Die Faraday-Maxwel'sche Theorie im Lichte der Sellmeier-Helmholtz'schen Absorptionstheorie. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Patentanwalt. Die Faraday-Maxwel'sche Theorie im Lichte der Sellmeier-Helmholtz'schen Absorptionstheorie. I. Allgemeine Bemerkungen. Eine unendliche Menge von Kraft durchströmt in Wellenform mit Blitzesschnelle das Weltall, von einem Stern zum anderen in ewigem Wechsel kreisend. Der ewige Träger und Vermittler dieser stetig wechselnden, aber unzerstörbaren Kraft ist nach Huyghens und Faraday der Aether, ein äusserst dünnes und elastisches Mittel. Die Kenntnis des Aethers und seiner Gesetze, das glänzendste Resultat der modernen Wissenschaft – ich erinnere hier nur an die epochemachenden Arbeiten von H. Hertz über die elektrodynamischen Strahlen, an die Hittorff's und Crookes' Leistungen noch überstrahlenden Untersuchungen von Nicola Tesla über die Wirkungen hochgespannter Wechselströme von sehr grosser Wechselzahl und an die von Röntgen entdeckten X-Strahlen –, haben die Kenntnisse des Menschen über die Kräfte der Natur und deren Zusammenhang ausserordentlich erweitert und für Vorgänge, welche bisher unverständlich waren und nur in einem zufälligen Zusammenhang miteinander zu stehen schienen, einfache und lichtvolle Erklärungen gebracht. Zu einem so glänzenden Resultat hat jedoch die moderne Naturforschung nur dadurch gelangen können, dass die alte Huyghens'sche Vibrationstheorie des Lichtes nach und nach auch auf das Gebiet der Wärme und im letzten Jahrzehnt im Anschluss an die Experimente von Hertz ebenfalls auf die Elektrizität übertragen wurde. Sieht man von diesen experimentellen Arbeiten ab, so tragen die diesbezüglichen Spekulationen den Charakter hoher mathematisch-analytischer Deduktionen, welche an die mathematische Schulung des Lesers nicht geringe Anforderungen stellen. Es kann ja nicht bestritten werden, dass dadurch der Zusammenhang der Elektrizität mit den Sondergebieten derWärme und des Lichtes für einen beschränkten Leserkreis formelmässig nachgewiesen ist; ebenso sicher aber steht fest, dass ein grosser Kreis der Techniker und Physiker derartigen rein mathematischen Wendungen nicht zu folgen vermag und daher von diesen Ergebnissen unberührt geblieben ist. Alle diese theoretischen Arbeiten gründeten und bauten sich auf der Maxwell'schen Theorie der Elektrizität auf, welche besonders durch die bekannten experimentellen und theoretischen Arbeiten des verstorbenen Bonner Professors Hertz in Deutschland an Bedeutung und Beachtung gewonnen hat und, wenn man von der sicheren mechanischen Begründung der Maxwell'schen Grundgleichungen absieht und sein Augenmerk nur darauf richtet, dass die grösste Zahl der Erscheinungen in dem behandelten Gebiete sich daraus ableiten resp. durch dieselben analytisch sich darstellen lässt, allerdings volle Anerkennung und Wertschätzung verdient. Indessen ist es bis jetzt weder Maxwell noch irgend einem anderen Forscher gelungen, eine vollständig befriedigende mechanische Ableitung der Grundgleichungen des englischen Forschers zu geben; selbst Hertz musste sich zunächst damit begnügen, diese Grundgleichungen einfach hinzuschreiben, und bemerkt dazu nur, dass ihre beste Begründung darin besteht, dass daraus sämtliche Phänomene in richtiger Weise folgen. Auch diese Methode hat einen gewissen Vorzug; denn man hält sich dann jedenfalls von jeder Hypothese frei, muss dafür aber auch auf den Anspruch einer mechanischen Vertiefung der Faraday-Maxwell'schen Anschauung verzichten. Dies hat Hertz, dessen hohes Verdienst hierdurch selbstverständlich in keiner Weise verkleinert werden soll, wohl selbst gefühlt, wie aus seiner nachgelassenen Mechanik, in der er jenem Mangel abzuhelfen sucht, deutlich hervorgeht. Dass Hertz darin das gewünschte Ziel nicht erreicht hat, kennzeichnete v. Heimholte mit dem Ausspruch, dass das posthume Werk für die mechanische Begründung und Vertiefung der elektromagnetischen Lichttheorie in der Zukunft bedeutenden heuristischen Wert haben werde. Indessen dürfte nach meinem Dafürhalten das Ziel auf dem bisher befolgten Wege schwerlich erreicht werden, da die nach der Maxwell'schen Grundanschauung angenommenen Zug- und Druckspannungen, welche von der elektromotorischen Kraft erzeugt und durch welche die Polarisation und sonstigen elektrischen Vorgänge erklärt werden, noch einen transcendentalen Kern in sich bergen und zum sicheren mechanischen Verständnis noch der Zurückführung auf die Wirkung der Molekularkräfte und der Aetherschwingungen bedürfen. Maxwell sah vorahnenden Geistes die Lösung dieser Aufgabe voraus; denn er schreibt in Bd. 1 S. 163 seines Grundwerkes in der Uebersetzung von Dr. Weinstein: „Der nächste Schritt, den wir zu machen hätten, müsste uns erklären, wie dieser Zwang durch die Einwirkung der einzelnen Partikel des Mediums aufeinander zu stände kommt. Er scheint mir deshalb von grosser Wichtigkeit zu sein, weil er Erscheinungen, die man früher nur durch die Annahme der Existenz einer Wirkung in die Ferne hat erklären können, auf das Spiel molekularer Kraft reduzieren würde. Ich bin aber nicht im stände gewesen, diesen zweiten Schritt zu machen und mit den Prinzipien der Mechanik jenen Zwangszustand eines Mediums aus Molekularkräften abzuleiten. Ich werde daher die Theorie auf diesem Punkte noch stehen lassen und mich zu den anderen Erscheinungen, die in einem Dielektrikum während der Induktion zu Tage treten, wenden.“ Hieraus erklärt sich auch, dass die Vorstellungen, welche Maxwell sich über den mechanischen Vorgang bei elektrischen Wirkungen innerhalb und ausserhalb der Körper bildete, zum Teil dunkel oder wenigstens nicht der wahren Sachlage entsprechend ausgefallen sind. Mit der dem Engländer angeborenen Reserve erklärte er daher die Mechanismen, welche er zur Verdeutlichung des mechanischen Vorgangs der wirksamen Elektrizität ersonnen hatte, nur als reine Bilder, bei denen man sich nichts weiter zu denken habe. In der That dürfte auch die mechanische Vorstellung über die Wirksamkeit des elektrischen Stromes nach der Boltzmann'schen Darstellung, welche ich hier wörtlich folgen lasse, nicht vollständige Klarheit und Befriedigung gewähren. Boltzmann sagt in seinen „Vorlesungen über Maxwell's Theorie der Elektrizität und des Lichtes“ II. Teil S. 152: „Nach unserer mechanischen Vorstellung verhält sich also die Elektrizität keineswegs wie eine Flüssigkeit, die durch ihren eigenen Druck im Drahte fortgetrieben wird, womit ja besonders die Ansammlung auf Flächen bis zur unendlichen Dichte unvereinbar ist. Sie verhält sich ja auch nach der alten Theorie nicht so, da sie nach letzterer nicht durch ihre inneren Druckkräfte, sondern durch die Fernwirkung der freien Elektrizität auf die Oberfläche des Drahtes getrieben wird. Nach unserer mechanischen Vorstellung dagegen wird die treibende Kraft sogar ausschliesslich durch das umgebende Dielektrikum vermittelt. Die elektromotorischen Kräfte versetzen zunächst nur die Wirbel im Inneren desjenigen Teiles des Drahtes, der innerhalb der kritischen Schicht liegt, in Rotation. Durch die Vermittelung der Friktionsröllchen werden sodann die Wirbel in der Luft an den dem Drahte benachbarten Stellen, dann auch die in der übrigen Luftmasse in Bewegung gesetzt. Diese erst greifen durch die Friktionsröllchen in diejenigen Wirbel ein, welche sich im Inneren des Drahtes ausserhalb der kritischen Schicht befinden, und versetzen sie in Rotation, treiben daher den elektrischen Strom. Vermöge des Ineinandergreifens des ganzen Mechanismus kann der Zustand nur stationär werden, wenn die negative Rotationsgeschwindigkeit innerhalb der kritischen Schicht zu der positiven ausserhalb derselben in einem ganz bestimmten Verhältnisse steht, das vom Verhältnisse der Widerstände ausserhalb und innerhalb der kritischen Schicht abhängt.“ Diese Probe dürfte erkennen lassen, dass das dem Vorworte vorgesetzte Motto: „War es ein Gott, der diese Zeichen schrieb, Die mit geheimnisvoll verborgenem Trieb Die Kräfte der Natur um mich enthüllen, Und mir das Herz mit stiller Freude füllen?“ mehr für die Tragweite der analytischen Grundformeln als für deren innere Begründung der Mechanik Geltung hat. Der Meister in seiner ungeschminkten Offenherzigkeit dachte daher erheblich richtiger als sein Schüler; denn noch fehlt viel, dass die Faraday-Maxwell'sche Theorie mechanisch sicher begründet ist und die geheimnisvollen Kräfte der Natur zu deuten und zu enthüllen vermag. Im Gegensatz zu den analytischen Bearbeitungen der Maxwell'schen Theorie in Deutschland haben die englischen Forscher, wie Lord Kelvin (W. Thomson) u.a., den Bahnen ihres Meisters folgend, die mechanischen Vorstellungen über den inneren Wirkungsvorgang bei den elektrischen Erscheinungen zu klären und mit Hilfe der Prinzipien der Mechanik zu begründen gesucht. In der That beruht heute der Schwerpunkt der elektrischen Forschung nicht mehr auf der rein analytischen Behandlung der elektrischen Vorgänge und Ausbauung der mathematischen Elektrizitätslehre, sondern auf der Ausmerzung der mechanisch unbegreiflichen Vorstellung der Fernwirkung und auf der Erklärung der elektrischen Erscheinungen durch Uebertragung mittels eines Mediums nach mechanischen Prinzipien. Diese heute mehr denn je gültige Ansicht sprach Maxwell schon in der Vorrede zum ersten Bande seines Werkes am 1. Februar 1873 mit den Worten aus, dass die deutschen Gelehrten vorwiegend sich damit begnügt hätten, die experimentell festgestellte Fernwirkung als solche anzunehmen und mit derselben zu rechnen, ohne über das Mittel nachzusinnen, welches die Fernwirkung von einem Körper zum anderen hinüberleitete; Faraday dagegen habe als der erste den Aether als das verbindende Medium erkannt und in seinem geistigen Auge überall da Kraftlinien den Raum durchdringen gesehen, wo die Mathematiker in der Ferne wirkende Kraftzentren annahmen, während dort, wo diese nur die Abstände zwischen den Kraftzentren ins Auge fassten, für jenen ein Zwischenmedium vorhanden war. Maxwell hat jedoch nichts mehr und nichts weniger gethan, als dass er Faraday's Ideen in analytische Formeln einkleidete; er geriet also in denselben Fehler, den er den deutschen Gelehrten zum Vorwurf machte, da er eingestandenermassen die mechanische Begründung seiner Formeln nicht zu geben vermochte. Den inneren Grund, warum Maxwell und seine Anhänger bis heute nicht zum Ziel gelangt sind, sieht Prof. M. Möller-Braunschweig mit Recht in dem Umstände, dass ihr Denken zu sehr an den molekularen Bewegungen haftet und nicht berücksichtigt, dass auch im Vakuum wichtige ätherische Vorgänge auftreten. Es ist übrigens zu verwundern, dass die deutschen Gelehrten nicht schon längst auch für die Elektrizität und den Magnetismus die von England her überkommene absurde Idee der unvermittelten Fernwirkung über Bord geworfen und die in mechanischer Hinsicht nicht sehr feine Faraday-Maxwell'sche Anschauung nach dem grossen Vorbilde, das Huyghens in seiner kleinen und doch so genialen Schrift Ursache der Schwere (in deutscher Uebersetzung von Rudolph Mewes im Verlag von M. Krayn in Berlin) für die Massenanziehung gegeben hat, durch die Vibrationstheorie ersetzt, also statt die optischen Erscheinungen durch die elektrischen, umgekehrt diese durch jene erklärt haben. Den ersten und wichtigsten Schritt in dieser Richtung bildeten die berühmten Experimente von Professor Hertz in Bonn; gleichzeitig habe ich diese Aufgabe durch meine Arbeiten in der Zeitschrift des deutschen Vereins zur Förderung der Luftschiffahrt (Jahrg. 1888/89) und in Elementare Physik des Aethers (Teil I und II) mit Hilfe der Sellmeier-Helmholtz'schen Dispersionstheorie zu lösen gesucht, indem ich an den vorhandenen Beobachtungen nachwies, dass diese Theorie die wichtigsten Erscheinungen in einfacher Weise zu erklären vermag. Die Berechtigung, die Dispersionstheorie auch auf die elektrischen Vorgänge übertragen zu dürfen, hat auch H. v. Helmholtz in seiner letzten Abhandlung Elektromagnetische Theorie der Farbenzerstreuung in Wiedemann's Annalen, Neue Folge Bd. 48, S. 389 bis 406, durch die Ableitung der Grundgleichungen der Dispersionstheorie speziell für die elektrischen Strahlen nachgewiesen. Helmholtz hat bei der Lösung dieser Aufgabe, und zwar mit gutem Grunde, die Maxwell'schen Grundgleichungen nicht berücksichtigt und begründet dies auf S. 392 a. a. O. folgendermassen: „Ich habe es vorgezogen, statt von den Maxwell'schen Gleichungen auszugehen, die neu hinzukommenden Einflüsse in die von mir für die Elektrodynamik entwickelte Form des Prinzips der kleinsten Wirkung aufzunehmen, weil man dadurch vor dem Uebersehen einzelner notwendig vorhandener Gegenwirkungen in dem hier schon ziemlich verwickelten Spiel der Kräfte geschützt und dadurch die Anzahl der unabhängigen Hypothesen von zweifelhafter Richtigkeit wesentlich vermindert wird.“ Wegen der Bedeutung, welche die Maxwell'schen Gleichungen nach vorstehenden Ausführungen in der Elektrizitätslehre einnehmen, will ich daher die mechanische Begründung derselben mit Hilfe der Sellmeier-Helmholz'schen Absorptionstheorie und meiner diesbezüglichen oben erwähnten Arbeiten im nächsten Abschnitt folgen lassen. II. Die Maxwell'sche und die Sellmeier'sche Grundgleichung. In meinen Arbeiten über die elektrische Wellentheorie bin ich von der Voraussetzung ausgegangen, dass die elektrischen Vorgänge ohne Ausnahme auf die Emission oder Absorption gewisser Aetherschwingungen zurückführbar sind, und habe, um eine sichere Grundlage für die mathematische Formulierung zu erhalten, mein Augenmerk in erster Linie darauf gerichtet, dass auch für die strahlende Elektrizität das Kirchhoff'sche Gesetz von der Gleichheit des Emissions- und Absorptionsvermögens besteht. Aus dieser Annahme folgt aber durch eine ganz ähnliche Entwickelung, wie sie Kirchhoff für Licht und Wärme gegeben hat, für das sogen. Dispersionsgesetz der statischen Elektrizität, d.h. für das Gesetz, nach welchem ein mit Elektrizität geladener Körper mit der Zeit seinen elektrischen Zustand verändert, wenn man ihn nach der Ladung sich selbst überlässt, dieselbe Formel wie für das Gesetz, nach welchem absorbierte Licht- und Wärmeschwingungen mit der Zeit wieder ausgestrahlt werden. Der experimentelle Nachweis für die Richtigkeit dieser Schlussfolgerung ergibt sich aus den Beobachtungen über die Emission der Elektrizität der mit Elektrizität geladenen Körper, wenn dieselben sich in Luft oder anderen Gasen befinden. Denn ebenso wie die Temperatur des erwärmten Körpers in einer geometrischen Progression sinkt, wenn die Zeiten in arithmetischer Progression wachsen, ebenso nehmen auch die Elektrizitätsmengen in einer geometrischen Reihe ab, wenn die Zeiten in arithmetischer Reihe zunehmen. Ferner beweist die Beobachtung, dass in beiden Fällen die Abnahme der Wellenbewegung von der Masse der Körper und von der Grösse ihrer Oberfläche und in gewissen Grenzen auch von der Intensität der zugeführten Wellenmenge unabhängig ist. Dasselbe gilt auch für die Ausstrahlung der absorbierten Lichtstrahlen, d.h. für die Schwächung der durch Belichtung erzeugten Phosphorescenz mit der Zeit. Thatsächlich stimmen die drei diese Vorgänge darstellenden Formeln, welche bezüglich von Dulong, Coulomb und Becquerel experimentell bewiesen sind, miteinander überein; denn die Formel für die Erkaltung eines erwärmten Körpers lautet t=t_0\,e^{p\,x} . . . . . 1) diejenige für die Zerstreuung der Elektrizität Q=Q_0\,c^{-q\,x} . . . . . 2) und diejenige für die Emission des Phosphorescenzlichtes i=i_0\,c^{-a\,x} . . . . . 3) In diesen Formeln bedeutet t0 die Anfangstemperatur, Q0 die ursprüngliche Elektrizitätsmenge, i0 die anfängliche Intensität des Lichtes, während t, Q und i die Temperatur, bezw. die Elektrizitäts- und Lichtmenge zur Zeit x und p, q und a Konstanten sind. Die Uebereinstimmung dieser Formeln veranlasste mich, die Sellmeier-Helmholtz'sche Absorptions- oder Dispersionstheorie, die ursprünglich nur für das Licht bestimmt underst später auf die Wärme ausgedehnt wurde, auch auf die elektrischen Schwingungen zu übertragen. Ich habe daher ganz in derselben Weise, wie dies in dieser Theorie geschehen ist, die Annahme gemacht, dass auch die elektrischen Schwingungen der Aetherteilchen die Schwingungen der Körpermoleküle beeinflussen können, dass die letzteren mit den ersteren isochron hin und her schwingen und zwar in einer Amplitude, welche derjenigen der Aetherschwingungen proportional ist. Nach Sellmeier's Entwickelungen in Poggendorff's Annalen Bd. 145 u. 146 (siehe auch Wüllner's Experimentalphysik Bd. 1, §§ 113 bis 118) erhält man, wenn man annimmt, dass ein Aetheratom mit der Amplitude a0 nach dem Kraftgesetz \frac{d^2\,\xi}{d\,t^2}=-k\,\xi . . . . . 4) hin und her schwingt, für die Verschiebung des Aetheratoms ξ0 die Gleichung \xi_0=a_0\,sin\,\frac{2\,\pi\,(i+\alpha)}{\tau} . . . . . 5) worin τ die Schwingungsdauer des Gleichgewichtsortes des Aetheratoms, t die Zeit und α eine die Phase bestimmende Konstante ist. Differentiiert man die Gleichung 5) zweimal nach t, so erhält man \frac{d^2\,\xi}{d\,t^2}=-a_0\,sin\,\frac{2\,\pi\,(t+\alpha)}{\tau}\,.\,\frac{4\,\pi^2}{\tau^2} . . . . . 6) wenn man nun aus Gleichung 5) für a_0\,sin\,\frac{2\,\pi\,(t+\alpha)}{\tau} den Wert ξ0 einsetzt, so erhält man durch Gleichsetzen des Resultates mit Gleichung 4) -k\,\xi_0=-\xi_0\,.\,\frac{4\,\pi^2}{\tau^2} oder k=\frac{4\,\pi^2}{\tau^2} . . . . . 7) Da nun sowohl für die Schwingungen der Körpermoleküle als auch für diejenigen der Aetheratome das Huyghens'sche Unabhängigkeitsprinzip oder das sogen. Prinzip der Koexistenz kleiner Bewegungen gilt, so kann man die Koordinatenachsen mit den Schwingungsachsen eines Körperteilchens zusammenfallen lassen und die auf dasselbe wirkenden beschleunigenden Kräfte unter der Annahme, dass das obige Kraftgesetz 4) auch für die schwingende Bewegung der Körpermoleküle statthat, durch die folgenden Gleichungen ausdrücken: X=-\frac{4\,\pi^2}{\delta^2}\,(\xi-\xi_0) Y=-\frac{4\,\pi^2}{\delta'^2}\,(\eta-\eta_0) Z=-\frac{4\,\pi^2}{\delta''^2}\,(\zeta-\zeta_0) . . . . 8) worin ξ, η, ζ die Verschiebungen des Körperteilchens, ξ0, η0, ζ0 diejenigen seines momentanen Gleichgewichtsortes und δ, δ', δ'' seine eigentümlichen Schwingungsdauern bedeuten. Die Gleichungen 8) sind dieselben wie in 4), nur dass für die Konstante k der bezügliche Wert \frac{4\,\pi^2}{\delta^2} etc. eingesetzt ist. Ich beschränke mich auf die Betrachtung der Bewegung in der Richtung der X, da dieselbe von den ähnlichen Bewegungen in den Richtungen der Y und Z unabhängig ist. Da nach 5) \xi_0=a_0\,sin\,\frac{2\,\pi\,(t+\alpha)}{\tau} ist, so erhält man, wenn man in die erste der Gleichungen 8) diesen Wert einsetzt und \frac{d^2\,\xi}{d\,t^2} für X schreibt, die Differentialgleichung \frac{d^2\,\xi}{d\,t^2}=-\frac{4\,\pi^2}{\delta^2}\,\left(\xi-a_0\,sin\,2\,\pi\,\frac{t+\alpha}{\tau}\right) . . 9) derselben entspricht das Integral \xi=\frac{\tau^2}{\tau^2-\delta^2}\,a_0\,sin\,2\,\pi\,\frac{t+\alpha}{\tau}+b\,sin\,2\,\pi\,\frac{t+\beta}{\delta} . 10) für den Sonderfall τ = δ dagegen das Integral \xi=-\pi\,\frac{t}{\delta}\,a_0\,cos\,2\,\pi\,\frac{t+\alpha}{\delta}+b\,sin\,2\,\pi\,\frac{t+\beta}{\delta} . 11) Es bedeutet hierin ξ die Verschiebung des Körperteilchens und δ die eigentümliche Schwingungsdauer des Körperteilchens, während b und β die beiden willkürlichen Konstanten sind. Rechnet man nun die Zeit von dem Punkte ab, wo das bewegte Körperteilchen durch seine Gleichgewichtslage geht, so erhält man aus den Gleichungen 10) und 11) die Gleichungen \xi-\frac{\tau^2}{\tau^2-\delta^2}\,a_0\,sin\,4\,\pi\,\frac{t}{\delta}. . . 12) \xi=-\pi\,\frac{t}{\delta}\,a_0\,cos\,2\,\pi\,\frac{t}{\delta}=\pi\,\frac{t}{\delta}\,a_0\,sin\,2\,\pi\,\frac{t-\frac{1}{4}\,\delta}{\delta} . 13) Aus den hier abgeleiteten Gleichungen lässt sich die Grösse der lebendigen Kraft ermitteln, welche von den Aetherschwingungen auf die Körpermoleküle bei dem Durchgange durch ein bestimmtes Medium übergeht. Man erhält nämlich aus Gleichung 4) für die Arbeit, welche geleistet werden muss, um das Aetherteilchen aus der Entfernung ξ in ξ + dξ zubringen, den Wert kmξdξ, wenn m die bewegte Masse bedeutet, also für die Arbeit, welche im freien Aether das Aetherteilchen bis zur Amplitude a zu entfernen vermag, den Wert \int\limits_0^a\,k\,m\,\xi\,d\,\xi=\frac{1}{2}\,k\,m\,a^2 . . . 14) Bei der Fortpflanzung der Aetherschwingungen in körperlichen Medien muss jedoch eine gewisse Arbeit L geleistet werden, um deren Betrag dann die lebendige Kraft beim Durchgange durch die Gleichgewichtslage kleiner ist. Diesen Betrag bestimmt man nach Sellmeier folgendermassen: Wenn sich im Inneren des Körpers der Aether in einer schwingenden Bewegung befindet, deren Wellenlänge l und deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit c ist, so ist die Schwingungsdauer \tau=\frac{l}{c}. Im freien Aether ist dann, wenn n der Brechungsexponent des Mediums ist, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit bekanntlich ne, also die Schwingungsdauer bei gleicher Wellenlänge \tau'=\frac{l}{n\,c}=\frac{\tau}{n} . . . . 15) so dass die Arbeit, welche nun im freien Aether geleistet werden muss, um in dieser das Aetherteilchen bis zur Amplitude a' zu entfernen, in derselben Weise wie vorher gleich \frac{1}{2}\,k\,m\,(a')^2=\frac{1}{2}\,\frac{4\,\pi^2}{\tau'^2}\,.\,m\,(a')^2 . . . . 16) gefunden wird, da ja k=\frac{4\,\pi^2}{\tau'^2} nach obiger Ableitung ist. Nimmt man nun mit Fresnel an, dass erstlich die elastische Kraft des Aethers in den brechenden Medien absolut gleich derjenigen des freien Aethers und die Masse der einzelnen Aetherteilchen überall die gleiche ist, so muss auch im Inneren der Körper k=\frac{4\,\pi^2}{\tau'^2}=\frac{4\,\pi^2\,n^2}{\tau^2} . . . 17) sein. Demnach ist in einem sehr kleinen Körperelement, etwa in einer unendlich dünnen Kugelschale mit der Gesamtäthermasse m' deren Teilchen alle gleiche Phase haben, die Arbeit, welche geleistet werden muss, um die Aetherteilchen bis zur Amplitude a' zu entfernen, oder die ihr gleichwertige lebendige Kraft m'\,\frac{{v_1}^2}{2}=n^2\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,m'\,(a')^2 . . . . 18) Aus Gleichung 5) folgt durch Differentiation für die Geschwindigkeit des Aetherteilchens der Wert \frac{d\,\xi}{d\,t}=\frac{2\,\pi}{\tau}\,a'\,cos\,2\,\pi\,\frac{t}{\tau} . . . . 19) also für den Moment, in welchem die Gleichgewichtslage passiert wird, d.h. zur Zeit t=\frac{\tau}{2}, \frac{d\,\xi}{d\,t}=-\frac{2\,\pi}{\tau}\,a' . . . . 20) also ist die lebendige Kraft der Masse m' gleich m'\,\frac{v^2}{2}=\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,m'\,(a')^2 . . . . 21) Der bei der Schwingung eingetretene Verlust an lebendiger Kraft ist also gleich der Differenz der Grössen in Gleichung 18) und 21), d.h. V=m'\,\frac{{v_1}^2}{2}-m'\,\frac{v^2}{2}=n^2\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2-\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2-(n^2-1)\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2 . . . . 22) Diese lebendige Kraft ist ganz an die körperlichen Moleküle übergegangen und ist das mechanische Mass der absorbierten Wellen. Die rechte Seite der Gleichung 22) stellt die Differenz zweier Glieder dar, deren erstes Glied n^2\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2=\frac{m^2\,c^2}{2}\,.\,m'\,\left(\frac{2\,\pi\,a'}{l}\right)^2 . . . . 23) die lebendige Kraft der tonischen Bewegung, d.h. die gesamte den im Körper eingelagerten Aetheratomen innewohnende lebendige Kraft nach der Absorption, deren zweites Glied die gesamte lebendige Kraft ist, welche die im Zwischenvolumen eingelagerten Aetheratome vor der Absorption besitzen. Die mechanisch leicht verständliche Gleichung 22) V=m'\,\frac{{v_1}^2}{2}-m'\,\frac{v^2}{2}=(n^2-1)\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2 zeigt also an, dass die bei der Absorption geleistete Arbeit bezw. die ihr gleichwertige lebendige Kraft, welche ganz an die körperlichen Moleküle übergegangen ist, gleich der Differenz der lebendigen Kräfte nach und vor der Absorption ist. Danach stellt das zweite Glied, der normale Schwingungszustand des Aethers, die Niveaufläche dar, auf welche die Arbeitsleistungen bezogen werden. Wir erhalten also, wie ich in der zweiten Ausgabe von Licht-, Elektrizitäts- und X-Strahlen. Beitrag zur Erklärung der Aetherwellen (Berlin 1899, Fischer's technologischer Verlag, M. Krayn, W. Steglitzerstr. 86) besonders hervorgehoben habe, genau so wie bei der Schwere und der Elektrizität nach der Sellmeier'schen Formel die bei der Absorption geleistete Arbeit gleich der Differenz der lebendigen Kräfte, welche von den fraglichen Niveauflächen aus gerechnet werden. Hieraus allein erklärt sich in gesetzmässiger Weise, dass bei allen physikalischen und chemischen Vorgängen, welche in meinen bereits mehrfach erwähnten Schriften untersucht worden sind, gerade die brechende Kraft n2 – 1, d.h. die mit der Natur des Mittels veränderliche geleistete Arbeit oder die ihr gleichwertige lebendige Kraft V1, bezogen auf die lebendige Kraft des Aethers vor der Absorption, V_1=V/\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2)n^2-1 . . . . 24) sich als Kennzeichen und Mass für dieselben ergeben hat. Die Ursache hierfür liegt nach den vorstehenden Erläuterungen einfach darin begründet, dass alle jene Erscheinungen ihrem inneren Wesen nach auf Arbeitsleistungen zurückzuführen sind, welche sich als Differenzen lebendiger Kräfte darstellen. Infolge dieses inneren Zusammenhanges kann man auch die brechende Kraft als die für alle Naturvorgänge geeignete Masseinheit anwenden und somit dieselben von dem allumfassenden Standpunkt der Wellentheorie aus einheitlich messen und miteinander vergleichen. Hierin liegt die zentrale Bedeutung der brechenden Kraft n2 – 1 in Physik und Chemie; sie ist eben das einfachste und umfassendste Mass der Dinge, da sie als Differenz zweier lebendiger Kräfte einer ihr gleichwertigen Arbeit oder anderen lebendigen Kraft gleich ist und als Arbeit seit der Begründung der mechanischen Wärmetheorie als allgemeinste Masseinheit gelten darf. Ich glaubte auf diesen Sachverhalt, der den hier gegebenen analytischen Entwickelungen zu Grunde liegt, hinweisen zu müssen, damit der einheitliche Kern der Auseinandersetzungen klar und deutlich erkannt wird. Dass die brechende Kraft thatsächlich eine solche weittragende und umfassende Bedeutung besitzt, haben die Beobachtungen bewiesen; man vergleiche in dieser Hinsicht die Versuche in meiner zuletzt genannten Schrift auf S. 17, 51, 53, 76, 77, 105, ferner Physik des Aethers I. Teil S. 11, 16, 17, 59, 63, 64, 65, II. Teil S. 7, 39, 95, 98. Bezieht man die absorbierte Wellenmenge auf die lebendige Kraft der tonischen Bewegung m'\,\frac{{v_1}^2}{2}=n^2\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2, so erhält man als Ausdruck für die geleistete Arbeit V_2=V/n^2\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2=\frac{n^2-1}{n^2} . . 25) und damit \frac{n^2-1}{n^2} als Kennzeichen und Mass für die physikalischen und chemischen Vorgänge. Ob man Gleichung 24) oder 25) wählt, ist belanglos; ich habe stets die Gleichung 24) als die einfachere gewählt. Die Sellmeier'sche Absorptionsgleichung 22) bezw. 24) gilt für alle Aetherschwingungen und besagt in der Form 24), dass „die absorbierten Wellenmengen sich wie die brechenden Kräfte verhalten“. Für Gase lässt sich dieses einfache Gesetz durch sichere Beobachtungen für Wärme-, Licht- und Elektrizitätsstrahlen bestätigen. Da die spezifischen Wärmen gleicher Gasvolumina unter demselben Druck der bei gleicher Temperaturerhöhung absorbierten Wärme proportional sind, so müssen die spezifischen Wärmen gleicher Gasvolumina unter demselben Druck ebenfalls der brechenden Kraft proportional sein. In der folgenden Tabelle aus Elementare Physik des Aethers S. 10 sind die beweisenden Beobachtungen, welche Magnus, Dulong, Boltzmann und Regnault gemacht haben, zusammengestellt. Die beiden ersten Kolonnen stellen die Beobachtungen von Magnus in Pogg. Ann. Bd. 112 dar, die nächste enthält die von Dulong beobachteten Kräfte der Gase (Ann. de chim. et de phys. T. XXXI, p. 154, Pogg. Ann. Bd. 6) und die vorletzte Reihe ist aus den von Boltzmann beobachteten Dielektrizitätskonstanten berechnet worden (Pogg. Ann. Bd. 155, S. 403), während die letzte Reihe die von Regnault beobachteten spezifischen Wärmen wiedergibt. Der Wert für Wärmeabsorption von CO wird zu gross, weil CO durch die Licht- und Wärmestrahlen in CO2 verwandelt und somit chemische Arbeit geleistet wird. Ob ähnliches bei H geschieht, vermag ich nicht zu sagen. Gase A n2 – 1 D – 1 cp . s Absorptions-vermögen fürWärmeBeob. Magnus BrechendeKraftDulongLuft = 1 Absorptions-vermögen fürElektrizitätBoltzmannLuft = 1 SpezifisheWarmeGleicherVoluminaRegnault Luft = 1 Luft 14,75 1,0 1,0 1,0   1,0 O 14,75 1,0     0,924     0,924   1,029 H 16,23      1,1 (?) 0,5   0,45   0,64  (Clé-           ment) CO 27,95      2,0 (?)     1,157     1,169   1,008 CO2 21,92 1,5     1,526     1,603   1,569 NO2 24,50 1,7   1,71     1,678   1,649 CH4 23,39   1,63     1,504   1,60   1,568 C2H4 40,00 2,8     2,302   2,22   1,949 Aus der Gleichheit der vierten und fünften Kolonne der vorstehenden Tabelle folgt, dass n^2-1=D-1 oder n=\sqrt{D} . . . . 26) ist. Zu demselben Resultat führt auch die Maxwell'sche Theorie, da nach derselben \frac{1}{\sqrt{D}}=V=\frac{1}{n}oder n-\sqrt{D} . . . . . 27) ist. Die Uebereinstimmung zwischen den Resultaten der Maxwell'schen und Sellmeier'schen Theorie erklärt sich daher, dass die von Faraday und Maxwell als Grundlage ihrer Forschung angenommenen Kraftlinien, deren mechanische Erklärung nicht gegeben wird, nach der Vibrationstheorie in mechanisch verständlicher Weise als die Interferenzkurven der sich kugel- oder strahlenförmig ausbreitenden Aetherschwingungen aufgefasst werden. Maxwell vermag über die Entstehung der Kraftlinien nur die höchst unbestimmte Erklärung abzugeben, dass dieselben unter der Einwirkung von Null ansteigender, magnetisierender Kräfte aus Punkten, welche sich zu Kreisen erweitern, entstehen. Während man danach diejenigen Kurven, welche durch auf Papier gestreutes Eisenpulver oder Eisenfeile unter der Wirksamkeit des Magneten gebildet werden, als Kraftlinien ansieht, würde man in Uebereinstimmung mit den entsprechenden akustischen Vorgängen nicht diese Kurven, sondern die zwischen ihnen liegenden, von den Eisenteilchen nicht bedeckten Kurven als die eigentlichen Kraftlinien bezeichnen müssen. Die Eisenteilchen bleiben nämlich hiernach nur an denjenigen Stellen in Ruhe, in welchen sich die Schwingungen durch Interferenz aufheben, werden aber von denjenigen Stellen, in welchen die elektrischen Schwingungen sich verstärken, fortgetrieben, wie dies ja bei den akustischen Trans Versalschwingungen Chladni'sche Klangfiguren) ebenfalls geschieht. Für die Richtigkeit dieser Anschauung spricht in hohem Masse die Aehnlichkeit der Form der Magnetkraftlinien mit den Interferenzfiguren dünngeschliffener Krystalle. Uebrigens lassen sich die Maxwell'schen Grundgleichungen mit der Grundgleichung der Sellmeier'schen Absorptionstheorie miteinander identifizieren; beide stellen im Grunde genommen nur einunddenselben Sachverhalt dar. Es entspricht nämlich das erste Glied der Gleichung 22) V=m'\,\frac{{v_1}^2}{2}-m'\,\frac{v^2}{2}=(n^2-1)\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2, d.h. \frac{{v_1}^2}{2}=n^2\,.\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2-\frac{n^2\,c^2}{2}\,m'\,\left(\frac{2\,\pi\,a'}{l}\right)^2 . 28) der lebendigen Kraft Tdτ der tonischen Bewegung, dagegen der ganze Ausdruck (n^2-1)\,\frac{2\,\pi^2}{\tau^2}\,.\,m'\,(a')^2 der Arbeitsleistung Vdτ im Volumenelemente dτ, welche die tonischen Kräfte bei der Ueberwindung der widerstehenden Molekularkräfte leisten. Setzt man das Volumenelement dτ gleich 1, so erhält man für die beiden ersten Maxwell'schen Grundgleichungen, aus welchen die übrigen mit Hilfe des Hamilton'schen Prinzips sich herleiten lassen, T=\frac{K}{8\,\pi}\,(P^2+Q^2+R^2) . . . . 29) worin P=\frac{d\,F}{d\,t},\ Q=\frac{d\,G}{d\,t},\ R=\frac{d\,H}{t} . . . . 30) d.h. gleich den tonischen Geschwindigkeitskomponenten des tonischen Vektors F, G, H sind und K eine Konstante ist, V=\frac{r}{2}\,(a^2+b^2+c^2)=\frac{1}{8\,\pi\,n}\,(a^2+b^2+c^2) . . . . . 31) worin a=\frac{d\,H}{d\,y}-\frac{d\,G}{d\,z},\ b=\frac{d\,F}{d\,z}-\frac{d\,H}{d\,x},\ c=\frac{d\,G}{d\,x}-\frac{d\,F}{d\,y} . . . . . 32) und r und u Konstanten sind. Mit Rücksicht auf die Gleichungen 30) und 32) kann man auch setzen V=\frac{1}{2\,u} \left{\frac{(d\,F)^2+(d\,G)^2+(d\,H)^2}{(2\,\sqrt{\pi})^2}-\frac{\frac{d\,F}{d\,x}+\frac{d\,G}{d\,y}+\frac{d\,H}{d\,z}}{(2\,\sqrt{\pi})^2}\right} 33) Nach der Potentialtheorie ist aber, da die uns bekannten Naturkräfte bezw. die dieselben bedingenden Aetherschwingungen im umgekehrten Quadrate der Entfernung abnehmen, das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung 33) \frac{d\,F}{d\,x}+\frac{d\,G}{d\,y}+\frac{d\,H}{d\,z}=0 . . . . 34) für alle ausserhalb des wirksamen Körpers gelegenen Punkte, wie ja ausführlich auch von Maxwell in A Treatise on Electricity and Magnetism Vol. I, p. 21 ff., begründet worden ist. Pur alle Strahlungserscheinungen, welche hier in Präge kommen, trifft diese Bedingung zu; folglich erhält man mit Rücksicht hierauf aus Gleichung 33) v=\frac{1}{2\,u}\,\frac{(d\,F)^2+(d\,G)^2+(d\,H)^2}{(2\,\sqrt{\pi})^2} . . 35) während nach Sellmeier [siehe Gleichung 22) und 28)] für die Masseneinheit V=\frac{(n^2-1)\,c^2}{l^2}\,.\,(2\,\pi\,a')^2=\frac{(n^2-1)\,c^2}{2}\,.\,\left(\frac{2\,\pi\,a'}{l}\right)^2 ist. Diese Gleichungen sind identisch, wenn \frac{1}{u}=(n ^2-1)\,.\,c^2 bezw. \frac{1}{u}=\frac{n^2-1}{l^2}\,.\,c^2 36) und gemäss Identifizierung der Gleichungen 28) und 29) n^2-k_1, bezw. \frac{n^2\,c^2}{l^2}=K oder \frac{n^2}{l^2}-K, \mbox{bezw.}\left{{\left(\frac{2\,\pi\,a'\,c}{l}\right)^2=\left(\frac{P}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2+\left(\frac{Q}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2+\left(\frac{R}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2}\atop{(2\,\pi\,a')^2=\left(\frac{P}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2+\left(\frac{Q}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2+\left(\frac{R}{2\,\sqrt{\pi}}\right)^2}}\right\}\ .\ .\ .\ 37) oder, was auf dasselbe hinauskommt, (2\,\pi\,a')^2 bezw. \left(\frac{2\,\pi\,a'}{l}^2=\frac{(d\,F)^2+(d\,G)^2+(d\,H)^2}{2\,\sqrt{\pi}}\right) . . . . 38) ist. Nun ist aber die Geschwindigkeit im freien Aether (Lichtgeschwindigkeit) v = nc, also c=\frac{v}n{} . . . . 39) folglich erhält man durch Einsetzen dieses Wertes in die Beziehung \frac{1}{u}=(n^2-1)\,c^2 die neue Gleichung \frac{1}{u}=\frac{n^2-1}{n^2}\,.\,v^2 . . . . 40) Es ist aber u, die sogen. magnetische Permeabilität, wenn man Eisen, Nickel und Kobalt ausnimmt, für alle Stoffe gleich 1; folglich ergibt sich in diesem Palle, d.h. bei fast vollkommener Durchstrahlungsfähigkeit der Schwingungen oder bei nahezu vollständiger Durchlässigkeit der Stoffe für dieselben, für den Brechungsexponenten die Bedingungsgleichung 1=\frac{n^2-1}{n^2}\,.\,v^2 also, v=\frac{n}{\sqrt{n^2-1}} . . 41) Da v, die Lichtgeschwindigkeit, einen sehr grossen Wert besitzt, so muss für den hier betrachteten Fall n nahezu gleich 1, also \sqrt{n^2-1} dem umgekehrten Wert der Lichtgeschwindigkeit annähernd gleich sein. Diese Schlussfolgerung der Theorie stimmt nicht nur für die magnetischen Strahlen, sondern ganz allgemein für die Aetherstrahlen. Vergleicht man die Gleichungen α     \frac{n^2}{l^2}=K, β     \frac{1}{u}=\frac{n^2-1}{n^2}\,.\,\frac{v^2}{l^2} mit den entsprechenden Gleichungen der elektromagnetischen Lichttheorie α1     u\,K\,v^2=n^2\,(1-k^2), β1     \frac{1}{u}=\frac{L\,.\,l\,.\,v}{n^2\,k}, in denen L die Leitungsfähigkeit, K wie oben die Dielektrizitätskonstante des Mittels und v die Lichtgeschwindigkeit bedeutet und berücksichtigt, dass L der brechenden Kraft n2 – 1 proportional ist, wie später gezeigt werden soll, so geht die Gleichung (β1) über in β 2 \frac{1}{u}=\frac{n^2-1}{n^2}\,.\,\frac{l\,v}{k}. Die Gleichungen α und β einerseits, sowie die Gleichungen α1 und β1 andererseits werden paarweise identisch, wenn \frac{l\,v}{k}=\frac{v^2}{l^2} oder k=\frac{l^3}{v} und \frac{n^2}{l^2}=\frac{n^2-1}{v}\,.\,l\,.\,\frac{1-k^2}{k}=K ist. Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich für n und k allein die einfache Beziehung 1=\frac{n^2-1}{n^2}\,.\,(1-k^2) oder k^2=-\frac{1}{n^2-1}, d.h. k ist eine imaginäre Grösse. Die von mir direkt aus der Vibrationstheorie abgeleiteten Gleichungen (α) und (β) sind einfacher als diejenigen nach der Maxwell'schen Theorie hergeleiteten Beziehungen (α1) und (β1), so dass, da die Gleichungen (α) und (β) mit der Erfahrung besser übereinstimmende Ergebnisse liefern, die Einführung des imaginären Faktors k sich nur als irreführend erweist. Die Präge, ob die Maxwell'sche oder die Sellmeier'sche Gleichung den Vorzug verdient, kann nur durch die Beobachtung entschieden werden und muss einer besonderen Arbeit vorbehalten bleiben.