Maschinenelemente.Die Eingriffsdauer der
Zahnräder bei äusserer Verzahnung.Von Emil Herrmann,
Oberbergrath, Prof. in Schemnitz.(Schluss des Berichtes S. 28 d. Bd.)Mit Abbildungen.Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer
Verzahnung.B. Evolventenräder.8) Die Eingriffsdauer der
Evolventenflanken.Es seien T und T1 in Fig. 5 die
Theilkreise, DD1 die Eingriffslinie, K1 der Kopfkreis des einen Rades. Wo derselbe die
Eingriffslinie in D schneidet, ist das Ende des
Eingriffes für das kleinere Rad. Fällt man aus dem Mittelpunkte C dieses Rades eine Senkrechte CB auf die Eingriffslinie DD1 so erhält
man CB, den Halbmesser des Grundkreises.
Dieser ist demnachDie Länge AD = e1s der Eingriffslinie ist demjenigen Bogen gleich,
welcher sich vom Grundkreise während desEingriffes abwickelt. Vom Theilkreise wickelt
sich ein im Verhältnisse der Radien grösserer Bogen ab. Nennen wir denselben b . s, dann istdaherDas Verhältniss dieses Bogens zur Theilung gibt die Eingriffsdauer des grossen
Rades ε1. Da t = πs, so wird . . . . 18)Ein häufig vorkommender Fehler der Evolventenräder ist, dass der Schnittpunkt D des Kopfkreises K1 mit der Eingriffslinie über den Fusspunkt der
Senkrechten CB, d.h.
über B hinausfällt.In diesem Falle wird der Zahnkopf des grösseren Rades so lang, dass der Eingriff
über die Evolvente hinaus auch noch mit dem radialen Theile der Fussflanke fort
dauert.
[Textabbildung Bd. 310, S. 52]
Fig. 5.Eigentlich schneidet die Bahn des Kopfendes des Zahnes an dem grösseren Rade in
den radialen Fuss des Zahnes an dem kleineren Rade ein, weshalb nach Beendigung
des richtigen Eingriffes die Kopfkante des Zahnes an den radialen Fuss
anschlägt, so dass sich dieselbe in der kürzesten Zeit abrundet, am Zahnfusse
aber eine Rille entsteht, was man namentlich an den Kammwalzen (Krausein) der
Walzwerke beobachten kann. Eine unerlässliche Bedingung für das richtige
Zusammenarbeiten der Evolventenräder ist demnach, dass der Punkt D zwischen A und B liege. Da AD =
e1s und ist, folgt, dass . . . . 19)sein müsse.Der Werth von e1 lässt sich aber auch aus dem Dreiecke AC1D bestimmen, und zwar istWenn wir auch bei diesen Rädern die Kopflänge statt 0,3 t, gleich der Stichzahl s nehmen, was
einer Kopflänge von rund 0,32 t entspricht, dann
ist aus obigem Ausdruckee12 + Z1e1cos α = Z1 + 1 . . . 20)Diese Gleichung nach e1 aufgelöst gibt . 21)Für das andere (kleinere) Rad erhält man . 21a)Setzt man diese Werthe in die Gl. 18) ein, so erhält man die Eingriffsdauer des
Räderpaares
22)
9) Die Eingriffslänge.In Fig. 5 ist DE = h . s die Eingriffslänge des
kleineren Rades.Aus dem Dreiecke ACD istdaher, wenn man e12cos2α – e12cos2α = 0 zu dem Ausdrucke unter dem Wurzelzeichen
hinzugibt,Es ist aberworausoderDie Wurzel entwickeln wir nach dem binomischen Lehrsatze, wobei wir uns mit den
zwei ersten Gliedern der unendlichen Reihe begnügen; dadurch bestimmen wir die
Eingriffslänge kaum merkbar zu klein. Für das kleine Rad ist . . . 23)Für das grosse Rad wird . . . 23a)10) Einzelräder.Diese entstehen, wenn man den Winkel ec der
Eingriffslinie mit der Centrallinie CC1 in Fig. 5 für
jedes Paar so bestimmt, dass die Eingriffsdauer möglichst grosswerde. Dies ist der
Fall, wenn für das grössere Rad nach Gl. 19)ist.Diesen Werth in die Gl. 20) eingesetzt, kommtEs sei auch hierüdas Uebersetzungsverhältniss, alsoZ1
= Zü.Dieses in obigen Ausdruck eingesetzt, wirdüüworausüü . . . . 24)Für das kleine Rad wird der Gl. 20) entsprechende2 + Zecos α = Z +
1.Nach Gl. 19) aber Zcos α
=2e1, dahere2 + 2ee1 = Z + 1.Durch Ergänzung mitüügibtüüsomitüüNach Gl. 22) ist diesüüHierin kann man den Werth von sin α aus Gl. 24)
bestimmt ersetzen, nämlichüüDies in obigen Ausdruck eingesetzt, gibtüüüü . . 25)Wenn man diesen Ausdruck nach Z ordnet, kommtüüüüüüHieraus kann man die Zähnezahl des kleineren Rades bestimmen, wenn das
Uebersetzungsverhältniss und die Eingriffsdauer gegeben sind.Sollen z.B. immer drei Zähne jedes Rades eingreifen, also ε = 3 sein, dann müssen die Zähnezahlen die in der nachfolgenden
Tabelle enthaltenen sein.Tabelle VI.
ü1248∞Z65 61 59 5857Z165122236464 –
Man wird die Bedingung ε = 3 nur ausnahmsweise
erfüllen können, weil eine zu grosse Zähnezahl der Räder daraus resultirt.Sehr geeignet sind Einzelräder als Krauseln
oder Kammwalzen der Walzwerke, weil die Stellung der Räder nicht so vollkommen
genau eingehalten werden muss, wie bei den Cykloidenrädern. Hier ist die
Uebersetzung ü = 1, d.h. die Räder sind gleich
gross. Dies in Gl. 24) und 25) eingesetzt, wirdLetzteres kann man auch schreiben . . . 28)Die nachstehende Tabelle enthält einige zusammengehörige Werthe von Z, cos α und ε2.Tabelle VII.Für Krauseln.
Man kann übrigens die Eingriffslinie auch durch Construction bestimmen.In Fig. 6 sind T und
T1 die
Theilkreise, K1 der
Kopfkreis des einen Rades. Ueber dem Halbmesser des zweiten Rades beschreiben
wir aus B den Halbkreis ADC. In D, wo
dieser den Kopfkreis K1 schneidet, ist der Fusspunkt des Perpendikels, welches auf die
Eingriffslinie AD aus C gefällt werden kann, und CD ist
zugleich der Halbmesser des Grundkreises für die Construction der Zahnflanke,
der zweite Grundkreis ist aus C1 zu ziehen und berührt die Eingriffslinie AD. Wenn die zwei Räder
ungleiche Halbmesser haben, ist der Halbkreis
ADC über dem Halbmesser
des kleineren Rades zu verzeichnen.
[Textabbildung Bd. 310, S. 53]
Fig. 6.11) Satzräder.Für Triebwerke sind die Satzräder mehr zu empfehlen als die Einzelräder, jedoch
müssen bei jenen wenigstens zwei Zahnpaare im Eingriffe stehen, und überdies
muss die Construction eine solche sein, dass auch das mindestzähnige Rad mit der
Zahnstange richtig arbeiten könne. Wir haben deshalb in der Gl. 24) zunächst
statt Z die kleinste Zähnezahl Z0 einzusetzen,
damit wirdüüüüFür die Zahnstange wird ü = ∞, ü und
damit ergibt sich . 29)Um cos α rational zu erhalten, nehmen wir Z0 = 32, d.h. das
kleinste Rad, welches mit der Zahnstange richtig arbeitet, muss 32 Zähne haben.
Dann ist . 30)Wenn nun die zwei kleinstzähnezahligen Räder mit einander arbeiten, so ist die
Eingriffsdauer nach Gl. 22)Weil die zwei kleinsten Räder ohnehin fast nie zusammenarbeiten, können wir uns
mit der Zahl Z0 =
32 begnügen, obgleich die Eingriffsdauer vorkommendenfalls nicht ganz 2 ist.Die Eingriffsdauer für Satzräder, bei welchencos α = 0,25,findet man allgemein nach Gl. 22)Missing or unrecognized delimiter for \rightDie Eingriffsdauer der einzelnen Räder sind für das kleine Rad . 31a)und für das grosse Rad . 31b)Aus diesen Ausdrücken geht hervor, dass die Eingriffsdauer der
Evolventensatzräder nur von der Zähnezahl des Rades abhängt, daher ebenso wie
bei den Cykloidensatzrädern ein Attribut des Rades ist.Die Eingriffslänge für das grosse Rad ist nach Gl. 23a), wenn man für e = επsin α = 3,042ε setzt,somit für das grössere Rad . 32a)Für das kleinere Rad hingegen . 32b)Die Eingriffslänge des Rades ist demnach von dessen Zähnezahl und der
Eingriffsdauer des anderen Rades abhängig.Nach diesen Formeln ist die nachstehende Tabelle berechnet.Tabelle VIII.
Die Summe von ε und ε1 gibt die Eingriffsdauer der zwei
Räderε2
= ε + ε1.12) Die relative Dauerhaftigkeit
der Triebwerkssatzräder.Wenn wir von der Verschiedenheit der Abnutzung absehen, welche sich nach Prof.
Bach herausstellt, wenn die sich berührenden
Oberflächen entweder convex-convex oder convex-concav sind, weil dieselbe nach
meinem Dafürhalten keine ausschlaggebende sein kann, dann können wir aus dem
Producte ε2h bezw. ε2h1ü die Dauerhaftigkeit der zwei Arten von
Triebwerkssatzrädern vergleichen. Für die Cykloidenräder entnehme ich die
betreffenden Producte der Tabelle III, für die Evolventenräder aber können sie
aus der Tabelle VIII berechnet werden. Die Resultate sind in der nachstehenden
Tabelle enthalten.Tabelle IX.
Bei beiderleiCykloidenräderEvolventenräderüZZ1ε2ε2hε2h1üε2ε2hε2h1ü166 662,181,44 1,442,221,50 1,50249 982,181,38 2,962,231,42 3,154401602,191,32 6,082,241,31 6,478352802,191,2612,642,221,2513,14
Aus der Tabelle ist zu ersehen, dass zwischen den zwei Arten von Satzrädern kein wesentlicher Unterschied in der
Dauerhaftigkeit sein kann.13) Die Ersatzbögen für
Evolventenflanken.Der Evolventenbogen der Zähne bei Satzrädern lässt sich durch zwei Kreisbögen
sehr gut annähern, und zwar ist die Annäherung um so vollkommener, je mehr Zähne
das Rad hat. Der erste (kleinere) Kreisbogen ersetzt die Evolvente des
Zahnfusses, der zweite (grössere) Bogen jene des Zahnkopfes.
[Textabbildung Bd. 310, S. 54]
Fig. 7.Es sei in Fig. 7T der Theilkreis, bO die Centrale. Ueber Ob ist ein
Halbkreis zu beschreiben, welcher von b aus mit der
Zirkelöffnung gleich in d zu schneiden
ist. Die Gerade bd ist die Eingriffslinie,
auf welcher die Krümmungsmittelpunkte der Zahnflankenersatzbögen liegen. Der
Krümmungsradius des Fusses ist . . . 33)und diesen Werth kann man für alle Zähnezahlen
beibehalten. Den Krümmungsradius des Zahnkopfes kann man der Zähnezahl
entsprechend abändern und erhält Kreisbögen, welche die Evolventenbögen um so
genauer annähern, je mehr Zähne das Rad hat.Es ist der Krümmungsradius . 34)14) Satzräder für
Drehbänke.Die vorher behandelten Satzräder eignen sich nicht für Sätze bei Drehbänken,
welche zum Schraubenschneiden dienen, weil die Zähnezahl des kleinsten Rades
viel zu gross ist. Gewöhnlich ist bei solchen Sätzen die kleinste Zähnezahl Z0 = 13 oder
14.Nehmen wir Z0 = 13
und wählen den Grundkreis, so dass auch dieses Rad mit der Zahnstange desselben
Satzes richtig eingreife, dann muss nach Gl. 29)undsein.Nehmen wir rund sin α = 0,92, dann ist der Radius
des Grundkreises r, durch den Radius des
Theilkreises ausgedrückt, . . . . . 35)Die Eingriffsdauer desjenigen Rades, dessen Zähnezahl Z ist,Summirt man die Eingriffsdauer zweier Räder, so erhält man die gesammte
Eingriffsdauer, wenn diese zwei Räder in einander eingreifen.Für das kleinste Rad ist Z = 13 und ε = 0,683. Wenn die zwei kleinsten Räder mit
einander arbeiten, ist demnach die ganze Eingriffsdauer ε2 = 2 . 0,683 = 1,366, woraus
ersichtlich, dass abwechselnd ein oder zwei Zähne jedes Rades eingreifen, was
bei der Uebertragung grösserer Arbeitsmengen nicht ganz genügend erscheint.
Diese Art Satzräder ist somit nur für jene Klasse von Rädern zulässig, welche
Prof. Bach Krafträder nennt.