Titel: | Der gespannte Hohlcylinder. |
Autor: | Pregél |
Fundstelle: | Band 315, Jahrgang 1900, S. 453 |
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Der gespannte Hohlcylinder.
Von Professor Pregél,
Chemnitz.
Der gespannte Hohlcylinder.
In drei Anwendungsgebieten spielt der gespannte Ring eine Rolle. Als Rohr und Mantel ist derselbe bei den Ringgeschützen gewiss
eine Hauptsache, als Radnabe und Radreifen im Eisenbahnwesen ein sehr wichtiges Stück, und im Maschinenbau als Presscylinder
und Zwängverbindung spielt derselbe in alter und neuester Zeit eine bedeutende Rolle. Je nach der Spannungsart durch Pressflüssigkeit,
durch Aufpressen, Warm- oder Kaltaufziehen, in einfacher oder in der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeitsspannung und Molekularwirkung
wird derselbe von verschiedenen Gesichtspunkten und je nach den dabei mitwirkenden Nebenumständen zu betrachten sein, obwohl
das Endergebnis in allen Fällen das gleiche sein müsste. Wird eine Ringnabe auf einen Wellenstumpf oder ein Zapfen in ein
Kurbelauge durch mechanisch wirkenden Druck auf- oder eingepresst, so ist nicht nur die durch die Bearbeitungsweise bedingte
Beschaffenheit der sich berührenden Körperoberflächen, ihre Gestalt und das Verhältnis zwischen Ringbohrung und äusserem Zapfendurchmesser
für die Verbindungsstärke massgebend, sondern es wird in diesem Fall auch die der Aufpressung entgegenwirkende Reibung das
Mass für die Zwängverbindung beeinträchtigen.
Trotzdem bietet, sobald diese Nebenumstände gebührende Berücksichtigung finden, die zum Aufpressen erforderliche Triebkraft
einen sehr willkommenen Massstab für die Beurteilung der Materialspannungen. Von diesen Nebenumständen befreit ist die Beurteilung
des durch Pressflüssigkeit gespannten dickwandigen Gefässcylinders, sobald der Kolben als starr angenommen ist, wogegen beim
warm aufgezogenen Ring die durch die Radialkräfte bedingte Verkleinerung des Körperkernes trotz genauer Messung eine Unbestimmtheit
mit sich bringt. Bei der allgemeinen Wichtigkeit dieses Gegenstandes dürfte daher eine Vergleichung längst bekannter Beziehungen
willkommen sein, damit eine Prüfung derselben mit neueren Versuchsergebnissen möglich werde, wobei alte Erfahrungsregeln angeschlossen
oder mitberücksichtigt werden können. Wenn hierbei aber von den grundlegenden Ableitungen abgesehen und auf die Quellenwerke
verwiesen werden muss, so ist dies durch die Raumbeschränkung als wohl begründet zu erachten.
Ist spezifische Längenänderung, wobei λ Verlängerung und l ursprüngliche Stablänge ist, und ist ferner (d – d1) = Δ die auf die Stablänge gleichmässig verteilt gedachte Abminderung an Durchmesser, sowie die spezifische Querzusammenziehung, so ist die Verhältniszahl zwischen Dehnung und Schiebung.
Es ist ferner λ = α . l . σ die Längenänderung für ...
kg/qcm Inanspruchnahme, sowie ε = α . σ spez.Dehnung bezw. Dehnungskoeffizient, also,
wobei der sogen. Elastizitätsmodul bezw. der reciproke Dehnungskoeffizient ist.
Der Dehnungskoeffizient für Stahlguss schwankt von
bis ,
für Gusseisen
bis
auf Kilogramm-Quadratcentimeter bezogen.
Gusseisen besitzt überhaupt keine Federgrenze.
Für gleichartiges Material ist der Schubkoeffizient nach v. Bach, Festigkeit, S. 256
wobei für , β = 2,6 · α, annähernd wird.
Ebenso würde die Längenänderung bezw. die Flächenausdehnung durch Wärmeunterschiede
bezw.
sein, worin w der lineare Ausdehnungskoeffizient durch Wärme für 1° C. ist.
Für t= 100° C. ist abgerundet:
Für Schmiedeeisen ist, da
in Bezug auf Quadratcentimeter und 1° C. ist, für
t = 100° C.
und
f = 5 qcm Stabquerschnitt
P = 23,53 . 5 . 100 = 11765 kg.
Die Flächenausdehnung eines Ringquerschnittes ist nach obigem
und sofern das Verhältnis konstant angenommen wird, ist
d. i. das Verhältnis der radialen Ringweiten für die Temperaturen t1 und t° C.
Für die lineare Umfangsdehnung des Ringes würde die Beziehung
Geltung haben.
Hiernach
zu schreiben sein.
Wird diese Gleichung entwickelt und die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt, so folgt daraus
wie oben.
Sonach kann für die radiale Erweiterung auch die einfachere Beziehung
angenommen werden.
Da nun
die radial gemessene lineare spez. Dehnung eines Ringes von der Bohrung ρ ist, der nach dem Warmaufziehen auf R erweitert wird, so ist, da ε = σ . α ist,
bezw.
ρ = R (1 –
ασ) = R (1 –
ε)
die Bohrung des freien kalten Ringes.
Wird diese Ringbezeichnung in die Gleichung für die radiale Erweiterung eingesetzt, so dass
wird, so folgt
R (1 +wt) =
ρ (1 + wt1)
und
die spez. Dehnung, oder
Da aber gesetzt werden kann, so wird
der Temperaturunterschied sein.
Ebenso ist
bezw.
die durch t0 hervorgerufene Materialspannung.
Für einen Ring aus Schmiedeeisen ist bei σ = 10 kg/qmm Inanspruchnahme
daher
t0
= 40° C.
Temperaturzunahme erforderlich ist, um den Ring von ρ auf R auszudehnen.
Ebenso wird eine Temperaturerhöhung um t = 100° C. eine spezifische Dehnung
ε = wt = w 100° = 0,00125
veranlassen.
Es wird daher in diesem Fall
,
also
als Ringerweiterung für t = 100° C. Temperaturerhöhung folgen.
als Ringerweiterung bezw. (R1
– R) = 0,7 mm als Spielraum entstehen.
Es war ferner λ = α . l .
σ Dehnung und 2 π (R – ρ) = α . 2 π R . σ der Ring als gestreckten Stab betrachtet.
Hiernach
(R – ρ) =
α . R . σ
oder
bezw.
oder
Zugkraft im Stabquerschnitt.
Ist ferner im geschlossenen Ring von h Höhe
2 P = p . 2 R . h,
so ist
die radiale Pressung auf 1 qcm Ringfläche.
Für f = 1 . 5 = 5 qcm folgt
daher
und
oder Atmosphären Radialpressung.
Unter dieser äusseren radialen Pressung steht der als Hohlcylinder von (R – r) = δ Wandstärke starr gedachte Kernkörper.
Würde dieser Hohlcylinder mittels Pressflüssigkeit von p
= 50 at gespannt, so müsste diese zu einem Ausgleich der Materialspannungen im Cylinder führen und dadurch die Cylinderwand
spannungsfrei werden.
Da aber der elastische cylindrische Kernkörper unter Einwirkung des warm aufgezogenen Schrumpfringes unbedingt verdichtet,
d.h. druckgespannt wird, so muss demzufolge eine Verkleinerung des ursprünglichen Halbmessers R auf
R (1 – ε1) platzgreifen, worin ε1 = α1
σ1 die spezifische Dehnung für das Cylindermaterial ist.
Es ist daher in die ursprüngliche Beziehung für ρ statt
R der obige Wert einzuführen. Es wird daher
ρ = R (1
– ε1) . (1 – ε),
also
sofern ε . ε1 als zu klein vernachlässigt wird; demnach würde
und ebenso
als Schrumpfkoeffizient folgen.
Da die Dehnungskoeffizienten α und α1, wenn auch nur bei Gusseisen, in ihrem Mittelwerte als gegeben anzusehen sind, so bleiben bloss die Spannungen σ und σ1 zu bestimmen.
.
Offenbar hängen diese Spannungen von dem entsprechenden Ring- und Cylinderquerschnitte ab, in welchen für die Berührung auch
Kräfteausgleich statthaben muss.
Ist
und ,
so muss
oder
sein, so dass
und weil ασ= ε ist,
sein.
Wird z.B.
gemacht, so wird
also doppelt so gross als bei starr gedachtem Cylindermaterial zu machen sein.
Es war nach obigem
,
woraus
also für das Beispiel
woraus
als Zugkraft im Ringquerschnitt folgt.
Wenn nun durch die Pressflüssigkeit p das auf Druck gespannte Cylindermaterial entlastet wird, so muss der Halbmesser (R – ε1) auf R zurückgehen, wobei die Ringspannung entsprechend dem grösseren Schrumpfmasse
auch ansteigen bezw. sich verdoppeln muss, sofern
gemacht ist.
Wird
angenommen, so ist
2 ε = 0,001
und
Für R = 1000 ist sonach ρ =
999 mm und die Erwärmungstemperatur
Steht der Cylinder unter einer kleineren Flüssigkeitsspannung, z.B. p1 = 40 at, so wird das Cylindermaterial mit einer resultierenden äusseren Radialpressung
p0=p – p1
= 50 – 40 = 10 at
druckgespannt bleiben.
Hieraus berechnet sich ohne weiteres aus
der entsprechende Cylinderhalbmesser bezw.
die im Cylindermaterial herrschende Druckspannung, und da
P0 =
p0
R,
also
P0 =
10 . 100 = 1000 kg
ist, so wird
die Druckspannung im Cylindermaterial sein.
Dabei muss nach obigem
R0 =
0,9998 R
R0 = 999,8 mm
werden.
Dadurch muss aber die Spannung im Ringmaterial auf
σ2 = 1600 kg/qcm
ansteigen.
Unter der Einwirkung der Pressflüssigkeit p = 40 at ist die Materialzugspannung des Schrumpfringes auf σ2 = 1600 kg/qcm gestiegen, während die Materialdruckspannung des Cylinders von auf σ0 = 100 kg/qcm herabgesunken ist.
Würde dieser Cylinder von Halbmesserverhältnis ohne Schrumpfring mit einer Pressflüssigkeit p = 50 at gespannt, so würde nach dieser einfachen Rechnungsweise
2 f1σ1
= 2 r . h . p,
worin
f1
= (R – r) . h
ist, also
oder
die Materialzugspannung im Cylinderquerschnitt, d. i. nach dem Beispiel
σ1 = 9
. 50 = 450 kg/qcm,
also mittlere Zugspannung sein.
Hiernach würde
und
wie oben angegeben, sein.
Bei Anwendung eines Schrumpfringes würde dagegen diese mittlere Materialzugspannung des Hohlcylinders, je nach dem Schrumpfmasse
des warm aufgelegten Ringes, erst bei weit höheren Flüssigkeitsspannungen eintreten. Bei verhältnismässig grossen Wandstärken
sind die Unterschiede der Maximalspannungen zu den mittleren Spannungen zu bedeutend, und daher diese Rechnungsweise nicht
mehr angängig.
(Fortsetzung folgt.)
100 . w
für Gusseisen und ungehärteten Stahl,
für Schmiedeeisen,
für Stabeisen und gehärteten Stahl.
Die durch diese Längenänderung einer prismatischen Stange bedingte Kraft ist:
bezw.
ρ = 0,9995 R
und für Stabeisen,
wobei ferner
Für
R = 1000 mm
wird daher
ρ = 999,5 mm
als Ringbohrung, und