\alpha +0,2cos2\alpha ))$$ $$(sin\alpha +\frac{cos2\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha }).$$ oder: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Für die Expansionsperiode ist, ehe der Kompressionsgegendruck beginnt: $$P_a=\frac{(P+P_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-P_0,$$ worin für den Kolbenhingang $$s_a=\frac{s}{2}(1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha )$$ ist, womit: $$P_a=\frac{(P+P_0)(s_1+s_0)}{\frac{s}{2}(1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha )+s_0}-P_0$$ ist, und damit: $$\frac{2P_i}{\pi }=[\frac{2(P+P_0)(s_1+s_0)}{s(1-cps\alpha +0,1si{n}^2\alpha )+2s_0}-P_0-\frac{P}{1,2x}(cos\alpha +0,2cos2\alpha )]$$ $$(sin\alpha +\frac{cos2\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha })$$ oder: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Für die Expansionsperiode unter Einfluss des Kompressionsgegendruckes ist, wenn s2 den Kolbenweg zu Beginn der Kompression darstellt, und s3 = s – s2 ist, $$P_a=\frac{(P+P_0)(s_1+s_0)}{s_a+s_0}-P_0\frac{s-s_2+s_0}{s-s_a+s_0};$$ $$=\frac{(P+P_0)(s_1+s_0)}{\frac{s}{2}(1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha )+s_0}$$ $$-P_0\frac{s_3+s_0}{s-\frac{1}{2}(1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha )+s_0};$$ $$=\frac{2(P+P_0)(s_1+s_0)}{s(1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha )+2s_0}$$ $$-\frac{2P_0(s_3+s_0)}{s(1+cos\alpha -0,1si{n}^2\alpha )+2s_0};$$ damit wird: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Aus den Gleichungen 1), 2), 3) ist α1 und α2 zu bestimmen. Bestimmung des Ausdrucks $$r{\int }_{a=a_1}^{a=a_2}{f}_1(\alpha )d_{\alpha }.$$ Die Ordinate x des Fehlers fx war im Dampfdiagramm $$x=\frac{s_1-s_a}{s_a+s_0}(P-k{p}_0),$$ damit ist die Ordinate der Fehlerfläche im Tangentialdruckdiagramm $$t_a^{\prime }=x(sin\alpha +\frac{cos\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha })$$ $$=\frac{s_1-s_a}{s_a+s_0}(sin\alpha +\frac{cos\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha })(P_0-k{p}_0)$$ $$t_a^{\prime }=(P_0-k{p}_0)\frac{2\frac{s_1}{s}-1+cos\alpha -0,1si{n}^2\alpha }{1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha +2\frac{s_0}{s}}$$ $$(sin\alpha +\frac{cos2\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha }).$$ Damit $$r\int f_1(\alpha )d\alpha =r(P_0-k{p}_0)$$ $$\int \frac{2\frac{s_1}{s}-1+cos\alpha -0,1si{n}^2\alpha }{1-cos\alpha +0,1si{n}^2\alpha +2\frac{s_0}{2}}(sin\alpha +\frac{cos2\alpha }{10-0,2si{n}^2\alpha })d\alpha .$$ Der Wert dieses Integrals ist: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$+Bln(cos\alpha +5-2\sqrt{9+5\frac{s_0}{s}})+Cln(co{s}^2\alpha +49)$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Darin ist: A = 10 $$\frac{\left(\frac{s_0}{s+3}\right)[(2\sqrt{9+5\frac{s_0}{s}}-5)-2(\frac{s_0}{s}+3)]}{\sqrt{9-5\frac{s_0}{s}}[49+4{(\frac{s_0}{s}+3)}^2]}\frac{s_1+s_0}{s}$$ B = 10 $$\frac{\left(\frac{s_0}{s+3}\right)[(2\sqrt{9+5\frac{s_0}{s}}+5)+2(\frac{s_0}{s}+3)]}{\sqrt{9-5\frac{s_0}{s}}[49+4{(\frac{s_0}{s}+3)}^2]}\frac{s_1+s_0}{s}$$ $$C=5\frac{49-4(\frac{s_0}{s}+3)(\frac{s_1}{s}-3)}{49+4{(\frac{s_0}{s}+3)}^2}$$ $$D=140\frac{\frac{s_1+s_0}{s}}{49+4{(\frac{s_0}{s}+3)}^2}.$$ Wird hiernach für dieselben Verhältnisse der Fehler eines Tangentialdruckdiagramms berechnet, wie zuvor die Fläche fx d.h. s1 = 10 %, s0 = 5 %, so erhält man $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$(cos\alpha -1,08)+4,89ln(co{s}^2\alpha +49)+0,2445arctg\frac{cos\alpha }{7}).$$ Zwischen den Grenzen α = αf und α = π muss dieser Ausdruck die Fläche fx geben. Man erhält $$cos{\alpha }_f=-5\pm \sqrt{36-20\frac{s_1}{s}},$$ für 10 % Füllung αf = 33° 15' und $$f=50(1-0,805)0,15(-1,831+0,0875ln\frac{11,92}{10,08})$$ $$+0,2995ln\frac{2,08}{0,25}+4,89ln\frac{50}{49,7}+0,2445$$ $$(arctg-\frac{1}{7}-arctg0,12)=-1,778\text{ mm.at}$$ entsprechend – 17,78 mm2 gegen – 17,76 nach früherer Rechnung. Der Winkel für Beginn der Kompression ist $$cos\alpha =-5\pm \sqrt{36-20\frac{s_3}{s}};$$ für die konstante Kompression von 30 % erhält man damit αc = ∾ 107° 50'. Ferner erhält man für 10 % Füllung und κ d.h. das Verhältnis des Anfangsbeschleunigungsdrucks zum Anfangskolbendruck gleich 8

    α1 = 10° 20'     cos α = 0,98 α2 = 99° 10' cos α2 = – 0,159,

hingegen für

κ = 2   α1 = 20° 30'     cos a1 = 0,94 α2 = 149° cos a2 = – 0,86.

Da α1 < αf ist, so ist der Wert des Integrals zu nehmen zwischen den Grenzen αf und α2. Für κ = 8 erhält man damit $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Ferner ist $$({\alpha }_2-{\alpha }_1)\frac{f_x}{\pi }=\frac{-17,78}{\pi }(1,73-0,175)=-8,79{\text{ mm}}^2.$$ Mithin der Fehler in der Ueberschussfläche fx' = + 0,73 mm2, d.h. er ist so gut wie nicht vorhanden. Für κ = 2 erhielte man hingegen: $$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$ $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ Ferner ist $$({\alpha }_2-{\alpha }_1)\frac{f_x}{\pi }=\frac{-17,78}{\pi }(2,6005-0,175)=13,7{\text{ mm}}^2$$ und daraus fx' = 3,7 mm2. Fu ist nach der Annahme gefunden 659 mm2, während es hiernach sein müsste 662,7 mm2. Der Fehler beträgt demnach nicht ganz 0,6 %. Wie die Ueberlegung im voraus vermuten liess, wächst der Fehler mit abnehmendem κ. Ohne weiteres ist einzusehen, dass für die Tandemmaschine die Grösse des Fehlers nicht wesentlich von dem der Eincylindermaschine abweichen wird. Für die Compoundmaschine dagegen, wo die Grösse der Ueberschussfläche überhaupt fast konstant ist, wird er noch weniger von Bedeutung sein. Hiermit scheint nachgewiesen, dass das beschriebene Verfahren praktisch brauchbare Werte mit jeder wünschenswerten Genauigkeit liefert, vorausgesetzt, dass bei Aufzeichnung der Diagramme zur Grundlage für spätere Berechnung normalen Verhältnissen entsprechende mittlere konstante Werte angenommen wurden, wobei noch zu bemerken ist, dass die Grösse des schädlichen Raums eine sehr geringe Rolle spielt, weil der entstehende Fehler ganz von der Art des berechneten Fehlers ist, also gleichfalls in der Ueberschussfläche des Diagramms fast verschwindet. Die beschriebene Aufzeichnung erfordert einen Zeitaufwand von etwa 10 Stunden für eine Maschinengattung, ist also im Verhältnis zu dem erreichten Zweck eine kleine Arbeit zu nennen. Ist auf diese Art das erforderliche Schwungringgewicht ermittelt, so sind unter Umständen noch zwei Dinge auf das totale erforderliche Schwungradgewicht von Einfluss. Erstens könnte der Wirkungsgrad der Maschine im einen oder anderen Sinn einwirken, zweitens ist dem Gewicht des Schwungrings das Arm- und Nabengewicht hinzuzufügen, die ihrerseits wieder das Schwungmoment des ganzen Rades vergrössern.

Fig. 27.

Das Tangentialdruckdiagramm wird ganz allgemein für die indizierte Leistung verzeichnet. Die Ueberschussfläche EBF (Fig. 27) stellt den Ueberschuss an indizierter Leistung dar, den das Schwungrad aufzunehmen hat. In der That nimmt das Schwungrad jedoch nur effektive Arbeit in sich auf, d.h. einen Betrag dargestellt durch die Fläche LHM. Diese Fläche ist aber gleich der Fläche EBF, so lange man annimmt, dass der der Reibungsarbeit entsprechende Tangentialdruck in jeder Kurbelstellung einen konstanten Wert hat, was, sobald man zwischen konstanter Leerlaufsarbeit und zusätzlicher Reibungsarbeit, proportional in jeder Kurbelstellung dem jeweiligen Kolbendruck unterscheidet, nicht mehr zutrifft. Das Schwungrad wird arbeitabgebend in Wirkung treten, sobald die Kurbelstellung erreicht ist, wo die effektive Leistung der Maschine gleich dem äusseren Widerstand ist. Diese Kurbelstellung entspricht, wenn man von der eben genannten Ungenauigkeit absieht, dem Punkt N, der senkrecht unter F und M liegt. Die Maschine verfügt von diesem Punkt ab noch über die, durch (Fläche FNC – Fläche OC) dargestellte Arbeit, während vom Schwungrad abzugeben ist die Arbeit der Fläche FCODP zur Ueberwindung der Reibungsarbeit und Nutzlast. Man sieht, unter der Annahme einer kojstanten Tangentialkomponente für die Reibungsarbeit wird dieser Forderung genügt, da die Fläche EBF und damit LHM = Fläche FCODP ist. Die Ungenauigkeit jedoch, die in dieser Annahme liegt wird nicht bedeutend sein. Es ist hierbei der Einfachheit halber angenommen, dass die Tangentialdruckdiagramme für Hin- und Rückgang gleich seien. Eine Ungleichheit ändert nicht das Resultat, erschwert aber den Ueberblick. Die nunmehr folgende Untersuchung über die Grösse des erforderlichen Arm- und Nabengewichts schliesst solche Fälle aus, in denen das Konstruktionsgewicht des Schwungrades (besonders infolge bestimmter Kranzprofile, wie Riemenscheibenschwungrad) ausschlaggebend ist, und betrachtet lediglich die Fälle, wo ein reines Schwungrad ohne Nebenzweck von bedeutendem Kranzgewicht mit relativ hoher Umfangsgeschwindigkeit zu entwerfen ist.

Fig. 28.

Es bedeute: G1 das Kranzgewicht, nach dem bisherigen festgestellt, F1 Querschnittsfläche des Kranzes, G2 Gewicht von Armen und Nabe, D1r1 den Schwerkreisdurchmesser bezw. Halbmesser des Kranzes, D2r2 den Schwerkreisdurchmesser für Arme und Nabe, v Geschwindigkeit des Schwerkreisumfangs am Kranz, kz zulässige Zugbeanspruchung für Gusseisen, γ spezifisches Gewicht für Gusseisen, g Beschleunigung durch die Schwerkraft, d Durchmesser der Meschinenwelle. Alle Masse in Meter und Kilogramm. Man denke sich das Material der Arme in eine Scheibe von entsprechender Dicke umgeformt, so dass das Rad voll erscheint (Fig. 28), und unter dem Einfluss der Zentrifugalkraft des Rings in jedem zum Radmittelpunkt konzentrischen Ring der Scheibe dieselbe zulässige Zugbeanspruchung auftritt. Das dieser Art ermittelte erforderliche Gewicht der Scheibe wird dem Gewicht einer Anzahl im Rad verteilter Arme von gleicher zulässiger Zugbeanspruchung gleich sein. Die Zentrifugalkraft eines Kranzringelementes mit der Bogenlänge Δs ist dann: $$\frac{F_1\cdot {\mathrm{\Delta }}_s\gamma }{g}\frac{v^2}{r}.$$ Würde die Armscheibe gleichfalls bis zum Schwerpunktkreis reichen, also am äusseren Umfang gleichfalls die Bogenlänge Δs besitzen, so würde sich daraus die stärke b1 der Scheibe ergeben zu: $$b_1=\frac{F_{}\cdot {\mathrm{\Delta }}_s\gamma }{g{\mathrm{\Delta }}_s}\frac{v^2}{r}\frac{1}{k_z}=\frac{F_1\cdot \gamma \cdot c^2}{gr{k}_z}.$$ Da nun ist, also $$F_1\gamma =\frac{G}{D_1\pi },$$ so wird: $$b_1=\frac{G_1{v}^2}{2{r_1}^2\pi \cdot g{k}_z}.$$ Wenn für alle konzentrischen Ringe kz gleich sein soll, so ergibt sich unter Vernachlässigung der in der Scheibe selbst auftretenden Zentrifugalkraft daraus die Forderung, dass auf dem ganzen Sektor, der dem Bogen Δs entspricht, der Querschnitt b1 Δs konstant sein oder dass b1 mit annehmendem Δs, d.h. abnehmendem Radius nach der Nabe zu, wachsen muss. Dem entspräche ein Scheibenquerschnitt, dessen Begrenzungen durch Hyperbeln dargestellt sind. Nimmt man einen Nabenradius von $$\frac{r_1}{6}$$ und einen Wellenradius von $$\frac{r_1}{12}$$ an, so ergibt sich die Scheibendicke b2 an der Nabe zu: b2 = 6 b1. Das Gewicht dieser Scheibe berechnet sich dann wie folgt: Der Querschnitt der Scheibe in Richtung des Radius ist: $$F={\int }_{r=r_1}^{r=\frac{r_1}{6}}bdr=\int \frac{b_1{r}_1}{r}dr=b_1{r}_{1}ln6=1,79b_1{r}_1,$$ der Abstand des Schwerpunktes der Fläche von Wellenmitte: $$r_0=\frac{{\int }_{r=r_1}^{r=\frac{r_1}{6}}b\cdot r\cdot dr}{b_1{r}_{1}ln6}=\frac{\frac{5}{6}{r}_1}{ln6}=0,4655r_1.$$ Damit ist das Gewicht der Armscheibe G2': G2' = 2 . 0,4655 . π . 1,79 . b1 r12 . γ = ∾ 1,7 π . r12 b1 γ. Die Nabenlänge sei 4 b2 = 24 b1, womit ihr Gewicht: G2''. $$G_2^{″}=\pi [{\left(\frac{r_1}{6}\right)}^2-{\left(\frac{r_1}{12}\right)}^2]24\cdot b_1\gamma =\sim 0,5\pi b_1{r_1}^2\gamma .$$ Das Gewicht von Armen und Nabe zusammen ist somit: G2 = 2,2 π r 1 2 b1 γ. Es war $$b_1=\frac{G_1{v}^2}{2{r_1}^2\pi \cdot g{k}_2},$$ somit $$\begin{array}{rcl}{G}_2& =& 2,2\cdot \pi {r_1}^2\frac{G_1{v}^2}{2{r_1}^2\pi \cdot g{k}_2}\gamma ,\\ & =& 1,1G_1\frac{v^2\gamma }{g{k}_2};\end{array}$$ setzt man g = 9,81, γ = 7200 kg/cbm, so erhält man $$G_2=\sim 807,5\frac{G_1{v}^2}{k_2},$$ wobei kz in kg/qm einzusetzen ist oder $$G_2=0,08075\frac{G_1{v}^2}{k_2},$$ für kz in kg/qcm. Das Gewicht des gesamten Schwungrades wird damit: $$G_{total}=G_1(1+0,08075\frac{v^2}{k_z}).$$ Das ergibt für:

    kz = 75 85 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150     v = 15 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30     v2 = 225 289 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900    G2 = G 1 mal 0,2425 0,274 0,307 0,323 0,339 0,356 0,371 0,388 0,405 0,420 0,435 0,4525 0,468 0,485 Gtotal = G 1 mal 1,2425 1,274 1,307 1,323 1,339 1,356 1,371 1,388 1,405 1,420 1,435 1,4525 1,468 1,485

Bei der vorstehenden Entwickelung ist bewusstermassen der Teil der Armscheibe zu viel gerechnet, der vom inneren Rand des Kranzes bis zu seinem Schwerkreis reicht, einmel als Ausgleich für die konische Gestaltung der Arme für Angüsse, Kranzverbindungen u.s.w., dann auch wegen der Schwierigkeit einer allgemein zutreffenden Annahme betreffs der Kranzhöhe. Wie man aus vorstehender Tabelle sieht, entsprechen die Werte zwischen 19 und 22 m Umfangsgeschwindigkeit den allgemein üblichen Ueberschlagswerten. Die Tabelle zeigt aber auch, wie bedeutend die Abweichungen trotz Erhöhung der Beanspruchung werden, sobald die Umfangsgeschwindigkeit grösser wird, und es ist im Fall hoher Umfangsgeschwindigkeit die Verwendung der angegebenen einfachen Formel mit freier Wahl der Beanspruchung sicher vorzuziehen. Die Gewichtsvermehrung durch die Arme und die Nabe hat ihrerseits eine Vergrösserung des Schwungmoments über das beabsichtigte Mass hinaus zur Folge. Es soll deshalb festgestellt werden, um wie viel das Schwungmoment hierdurch vergrössert wird bezw. wie bei Berechnung des Gesamtgewichtes dieser Vergrösserung Rechnung getragen werden kann. Das Schwungmoment des Kranzes ist G1D12, das der Arme sei G2' D1'2, das der Nabe G2'' D2''2. Hierin bedeutet D2' denjenigen Scheibendurchmesser, von dem aus nach aussen und innen die Masse der Scheibe gleichmässig verteilt ist, d.h. bei Annahme homogenen Materials denjenigen Durchmesser, durch den die Scheibe in zwei gleich schwere konzentrische Ringe geteilt wird, so dass man sich dann in diesem Durchmesser die Masse der Scheibe konzentriert denken kann. Aus dieser Bedingung ergibt sich die Gleichung,dwenn gesetzt wird: $$\frac{D_2^{\prime }}{2}=\varrho$$ $$2\pi \cdot {\int }_{r=r_1}^{r=\varrho }bdr\frac{{\int }_{r=r_1}^{r=\varrho }br\cdot dr}{{\int }_{r=r_1}^{r=\varrho }bdr}=2\pi \cdot {\int }_{r=\varrho }^{r=\frac{r_1}{6}bdr}\frac{{\int }_{r=\varrho }^{r=\frac{r_1}{6}brdr}}{{\int }_{r=\varrho }^{r=\frac{r_1}{6}}bdr}$$, oder $${\int }_{r=r_1}^{r=\varrho }brdr={\int }_{r=\varrho }^{r=\frac{r_1}{6}brdr},$$ woraus $$b_1{r}_1(r_1-\varrho )=b_1{r}_1(\varrho -\frac{r_1}{6}),$$ $$\varrho =\frac{7}{12}{r}_1,$$ und damit: $$G_2^{\prime }{D}_2^{\prime 2}={\left(\frac{7}{6}{r}_1\right)}^2{G}_2^{\prime }={\left(\frac{7}{12}\right)}^2{G}_2^{\prime }{D}_1^2.$$ Ferner ist $$G_2^{″}{D}_2^{″2}=G_2^{″}{D_1}^2\cdot \frac{3}{144}.$$ So erhält man das Gesamtschwungmoment des Rades zu: $$\text{Double exponent: use braces to clarify}$$ $$=G_2{D_1}^2+\frac{49}{144}{G}_2^{\prime }{D_1}^2+\frac{3}{144}{G}_2^{″}{D_1}^2,$$ $$={D_1}^2(G_1+G_2^{\prime }\cdot \frac{49}{144}+G_2^{″}\cdot \frac{3}{144}).$$ Es war $$G_2^{\prime }=1,7\pi {r_1}^2\cdot b_1\gamma =\frac{1,7}{2}{G}_1\cdot \frac{v^2\gamma }{g{k}_z}=0,0625G_1\frac{v^2}{k_z},$$ und $$G_2^{″}=0,5\pi {r_1}^2{b}_1\gamma =\frac{0,5}{2}G\frac{v^2\gamma }{g{k}_z}=0,01825G_1\frac{v^2}{k_z},$$ womit: $$\begin{array}{rcl}{G}_{total}{D}^2& =& G_1{D_1}^2(1+0,0625\frac{49}{144}\frac{v^2}{k_z}+0,01825\frac{3}{144}\frac{v^2}{k_z})\\ & =& G_1{D_1}^2(1+0,0218\frac{v^2}{k_z})(k_z=\text{kg/qcm}).\end{array}$$ Das aus dem Tangentialdruckdiagramm ermittelte Gs Ds2 stellt das thatsächlich erforderliche Schwungmoment dar, dem entspricht ein Kranzgewicht G1 mit dem Schwerkreisdurchmesser D1, das zu diesem Kranzgewicht gehörige Gesamtgewicht ist $$G_1(1+0,08075\frac{v^2}{k_z})$$ mit diesem Rad erzielt man aber dann ein Schwungmoment von $$G_1{D_1}^2(1+0,0218\frac{v^2}{k_z})$$. Dieses Schwungmoment soll den Forderungen gemäss gleich sein Gs Ds 2, also: $$G_1=\frac{G_s}{1+0,0218\frac{v^2}{k_z}}$$, und, da Ds = D1 ist: $$G_1=\frac{G_s}{1+0,0218\frac{v^2}{k_z}},$$ und $$G_{total}=G_1(1+0,08075\frac{v^2}{k_z})=G_s\frac{(1+0,08075\frac{v^2}{k_z})}{1+0,0218\frac{v^2}{k_z}}$$ $$=\sim G_s(1+0,059\frac{v^2}{k_z})$$ $$=\sim G_s(1+0,06\frac{v^2}{k_z})$$. Man erhält so:

mit kz = kg/cm2 75 85 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 vm/Sek. 15 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 $$1+0,0218\frac{v^2}{k_z}$$ 1,0655 1,074 1,083 1,087 1,0915 1,096 1,1 1,105 1,109 1,113 1,118 1,122 1,126 1,131 $$1+0,06\frac{v^2}{k_z}$$ 1,18 1,204 1,228 1,24 1,252 1,264 1,276 1,288 1,30 1,312 1,324 1,336 1,348 1,36

Es wurden zuvor folgende Kranzgewichte (resp. mit einer Formel Totalgewichte) gefunden:

Gs =    2130 Ds = 3,2 n = 120 v = 20,1 Gs  = 11400 Ds = 5,4 n =   60 v = 16,95 Gs  = 17500 Ds = 4,50 n = 105 v = 24,75 Gs  = 19100 Ds = 4,50 n =   75 v = 17,65 Gs = 12900 Ds = 4,50 n = 105 v = 24,75 Gs  = 11600 Ds = 4,5 n =   75 v = 17,65

Nach der Tabelle ist dann: $$G_{total}=G_s(1+0,06\frac{v^2}{k_z})=2650.$$ Demgegenüber ergeben die anderen Formeln, wenn man die errechneten Kranzgewichte, wie sonst allgemein üblich, mit 1,33 ÷ 1,35 multipliziert – für die Formel, die das Totalgewicht angibt, ist dieses, wie es die Rechnung ergibt, eingewetzt:

Eincylinder-maschinen Tandem-maschinen Verbund-maschinen Richtige Werte 2650 13750 22700 23100 116800 14000 Formel A 5750 41000 28000 28000 18000 18000     „       B 5000 30600 20000 22000 15500 15500     „       C 3250 20500 18500 18000 11000 11000     „       D – – – – 12000 12000 Nach Kás 8750 36000 – – – – Formel E 5100 33500 22500 22500 13500 13500

Diese Zahlen weichen noch immer sehr beträchtlich voneinander ab, wenn auch in manchen Fällen der verschiedene Zuschlag für die Arme und die Nabe zur Ausgleichung der Resultate beigetragen hat. Dabei muss aber im Auge behalten werden, dass dieser Ausgleich kein in richtigem Sinn erfolgter ist, insofern das den Ausschlag gebende Kranzgewicht nach wie vor – jetzt nur in verschleierter Form – verschieden gross in den einzelnen Zahlen enthalten ist. Das zeigt deutlich die folgende Zusammenstellung der Kranzgewichte, wobei die Arm- und Nabengewichte in Klammern angegeben sind.

Richtige Werte 2000(650) 10750(3000) 16200(6500) 17800(5300) 12000(4800) 10800(3200) Formel A 4250(1500) 30300(10700) 20800(7200) 20600(7400) 13500(4500) 13500(4500)     „       B 3700(1300) 23000(7600) 21600(7400) 16400(5600) 11400(4100) 11500(4000)     „       C 2320(930) 15150(5350) 13600(4900) 13400(4600) 8100(2900) 8100(2900)     „       D –– –– –– –– 9000(3000) 8850(3150) Nach Kás 6500(2250) 27000(9000) –– –– –– –– Formel E 3800(1300) 24950(8550) 16700(5800) 16000(5900) 9950(3550) 9850(3650)

Auch bei Formel E, die die relativ besten Werte liefert, zeigt sich der Fehler, dass das Schwungradgewicht in den Fällen, wo es wachsen sollte, abnimmt, das bedeutet einen in ihrem Aufbau begründeten, ganz und gar unvermeidlichen Fehler, der sich stets zeigt und zeigen muss, so lange man mit einem konstanten, nur von der Maschinengattung abhängigen Faktor rechnet. Noch eines wäre zu erwähnen. Nämlich, dass bei der Bestimmung des Schwungmoments für die Armscheibe wieder jener im Schwungring liegende Teil zu viel gerechnet ist, und dass hier der zuvor angegebene Ausgleich durch konische Armgestaltung u.s.w. nicht zum Ausgleich Ausreicht, und zwar deshalb nicht, weil die diesen Streifen ausgleichenden Massen im allgemeinen einen bedeutend kleineren Abstand von der Drehachse haben; wohl aber kann als Ausgleich für dieses Schwungmoment gelten, dass als Schwungmoment des Kranzes G1 D12 gesetzt worden ist, wobei D1 den Durchmesser bedeuten sollte, der die Schwerpunkte der Kranzquerschnitte verbindet. Es ist also, wenn Da den äusseren und Di den inneren Durchmesser des Kranzes bedeutet, gesetzt: $$G_1{D_1}^2=G_1{\left(\frac{D_i+D_a}{2}\right)}^2$$ (rechteckigen Querschnitt vorausgesetzt), während thatsächlich zu setzen wäre $$G_1{D_1}^2=G_1\left(\frac{{D_a}^2+{D_i}^2}{2}\right).$$ Dieses zu wenig gleicht das vorher gekannte zu viel hinreichend aus. Ist so versucht worden, zur Schwungradberechnung Formeln zu bieten, mit denen ein genaues und relativ schnelles Rechnen möglich ist, so ist andererseits nicht ausser acht zu lassen, dass die bisher üblichen Angaben für den erforderten Ungleichförmigkeitsgrad Erfahrungszahlen sind, die wahrscheinlich eben auf flehen üblichen Faustformeln basieren, so dass also, wenn nach vorliegenden Angaben zum Teil leichtere Schwungräder errechnet werden können, so lange man die gestellten Anforderungen nur wörtlich nimmt, nunmehr bei genauerer Rechnungsweise diese Erfahrungszahlen vielleicht einer Berichtigung bedürfen. Diese Berichtigung erscheint um so wünschenswerter, als sonst bei verschiedenen Firmen (und Formeln) denselben in Rechnung gesetzten Ungleichförmigkeitsgraden und bei sonst gleichen Verhältnissen verschiedene Leistungen in Bezug auf gleichmässigen Gang der Maschine entsprechen. Es sei nochmals kurz der Rechnungsgang nach vorliegendem Verfahren zusammengestellt: Man ermittelt den Wert $$\frac{p}{b}$$ aus den der Berechnung zu Grunde liegenden Verhältnissen, entnehme aus den Tabellen das zugehörige $$\frac{F}{p}$$, bestimme daraus Gs nach der aufgestellten Formel unter Wahl eines bestimmten Durchmessers. Aus Ds errechne man v und multipliziere Gs mit dem Koeffizienten $$(1+0,06\frac{v^2}{k_z})$$, um das Totalgewicht Gt zu erhalten. Soll das Kranzgewicht gefunden werden, so findet es sich durch Division von Gs durch $$(1+0,08075\frac{v^2}{k_z})$$.