Der gespannte Hohlcylinder.Von Professor Pregél,Chemnitz.(Fortsetzung von S. 453 d. Bd.)Der gespannte Hohlcylinder.Die Maximalspannung im Hohlcylinder.Sind R äusserer und r innerer Halbmesser eines Hohlcylinders, p die Flüssigkeitsspannung und g die Materialanstrengung in
r, sowie (p : σ) das gegenseitige Verhältnis, so folgt nach Grashof, Festigkeit, Gl. 542 S. 312und hierin für die Verhältniszahl den Wert eingesetzt, folgtMissing or unrecognized delimiter for \leftFürσ = 1,3 p,also bezw. wirdEs ist fernerπr2 . p = PBodendruck. Hiernachdaherbezw.und füralso fürp = i .
σgesetzt, folgtund daist, so wird ausi2 +
5,86 i = 1,1Werte für R : r.
[Textabbildung Bd. 315, S. 477]
Allgemein, Grashof, Bach, Lamé, Reuleaux, Barlow, Petterson, Flüssigkeitsspannung, Materialspannungbezw.undi = 0,34folgen, d.h. fürwird R einen Kleinstwert erhalten.Nach v. Bach, Festigkeit, Gleichung 244, S. 368, istund fürbezw.,
wobei R für den Kleinstwert erlangt.Nach der Gleichung von Brix$$\frac{\delta}{r}+1=e^{\frac{p}{\sigma})$$entstehtbezw.;
daraus(Formel von Clark).Wird die Gleichung von Brix entwickeltalsogesetzt, bezw.gemacht, so folgt daraus,
(Formel von Beuleaux bezw. Trautwein).Wird in dieser Gleichung das dritte Glied vernachlässigt, so folgt die bereits früher erwähnte allgemeine Gleichung,
welche für Verhältnisseentsprechende Werte von gibt.In dieser Gleichung ist aber σ nicht Maximalspannung im Abstande r, sondern mittlere, auf den Ringquerschnitt
(R – r) h gleichmässig verteilte Tangentialspannung.Wird die Reihenäherungsweise geschrieben, welche für den Grenzwert von x identisch wird, so folgt nach dem Vorhergehenden,
bezw.(Formel von Lamé).Wird jedoch die Reiheder Rechnung zu Grunde gelegt, welche für identisch wird, wird alsogesetzt, so folgt fürundbezw.(Formel von Barlow, Kent und Unwin).Endlich gibt Petterson im American Machinist, 1900 Bd. 23, Nr. 7, S. 159–163, die Beziehungan, welche abgeändertbezw.auch die Formerhält.Diese Beziehungen für von Grashof, v. Bach, Lamé, Brix, Reuleaux, Barlow und Petterson sind für angenommene Werte von berechnet und in der Tabelle
1zusammengestellt. Hieraus ersieht man, dass für den oberen Grenzwerth
die Werte für zwischen 3,24 und 1,88 schwanken, während für den unteren Grenzwert mit geringem Unterschiede sämtliche Beziehungen gleichwertig sind. Für sind sämtliche Werte gleich gross.Für einen homogenen Hohlcylinder vonVerhältnis würde nach der Tabelle zu nehmen, also
p = 0,15 . σ zu setzen sein.Für σ = 100 kg/qcm Maximalzugspannung dürftep = 0,15 . 100 =3= 15 atnicht überschreiten.Sofern aber p = 50 at ist, so wird,
σ = 333 kg/qcmgrösste Materialanstrengung auf Zug an der inneren Hohlcylinderwand sein.Wird die Gleichung von Grashof hervorgehoben, so folgt,
bezw.,
worausfolgt.Für bezw. entsteht,für p = 50 at folgtσ = 387,5 kg/qcmMaximalzugspannung an der inneren Hohlcylinderwand.Hohlcylinder und Schrumpfring.Die allgemeinen Beziehungen für die Materialspannungen in tangentialer und radialer Richtung sind nach Grashof, Festigkeit, S. 311, Gleichung 538,Wird nur die Materialspannung in tangentialer Richtung (+) als die grössere berücksichtigt und für; und der Wert eingeführt, so folgt . . . 1)als Spannung der Cylinderwandschicht im radialen Abstande z.Sind ferner R und r, äusserer und innerer Halbmesser des an den beiden Enden freien Hohlcylinders, sowie
pa
und pi die äusseren und inneren Radialkräfte (Molekular- bezw. Flüssigkeitsspannungen), so sindMissing or unrecognized delimiter for \leftdie in Gleichung 1) einzusetzenden Wertausdrücke. Wird in diese Ausdrücke einmal pa = 0, das andere Mal pi
= 0 gesetzt, so folgen gesonderte Beziehungen für inneren und äusseren Ueberdruck.Wird ferner dieser ursprünglich homogen gedachte Hohlcylinder (R, r) aus einem Hohlcylinder I (ρ, r) und einem darauf warm aufgezogenen Ring II (R, ρ) zusammengesetzt, so dass die vorherige Wandstärke(R – r) =
(R – ρ) + (ρ – r)beibehalten wird, so kann diese Rohrverbindung nicht nur in ihren einzelnen Bestandteilen, sondern auch in der Zusammensetzung
(I, II) = III für den Betriebszustand rechnerisch untersucht werden.Zu diesem Zweck wird zur Vereinfachung die innere Flüssigkeitsspannung pi = p und die durch den Schrumpfring II auf den Hohlcylinder I ausgeübte äussere Radialpressung pa = ps gesetzt.Demgemäss werden die allgemeinen Wertausdrücke für A und
B aus Gleichung 2) zu Sonderwerten für die einzelnen Fälle.Für p = 0 wird der Hohlcylinder I (ρ, r) durch den Schrumpfring II (R, ρ) und vermöge der
äusseren Radialpressung ps druckgespannt. Es werden hiernachMissing or unrecognized delimiter for \leftdie zugehörigen Sonderwerte sein.Dem Gleichgewichtsgesetze für Wirkung und Gegenwirkung entsprechend, ist der Schrumpfring II (R, ρ) durch die innere Radialpressung ps zuggespannt. Dementsprechend sind die SonderwerteMissing or unrecognized delimiter for \leftFür die Ringverbindung (II, I) = III (R, r) gilt, weil pa= 0 und pi= p die innere Flüssigkeitspressung ist,Missing or unrecognized delimiter for \leftWerden diese Sonderwerte Gleichung 3) in Gleichung 1) eingeführt, so folgen die Materialspannungen:I. Cylinderring, isoliert: . . . . 4a)II. Schrumpfring, isoliert: . . . . 4b)III. Ringverbindung: . . . . 4c)IV. Innerer Hohlcylinder, für sich allein unter innerer Pressung p stehend: . . . . 4d)Wenn nun in diese Gleichung 4) die Grenzwerte für den Radialabstand z, also z = (r, ρ, R) eingeführt und die tangentialen Hauptspannungen in den Ringflächen berechnet werden, so ergibt die Summation der Einzelspannungen
resultierende Anstrengungen. Z.B.
im„„Abstande„„z = rz = ρz = R5)
worin σi und σa Spannung an der inneren bezw. äusseren und
σg Spannung an der mittleren Berührungsfläche bedeutet.Sind dagegen bei gegebener Pressflüssigkeit p die Materialanstrengungen σ vorgeschrieben, so kann bei Benutzung der Gleichungen 5) und 4) die radiale Pressung ps bezw. das Schrumpfmass ermittelt werden.Besteht der innere Hohlcylinder aus Gusseisen oder Stahlguss, der Schrumpfring aber aus Schmiedeeisen oder Stahl, so muss
in die Beziehungen für die spezifischen Dehnungen auch der entsprechende Dehnungskoeffizient α1 oder α eingesetzt werden.Missing or unrecognized delimiter for \rightDie Schrumpfringcylinder des Schiffshebewerkes von La Louvière in Belgien.Jeder der beiden für einen Kolbenhub von 15 m bemessenen Presscylinder (vgl. D. p. J. 1890 277 * 551) besteht aus neun Stück 2 m hohen Gussröhren von 204 cm innerem Durchmesser und 10 cm Wandstärke, welche ihrer ganzen
Länge nach mit 5 cm starken und 15,2 cm hohen, warm aufgezogenen Stahlringen verstärkt sind. Behufs Verschraubung der Rohrteile
sind die Endringe jedes Teiles als Winkelstahle ausgebildet, welche, um ein Abstreifen zu verhindern, an einem 3 mm vorspringenden
Rand des Cylinderstückes sich stützen. Es müssen daher sämtliche Stahlringe, abgesehen vom Schrumpfmass, vor dem Aufziehen
so weit erwärmt werden, dass sie diesen 3 mm vorstehenden Rand bequem übergreifen können. Um die Rechnung zu vereinfachen,
sind im Beispiel die Halbmesser abgerundet.r = 100 cm innerer Cylinderhalbmesser,ρ = 110 „ äuβerer „R = 115 „ „ Halbmesser des Schrumpfrings.Alsdann sind die Rechenwerte:ρ2
=1,21 r2,R2= 1,32 r2,
,,,.
Im isolierten Cylinder ist für z = r die durch den Schrumpfring veranlagte Materialdruckspannung an der inneren Hohlwand nach Gleichung 4 a):I σi= – 11,52 · ps;
dagegen die durch das Presswasser bedingte Zugspannung nach Gleichung 4 c) für z = r:,III σi= 7,55 · p.
Die resultierende Materialspannung an der inneren Hohlcylinderwand ist daherσ = 7,55 p
– 11,52 ps.Ist nun für eine Flüssigkeitspressung von p = 40 at eine Materialdruckspannung von σ = 100 kg/qcm zugelassen, so folgt– 100 = 7,55 . 40 – 11,52 ps,11,52 ps = 302,0 + 100 = 402,als spezifische radiale Pressung des Schrumpfringes.Bei p = 0 wird der Stahlring nach dem warm Aufziehen mit
ps
= 35 kg/qcm radial gespannt sein; es wird daher an seinem inneren Umfange für z = ρ eine tangentiale Hauptspannung nach Gleichung 4b) auftreten:,
II σi = 11 [0,7 + 1,3 · 1,09] 35,
IIσi = 815 kg/qcm,Hierzu kommt die Hauptspannung der Ringverbindung für die Flüssigkeitspressung p = 40 at im Abstande z =
ρ nach Gleichung 4 c):IIIσρ = 4,76 [0,7 + 1,3 . 1,09] . p,IIIσρ = 4,76 [2,117] . 40 = 403,0 kg/qcm.Die resultierende Zugspannung an der inneren Fläche des Schrumpfringes ist daherσ = IIσi + IIIσρ = 815 + 403 = 1218 kg/qcm.Ist dagegen die Bedingung gestellt, dass das Cylindermaterial mit σ = 100 kg zuggespannt werde, wodurch das Material der Schrumpfringe entsprechend entlastet wird, so folgt nachσ = 7,55 p – 11,52 ps,100 = 7,55 . 40 – 11,52 ps,11,52 ps = 302 – 100 = 202,kg/qcm oder at radiale Pressung.Hiernach folgtIIσi= 11 [0,7 + 1,3 . 1,09] . 17,5,IIσi= 407,5 kg/qcmund daherσ = (IIσi + IIσg) = 407 + 403 = 810 kg/qcmals Maximalanstrengung der Stahlringe.Nun ist aber für eine Zuginanspruchnahme an der inneren Hohlcylinderwand von σ = 100 kg/qcm eine grösste Zuginanspruchnahme von σ = 750 kg an der Innenfläche der stählernen Schrumpfringe zugelassen, welche bei einer Wasserpressung von p = 36 at erreicht werden soll. Hiernach folgt die spezifische Kraftstärke ps für den Schrumpfring nach Gleichung 4 a) und 4 c) bezw. deren Verbindungσ = 7,55 p – 11,521 ps,11,52 ps
= 7,55 p – σ,11,52 ps = 7,55 . 36 – 100,11,52 ps = 272 – 100 = 172,Dementsprechend folgt nach Gleichung 4 b)IIσi = 11 [0,7 + 1,3 . 1,09] ps
=IIσi
= 11 [2,117] ps = 23,287 psund nach Gleichung 4 c) für z =
ρIIσg = 4,76 [2,117] p = 10,08 . p.Die resultierende Spannung an der Schrumpfringbohrung ist daherσ = IIσi + IIσg,σ = 23,287 ps + 10,08 p;demgemäss23,29 ps = σ – 10,08 .
p,und für σ = 750 kg/qcm und p = 36 at eingesetzt, folgtDa aber ps in beiden Fällen unbedingt gleich sein muss, so wird nach der ersten Annahme für σ = 100 kg/qcm Zuginanspruchnahme für das Gusseisen an der Cylinderhohlwand ps = 15 at sein. Danach folgt für p = 36 at nachσ = 23,29 ps + 10,08 p,σ = 23,29 . 15 + 10,08 . 36,σ = 349 + 363,σ = 712kg/qcmMaterialzugspannung an der inneren Schrumpfringfläche.Dieser Zugspannung entsprechend muss die Ausbohrung ρ0 des isolierten Schrumpfringes im kalten Zustande berechnet werden.Die unbereiften Cylinderteile wurden einzeln einer Druckprüfung mit p = 40 at Wasserpressung unterworfen. Dementsprechend wird das Material an der inneren Cylinderwand nach Gleichung 4 d) für
z = r mitIVσi = 4,76 [0,7 + 1,3 . 1,21] . p,IVσi = 4,76 [2,273] . p = 10,72 p,IVσi = 10,72 . 40 = 428,8 ∾ 429 kg/qcmZugspannung beansprucht, d. i. 4mal stärker als im bereiften, mit Schrumpfringen verstärkten Zustande.Versuchsweise wurde ein solcher unbereifter Cylinderteil mit p = 80 at gepresst, so dass seine Zuginanspruchnahme auf σ = 2 . 429 = 858 kg/qcm gesteigert wurde. Bei einem bis zum Aeussersten getriebenen Press versuch wurde ein unbereifter Cylinderteil mit p = 146,5 at zersprengt, was einer Bruchspannung vonσ = 10,72 . 146,5 = 1570 kg/qcmentsprechen würde.Zerreissversuche mit Probestäben ergaben eine mittlere Bruchfestigkeit auf Zag von
kz = 1700
kg/qcm und eine Druckfestigkeit von kd = 7640 kg/qcm.Ein mit Schrumpf ringen verstärkter Cylinderteil wurde mit einer Wasserpressung von
p = 265 at geprüft, wobei der gusseiserne Cylinder allein und ohne Knall zersprang, während die Stahlreifen unverletzt geblieben
waren.Bei einer radialen Schrumpfringpressung von ps = 15 at würde dies nach Gleichung 4 a) und
4 c) bezw. deren Verbindungσ = 7,56 . p – 11,52 . ps,σ = 7,55 . 265 – 11,52 . 15,σ = 2000 – 173 = 1827 kg/qcmBruchfestigkeit ergeben.Nach Zerreissversuchen hatte dieses Gusseisenkz = 1753 kg/qcmZugfestigkeit undkb = 7349 kg/qcmDruckfestigkeit, während das Stahlmaterial der Schrumpfringe bei ε = 0,2527 spezifischer Dehnung eine Zugfestigkeit von kz
= 4653 kg/qcm hatte.Bei diesem vorbeschriebenen Bruchversuch wurden die Stahlringe an der Innenfläche mitσ = 23,29 . ps + 10,08 . p,σ = 23,29 . 15 + 10,08 . 265,σ = 349 + 2671 = 3020 kg/qcmzuggespannt, also überangestrengt.Die spezifische Dehnung des Stahlringes war in diesem Versuchsfall:unddie Erweiterung des Halbmessers.Für eine Radialpressung von ps
= 15 at beträgt die RingmaterialspannungIIσi = 23,29 . ps = 23,29 . 15,IIσi = 349 kg/qcmundσ = 350 kg/qcm,die spezifische Dehnung demnach.
Unter dieser Radialpressung ps = 15 at wird die äussere Wand des gusseisernen Cylinders nach Gleichung 4 a) druckgespannt, und zwar für z = ρ mit,
Iσa = – 5,76 [0,7 + 1,3 . 0,826] . ps,Iσa = – 5,76 [0,7 + 1,074] . ps,Iσa = – 5,76 [1,774] . ps = – 10,22 . ps,für ps = 15Iσa = –153,3 kg/qcm,rundσ1= –
150 kg/qcm.Die spezifische negative Dehnung (Verkürzung) des Cylinders ist daherUm den Betrag dieser spezifischen Verkürzung muss die Bohrung des Stahlreifens im kalten Zustande kleiner werden als bei starrem
Cylindermaterial. Es ist daher die Ausbohrung des Stahlringes im kalten Zustande (bei t =
15° C.)ρ0= ρ (1 – ε1) . (1 – ε),alsoρ0= ρ [1 –(ε + ε1)],sofern ε . ε1 vernachlässigt wird,,ρ0 =
0,999675 . ρund für ρ = 1100 mmρ0= 1099,64 mm ∾ 1099,5 mm.Soll dieser Stahlreifen mit der Ausbohrungρ0
= 1099,5 mmüber den 3 mm vorstehend angedrehten Cylinderrand bequem übergeschoben werden, so muss durch die Erwärmung eine Ringerweiterung
um mindestens
3,5 mm, d. i. auf eine Weiteρ1 =
ρ0 + 3 + 0,5 = 1103 mmherbeigeführt werden.Es war,daherdie Erwärmungstemperatur.Dafür je 1 ° C. der Ausdehnungskoeffizient für ungehärteten Stahl ist, so folgt für die Normaltemperatur,(1 + wt) = (1,00016),,,,t1 =
294 °C.Dieses vorstehenden Cylinderrandes wegen muss die Erwärmung der Stahlringe bis an die Grenze der Blaubrüchigkeit t = 300 ° C. erfolgen.Der Kolben zu diesem Hebewerk besteht aus einem halbkugelförmigen Bodenstück, aus einem Kopfstück mit quadratischer Abschlussplatte
und acht cylindrischen Mittelstücken von 2130 mm Baulänge, 2000 mm äusserem Durchmesser und 75 mm Wandstärke.Die Inanspruchnahme dieses mit äusserem Flüssigkeitsdruck gespannten Kolbencylindermaterials ist, abgesehen von der Randverstärkung
durch die inneren Verbindungsflanschen, nach Gleichung 4 a) abgeändert mitzu berechnen, worinr0 =
r – 7,5 = 100 – 7,5 = 92,5 cmder innere Halbmesser des hohlcylindrischen Kolbens ist.Für z = r folgt alsdann:,,σa = – 6,897 [1,81] . p = – 12,48 . p,für p = 36 folgt:σa = – 12,48 . 36 = – 449,3 kg/qcmDruckinanspruchnahme in der äusseren Kolbenfläche.Dagegen würde die Materialanstrengung an der inneren Hohlwand für z = r0σi = – 6,897 [2] . p = – 13,794 . p,d. i.σi = – 496,6 kg/qcmbetragen.Die mittlere Druckanstrengung stellte sich demnach aufund nach der Näherungsrechnung f . σ = r . p,σ = 13,2 . 36 = 475 kg/qcmgleichmässige Druckanstrengung im normalen Wandquerschnitt f.(Schluss folgt.)