Ableitung eines zweifach statisch unbestimmten Bogenträgers aus einem dreifach statisch unbestimmten Bogenträger. Von Prof. G. Ramisch, Breslau. Ableitung eines zweifach statisch unbestimmten Bogenträgers aus einem dreifach statisch unbestimmten. I. Der S. 534 d. Bd. untersuchte Stabzug ist dreifach statisch unbestimmt. Für die statisch unbestimmten Kräfte X und Y und das statisch unbestimmte Kräftepaar vom Moment M1, welche veranlassen, dass einerseits neben dem Punkte B auch der Punkt A festliegt und andererseits der in A eingeklemmte Stab neben dem in B eingeklemmten Stabe seine Richtung nicht ändert, erhielten wir, wenn wir der Kürze wegen $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.d\sigma =U$$ . . . . . . 1) $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y.d\sigma =V$$ . . . . . . 2) und $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.x.d\sigma =W$$ . . . . . . 3) setzen, die Worte: $$X=-\frac{V}{T_x}$$ . . . . . . 4) $$Y=+\frac{W}{T_y}$$ . . . . . . 5) und $$M_1=\frac{U}{\sigma }$$ . . . . . . 6) Man vergleiche die Formeln mit den auf S. 534 und 535 unter 18, 19 und 20 angegebenen. Hierbei ist der Schwerpunkt 8 des Stabzuges als gemeinschaftlicher Angriffspunkt der Kräfte X und Y zu nehmen. Diese Formeln gelten offenbar auch dann, wenn anstatt des Stabzuges ein Bogen genommen wird, denn letzterer kann ja als ein Stabzug mit unendlich vielen und unendlich kleinen Seiten angesehen werden.

Fig. 1.

Die Bestimmungen von U, V, W, Tx und Ty beziehen sich bekanntlich auf ein rechtwinkliges Koordinatenkreuz, dessen Achsen X0 und Y0 sind, S zum Koordinatenanfangspunkt haben und wofür $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}x.y.d\sigma =0$$ ist. Die Y0-Achse möge in Fig. 1 den Bogen in J0 treffen, wobei J0 der Schwerpunkt des geschnittenen Querschnittes vom Bogen ist. Man nehme jetzt J0 zum Anfangspunkt eines anderen rechtwinkligen Koordinatenkreuzes an, welches dieselbe J0-Achse hat, die neue X0-Achse muss demnach zu der X0-Achse parallel sein. Wir nennen die Koordinaten irgend eines Bogenquerschnittschwerpunktes C in Bezug auf das neue Koordinatenkreuz y' und x, so ist, wenn y der Abstand des Punktes C von der X0-Achse ist und J0S mit e bezeichnet wird $$y^{\prime }+y=e.$$ Es ergibt sich dann: $$V=\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y.d\sigma =\underset{A}{\overset{B}{\int }}M(e-y^{\prime }).d\sigma$$ aus der Gleichung 2. Hieraus folgt: $$V=e\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.d\sigma -\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }.d\sigma ,$$ oder auch mit Rücksicht auf die Gleichung 1: $$V=e.U-\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }d\sigma$$ . . . . . 7) Ferner ist: $$T_x=\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^2.d\sigma =\underset{A}{\overset{B}{\int }}(e-y^{\prime }{)}^2.d\sigma ,$$ d.h. $$T_x=e^2.\sigma +\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime 2}.d\sigma -2e\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime }d\sigma$$ Hierin ist $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime }d\sigma =c\sigma$$, so dass wir auch haben, wenn wir noch der Kürze wegen $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime 2}.d\sigma =(T{)}_x$$ . . . . . . 8) setzen: $$T_x=(T{)}_x–c^2.\sigma .$$ Es entsteht nunmehr aus der Gleichung 4: $$X=-\frac{e.U-\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }.d\sigma }{(T{)}_x-c^2.\sigma }$$ . . . . . . 9) Wir stellen jetzt die Bedingung, dass die Kraft X die X°-Achse zur Kraftlinie haben soll. Unter diesen Umständen muss $$M_1=X.e$$ sein. Aus den Gleichungen 6 und 9 ergibt sich: $$\frac{U}{\sigma }=-\frac{e^2.U}{(T{)}_x-e^2.\sigma }+e\frac{\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }d\sigma }{(T{)}_x-e^2\sigma }$$ oder auch: $$U.(T{)}_x=e.\sigma \underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }.d\sigma .$$ Wir erhalten daher weiter aus der Gleichung 9: $$X=-\frac{eU-\underset{A}{\overset{B}{\int }}M{y}^{\prime }d\sigma }{(T{)}_x-\frac{e.U.(T{)}_x}{\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }d\sigma }},$$ woraus nach einer kleinen Umformung entsteht: $$X=\frac{\underset{A}{\overset{B}{\int }}M.y^{\prime }d\sigma }{(T{)}_x}$$ . . . . . . . 10) Man kann J0 zum Angriffspunkt der Kraft Y statt dem Punkte S nehmen, ohne dass ein neues Kräftepaar zum Vorschein kommt. Da die oben gefundene Kraft X in der X°-Achse wirkt, so kann auch J0 zum Angriffspunkt dieser Kraft genommen werden. Es geht daher die Mittelkraft von X und Y durch den Punkt J0 und nebenbei ist kein Kräftepaar wirksam. Praktisch lässt sich dies dadurch bewirken, dass man im Punkte J0 ein Gelenk anbringt, so dass wir es nunmehr mit einem zweifach statisch unbestimmten Bogenträger zu thun haben. Haben wir es also mit einem Bogenträger zu thun, welcher bei A und B eingespannt ist, und welcher bei J0 ein Gelenk enthält, so dass für eine durch J0 gehende Schwerachse und eine dazu senkrecht stehende Achse $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}x.y^{\prime }d\sigma =0$$ ist, so werden durch irgend welche Belastung zwei senkrecht zu einander stehende in diesen Achsen wirkende Kräfte, welche also J0 zum Angriffspunkt haben, hervorgebracht, welche $$Y=\frac{\underset{A}{\overset{B}{\int }}\cdot x\cdot d\sigma }{T_y}$$ bezw. $$X=\frac{\underset{A}{\overset{B}{\int }}M\cdot y^{\prime }d\sigma }{(T{)}_x}$$ sind. Die Zähler davon sind abhängig von der äusseren Belastung, die Nenner sind aber unabhängig davon; denn sie bedeuten Trägheitsmomente der Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte des Bogenträgers in Bezug auf die X°- und Y0-Achse. Weiter sehen wir, dass die Kraft Y unabhängig vom Gelenke ist, denn sie ändert den Wert nicht, wenn das Gelenk nicht vorhanden ist1)Hierauf hat schon Müller-Breslau in der Abhandlung: „Elastizitätstheorie der Tonnengewölbe“ in der Zeitschrift für Bauwesen, 1881, aufmerksam gemacht.. II. Die Kräfte X und Y lassen sich auch folgenderrnassen unabhängig von der bisherigen Untersuchung ganz elementar finden. Der bei A und B eingespannte Bogenträger, welcher bei J0 ein Gelenk enthält, sei nur mit P belastet. Löst man das Gelenk bei J0, so entstehen zwei Bögen, welche bei A bezw. B eingespannt sind, im übrigen aber ein freies Ende J0 je haben. Jeder dieser Bögen ist daher statisch bestimmt. Man bringe aber in J0 an jeden Bogen die Kräfte X und Y bezw. X1 und Y1 an, welche die Beseitigung des Gelenkes ersetzen, und zu diesem Zwecke gewissen, später zu bestimmenden Bedingungen Folge leisten sollen. Zunächst muss $$X=X_1$$ und dann $$Y=Y_1$$ sein. Es sei C1 ein beliebiger Querschnittsschwerpunkt des Bogens, J0B sind seine Entfernungen von X1 und Y1 bezw. y1 und x1 so ist das Biegungsmoment dafür: $$M=-M_0+X_1{y}_1+Y_1{x}_1.$$ Hierbei ist M0 das Moment von P; hat also C1 von P die Entfernung p, so ist M0 = P . p. Für alle Punkte zwischen J0 und dem Schnittpunkte der Kraft P mit dem Bogen ist daher M0 = 0. Bezeichnet man mit E den Elastizitätsmodul, mit J das Trägheitsmoment und mit ds das Bogenelement bei C1 so ist bekanntlich $$M=EJ\cdot \frac{d\gamma }{ds}.$$ Darin ist noch dγ der unendlich kleine Winkel, mit welchem sich der Bogenteil J0C1 um C1 infolge der Belastung dreht, wenn der Bogen nur bei C1 elastisch ist. Wir haben daher: $$E\cdot J\frac{d\gamma }{ds}=-M_0+X_1{y}_1+Y_1{x}_1=0$$ Hieraus folgt, wenn man $$\frac{ds}{E\cdot J}\cdot J_c=d\sigma$$ setzt, wobei Jc ein beliebiges, aber konstantes Trägheitsmoment ist: $$J_c\cdot d\gamma =-M_0\cdot d\sigma +X_1{y}_{1}d\sigma +Y_1{x}_{1}d\sigma$$ . . . 1) Bezeichnet man die Strecke C1J0 mit r, so legt dabei der Punkt J0 den Weg r . dγ zurück, welchen man in Komponenten parallel zu X1 und Y1 zerlege. Diese Komponenten sind bezüglich: $$d{\sigma }_x=y_1\cdot d\sigma$$ und $$d{\sigma }_y=x_1\cdot d\sigma .$$ Diese Gleichung bilde man für alle Schwerpunkte des Bogens von J0 bis B und erhält, wenn man sämtliche dσx und sämtliche dσy addiert und $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}d{\sigma }_x={\sigma }_x$$ und $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}d{\sigma }_y={\sigma }_y$$ setzt: $$J_c\cdot {\sigma }_x=-\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_0\cdot y_{1}d\sigma +X_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{y_1}^2\cdot d\sigma +Y_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{x}_1{y}_{1}d\sigma$$ 2) $$J.{\sigma }_y=-\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_0{x}_1\cdot d\sigma +X_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{x}_1{y}_{1}d\sigma +Y_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{x_1}^2\cdot d\sigma$$ 3) Auf gleiche Weise findet man die Komponenten des Weges von J0, welche dieser Punkt infolge der Elastizität des Bogens AJ0 zurücklegt. Nennen wir σx' und σy' die Komponenten, so ist: $$J_c\cdot {{\sigma }_x}^{\prime }=X\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}{y}^{\prime 2}\cdot d\sigma +Y\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}x{y}^{\prime }d\sigma$$ . . 4) und $$J_c\cdot {{\sigma }_y}^{\prime }=X\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}x{y}^{\prime }d\sigma +Y\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}{x}^2\cdot d\sigma$$ . . 5) Das negative Integral von vorhin fällt beiderseits fort, weil ja der Bogenteil AJ0 von keiner gegebenen Belastung beansprucht wird. In den letzten Gleichungen muss man X = X1 und Y = Y1 setzen. Die Kräfte X1 und Y1 haben nun die Bedingung zu erfüllen, dass $${\sigma }_x+{{\sigma }_x}^{\prime }=0$$ und $${\sigma }_y+{{\sigma }_y}^{\prime }=0$$ sind; denn dann ist ein Gelenk bei J0 möglich. Wir erhalten deshalb: $$-\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_{0}y\cdot d\sigma +X_1\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^2\cdot d\sigma +Y_1\underset{A}{\overset{B}{\int }}xyd\sigma =0.$$ und $$-\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_{0}xd\sigma +X_1\underset{A}{\overset{B}{\int }}xy\cdot d\sigma +Y_1\underset{A}{\overset{B}{\int }}{x}^2\cdot d\sigma =0.$$ Hierbei ist, wie vorher: $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{x}^2\cdot d\sigma =T_y$$ und $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^2\cdot d\sigma =(T{)}_x.$$ Sind nun die X°- und Y0-Achse so gewählt, dass dafür $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}xyd\sigma =0$$ ist, so ergibt sich: $$X_1=\frac{\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_0\cdot y\cdot d\sigma }{(T{)}_x}$$ und $$Y_1=\frac{\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_0\cdot x\cdot d\sigma }{T_y}.$$ Die Werte sind genau so, wie vorhin, es reichen die Grenzen der Integrale in den Zählern aber nur zwischen J0 und B, weil der rechte Teil des Bogenträgers allein belastet ist. Bilden wir auch $$\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}d\gamma$$ und $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}d\gamma$$ und setzen dieselben γ' und γ, so erhält man aus der Gleichung 1 dieses Abschnittes: $$J_c\cdot \gamma =-\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_{0}d\sigma +X_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{y}_{1}d\sigma +Y_1\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{x}_1\cdot d\sigma$$ und $$J_c\cdot {\gamma }^{\prime }=X_1\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}{y}^{\prime }d\sigma +Y_1\underset{J_0}{\overset{A}{\int }}x\cdot d\sigma .$$ Es ist nun γ + γ' der Winkel, um welchen sich die Bogenteile AJ0 und BJ0 bei J0 infolge der Belastung gegenseitig verändern. Wir nennen y0 diesen Winkel. Ist die Y0-Achse noch eine Schwerachse, so ist: $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}y.d\sigma =\sigma .e,$$ wobei $$\sigma =\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{J_0}{E.J}\cdot ds$$ ist. Ferner ist: $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}x.d\sigma =0$$ Also ergibt sich: $$J_c\cdot {\gamma }_0=-\underset{A}{\overset{B}{\int }}{M}_0\cdot d\sigma +X_1\cdot \sigma \cdot e$$ . . . . . 6) Wie wir sehen, ist dieser Winkel unabhängig von der Kraft Y1. Setzt man die Werte von X1 und Y1 in die Gleichungen 2, 3 und 6 ein, so kann man einerseits den wirklichen Weg durch Zusammensetzung der Komponenten σx und σy, welchen der Punkt J0 zurücklegt, und andererseits den Winkel γ0, um welchen sich das Gelenk bei J0 infolge der Belastung dreht, ermitteln. Der Winkel y0 ist dabei mit dem Bogenmasse zu bestimmen. Setzt man die Kräfte X1 und Y1 zusammen, so erhält man den Kämpferdruck Wa für das Auflager A, und die Kräfte X1 und Y1 mit P zusammengesetzt ergeben den Kämpferdruck Wb für das Auflager B. Beide Kämpferdrucke gehen im allgemeinen nicht durch A bezw. B. Gingen sie aber durch A und B hindurch, so genügten anstatt der Einspannung in diesen Punkten einfache Gelenke und wir hätten es dann mit einem statisch bestimmten Systeme zu thun. III. Obige Untersuchung geschah unter der Vernachlässigung der Längenveränderungen, welche von den Kräften senkrecht zu den Bogenquerschnitten hervorgebracht werden; da sie einen geringen Einfluss für die Grössen von X1 und Y1 haben, so ist die Vernachlässigung gerechtfertigt. Es soll für eine Anwendung vorausgesetzt sein, dass überall sowohl E als auch J = Jc konstant sein sollen. Es ergibt sich dann: $$d\sigma =\frac{ds}{E}.$$ Ferner soll der Bogen überall sehr schwach gekrümmt sein, so dass man unbedenklich ds = dx setzen kann, und dann $$d\sigma =\frac{dx}{E}$$ ist. Wir haben hierdurch: $$(T{)}_x=\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime 2}\cdot \frac{dx}{E}$$ und $$T_y=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{x^2\cdot dx}{E}.$$ Weiter ist: $$Y_1=\frac{\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}Mx\cdot dx}{\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime 2}\cdot dx}$$ und $$X_1=\frac{\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}M{y}^{\prime }\cdot dx}{\underset{A}{\overset{B}{\int }}{x}^2\cdot dx}$$ Setzt man in Fig. 2 die Strecke $$AB=l$$, also $$A{Y}_0=B{Y}_0=\frac{1}{2}$$, so ist: $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{x}^2\cdot dx=2\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{x}^2\cdot dx=2\cdot \frac{1}{3}(\frac{l}{2}{)}^3=\frac{l^3}{12}.$$ Die Momentenfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck GBH mit den Seiten a und Pa, wenn a der Abstand des Punktes B von P ist. Wie wir sehen, ist $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}Mx\cdot dx$$ nichts anderes, als das statische Moment des Dreiecks GBH in Bezug auf die Y0-Achse als Momentenachse. Dieses Integral ist demnach gleich: $$\frac{1}{2}\cdot a\cdot Pa\cdot (\frac{l}{2}-\frac{a}{3})=\frac{1}{12}P{a}^2(3l-2a).$$ Es entsteht daher: $$Y_1=\frac{P{a}^2(3l-2a)}{l^3}$$ . . . . I) Unter der Bedingung also, dass man ds = dx setzen darf, ist diese Kraft unabhängig von der Form des symmetrischen Bogens.

Fig. 2.

Wir gehen jetzt zur Bestimmung von X1 über und setzen dabei voraus, dass die Form des Bogens ein schwach gekrümmter Kreisbogen von der Höhe h und dem Radius r ist. Es ist zunächst $${\left(\frac{l}{2}\right)}^2=h(2r-h)$$ und dann: $$x^2=y^{\prime }(2r-y^{\prime }).$$ Wir dürfen in den Klammern h und y' gegen 2 r vernachlässigen und erhalten $$\frac{l^2}{4}=2rh$$ und $$x^2=2r.y^{\prime }.$$ Deshalb ist: $$y^{\prime }=4h\frac{x^2}{l^2}.$$ Es ergibt sich nunmehr: $$\underset{A}{\overset{B}{\int }}{y}^{\prime 2}\cdot dx=2\underset{0}{\overset{\frac{l}{2}}{\int }}{(4h\cdot \frac{x^2}{l^2})}^2\cdot dx$$ $$=2\cdot \frac{16h^2}{l^4}\cdot \frac{{\left(\frac{l}{2}\right)}^5}{5}=\frac{h^2\cdot l}{5}.$$ Dann ist: $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}M{y}^{\prime }\cdot dx=\underset{0}{\overset{\frac{l}{2}}{\int }}M\cdot 4h\cdot \frac{x^2}{l^2}\cdot dx=\frac{4h}{l^2}\underset{0}{\overset{\frac{l}{2}}{\int }}{x}^2\cdot dx\cdot M.$$ Dieses Integral ist das Trägheitsmoment des Dreiecks GBH in Bezug auf die Y0-Achse. Das Trägheitsmoment dieses Dreiecks in Bezug auf eine zur Y0-Achse parallele Schwerachse ist bekanntlich: $$J_1=\frac{1}{36}P{a}^4$$ und in Bezug auf die Y0-Achse selbst: $$J_1+Pa\cdot \frac{a}{2}\cdot {(\frac{l}{2}-\frac{a}{3})}^2=\frac{1}{36}P{a}^4+\frac{P{a}^2}{2}{(\frac{l}{2}-\frac{a}{3})}^2.$$ Wir erhalten deswegen: $$\frac{4h}{l^2}\underset{0}{\overset{\frac{l}{2}}{\int }}{M}_0{x}^{2}dx=h\cdot \frac{P{a}^2}{6l^2}(2a^2+3l^2-4al).$$ Also ist: $$X_1=\frac{5}{6}\cdot \frac{P{a}^2}{h{l}^3}(2a^2+3l^2-4al)$$ . . . II) Ferner ist: $$\underset{J_0}{\overset{B}{\int }}{M}_{0}d\sigma =\frac{1}{E}\cdot \underset{0}{\overset{\frac{l}{2}}{\int }}{M}_0\cdot dx.$$ Dieses Integral ist gleich dem Inhalte des Dreiecks $$GBH=\frac{1}{2}P{a}^2.$$ Dann ist $$\sigma \cdot c=\frac{1}{E}\cdot se$$, worin $$c=r(1-\frac{l}{s})$$ ist. Wir erhalten deshalb: $$s.e=\frac{1}{E}(s-l).r.$$ Aus der Gleichung 6 des zweiten Abschnittes erhält man nun: $$E\cdot J_0\cdot {\gamma }_0=\frac{1}{2}P{a}^2(\frac{5}{3}\cdot \frac{2a^2+3l^2-4al}{h{l}^3}\cdot r\cdot [s-l]-1).$$ Auf gleiche Weise findet man aus den Gleichungen 2 und 3 des zweiten Abschnittes σx und σy, doch müssen vorher die zwischen die Grenzen J0 und B reichenden Integrale auf ähnliche Weise wie die bisherigen bestimmt werden. Zu gleichem Ergebnis gelangt auf anderen Wegen Müller-Breslau in dem Buche: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre u.s.w., S. 143 bis 148. Hier ist auch angegeben, wie man die Kämpferdruckumhüllungskurve mittels der Kämpferdrucklinie zeichnen kann, deren hohe Bedeutung für die Theorie der gefährlichsten Belastung bekannt ist. Für die Konstruktion der Kämpferdrucklinie befindet sich eine Tabelle zur Bestimmung der Ordinaten gegebener Abscissen.