Zur Theorie der Festigkeit krummer
Träger.Von Emil Herrmann,Oberbergrat in Schemnitz (Ungarn).Zur Theorie der Festigkeit krummer Träger.Bezüglich dieser Theorie sind die Meinungen der Ingenieure bekanntlich geteilt.
Während die eine Partei die von weiland Prof. Grashof
aufgestellten und von Prof. C. Bach in dem Werke Elastizität und Festigkeit ebenfalls aufgenommenen
Spannungs- und Biegungsformeln als richtig ansieht, bezweifelt die andere Partei
deren Richtigkeit (vgl. die Zuschriften an die Zeitschrift
des deutschen Ingenieurvereins, Jahrg. 1899 S. 261, 403, 501 und 633), weil
man bei der Lösung von gewissen Aufgaben auf Widersprüche stösst, welche in der
beschränkten Gültigkeit des sogen. Proportionalitätsgesetzes ihre Erklärung nicht
finden1)Anmerkung der
Redaktion: Es handelt sich in Wirklichkeit nicht um einen persönlichen
Meinungsaustausch, sondern um die praktisch wichtige Frage: Ist ein gekrümmter stabförmiger Körper in Hinsicht auf
die Beanspruchung durch ein biegendes Moment und durch eine Normalkraft so
zu behandeln, als ob seine Querschnitte einem geraden Stabe angehören? Nach den Ergebnissen der in dieser
Richtung angestellten Versuche (vgl. C. Bach,
Elastizität und Festigkeit, 3. Aufl. 1898 S. 470 u. f., Bantlin, Zeitschrift des Vereins deutscher
Ingenieure, 1899 S. 261 u. f. u.s.w.) kann es keinem Zweifel
unterliegen, dass dieser Weg der Spannungsermittelung zu einer – unter
Umständen sehr bedeutenden – Unterschätzung der Beanspruchung des gekrümmten
Stabes führt. Die einfache Ueberlegung, welche von dem Unterschiede zwischen
der geraden und gekrümmten Stabform ausgeht, liefert das gleiche
Ergebnis.Dass die Gleichungfür diejenigen Querschnitte, wo die Form eine
Stetigkeitsunterbrechung durch eine plötzliche Aenderung des
Krümmungshalbmessers r erfährt, eben infolge
dieser Stetigkeitsunterbrechung keine zutreffenden Ergebnisse liefert, ist
von C. Bach schon hervorgehoben sowie bemerkt
worden, dass hier ein allmählicher Ausgleich stattfinde (Elastizität und Festigkeit, 3. Aufl. S. 373
und 374, S. 484 und 485).Dass die bezeichnete Gleichung im Falle der Fig.
2 des vorliegenden Aufsatzes zu einer unendlich grossen Spannung
an der Innenkante führt, hat ersichtlich darin seinen Grund, dass hier ein
Körper zu Grunde gelegt ist, welcher an der inneren Seite eine scharfe Ecke,
also den Krümmungshalbmesser Null besitzt, während die Entwickelung der
Gleichung nach Lage der Sache solche Körper voraussetzt, welche auch an der
inneren Seite noch ausreichend Krümmung aufweisen.Es handelt sich, wie bereits bemerkt, im vorliegenden Fall nicht um absolut
richtige mathematische Gleichungen, sondern um Gleichungen, welche den Bedürfnissen der Technik dienen sollen. Das
gilt ebenso für den Stab mit gerader Achse wie für denjenigen mit gekrümmter
Achse. Die vorstehenden Bemerkungen werden bei Beurteilung der Darlegungen
des Herrn Verfassers im Auge zu behalten sein, insbesonders auch gegenüber
dem Satze am Schlusse des Aufsatzes..Die nachstehende Aufgabe ist eine solche, bei welcher man zu dem erwähnten
Widerspruch kommt.Ein krummer Träger mit rechteckigem Querschnitte besteht aus zwei kreiscylindrischen
Stücken.Der eine Teil AB (Fig. 1)
hat einen Kreisbogen als Mittellinie, dessen Radius 16 h = r.Der zweite Teil BC ist ein Kreisbogen vom Radius r1 = 4h.Auf jede der Endflächen wirkt das Kräftepaar M
jedoch im entgegengesetzten Sinne, so dass der Träger im äusseren Gleichgewichte
ist. Es fragt sich, wie gross die Spannung im Punkte a
des Querschnittes B ist?Da der Querschnitt B beiden Teilen angehört, kann man
vom einen oder anderen Ende ausgehen.Natürlich kann in einem Punkte nur einerlei Spannung
auftreten, es müssten daher die beiden Rechnungsresultate identisch sein.Die Formel für die Spannung findet sich in Prof. C.
Bach's obgenanntem Werke I. Aufl. S. 303 Gl. 210. . . . 1)
[Textabbildung Bd. 316, S. 405]
Fig. 1.Hierin bedeutet P die Normalkraft (S. 299), M das Moment positiv, wenn es eine Vermehrung der
Krümmung herbeiführt, f die Fläche des Querschnittes,
η den Abstand desjenigen Punktes von der
Cylinderfläche der Mittellinie, in welchem die Spannung g auftritt und r der Krümmungsradius der
Schwerpunktsfaser. Nach Gleichung 207 (S. 302) istη ist positiv, wenn es auf der
von der Krümmungsachse abgewendeten Seite liegt.Für den rechteckigen Querschnitt mit den gewählten Dimensionen ist laut Gleichung 213
(S. 306)Für den Teil „CB“ wirdFür den zweiten Teil ABDem Punkte a entspricht . Die Normalkraft P = 0, daher die Spannung im Punkte „a“ von A
ausgerechnetdas istRechnen wir von der anderen Seite, d. i. von C, dann
istdas istDa der Unterschied in den Werten der Spannung in ein und demselben Punkte desselben
Querschnittes nicht etwa einem Rechnungsfehler zuzuschreiben ist, die Möglichkeit
desselben aber nicht zugegeben werden kann, so kommt man zu dem Schlusse, dass die
Formel auf Grund einer Voraussetzung abgeleitet sein muss, welche mit den
Verhältnissen der oben gestellten Aufgabe unvereinbar ist.Zu bemerken ist noch, dass die Gleichung 1 auch geschrieben werden kann . . 1b)worinist.Uebrigens ist die obige Aufgabe nicht die einzige, bei welcher die Gleichung 1 auf
einen Widerspruch führt, es gibt auch eine andere, bei welcher die Gleichung 1
geradezu unmögliche Spannungswerte ergibt, wie nachstehendes zeigt.
[Textabbildung Bd. 316, S. 406]
Fig. 2.Es sei BAC (Fig. 2) die
Schwerpunktsfaser eines Trägers von rechteckigem Querschnitt. In B wirkt die Kraft R, man
bestimme die Normalspannung im Querschnitt mit OAQ.Da hier r = e1 wirdDas Moment hR strebt die krumme Mittellinie gerade
zu richten, ist somit negativ. Die Normalkraft P =
Rcosφ. Wir nehmen h = 5e, somit nach der modifizierten Gleichung 1bDas letzte Glied fällt weg und für φ = 60° bleibtwenn f = 2eb die Fläche des
Querschnittes. Nach der Gleichung 1 würde daher in jedem Punkte des Querschnittes
OQ ein und dieselbe Spannung, und zwar überall
Druckspannung herrschen. Eine Ausnahme macht nur die Kante O.Da für diese η = – e,
wirdBestimmen wir den Wert von ∞ . 0.Wenn r nicht gleich e, η
hingegen = e, dann ist der Nenner des letzten
GliedesFür r = e wird(bln2e – f) 0 = 0nur– b (c – e)ln(e – c) = b . 0 . – ∞.Somit istlim – b (r – e)ln(r – e) = Xfür r= e zu bestimmen.$$$$Nachdem nun der Nenner von 5Re2 Null ist, wirdd.h. in der Kante O erzeugt jedes
Moment eine unendlich grosse Zugspannung. Es müsste somit auch das kleinste Moment
den Haken abbrechen. Unmittelbar neben der unendlich grossen Zugspannung herrscht
aber schon nur mehr die in allen Punkten konstante Druckspannung . Dies
scheint mir der klarste Beweis für die Unhaltbarkeit der Gleichung 1 zu sein.
[Textabbildung Bd. 316, S. 406]
Fig. 3.Nachdem die Gleichung 1 unter der Voraussetzung abgeleitet ist, dass die
Querschnitte, welche vor der Belastung eben und senkrecht auf die Schwerpunktsfaser
waren, auch während der Belastung dieselbe Form und Lage beibehalten, diese
Voraussetzung aber, wie wir gesehen, unhaltbar ist, müssen wir versuchen, die
Spannungsformel unter einer anderen, zutreffenderen Voraussetzung abzuleiten. Machen
wir vorläufig keine andere Annahme als die, die Spannung sei der relativen Dehnung
proportional, welche das Grundgesetz der heutigen Festigkeitslehre ist.Es sei AA0 (Fig. 3) die Schwerpunktsfaserschichte und B0B eine beliebige, der ersteren parallele Schichte; OA0 =
r der Krümmungsradius von A0A, η der Abstand der
zwei Schichten vor der Belastung.SG die Schwerpunkts-, CE
eine beliebige, der ersteren parallele Faserschichte in der Entfernung η.Die Spannung in der Schwerpunktsfaser AA sei σ0, jene der Faser BB sei σ.Der Krümmungswinkel der ersteren Faser vor und unter der Belastung sei dφ bezw. dψ; ihre
Krümmungshalbmesser r und ρ.Die Länge der Faser B0B während der Belastung sei CE so, dass der Fahrstrahl SE vom Schwerpunkte S nach E mit QD den Winkel dw bildet.Da die ursprüngliche Länge B0B = (r + η) dφ ist, so wird sie nach der Dehnung, wenn E der Elastizitätsmodulus ist,Es ist aberCD = (ρ +
η) dψ DE = ηdw,somitFür die Schwerpunktsfaser ist einfachDer Unterschied dieser zwei Gleichungen istmit multipliziertDie zwei Differentialverhältnisse und . . . . 2)sind voneinander wesentlich verschieden.Während sich auf jede Faserschichte des Querschnittes AB bezieht, also für diese eine konstante Grösse sein
muss, kann sich von Faserschichte zu Faserschichte ändern, d.h. f kann
auch eine Funktion von η sein.a) Ist ξ = 0, dann bleiben die ebenen und auf die
Schwerpunktsfaserschicht senkrechten Querschnitte des unbelasteten Trägers auch
während der Belastung eben und senkrecht.b) Ist ξ = konstant, dann bleiben die ebenen und
senkrechten Querschnitte im belasteten Träger zwar gerade, aber nicht senkrecht zur
Schwerpunktsfaserschichte.c) Ist ξ = cη oder sonst
eine Funktion von η, dann krümmen sich die früher
senkrechten und ebenen Querschnitte infolge der Belastung.Die obige Gleichung ist jetztr(σ – σ0) + η(E + σ) = η(α + ξ) . . . . . . . . . .
3)Man kann nun die Rechnung unter verschiedenen Voraussetzungen weiter führen.A. Bisher hat man angenommen, es seiξ = 0.Unter dieser Voraussetzung erhält man die Gleichung 1 oder Gleichung 1b.Nach Punkt a) ist dies gleichbedeutend mit der Voraussetzung, die ebenen und
senkrechten Querschnitte bleiben auch im belasteten Träger eben und senkrecht. Diese
Voraussetzung machte man offenbar in der Meinung, dass man dem Problem ohne diese
Vereinfachung nicht näher treten könnte, hielt sie aber kaum für ganz
zutreffend.Das Resultat der weiter geführten Rechnung ist dann Gleichung 1 oder Gleichung
1b.B. Man kann aber die Bedingung des Ebenbleibens der Querschnitte fallen lassen und
die Rechnung auf folgende Weise weiter führen.Dividiere ich die Gleichung 3 durch η, dann kommtDiese Gleichung muss für alle Werte von η bestehen, also
auch dann, wenn η = 0.Damit nun nicht unendlich gross werde, musssein, daraus folgt aberra = α +
ξ – (E + σ),worin a konstant sein kann, wenn
(ξ – σ) konstant
wird.Wir erhalten somitσ = σ0
+ ση.Nennt man das Trägheitsmoment des Querschnittes J
nämlichJ = ∫η2df,wogegen∫ηdf = 0ist, dann folgt ausP = ∫σdf = σ0f,ausM = ∫σηdf = aJ,so dass nun wie bei geraden Trägern . . . . . . 5)ist.Setzt man diese Werte in die Gleichung 3 ein, dann kommt . . . 6)Diese Gleichung muss für jeden Wert von η bestehen und
kann es auch, sobaldist.Da ξ nicht konstant ist, bleiben die Querschnitte im
gebogenen Stabe laut Punkt c nicht eben. Es wird mit
Rücksicht aufund die Abweichung DE = dξ in Fig. 3 von der
Ebene QDdξ = ηdw,d.h.
[Textabbildung Bd. 316, S. 407]
Fig. 4.Das Integralist für jeden einzelnen Querschnitt, d.h. für jeden besonderen
Wert von φ konstant, deshalbξ = Cη2,d.h. die früher ebenen Querschnitte bilden in belasteten
Trägern parabolische Cylinderflächen, wie RST in Fig. 4.Die Hauptachse der Parabel ist die Tangente an die Schwerpunktsachse Sξ.Die hohle Seite ist dem abgeschnittenen Trägerende zugekehrt, wenn das Moment das
abgeschnittene Ende zum Krümmungsmittelpunkt biegt, also den Stab stärker krümmt, im
entgegengesetzten Falle aber ist die Höhlung umgekehrt.Man darf aber hierbei nicht vergessen, dass die Formänderung des Querschnittes (wegen
der Veränderung der Kantenwinkel im unendlich kleinen Prisma) offenbar
Schubspannungen wachruft, welche die Gestalt der gekrümmten, vorher ebenen
Querschnitte jedenfalls beeinflussen, hier nicht berücksichtigt sind.Nur wenn der Stab ursprünglich gerade ist, wird φ = dφ =
0, daher nur dann ist dw = 0 und ξ = 0, d.h. nur dann bleiben die ebenen Querschnitte
des unbelasteten Stabes auch im belasteten eben.Die Gleichung 6 vereinfacht sich nundaraus wird die Aenderung des Krümmungswinkels der
Schwerpunktsfaser . . 7)Ferner ist für diese Faserd.h.mit rρ dividierendwomit der neue Krümmungsradius der Schwerpunktsfaserschichte
bestimmt erscheint.Da neben E verschwindet, genügt . . . . . . 8)Die Gleichungen 5, 7 und 8 erledigen die Frage der Biegung des krummen Trägers und
beheben den Widerspruch, welcher sich bei den Spannungen zeigt, wenn man annimmt,
der Krümmungshalbmesser der Schwerpunktsfaserschichte ändere sich irgendwo
plötzlich.Berechnen wir jetzt den Wert der Spannung in der eingangs erwähnten Aufgabe, dann
finden wirob wir von der einen oder anderen Seite ausgehen. Was die
Krümmung der Querschnitte anbelangt, so wäre eine direkte Beobachtung derselben
natürlich das sicherste Mittel zur Entscheidung der Frage. Es ist aber zu
bezweifeln, dass man selbst mit den feinsten Instrumenten dieselbe wahrnehmen wird,
denn erstens ist bei allen Materialien, selbst Gummi, die Spannung σ so klein gegen den Elastizitätsmodulus, dass in der
Gleichung 3 statt E + σ
unbedingt E allein gesetzt werden kann, und dann kann
auch ξ = 0 sein, d.h. die Krümmung der Querschnitte ist
eine verschwindende Grösse; zweitens wirken der Entstehung der Krümmung, wie schon
erwähnt, die auftretenden Schubspannungen entgegen, besser gesagt, ziehen die
ohnehin kaum merkbare Grösse noch herab.Ich habe mit verschiedenen geschlossenen und offenen Gummiringen, ferner mit
verschieden gekrümmten Guttaperchastücken, unter anderem auch S-förmigen Stücken von
rechteckigem Querschnitte, Versuche gemacht, aber die vorher mit Bleistift
bezeichneten oder fein eingeritzten ebenen Querschnitte haben keine Spur von
Krümmung gezeigt, obwohl bei den Guttaperchastücken schon der Kiss begann.Es ist ja möglich, dass die Integration der richtigen Differentialgleichungen, welche
sich auf den krummen Träger beziehen, auf die Art, wie sie de Saint-Venant für den geraden Träger durchgeführt hat, dahin führt, dass
die Querschnitte eben bleiben, obgleich die Spannung eine lineare Funktion der
Koordinaten des betreffenden Punktes im Querschnitte, d.h. in unserem Falleσ = aη + bist. Dann kann die nachstehende Darstellung der Wahrheit
am nächsten stehen.Es sei in Fig. 5ABCD ein differentialer Teil
eines krummen Trägers, QS0= r der Krümmungshalbmesser der Schwerpunktslinie.
[Textabbildung Bd. 316, S. 408]
Fig. 5.Das Moment M, welches auf den Querschnitt CD wirkt, verdreht denselben
so, dass er in die Stellung EF kommt. Der Winkel CGE = dw ist dann die Zunahme des Krümmungswinkels, so
dass, wenn OS = ρ der neue Krümmungshalbmesserrdφ = ρdψ0= dlist.Ferner ist, wenn σ die Spannung in G, σ0 jene in S istund . 9)Es ist aberσ – σ0= aη,daherσ = aη + σ0,somit, wenn P die Normalkraft und
M das biegende Moment istP = ∫σdf = a∫ηdf+ σ0∫df,d. i.P = σ0fundM = ∫σηdf = a∫η2df +σ0∫ηdf,d. i.M = aJ,d.h.also ist, wie nach Gleichung 5,Dies in die Gleichung 9 eingesetzt, gibtoder wie Gleichung 8Die Normalkraft P dehnt die Fasern, trotz ihrer durch
das Moment hervorgerufenen verschiedenen Spannungen, im gleichen Verhältnis,
z.B.alsoDie Querschnitte bleiben dann eben. Der Unterschied dieser zwei Gleichungen gibtsomitWeil aberrdφ = ρdψ0ist, folgt.alsoAus der Gleichung 5 erhält manDies eingesetztDa wegen dem sehr grossen Werte von Einnerhalb der Fehlergrenzen liegt, kann man auch nehmenund dies ist unsere Gleichung 7.Nur genaue Versuche können entscheiden, ob sich die Querschnitte des krummen Trägers
bei der Belastung krümmen oder nicht, ob somit unsere erstere oder letztere
Darstellung und Anschauung richtig ist; so viel steht aber schon jetzt fest, die
Gleichung 1 mitsamt ihrer Ableitung ist unhaltbar, weil sie auf zu augenscheinliche
Widersprüche führt.