Maschinenelemente.Die Eingriffsdauer der
Zahnräder bei äusserer Verzahnung.Von Emil Herrmann,
Oberbergrath, Prof. in Schemnitz.Mit Abbildungen.Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer
Verzahnung.Bei den Zahnrädern mit cykloidischen oder evolventischen Zahnflanken kann man die
Eingriffsdauer mit sehr grosser Annäherung ganz allgemein berechnen und daraus
praktisch werthvolle Schlüsse ziehen.Die Rechnung gestaltet sich etwas einfacher, wenn man die sogen. Durchmessertheilung
statt der Bogentheilung benutzt.Es sei t die Bogentheilung, d.h. die Länge desjenigen
Theilkreisbogens, welcher zwischen den Mittellinien zweier unmittelbar auf einander
folgender Zahnprofile liegt, und s die
Durchmessertheilung oder sogen. Stichzahl.1)Reuleaux,„Der Constructeur“, IV. Aufl. S. 518. Zwischen t und s besteht die
Beziehung:Sind R und R1 die Halbmesser, Z und
Z1 die Zähnezahlen
der Räder, dann istsomitworaus2 R = Zs und 2 R1 =
Z1s,d.h. das Product aus der Zähnezahl und der Stichzahl ist dem
Durchmesser des Rades gleich.A. Cykloidenräder.1) Die Eingriffsdauer
cykloidischer Zahnflanken.Wir nehmen an, dass der Erzeugungs-(Roll- oder Wälzungs-)Kreis der Flanke des
Zahnkopfes und jener des Zahnfusses verschieden sind.Es sei das Rad mit dem Halbmesser R das Rad I, jenes mit R1 das Rad II.Alle unsere Untersuchungen beziehen sich auf die äussere Verzahnung, es
unterliegt aber keiner Schwierigkeit, dieselbe für die Innenverzahnung
umzugestalten.Der Radius des Wälzungskreises, welcher die Flanke des Zahnkopfes vom Rade I
und des Fusses vom Rade II erzeugt, sei ρ = is.Der Radius des anderen Rollkreises ist ρ1 = i1s; dieser erzeugt die Flanke des Zahnkopfes auf dem
Rade II, sowie den Fuss auf dem Rade I.Wir setzen voraus, dass R < R1, somit können
wir das Rad I das kleinere, das Rad II das grössere nennen.Es sei nun (Fig. 1) T
bezw. T1 der
Theilkreis des kleineren bezw. grösseren Rades; K
der Kopfkreis des ersteren und W der Wälzungskreis,
welcher die Zahnkopfflanke des kleineren Rades erzeugt.
[Textabbildung Bd. 310, S. 28]
Fig. 1.Rollt man den Bogen AB des Wälzungskreises von
B an auf den Theilkreis ab, so erhält man den
Eingriffsbogen2)Reuleaux,„Der Constructeur“, IV. Aufl. S. 523., wobei der
Zahnkopf des kleineren Rades mit dem Fusse des grösseren im Eingriffe steht. Das
Verhältniss dieses Bogens AB zur Theilung t nenne ich die Eingriffsdauer ε des kleineren Rades.
Dementsprechend ist . . . 1)In dem Dreiecke ACD sind alle drei Seiten
bekannt, nämlichderen halbe Summe istNach einem bekannten Satz der Trigonometrie istoder wenn man die betreffenden Werthe einsetztDer Winkel ist genügend klein, dass man
dessen Sinus für den Bogen setzen kann, dabei berechnet man die Eingriffsdauer
etwas zu klein, aber der Unterschied ist nicht der Rede werth. Z.B. in dem
allerungünstigsten Falle, wenn i = 0,875 t = 2,75 s, Z = 11,
ζ = 0,94, wirdd.h.Schreibt man in Gl. 2) statt nur
, dann wird .
. . . 3)Setzt man diesen Werth in die Gl. 1), dann ist die Eingriffsdauer des kleinen
Rades
. . . . 4)Hieraus ergibt sich die Eingriffsdauer des grösseren Rades, wenn man statt Z und i, Z1 und i1 schreibt:
. . . . 5)[Bei der inneren Verzahnung findet manDie Summe von 4) und 5) gibt die ganze Eingriffsdauer ε2 für die betrachteten Räder
6)2) Die Eingriffslänge
cykloidischer Zahnflanken.Die Dauerhaftigkeit der Räder hängt ganz wesentlich von der Länge der
Fussflankenstücke ab, welche zum Eingriffe gelangen. Bei dem Kopfe vertheilt
sich die Abnutzung auf dessen ganze Länge, während dieselbe sich beim Fusse auf
ein bedeutend kürzeres Stück beschränkt und deshalb hier viel grösser ist. Die
Länge des betreffenden Theiles der Fussflanke unterscheidet sich in normalen
Fällen wenig von jener des radialen Stückes AF = h1s in Fig. 1. Dieses
aber ergibt sich zuMit Rücksicht auf den Winkel ϕ istStattgesetztDarausDie Wurzel entwickeln wir nach der binomischen Reihe, begnügen uns aber mit den
zwei ersten Gliedern und setzen zugleich
;
dann istDieser Werth ist aber etwas zu gross, wir müssen deshalb den negativen Theil
etwas vergrössern und zwar setzen wir im Zähler
und im Nenner
, dann wirdSetzt man für den Werth aus Gl. 2),
dann ist
. . . . 7)Für die Eingriffslänge des kleineren Rades erhält man
. . . . 8)3) Die Eingriffsdauer und -länge
der Einzelräder.Macht man die Radien der Wälzungskreise von jenen der Räder abhängig, so erhält
man Einzelräder, welche nur mit einander richtig arbeiten können. Die Beziehung
zwischen den Radien der Theil- und der Wälzungskreise kann selbstverständlich
beliebig gewählt werden, es fragt sich nur, welche ist zweckmässig. Prof. C. Bach3)„Die Maschinenelemente“, II. Aufl. S. 171 und
181. sagt diesbezüglich: „was die Grösse der Rollkreise
anbelangt, so sprechen zunächst verschiedene Gründe dafür, sie möglichst
gross zu machen“. Ferner: „ruhiger Gang fordert möglichst grosse
Rollkreise u.s.w. Daher soll mit dem Durchmesser des
Rollkreises nicht über den Radius des Theilkreises hinausgegangen
werden“. Dementsprechend nehme ich hier an, dass der Radius des
Rollkreises die Hälfte des Radius desjenigen Theilkreises ist, auf welchem der
Rollkreis die Fussflanke des Zahnes erzeugt,
weshalb diese eine radial gerichtete Gerade wird.Dann ist aber und
.Bei normalen Zähnen ist die Länge des Kopfes ζs = 0,3 t, somit ζ = 0,3 × π = 0,94248, wofür wir
abgekürzt ζ = 1, also die Länge des Kopfes 0,32 t nehmen. Setzen wir die Werthe von i, i1 und ζ in die Gl. 6), 7) und 8) ein, so kommt die
Eingriffsdauer und -länge:Missing or unrecognized delimiter for \leftEs sei noch ü das Uebersetzungsverhältniss, dann
wirdüüüüüüüAus dem Werthe von ε2 kann man bei gegebenem Uebersetzungsverhältnisse die Zähnezahl Z des kleineren Rades so bestimmen, dass die
Eingriffsdauer eine gegebene wird. Zunächst wirdüüüüüüüüüü.Lässt man hier das zweite Glied fort, so begeht maneinen kleinen Fehler,
welcher aber deshalb nicht in Betracht kommt, weil der Ausdruck für ε ohnehin etwas zu klein ist und durch Fortlassen
des negativen Gliedes etwas vergrössert wird.Damit erhält manüüüü.Hieraus bestimmt sichüüüüAus dieser Gleichung und den obigen Ausdrücken von h
und h1 ist die
nachstehende Tabelle berechnet.Tabelle I.
Wählt man die Rollkreise wie oben angegeben, die Zähnezahlen hingegen wie die
Tabelle angibt, oder noch grösser, dann erhält man Räder, bei welchen nicht nur
der Zahnfuss eine Gerade, somit die Zahnform eine höchst einfache ist, sondern
es werden auch beständig drei Zähne jedes Rades im Eingriffe stehen, weshalb der
Gang solcher Räder zuversichtlich ein sanfter sein wird.4) Eingriffsdauer und -länge der
Satzräder.Satzräder haben unleugbar gewisse Vorzüge, namentlich für solche Fabriken, deren
Specialität in der Erzeugung von Transmissionsbestandtheilen besteht, wenngleich
die Bedeutung dieser Räder in Folge der Einführung der Räderformmaschinen sehr
zurückgegangen ist. Deshalb sind die Satzräder selbst für jene Klasse von Rädern
nicht im vorherein zu verwerfen, welche Bach als
Arbeitsräder, Reuleaux aber als Triebwerksräder
bezeichnet. Freilich muss man von solchen Satzrädern verlangen, dass mindestens
immer zwei Zähnepaare im Eingriffe4)Auf S. 173 der erwähnten Auflage „Die
Maschinenelemente“ verlangt Prof. Bach dies überhaupt von den Triebwerksrädern.
sind.Um dessen sicher zu sein, bestimmen wir den Halbmesser des Wälzungskreises und
die Zähnezahl des kleinsten Rades derart, dass auch dann, wenn zwei solche
kleinste Räder mit einander arbeiten, die Eingriffsdauer gleich zwei sei; dabei nehmen wir an, dass beim kleinsten
Rade (aber nur bei diesem) die Fussflanke eine Gerade werde.Die Eingriffsdauer ergibt sich dann aus der ersten der Gl. 9), wenn man Z = Z1 = Z0 setzt,woraus die Zähnezahl des kleinsten RadesFür ε2 = 2 wird Z0 = 28,61.Weil die Fussflanke eine Gerade ist, muss
sein. Nehmen wir rund i = 7, dann ist der
Radius des Wälzungskreises rund ρ = 7 s. Für Bogentheilung
.Da i und ρ nun etwas
kleiner sind als der Werth aus obiger Gleichung, so kann die kleinste Zähnezahl
nicht 28 sein, sondern wir nehmen sie Z0 = 30.Setzen wir nun in die Gl. 6) ζ = 1, Z = Z1 = 30, i = i1 = 7, dann
wirdSetzen wir des weiteren i = 7 und ζ = 1 in die Gl. 6) ein, so erhalten wir die
Eingriffsdauer für unsere Satzräder im Allgemeinenoder
. 10)Die Eingriffsdauer einzeln sind und
.Hieraus ist ersichtlich, dass die Eingriffsdauer bei Cykloidensatzräder nur von
der Zähnezahl des betreffenden Rades abhängt, somit ein Attribut des Rades
ist.Die Eingriffslänge nach Gl. 7) und 8) istMissing or unrecognized delimiter for \left5) Die relative Dauerhaftigkeit
der Zähne.Wir erwähnten schon, dass die Abnutzung des Zahnfusses grösser ist als jene des
Zahnkopfes, weil sich der Eingriff bei ersterem nur auf einen kurzen Theil
beschränkt.Unter gleichen Umständen wird die Abnutzung der Zähne direct proportional sein
mit dem Drucke, welcher auf die Längeneinheit der Zahnbreite (Radbreite)
entfällt, und mit der Anzahl der Umdrehungen, dagegen steht dieselbe im
umgekehrten Verhältnisse mit der Eingriffslänge und der Eingriffsdauer, weil bei
der grösseren Eingriffsdauer mehr Zähne zugleich eingreifen. Man sieht leicht
ein, dass das letzte Verhältniss nur bei solchen RädeѲn ganz wahr ist, bei
welchen immer eine ganze Anzahl von Zähnen eingreift, somit ε2 genau 1, 2 oder
3 ist, bei solchen Rädern, bei denen ε2 keine ganze Zahl, ist dieses Verhältniss nur
angenähert richtig, aber immerhin brauchbar. Die Dauerhaftigkeit ist natürlich
der Abnutzung umgekehrt proportional.Es sei D die Dauerhaftigkeit, P der Druck zwischen den Zähnen von der Breite b, ε2 die
Eingriffsdauer, n die Umdrehungszahl in der Minute,
hs die Eingriffslänge, C eine constante Zahl, dann ist gesetzt,
wird, da ü ist,D = α
ε2h und D1 = α ε2h1ü.Daraus sehen wir, dass unter sonst ganz gleichen Umständen die Dauerhaftigkeit
der Räder von demProducte ε2h bezw. ε2h1ü abhängig ist. Damit sind wir aber in den Stand
gesetzt, die Dauerhaftigkeit zweier Zahnconstructionen zu vergleichen.Bestimmen wir z.B. bei Satzrädern die Eingriffsdauer und -länge für die in der
Tabelle I enthaltenen Zähnezahlen (nach Gl. 10 und 11), so finden wir die in der
nachstehenden Tabelle enthaltenen Zahlen.Tabelle II.Satzräder, bei welchen i =
7.
Die nachstehende Tabelle enthält sowohl für die Einzelräder (Tabelle I), als auch
für die gleichzähnigen Satzräder die Producte hε2 und h1ε2ü.Tabelle III.
Das grosse Rad ist demnach immer haltbarer, wenn es als Satzrad construirt ist,
das kleine Rad aber ist nur dann als Satzrad dauerhafter, wenn die Uebersetzung
kleiner als 4 ist. Aber selbst bei den wenig
vorkommenden grossen Uebersetzungen ist die Dauerhaftigkeit des kleinen
Satzrades nicht um sehr vieles geringer als jene des Einzelrades. Ganz besonders
empfehlen sich Satzräder für Holz-Eisenräder, bei welchen man dem grossen Rade
die Holzkämme gibt.6) Die Ersatzbögen bei den
Satzrädern.Die Satzräder bieten noch den Vortheil, dass man die Krümmungsradien solcher
Kreisbögen ein für allemal bestimmen kann, welche die Epi- und
Hypocykloidenbögen annähern. Der von mir eingeschlagene Weg ist von den bisher
gebräuchlichen abweichend.
[Textabbildung Bd. 310, S. 31]
Fig. 2.Ich bestimme einfach die Coordinaten dreier Punkte der Flanke und suche den
Mittelpunkt desjenigen Kreisbogens, welcher durch diese drei Punkte hindurch
geht. Dieses Verfahren ist umständlich, weil man für jedes
Uebersetzungsverhältniss die Radien der Ersatzkreise besonders rechnen muss
und die Resultate nur in eine empirische Formel zusammenfassen kann, aber sie
hat den Vortheil, wirklich brauchbare Ersatzbögen zu liefern, wie man sich durch
die Construction leicht überzeugen kann.Es sei (Fig. 2) T der
Theilkreis und, weil wir der Bequemlichkeit halber s = 1 annehmen, dessen Halbmesser, DE = 1 der Radius des Wälzungskreises, B ein Punkt der Epicykloide, x und y dessen Coordinaten,
dann ist nach Gl. 2)Für die Hypocykloide wirdund es gilt in den nachstehenden Formeln das obere Zeichen für die Epicykloide, das untere aber für die Hypocykloide.Die Bögen AE und BE sind gleich lang, weshalb, woraus
.Aus dem Dreiecke CBD folgt,
d.h.
Der Winkel (ψ – ϑ) ist
so klein, dass man ohne weiteres cos (ψ – ϑ) = 1 setzen
kann.Wirklich ist,wofür wir einfach x = ζ schreiben. EndlichDie Punkte, für welche y ausgerechnet wurden, sind
durch x = ζ = 1 und
x = ζ = 0,4
festgestellt. Da i = 7 ist, werden die Ausdrücke
für den I. Punkt:
Extra \left or missing \rightFür
den II. Punkt: 12)
Der III. Punkt ist x2 = y2 =
0.Kennt man die Coordinaten, dann findet man diejenigen des Krümmungsmittelpunktes
auf folgende Art. Wir errichten in Fig. 3 im
Halbirungsmittelpunkte A der Sehne I-III eine Senkrechte AM; diese geht durch den Krümmungsmittelpunkt, ihre Gleichung ist: .
. . α)Ebenso verfahren wir mit der Sehne II-III und
erhalten für die Gerade BM die Gleichung: .
. . β)Bestimmt man aus der Gl. α) und β) die Werthevon a und b, so erhält man mit Rücksicht auf x1 = 0,4, x = 1Missing or unrecognized delimiter for \left
[Textabbildung Bd. 310, S. 32]
Fig. 3.Aus den Formeln 12) und 13) ist die folgende Tabelle für die Epicykloide berechnet. Auf Grundlage der in der
Tabelle enthaltenen wahren Werthe habe ich für die Epicykloide die nachstehenden
empirischen Formeln aufgestellt:Missing or unrecognized delimiter for \leftTabelle IV.Für die Epicykloide.
ZWahre WertheWerthe nach Gl. 14– a/sb/s–a/sb/s 300,33022,92470,3312,924 350,32813,05890,3283,059 400,32673,17330,3263,174 500,32483,35690,3243,3571000,32143,84160,3213,8412000,32004,16940,3204,169∞0,31904,58550,3194,585
Die Gl. 14) geben somit die Coordinaten des Krümmungsmittelpunktes des
Epicykloidenbogens mit genügender Genauigkeit.Für die Hypocykloide fand ich aus den untenstehend
berechneten Werthen die folgenden empirischen Regeln: . . .
15)Für die Coordinate b1 musste ich zwei Formeln aufstellen.Missing or unrecognized delimiter for \leftAus den vorstehenden Formeln ist die folgende Tabelle berechnet.Tabelle V.Für die Hypocykloide.
Demnach ist die Uebereinstimmung auch hier eine genügende.Bei der Verzeichnung der Zahnflanken hat man a, b
und a1, b1 folgendermaassen
aufzutragen. Es sei in Fig. 4T der Theilkreis. Auf AC errichtet man die Senkrechte BF. Ferner hat man AB = b zu machen
und durch B BD || AC zu ziehen, endlich die Länge BD = a zu machen.Ferner ist AF = b1, FG || CA
und FG = a1. D ist der
Mittelpunkt der Kopfflanke AE, G der Mittelpunkt der Fussflanke AH. In den Kreisen, welche von C aus durch D und G gezogen werden, liegen dann die Mittelpunkte der
Flanken sämmtlicher Zähne.
[Textabbildung Bd. 310, S. 32]
Fig. 4.7) Räder für kleinere Kräfte
(Kraft- oder Krahnräder).Bei diesen ist die kleinste Zähnezahl Z = 30 viel zu
gross, man muss oft bis Z = 10 ... 12 herabgehen. Solche Räder kann
man entweder als Einzelräder mit der Eingriffsdauer ε2 = 1,8 ... 2 construiren, oder als
Satzräder mit einem Rollkreise, dessen Radius, wie Reuleaux für alle Satzräder angibt, ρ =
0,8 t oder für Durchmessertheilung ρ = 2,5 s ist.Für diese Räder ist die kleinste Zähnezahl Z0 = 10 und die Eingriffsdauer
. 17)Die allerkleinste Eingriffsdauer ergibt sich, wenn zwei kleinste Räder mit
einander arbeiten, dann ist Z1 = Z = 10 und die
Eingriffsdauer ε2 =
1,22.Dieser kleinen Eingriffsdauer wegen können diese Räder nur bei kleiner
Umfangsgeschwindigkeit angewendet werden, bei schnell gehenden ist der Gang
nicht ruhig genug.(Schluss folgt.)