Der gespannte Hohlcylinder. Von Professor Pregél, Chemnitz. Der gespannte Hohlcylinder. In drei Anwendungsgebieten spielt der gespannte Ring eine Rolle. Als Rohr und Mantel ist derselbe bei den Ringgeschützen gewiss eine Hauptsache, als Radnabe und Radreifen im Eisenbahnwesen ein sehr wichtiges Stück, und im Maschinenbau als Presscylinder und Zwängverbindung spielt derselbe in alter und neuester Zeit eine bedeutende Rolle. Je nach der Spannungsart durch Pressflüssigkeit, durch Aufpressen, Warm- oder Kaltaufziehen, in einfacher oder in der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeitsspannung und Molekularwirkung wird derselbe von verschiedenen Gesichtspunkten und je nach den dabei mitwirkenden Nebenumständen zu betrachten sein, obwohl das Endergebnis in allen Fällen das gleiche sein müsste. Wird eine Ringnabe auf einen Wellenstumpf oder ein Zapfen in ein Kurbelauge durch mechanisch wirkenden Druck auf- oder eingepresst, so ist nicht nur die durch die Bearbeitungsweise bedingte Beschaffenheit der sich berührenden Körperoberflächen, ihre Gestalt und das Verhältnis zwischen Ringbohrung und äusserem Zapfendurchmesser für die Verbindungsstärke massgebend, sondern es wird in diesem Fall auch die der Aufpressung entgegenwirkende Reibung das Mass für die Zwängverbindung beeinträchtigen. Trotzdem bietet, sobald diese Nebenumstände gebührende Berücksichtigung finden, die zum Aufpressen erforderliche Triebkraft einen sehr willkommenen Massstab für die Beurteilung der Materialspannungen. Von diesen Nebenumständen befreit ist die Beurteilung des durch Pressflüssigkeit gespannten dickwandigen Gefässcylinders, sobald der Kolben als starr angenommen ist, wogegen beim warm aufgezogenen Ring die durch die Radialkräfte bedingte Verkleinerung des Körperkernes trotz genauer Messung eine Unbestimmtheit mit sich bringt. Bei der allgemeinen Wichtigkeit dieses Gegenstandes dürfte daher eine Vergleichung längst bekannter Beziehungen willkommen sein, damit eine Prüfung derselben mit neueren Versuchsergebnissen möglich werde, wobei alte Erfahrungsregeln angeschlossen oder mitberücksichtigt werden können. Wenn hierbei aber von den grundlegenden Ableitungen abgesehen und auf die Quellenwerke verwiesen werden muss, so ist dies durch die Raumbeschränkung als wohl begründet zu erachten. Ist $$ϵ=\frac{\lambda }{l}$$ spezifische Längenänderung, wobei λ Verlängerung und l ursprüngliche Stablänge ist, und ist ferner (d – d1) = Δ die auf die Stablänge gleichmässig verteilt gedachte Abminderung an Durchmesser, sowie $$\frac{\mathrm{\Delta }}{d}={ϵ}_q$$ die spezifische Querzusammenziehung, so ist $$\frac{ϵ}{{ϵ}_q}=m$$ die Verhältniszahl zwischen Dehnung und Schiebung. Es ist ferner λ = α . l . σ die Längenänderung für $$\sigma =\frac{P}{f}$$... kg/qcm Inanspruchnahme, sowie ε = α . σ spez.Dehnung bezw. $$\frac{ϵ}{\sigma }=\alpha$$ Dehnungskoeffizient, also, $$\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$$ wobei $$\frac{1}{\alpha }=E$$ der sogen. Elastizitätsmodul bezw. der reciproke Dehnungskoeffizient ist. Der Dehnungskoeffizient für Stahlguss schwankt von $$\alpha =\frac{1}{2250000}$$ bis $$\frac{1}{2000000}$$, für Gusseisen $${\alpha }_1=\frac{1}{1000000}$$ bis $$\frac{1}{750000}$$ auf Kilogramm-Quadratcentimeter bezogen. Gusseisen besitzt überhaupt keine Federgrenze. Für gleichartiges Material ist der Schubkoeffizient nach v. Bach, Festigkeit, S. 256 $$\beta =2.\frac{m+1}{m}.\alpha ,$$ wobei für $$m=\frac{10}{3}$$, β = 2,6 · α, annähernd $$\beta =\frac{5}{2}.\alpha$$ wird. Ebenso würde die Längenänderung bezw. die Flächenausdehnung durch Wärmeunterschiede $$\frac{l_1}{l}=\frac{1+w.t_1}{1+w.t}$$ bezw. $$\frac{f_1}{f}=\frac{1+2w.t_1}{1+2w.t}$$ sein, worin w der lineare Ausdehnungskoeffizient durch Wärme für 1° C. ist. Für t= 100° C. ist abgerundet:

100 . w $$=\frac{1}{930}$$ für Gusseisen und ungehärteten Stahl, $$=\frac{1}{850}$$ für Schmiedeeisen, $$=\frac{1}{800}$$ für Stabeisen und gehärteten Stahl.

Die durch diese Längenänderung einer prismatischen Stange bedingte Kraft ist: $$P=\frac{w}{\alpha }.f.t.$$ Für Schmiedeeisen ist, da $$\frac{w}{\alpha }=\frac{2000000}{85000}=\frac{2000}{85}=23,53$$ in Bezug auf Quadratcentimeter und 1° C. ist, für t = 100° C. und f = 5 qcm Stabquerschnitt P = 23,53 . 5 . 100 = 11765 kg. Die Flächenausdehnung eines Ringquerschnittes ist nach obigem $$\frac{\pi .({R_1}^2-{r_1}^2)}{\pi .(R^2-r^2)}=\frac{1+2w{t}_1}{1+2wt}$$ $$\frac{{r_1}^2[{\left(\frac{R_1}{r_1}\right)}^2-1]}{r^2[{\left(\frac{R}{r}\right)}^2-1]}=\frac{{r_1}^2({k_1}^2-1)}{r^2(k^2-1)}=\frac{1+2w{t}_1}{1+2wt}$$ und sofern das Verhältnis $$\left(\frac{R_1}{r_1}\right)=\left(\frac{R}{r}\right)=k_1=k$$ konstant angenommen wird, ist $${\left(\frac{r_1}{r}\right)}^2=\frac{1+2w{t}_1}{1+2wt}$$ d. i. das Verhältnis der radialen Ringweiten für die Temperaturen t1 und t° C. Für die lineare Umfangsdehnung des Ringes würde die Beziehung $$\frac{r_1}{r}=\frac{1+w{t}_1}{1+wt}$$ Geltung haben. Hiernach $$\text{Extra left or missing right}$$ zu schreiben sein. Wird diese Gleichung entwickelt und die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt, so folgt daraus $${\left(\frac{r_1}{r}\right)}^2=\frac{1+2w{t}_1}{1+2wt}$$ wie oben. Sonach kann für die radiale Erweiterung auch die einfachere Beziehung $$\left(\frac{r_1}{r}\right)=\frac{1+w{t}_1}{1+wt}$$ angenommen werden. Da nun $$ϵ=\frac{R-\rho }{R}$$ die radial gemessene lineare spez. Dehnung eines Ringes von der Bohrung ρ ist, der nach dem Warmaufziehen auf R erweitert wird, so ist, da ε = σ . α ist, $$\sigma =\frac{R-\rho }{R}.\frac{1}{\alpha }$$ $$\sigma =(1-\frac{\rho }{R}).\frac{1}{\alpha }$$ $$\alpha \sigma =1-\frac{\rho }{R}$$ $$\frac{\rho }{R}=1-\alpha .\sigma$$ bezw. ρ = R (1 – ασ) = R (1 – ε) die Bohrung des freien kalten Ringes. Wird diese Ringbezeichnung in die Gleichung für die radiale Erweiterung eingesetzt, so dass $$\frac{R}{\rho }=\frac{1+w.t_1}{1+wt}$$ wird, so folgt R (1 +wt) = ρ (1 + wt1) und $$\frac{R-\rho }{R}=\frac{\rho }{R}w{t}_1-wt$$ $$ϵ=w(\frac{\rho }{R}.t_1-t)$$ die spez. Dehnung, oder $$\frac{ϵ}{w}=\frac{\rho }{R}{t}_1-t.$$ Da aber $$\frac{\rho }{R}\sim 1$$ gesetzt werden kann, so wird $$\frac{ϵ}{w}=t_1-t=t_0$$ der Temperaturunterschied sein. Ebenso ist $$\frac{\alpha }{w}.\sigma =t_0$$ bezw. $$\sigma =\frac{w}{\alpha }.t_0$$ die durch t0 hervorgerufene Materialspannung. Für einen Ring aus Schmiedeeisen ist bei σ = 10 kg/qmm Inanspruchnahme $$ϵ=\alpha .\sigma =\frac{10}{20000}=\frac{1}{2000}=0,0005,$$ daher

bezw. ρ = 0,9995 R$$\frac{\rho }{R}=0,9995$$                und$$w=\frac{1}{80000}=0,0000125$$      für Stabeisen,

wobei ferner $$t_0=\frac{ϵ}{w}=0,0005.80000={40}^{\circ }$$ t0 = 40° C. Temperaturzunahme erforderlich ist, um den Ring von ρ auf R auszudehnen. Ebenso wird eine Temperaturerhöhung um t = 100° C. eine spezifische Dehnung ε = wt = w 100° = 0,00125 veranlassen. Es wird daher in diesem Fall $$\frac{\rho }{R_1}=0,99875=(1-ϵ)$$, also $$\frac{\rho }{1-ϵ}=R_1$$ als Ringerweiterung für t = 100° C. Temperaturerhöhung folgen.

Für R = 1000 mm wird daher ρ = 999,5 mm

als Ringbohrung, und $$R_1=\frac{999,5}{998,8}=1000,7\text{ mm}$$ als Ringerweiterung bezw. (R1 – R) = 0,7 mm als Spielraum entstehen. Es war ferner λ = α . l . σ Dehnung und 2 π (R – ρ) = α . 2 π R . σ der Ring als gestreckten Stab betrachtet. Hiernach (R – ρ) = α . R . σ oder $$R(1-\frac{\rho }{R})=\alpha R.\sigma$$ $$1-\frac{\rho }{R}=\alpha .\sigma$$ bezw. $$\sigma =\frac{P}{f}$$ $$\frac{1}{\alpha }(1-\frac{\rho }{R})=\frac{P}{f}$$ oder $$\frac{f}{\alpha }(1-\frac{\rho }{R})=P\text{ kg}$$ Zugkraft im Stabquerschnitt. Ist ferner im geschlossenen Ring von h Höhe 2 P = p . 2 R . h, so ist $$\frac{P}{R.h}=p$$ die radiale Pressung auf 1 qcm Ringfläche. Für f = 1 . 5 = 5 qcm folgt $$\frac{f}{\alpha }=10000000$$ $$ϵ=(1-\frac{\rho }{R})=1-0,9995=0,0005,$$ daher $$P=\frac{f}{\alpha }.(1-\frac{\rho }{R})=\frac{10000000}{2000}=5000\text{ kg}$$ und $$p=\frac{P}{R}=\frac{5000}{100}=50\text{ kg/qcm}$$ oder Atmosphären Radialpressung. Unter dieser äusseren radialen Pressung steht der als Hohlcylinder von (R – r) = δ Wandstärke starr gedachte Kernkörper. Würde dieser Hohlcylinder mittels Pressflüssigkeit von p = 50 at gespannt, so müsste diese zu einem Ausgleich der Materialspannungen im Cylinder führen und dadurch die Cylinderwand spannungsfrei werden. Da aber der elastische cylindrische Kernkörper unter Einwirkung des warm aufgezogenen Schrumpfringes unbedingt verdichtet, d.h. druckgespannt wird, so muss demzufolge eine Verkleinerung des ursprünglichen Halbmessers R auf R (1 – ε1) platzgreifen, worin ε1 = α1 σ1 die spezifische Dehnung für das Cylindermaterial ist. Es ist daher in die ursprüngliche Beziehung für ρ statt R der obige Wert einzuführen. Es wird daher ρ = R (1 – ε1) . (1 – ε), also $$\frac{\rho }{R}=(1-{ϵ}_1)(1-ϵ)=1-(ϵ+{ϵ}_1)$$ sofern ε . ε1 als zu klein vernachlässigt wird; demnach würde $$(1-\frac{\rho }{R})=ϵ+{ϵ}_1$$ und ebenso $$\left(\frac{R-\rho }{R}\right)=\sigma .\alpha +{\sigma }_1{\alpha }_1$$ als Schrumpfkoeffizient folgen. Da die Dehnungskoeffizienten α und α1, wenn auch nur bei Gusseisen, in ihrem Mittelwerte als gegeben anzusehen sind, so bleiben bloss die Spannungen σ und σ1  zu bestimmen. $$\frac{R-\rho }{R}=\alpha (\sigma +\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.{\sigma }_1)$$. Offenbar hängen diese Spannungen von dem entsprechenden Ring- und Cylinderquerschnitte ab, in welchen für die Berührung auch Kräfteausgleich statthaben muss. Ist $$\sigma =\frac{P}{f}$$ und $${\sigma }_1=\frac{P}{f_1}$$, so muss $$\frac{R-\rho }{R}=\alpha .(\frac{1}{f}+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{1}{f_1})P$$ oder $$\frac{R-\rho }{R}=\alpha (1+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1})\frac{P}{f}$$ sein, so dass $$\frac{R-\rho }{R}=\alpha .(1+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1})\sigma$$ und weil ασ= ε ist, $$\frac{R-\rho }{R}=(1+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1})ϵ$$ sein. Wird z.B. $$\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1}=2.\frac{1}{2}=1$$ gemacht, so wird $$\frac{R-\rho }{R}=2.s$$ also doppelt so gross als bei starr gedachtem Cylindermaterial zu machen sein. Es war nach obigem $$\frac{P}{f}.(1+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1})\alpha =\frac{R-\rho }{R}$$, woraus $$P=\left(\frac{R-\rho }{R}\right).\frac{f}{\alpha }.\frac{1}{(1+\frac{{\alpha }_1}{\alpha }\frac{f}{f_1})}$$ also für das Beispiel $$P=2ϵ.\frac{f}{\alpha }.\frac{1}{2},$$ woraus $$P=\frac{ϵ}{\alpha }.f=5000\text{ kg}$$ als Zugkraft im Ringquerschnitt folgt. Wenn nun durch die Pressflüssigkeit p das auf Druck gespannte Cylindermaterial entlastet wird, so muss der Halbmesser (R – ε1) auf R zurückgehen, wobei die Ringspannung entsprechend dem grösseren Schrumpfmasse $$\frac{R-\rho }{R}=2ϵ$$ auch ansteigen bezw. sich verdoppeln muss, sofern $$\frac{{\alpha }_1}{\alpha }.\frac{f}{f_1}=2.\frac{1}{2}=1$$ gemacht ist. Wird $$ϵ=\alpha .\sigma =\frac{10}{20000}=0,0005$$ angenommen, so ist 2 ε = 0,001 und $$(1-\frac{\rho }{R})=0,001$$ $$\frac{\rho }{R}=1-0,001=0,999.$$ Für R = 1000 ist sonach ρ = 999 mm und die Erwärmungstemperatur $$l=\frac{2ϵ}{w}=\frac{0,001}{0,0000125}={80}^{\circ }\text{ C.}$$ Steht der Cylinder unter einer kleineren Flüssigkeitsspannung, z.B. p1 = 40 at, so wird das Cylindermaterial mit einer resultierenden äusseren Radialpressung p0=p – p1 = 50 – 40 = 10 at druckgespannt bleiben. Hieraus berechnet sich ohne weiteres aus $$p_{0}R=P_0=\frac{f_1}{{\alpha }_1}(1-\frac{R_0}{R})$$ $$\frac{{\alpha }_1}{f_1}{p}_{0}R=(1-\frac{R_0}{R})$$ $$1-\frac{{\alpha }_1}{f_1}.p_{0}R=\frac{R_0}{R}$$ $$R_0=(1-\frac{{\alpha }_1}{f_1}{p}_{0}R)R$$ der entsprechende Cylinderhalbmesser bezw. $${\sigma }_0=\frac{P_0}{f_1}$$ die im Cylindermaterial herrschende Druckspannung, und da P0 = p0 R, also P0 = 10 . 100 = 1000 kg ist, so wird $$\sigma =\frac{P_0}{f_1}=\frac{1000}{10}=100\text{ kg/qcm}$$ die Druckspannung im Cylindermaterial sein. Dabei muss nach obigem R0 = 0,9998 R R0 = 999,8 mm werden. Dadurch muss aber die Spannung im Ringmaterial auf $$P_2=\frac{f}{\alpha }(1-\frac{\rho }{R_0})=\frac{f}{\alpha }.(1-\frac{999}{999,8})$$ $${\sigma }_2=\frac{P_2}{f}=\frac{1}{\alpha .\left(\frac{999,8-999}{999,8}\right)}$$ $${\sigma }_2=\frac{1}{\alpha }.\frac{0,8}{1000}=\frac{2000}{1}.0,8$$ σ2 = 1600 kg/qcm ansteigen. Unter der Einwirkung der Pressflüssigkeit p = 40 at ist die Materialzugspannung des Schrumpfringes auf σ2 = 1600 kg/qcm gestiegen, während die Materialdruckspannung des Cylinders von $$\frac{P}{f_1}=\frac{5000}{10}=500$$ auf σ0 = 100 kg/qcm herabgesunken ist. Würde dieser Cylinder von $$\frac{R}{r}=\frac{100}{90}=1,11$$ Halbmesserverhältnis ohne Schrumpfring mit einer Pressflüssigkeit p = 50 at gespannt, so würde nach dieser einfachen Rechnungsweise 2 f1σ1 = 2 r . h . p, worin f1 = (R – r) . h ist, also $$(R-r){\sigma }_1=r.p.\frac{R-r}{r}=\frac{p}{{\sigma }_1}\left(\frac{R}{r}\right)=\frac{p}{{\sigma }_1}+1,$$ oder $${\sigma }_1=\frac{r}{R-r}.p$$ die Materialzugspannung im Cylinderquerschnitt, d. i. nach dem Beispiel σ1 = 9 . 50 = 450 kg/qcm, also mittlere Zugspannung sein. Hiernach würde $$\frac{p}{{\sigma }_1}=\frac{50}{450}=\frac{1}{9}=0,11$$ und $$\left(\frac{R}{r}\right)=(\frac{p}{{\sigma }_1}+1)=1,11,$$ wie oben angegeben, sein. Bei Anwendung eines Schrumpfringes würde dagegen diese mittlere Materialzugspannung des Hohlcylinders, je nach dem Schrumpfmasse des warm aufgelegten Ringes, erst bei weit höheren Flüssigkeitsspannungen eintreten. Bei verhältnismässig grossen Wandstärken sind die Unterschiede der Maximalspannungen zu den mittleren Spannungen zu bedeutend, und daher diese Rechnungsweise nicht mehr angängig. (Fortsetzung folgt.)