Die Doms'sche Rechenmethode im Vergleich zu anderen Hilfsmitteln des Rechnens. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Patentanwalt. Die Doms'sche Rechenmethode im Vergleich zu anderen Hilfsmitteln des Rechnens. In vielen Fächern und Berufszweigen spielt das Rechnen mit Zahlen eine wichtige Rolle, so dass eine Verkürzung und eine grössere Sicherheit im praktischen Rechnen trotz der mannigfachen Hilfsmittel und Resultate, welche auf diesem Gebiete bis jetzt erzielt sind, gleichwohl als eine willkommene Gabe dankbar angenommen werden dürfte. Dieses Ziel ist in der That auch vielfach erreicht worden, so dass heutigen Tags in mancher Beziehung dem Bedürfnisse genügt ist. Indessen entsprechen doch die vorhandenen Hilfsmittel nicht allen Anforderungen; beispielsweise verlangt der Gebrauch der Logarithmentafeln eine gewisse mathematische Vorbildung, die wohl nur bei der Minderzahl der Rechner vorhanden sein dürfte. Das Rechnen mit Logarithmen gestaltet sich überdies selbst für den Kundigen recht unbequem, wenn die zu lösende Aufgabe ein häufiges Uebergehen von den Zahlen zu den Logarithmen und umgekehrt notwendig macht. Der letztere Uebelstand tritt bei dem logarithmischen Rechenstabe weniger hervor; dagegen haften diesem für viele technische Zwecke vorzüglich geeigneten Werkzeuge andere Mängel an. Zur sicheren Handhabung und allseitigen Verwerthung desselben ist nämlich ausser der Kenntnis des Begriffs der Logarithmen noch ein scharfes Auge und beträchtliche Uebung im Ablesen und Schätzen von Teilungswerten erforderlich. Dabei ergibt der Rechenstab die gesuchten Zahlen nur mit sehr massiger Genauigkeit, die beispielsweise besonders dann nicht auszureichen pflegt, wenn die Rechnungen über Ansprüche auf Geld und Geldeswert entscheiden sollen. Rücksichtlich der Beschreibung und Einrichtung verweise ich auf die jedem Rechenstabe beigefügte ausführliche Beschreibung und Gebrauchsanweisung. Ein anderes vorzugsweise für den Tabellenrechner wertvolles Werkzeug, gegen welches Bedenken der vorerwähnten Art nicht zu erheben sind, bildet die Rechenmaschine von Thomas, deren Handhabung leicht zu erlernen und deren Genauigkeit eine vollkommene ist. Und doch hat auch diese sinnreiche Vorrichtung ihre Schwächen, die nicht näher erörtert zu werden brauchen, da schon der hohe Preis der Maschine die allgemeine Anwendung ausschliesst. Regierungsrat Dr. H. Zimmermann sagt in der Vorrede zu seiner hier ausführlicher zu besprechenden Rechentafel mit Bezugnahme hierauf, dass er dennoch, obgleich ihm derartige Hilfsmittel zum praktischen Rechnen in grosser Auswahl zu Gebote gestanden, in seiner rechnerischen Berufsthätigkeit oftmals das Bedürfnis nach weiteren Erleichterungen empfunden hat und darum zu dem Entschlusse gelangt ist, die wahrgenommene Lücke durch eine einfache, handliche Rechentafel – gewissermassen ein grosses „Einmaleins“ – auszufüllen. Zu diesem Zwecke sind die Produkte der Zahlen 1, 2, 3 . . . 1000 mal 1, 2, 3 . . . 100 berechnet und nach einer durch vielfache Versuche erprobten Anordnung in der Weise zusammengestellt worden, dass je zwei beim Aufschlagen des Buches einander gegenüber liegende Seiten gerade 1000 Produkte aus 10 am Kopfe und je 50 am Rande stehenden Zahlen enthalten. Die Verteilung auf die einzelnen Doppelseiten ist durch das ganze Buch hindurch die gleiche, insofern die letzten Ziffern der am Kopfe stehenden Zahlen stets von 0 bis 9, die am Rande stehenden Faktoren aber immer auf der linken Seite von 1 bis 50, auf der rechten von 51 bis 100 fortschreiten. Um das Finden einer bestimmten Doppelseite auch ohne vollständiges Aufschlagen des Buches zu ermöglichen, ist durchweg die kleinste und grösste Kopfzahl oben links und rechts, nahe dem Seitenrande, mit sehr grossen Ziffern angegeben. Durch diese streng regelmässige Anordnung wird erreicht, dass man schon von vornherein, und ehe man zu blättern beginnt, genau weiss, auf welche Stellen man den Blick zu richten hat, um die gegebenen Faktoren und das gesuchte Produkt schnell und sicher aufzufinden. – Abgesehen davon, dass man mit Hilfe dieser Tafel das Produkt aus beliebig grossen Zahlen nach den für das gewöhnliche Rechnen gültigen Regeln leicht bilden kann, ist als anerkennenswert hervorzuheben, dass statt des mechanischen Rechnens das Anschauungsvermögen zu Hilfe genommen wird, dass also der Rechner die Teilprodukte nicht ausrechnet, sondern abliest und abschreibt und dann die Einzelwerte addiert. Indessen gewährt auch diese Rechentafel kein vollkommenes Hilfsmittel für das praktische Rechnen; denn es erfordert erstlich das Aufsuchen der Teilwerte und Abschreiben derselben eine geraume Zeit, und zweitens kann das mechanische Addieren nach der gewöhnlichen Multiplikationsmethode nicht umgangen werden. Wenn auch die Vorzüge dieser Rechentafel nicht in Abrede gestellt werden sollen, so dürfte man doch bei vorurteilsloserPrüfung zugestehen müssen, dass das Rechnen nach der Doms'schen Rechenmethode, welche von dem Sohne des Erfinders in einem im Verlage von Rudolf Mewes, Patent- und technisches Bureau, Berlin, Pritzwalkerstrasse 14, erschienenen Buche auseinander gesetzt ist, verschiedene Vorteile vor dem Verfahren nach der Zimmermann'schen Rechentafel voraus hat. Erstlich braucht man nach der Doms'schen Methode die Teilprodukte, wie dies bei den gewöhnlichen Multiplikationsmethoden und auch bei der eben erwähnten geschieht, nicht besonders hinzuschreiben, sondern entwickelt nach einem höchst einfachen Additionsschema auf Grund klarer Anschauung aus dem Multiplikandus und Multiplikator die Ziffern des Resultats, von links nach rechts, also von der höchstwertigen Stelle nach der Einerstelle hin. Zum Vergleich lasse ich hier ein Beispiel für die Anwendung der Zimmermann'schen Rechentafel folgen und stelle daneben die Ausrechnung desselben Produktes nach der Doms'schen Methode. In dem ersten Beispiel sind die Zahlen, welche nur zur Erläuterung dienen, bei der wirklichen Ausführung also nicht hingeschrieben werden, mit kleineren Ziffern gedruckt: 1. Zimmermann: Gesucht das Produkt 872 × 487593 Spalte 872, Zeile  48 41856 75         65400 93                     81096 –––––––––––––––          =   425181096 2. Doms: 487593 ×   872 ––––––––– 302960096 122221 ––––––––– 425181096 Die Vergleichung lässt erkennen, dass man in diesem speziellen Beispiele nach beiden Methoden dieselbe Anzahl von Ziffern zu schreiben hat, während bei grösseren Multiplikationen die Doms'sche Methode der Zimmermann'schen auch noch in diesem Punkte überlegen ist. Die Zahlen in dem zweiten Beispiele unter dem Multiplikationsstrich erhält man durch Addition der entsprechenden Ziffern einer kleinen Vorziffer- und Nachziffertabelle, welche das „Einmaleins“ ersetzt. Nach einiger Uebung gebraucht man diese Tabelle nicht mehr, da man die Vor- und Nachziffern der Produkte der Zahlen von 1 bis 9 im Kopf hat, und kann sogar die Ziffern des Resultats direkt hinschreiben. Namentlich für solche Berufszweige, in denen der Beamte oder Geschäftsmann viel zu multiplizieren und zu dividieren hat, dürfte daher die Doms'sche Methode von grosser Wichtigkeit und praktischem Nutzen sein. Da die Reihenfolge, in welcher man bei der Doms'schen Methode die Teilprodukte des Resultats bestimmt, ganz willkürlich ist, so kann man auch die Multiplikation entsprechend dem alten Verfahren von rechts nach links beginnen. In diesem Falle fallen die zwischen den Multiplikationsstrichen stehenden Ziffern ohne weiteres fort; indessen ist es des methodischen Zusammenhangs wegen namentlich mit Rücksicht auf die Division ratsamer, die Multiplikation von links nach rechts auszuführen, da dies überdies auch dem Gang des Rechnens besser entspricht. Auf die Divisionsmethode nach Doms gehe ich hier nicht näher ein, sondern weise nur darauf hin, dass dieselbe entsprechend der Multiplikation von ausserordentlicher Kürze ist, und meistens nach erlangter Uebung das direkte Hinschreiben des Quotienten ermöglicht. Für das Potenzieren zur zweiten und dritten Potenz sind allerdings besondere Verfahren angegeben, indessen lassen sich die Resultate durch ein bezw. zweimaliges Multiplizieren nach der eben kurz skizzierten Methode ebenso schnell und leicht finden. Doms unterscheidet im Einmaleins bei den Resultaten Vorziffer und Nachziffer oder Zehner und Einer; so ist z.B. in \frac{\times^48}{=32} die 3 die Vorziffer, und die 2 die Nachziffer. Die Multiplikation erfolgt nun, wenn wir das obige Beispiel zur Erklärung benutzen, so, dass man zunächst aus den beiden höchstwertigen Ziffern des Multiplikators und Multiplikandus, d.h. aus 8 und 4 die Vorziffer 3 unter die höchstwertige Ziffer des Resultats setzt; sodann zählt man zu der Vorziffer des Produktes \times^47 die Nachziffer der Produkte \times^47 und \times^88 hinzu und setzt die Vorziffer der erhaltenen Summe, nämlich 1, unter die 3, die Nachziffer 0 dagegen rechts neben die 3; hierauf summiert man die Nachziffer der beiden letzten Produkte und zählt dazu die Vorziffer der Produkte aus \underline{\times^42} und \underline{\times^87} und \underline{\times^78}, schreibt die Vorziffer der erhaltenen Summe unter die Null, die Nachziffer dagegen rechts daneben; nun bildet man wieder, wie vorher die Summe der Nachziffern der drei letzten Produkte und addiert dazu die Summe der Vorziffern der Produkte auch \underline{\times^82}, \underline{\times^77} und \underline{\times^58} und schreibt die Vor- und Nachziffer in derselben Weise wie vorher zum Resultat an u.s.w. Denkt man sich die Ziffern des Multiplikandus und des Multiplikators von links nach rechts der Reihe nach mit 1, 2, 3 . . . bezeichnet, so kennzeichnet folgendes Schema, in welchem die oberen Zahlen die Zifferstellen des Multiplikandus, die unteren diejenigen des Multiplikators bedeuten, die Reihenfolge der Rechenoperationen zur Ermittelung der einzelnen Produktziffern. Von den vertikal untereinander stehenden Zahlen sind die Vorziffern zu bilden, während aus den schräg von links nach rechts stehenden Zahlen die Nachziffern zu bilden sind. \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix}\right)     \left(\begin{matrix} 1 & 2\\2 & 1\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&2&3\\3&2&1\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&2&3&4\\0&3&2&1\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\0&0&3&2&1\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&2&3&4&5&6\\0&0&0&3&2&1\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6&0\\0&0&0&0&3&2&1\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}1&2&3&5&6&0&0\\0&0&0&0&3&2&1\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&3&2&1\\ \end{matrix}\right) Die Nullen bedeuten nicht mehr vorhandene Ziffern, haben also keinen Einfluss. Die Summenwerte der einzelnen Klammern des vorstehenden Schemas befinden sich in dem gewählten Beispiel der Reihe nach von links nach rechts unter dem Multiplikationsstrich. Es dürfte nicht schwer fallen, sich aus der vorstehenden Darstellung eine klare Vorstellung über den Gang der Multiplikation zu bilden. Dividieren. Die neue Divisionsmethode hat zu ihrer notwendigen Voraussetzung die eben gekennzeichnete Multiplikationsmethode; ausserdem wird gleich mit der Rechnung selbst ein Probeverfahren vereinigt, so dass der Rechner sich stets selbst kontrolliert, und so gegen Rechnenfehler geschützt wird. Bei der Division hat man jedesmal, wenn man eine Quotientziffer gefunden hat, gemäss dem obigen Multiplikationsverfahren für die höchstwertige und die nächst niedrige Stelle des Produktes aus dem Divisor und der ersten Quotientziffer die Teilprodukte, bezw. wenn schon mehr Quotientziffern bestimmt sind, stets die den beiden ersten Stellen des Teildividenden entsprechenden Teilprodukte aus dem Divisor und den in Betracht kommenden Quotientziffern zu bilden und hierzu die bezüglichen Ziffern zu addieren, welche man aus den jedesmaligen Ziffern des Dividendus durch Ergänzung bis zur zehn erhält. Das Anschreiben des Additionsergebnisses des ersten Teils eines Dividends, sowie das neue Vortragen der Einheit eines ganzen Teildividends kann erspart bleiben, wie nachstehendes Beispiel zeigt: 1. 3715614043827 2. 3715614043827 : 718293 : 718293 ––––––––––––– ––––––––––––– 5172839 5172839 ––––––– –––––––   73954970 73985788478143       924843         2142   35794613       41526 ––––––––– 111111106 Auch auf das Radizieren nach der Doms'schen Methode an dieser Stelle einzugehen, würde zu weit führen; es muss in dieser Hinsicht auf das Buch verwiesen werden. Schüler von 8 bis 10 Jahren, welche ich im Jahre 1892/93 an der Wagner'schen Mittelschule in Berlin unterrichtete, lernten nach der Doms'schen Methode sehr schnell multiplizieren und dividieren. Von einem weiteren praktischen Versuch, abgesehen von denjenigen des Autors an seiner Wiener Handelsschule, ist mir nichts bekannt geworden, obgleich dies meines Erachtens höchst wünschenswert ist.