Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. Von Prof. W. J. Albitzky. (Schluss der Abhandlung S. 200 d. Bd.) Mit Abbildungen. Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. III. Abschnitt: Triebstockverzahnung. 1) Fall der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Textabbildung Bd. 288, S. 275 Fig. 9. Es seien (Fig. 9) Kt und K_{1^t} die entsprechend mit den Halbmessern R und R1 gezogenen Theilkreise, von denen Kt dem Triebstockrade und K_{1^t} dem Zahnrade angehört. Es sei ferner ein Triebstock F gegeben, dessen Mittelpunkt auf der Mittelpunktslinie CC1 liegt. Lässt man den Theilkreis des Triebstockrades sich auf dem Theilkreise des Zahnrades abwälzen, so wird der Mittelpunkt b des Triebstockes eine Epicycloide bB beschreiben. Wie aus der Verzahnungstheorie bekannt, wird die Curve aa, welche zu der vorhererwähnten Curve äquidistant und in einem Abstande gleich dem Halbmesser r des Triebstockes gezogen ist, als Zahnprofil für den oberen Theil des Zahnes dienen. Was den unteren Theil dieses letzteren anlangt, so kann hier als Profil jede beliebige, den Triebstock in a berührende Curve dienen; in der Praxis wird vorwiegend ein Kreisbogen (αβ) von einem etwas grösseren Halbmesser als der Triebstockhalbmesser benutzt. Diese Freiheit der Wahl der Profilirung für den unteren Theil des; Zahnes kommt daher, weil dieser Theil nirgends in Verzahnung eingeht. Um sich davon zu überzeugen, genügt es, den Nachweis zu liefern, dass die Berührung zwischen Triebstock und Zahn erst in dem Augenblicke beginnt, wo ersterer auf der Mittelpunktslinie, also in F, zu liegen kommt. Zu diesem Behufe nehmen wir einen links von F in irgend einem Punkte liegenden Triebstock F2 und suchen denjenigen Punkt auf, in welchem dieser mit dem Zahn in Berührung] gelangen könnte. Bei einer richtigen Zahnform muss die durch den Berührungspunkt der Zähne gezogene Normale durch den Berührungspunkt b der Theilkreise hindurchgehen. Nun muss aber eine Normale zum Triebstock gleichzeitig auch durch dessen Mittelpunkt hindurchgehen. Daraus folgt, dass die Berührung zwischen Triebstock und Zahn nur im Punkt d erfolgen kann, wo ersterer die Verbindungslinie des Triebstockmittelpunktes o mit dem Berührungspunkte b der Theilkreise schneidet. Ziehen wir durch den Mittelpunkt o des Triebstockes F2 eine zur Mittelpunktslinie CC1 senkrechte Gerade und verabreden wir uns, den oberhalb dieser Linie liegenden Theil des Triebstockes als dessen obere, den unterhalb desselben liegenden Theil als dessen untere Hälfte zu bezeichnen. Es ist nun ganz klar, dass, solange der Triebstock nicht in die Lage F auf der Mittelpunktslinie kommt, der eventuelle Berührungspunkt dieses letzteren mit dem Zahn stets auf der oberen Hälfte des Triebstockes liegen wird. Nun kann aber mit irgend einem Punkte dieser oberen Hälfte des Triebstockes nur ein durch eine concave Curve begrenzter Zahn (nicht aber ein durch eine Curve von der Gestalt aα begrenzter), in Berührung kommen. Es kann daher eine Berührung zwischen Triebstock und Zahn nicht eher stattfinden als bis ersterer auf der Mittelpunktslinie zu liegen kommt. Da das Profil aα des Zahnes eine von der Epicycloide bB Aequidistante ist, so muss offenbar der erste Berührungspunkt a zwischen Triebstock und Zahn, d.h. derjenige Punkt, in welchem die Normale zur Epicycloide im Punkte b den Kreis F schneidet, als Anfangspunkt der Eingrifflinie dienen. Zur Bestimmung der übrigen Punkte der Eingrifflinie wäre man genöthigt, eine Reihe von auf einander folgenden Lagen des Triebstockes zu construiren und jedesmal den Mittelpunkt desselben mit dem Punkte b durch Gerade zu verbinden; alsdann würden die Schnittpunkte dieser letzteren mit den betreffenden Triebstockkreisen der gesuchten Eingrifflinie angehören. Nun kann man aber diese Punkte auch auf einfachere Weise erhalten, indem man durch den Punkt b eine Reihe von Sehnen im Triebstocktheilkreise zieht und auf diesen, von den Endpunkten nach aussen, jedesmal die Länge r des Triebstockhalbmessers aufträgt. Die durch alle auf diese Weise gewonnenen Punkte hindurchgehende Curve wird Radienvectoren besitzen, welche kleiner sind als die entsprechenden Radienvectoren des Theilkreises Kt um eine constante Grösse r; sie wird also eine Pascal'sche Schnecke sein. Somit wird bei der Triebstockverzahnung als Eingrifflinie eine Pascal'sche Schnecke dienen; der Endpunkt der Eingrifflinie wird im Schnittpunkte c der Schnecke mit dem Kopfkreise K_{1^k} des Zahnrades liegen. Wenn wir den Punkt b als Pol und die zur Mittelpunktslinie Senkrechte als Polachse nehmen, so wird als Polgleichung dieser Schnecke eine Gleichung von folgender Gestalt dienen: ρ = 2R sin α – r Wenn wir zwei Triebstöcke F und F1 construiren, welche durch die beiden Endpunkte a und c der Eingrifflinie hindurchgehen, so wird der innerhalb dieser Triebstöcke eingeschlossene Theil AA1 des Theilkreisbogens den Eingriffbogen bilden. Wie bei den früher betrachteten Fällen der Verzahnung wird auch hier als Bedingung für eine stete Verzahnung von n ZähnepaarenHier wird der Triebstock als Zahn betrachtet, und ist unter einem Paar zu verzahnender Zähne immer die Berührung von Triebstock und Zahn zu verstehen. die Gleichung dienen: ⌢ AA1 = np Um aus dieser Gleichung die Zähnezahl zu ermitteln, ist vor allem zu bemerken, dass der Halbmesser des Triebstockes stets sehr klein ist im Vergleich mit den Halbmessern der Räder; es wird daher die Pascal'sche Schnecke in der Nähe des Punktes b immer mit den betreffenden Theilkreisen nahezu zusammenfallen. Es kann in Folge dessen, ohne einen nennenswerthen Fehler zu begehen, angenommen werden, dass die Bögen ab und Ab einander gleich und der Bogen ab durch dessen Sehne ersetzt werden, d.h.: ⌢ A0b = ⌢ ab = r = εp . . . . . . . . . . 59) Hier bedeutet ε eine Constante. Constructionen, welche sowohl für verschiedene Uebersetzungsverhältnisse, als auch für verschiedene Zahnkopflängen ausgeführt wurden, zeigen, dass der Bogen bA1 auf dem Triebstockrade stets um einen gewissen Theil des Triebstockhalbmessers kleiner ist als der Bogen bD des nämlichen Rades, welcher zwischen dem Punkte b und dem Schnittpunkte D des Triebstocktheilkreises mit dem Kopf kreise des Zahnrades liegt. Dabei ist es constructiv nicht schwer, einzusehen, dass die Grösse dieses Stückes gleichzeitig mit der Zahnhöhe und dem Uebersetzungsverhältnisse wächst. Es sei nun, wie vorher, die Zahnkopflänge x = ε1p. Die Vergleichung von mehreren Constructionen führt zur Annahme folgender Gleichung: \frown\,b\,A_1=\frown\,b\,D-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\,r=R\,\varphi-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\,r . . . . . . . . . 60) Bei dem Bestehen der Gleichungen 59) und 60) wird die Gleichmässigkeitsbedingung zur Gestalt gebracht: n\,p=\varepsilon\,p\,\left(1-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\right)+R\,\varphi Zur Bestimmung von ϕ verbinden wir D mit den Mittelpunkten C und C1 der Räder; aus dem Dreiecke CC1D haben wir alsdann: (R1 + x)2 = (R1 + R)2 + R2 – 2R (R1 + R) cos ϕ oder, nach Kürzung: x\,(2\,R_1+x)=4\,R\,(R_1+R)\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} woraus: sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1+x)}{4\,R\,(R_1+R)}} Lassen wir die Bedingung gelten, den Winkel ϕ nicht grösser als 114° zu machen, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Zahl der Triebstöcke nicht unter 4 anzunehmen (vgl. oben), so kann angenommen werden, dass: \varphi=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1+x)}{R\,(R_1+R)}} wobei die Gleichmässigkeitsbedingung die Gestalt annimmt: n\,p=\varepsilon\,p\,\left(1-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{R\,x\,(2\,R_1+x)}{R_1+R}} . . . . . . . . . . 61) Unter Annahme, dass das Triebstockrad als kleineres Rad dient, nach Einführung des Uebersetzungsverhältnisses k=\frac{R_1}{R}, der Triebstockzahl m und bei x = ε1p, erhalten wir folgende Endgestalt für die Gleichmässigkeitsbedingung im Fall der Verzahnung eines kleineren Triebstockrades mit einem grösseren Zahnrade: n\,\leq\,\varepsilon\,\left(1-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{k\,m+\pi\,\varepsilon_1}{k+1}} . . . . . . . . . . 62) Wäre das Triebstockrad grösser als das Zahnrad, so würde bei dem Uebersetzungsverhältniss k=\frac{R}{R_1} die Gleichmässigkeitsbedingung 61) die Gestalt annehmen: n\,\leq\,\varepsilon\,\left(1-\frac{k}{k+1}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{(m+\pi\,\varepsilon_1)\,k}{k+1}} . . . . . . . . . . 63) Hier ist das Zeichen der Ungleichheit aus den nämlichen Gründen eingeführt worden, wie bei den früher betrachteten Fällen der Verzahnung. Durch sämmtliche Voraussetzungen, welche zur Aufstellung der Gleichmässigkeitsbedingung 61) geführt haben, ist eine Verkleinerung des rechten Theiles der Gleichung herbeigeführt worden; wollte man die Gleichheit beider Theile oder gar das Ueberwiegen im rechten Theil herbeiführen, so wäre das nur durch Vergrösserung der Zähnezahl m (bezieh. der Triebstockzahl) möglich. Daraus folgt aber, dass die aus den Gleichungen 62) und 63) sich berechnenden Zähne bezieh. Triebstockzahlen grösser sind als die wahren, und sichern auf diese Weise eine um so grössere Gleichmässigkeit des Ganges. Die Fig. 9 ist unter der Voraussetzung gezeichnet, dass das Zahnrad zum Antrieb dient. Wäre umgekehrt das Triebstockrad zum Antrieb verwendet, so hätten wir als Anfangspunkt der Eingrifflinie den Punkt c, als Endpunkt den Punkt a zu betrachten. Der Versuch lehrt, dass bei jeder Art von Rädern der Bruch der Zähne gewöhnlich bei Beginn der Verzahnungsphase und um so rascher erfolgt, je weiter der erste Berührungspunkt von der Mittelpunktslinie liegt. Da nun der Punkt a innerhalb des Zahnrades viel näher zu der zuletztgenannten Linie liegt, so muss, um Zahnbrüchen möglichst vorzubeugen, zum Antrieb unbedingt das Zahnrad und nicht das Triebstockrad verwendet werden. In der Praxis kommt es gewöhnlich darauf an, mittels Räder eine kleinere Achsengeschwindigkeit in eine grössere zu übersetzen, d.h. mit anderen Worten, die Bewegung eines grösseren Rades auf ein kleineres zu übertragen. Es muss daher, wenn wir es mit einer Triebstockverzahnung zu thun haben, das kleinere Rad als Triebstockrad und das grössere als Zahnrad angewendet werden. Eine entgegengesetzte Anordnung muss in solchen Fällen stattfinden, wenn bei der Bewegungsübertragung die Achsengeschwindigkeit verkleinert werden muss, was jedoch nur in Ausnahmefällen vorkommt. Aus den Gleichungen 62) und 63) kann bei gegebenen Grössen für ε, ε1 und dem Gleichmässigkeitsgrad n für jeden einzelnen Fall die Zähnezahl (bezieh. die Triebstockzahl), welche dem angenommenen Uebersetzungsverhältnisse k entspricht, ermittelt werden. Was nun die Werthe von ε und die damit verbundenen Werthe für die Zahnstärke δ1 anlangt, so sind diese in erster Linie von der Art der zur Anfertigung der Zähne und Triebstöcke bestimmten Materialien abhängig; ferner auch von der Zahnbreite b. Dabei kann ε1 = 0,4p bis 0,5p angenommen werden. Sollen Triebstöcke und Zähne von gleicher Festigkeit berechnet werden, so können folgende Zahlenwerthe Anwendung finden: 1) Für den Fall von schmiedeeisernen Triebstöcken und gusseisernen Zähnen: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,5h = 0,8p und ε = 0,22δ1 = 0,49p und Bei„„ b = 2pε1 = 0,4h = 0,7p und ε = 0,225δ1 = 0,48p Hier bedeutet h die Zahnlänge. 2) Für den Fall von gusseisernen Zähnen und hölzernen Triebstöcken: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,5h = 0,89p und ε = 0,29δ1 = 0,33p 3) Für den Fall von hölzernen Zähnen und schmiedeeisernen Triebstöcken: Tabelle IV der minimalen Triebstockzahlen für den Fall der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Textabbildung Bd. 288, S. 276 Uebersetzungsverhältniss k; Triebstockzahl (m) des kleineren Triebstockrades unter der Bedingung, dass in steter Verzahnung sich befinden; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaare; Drei Zähnepaare Tabelle V der minimalen Zähnezahlen für den Fall der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Textabbildung Bd. 288, S. 277 Uebersetzungsverhältniss k; Zähnezahl (m) des kleineren Zahnrades unter der Bedingung, dass in steter Verzahnung sich befinden; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaare; Drei Zähnepaare und Bei„„ b = 2pε1 = 0,5h = 0,8p und ε = 0,185δ1 = 0,54p und Bei„„ b = 2pε1 = 0,4h = 0,7p und ε = 0,19δ1 = 0,53p 4) Für den Fall von hölzernen Zähnen und Triebstöcken: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,4h = 0,77p und ε = 0,265δ1 = 0,37p In den seltenen Fällen, wo man das Zahnrad aus Schmiedeeisen anfertigen muss, werden seine Dimensionen ebenso wie die eines gusseisernen berechnet. Bei der Ermittelung der oben angeführten Werthe für ε und ε1 wurde das Schmiedeeisen in Triebstöcken dreimal so fest als Gusseisen und sechsmal so fest als Holz in Zähnen angenommen. Für die in der Praxis am meisten vorkommenden Werthe von ε und ε1 wurden die vorstehenden Tabellen IV und V der minimalen Zähnezahlen zusammengestellt. Dabei wurden die Zahlen der Tabelle IV aus den Gleichungen 62), die der Tabelle V aus den Gleichungen 63) berechnet. 2) Fall der Triebstockverzahnung für inneren Eingriff. Es seien (Fig. 10) Kt und K_{1^t} die Theilkreise des Triebstock- bezieh. des Zahnrades, R und R1 deren entsprechende Halbmesser. Nehmen wir wieder einen auf der Mittelpunktslinie CC1 liegenden Triebstock F. Lassen wir den Kreis Kt sich auf dem Kreise K_{1^t} abwälzen, so beschreibt der Mittelpunkt b des Triebstockes eine Hypocycloide bB. Textabbildung Bd. 288, S. 277 Fig. 10. Die im Abstande r des Triebstockhalbmessers gezogene äquidistante Curve aα wird als Profil für den äusseren Theil des Zahnes (Zahnkopf) dienen. Wie bei dem Falle der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff, wird auch hier die Berührung zwischen Zahn und Triebstock erst in dem Augenblicke beginnen, wo letzterer in die Lage F gelangt; desgleichenwird als erster Berührungspunkt, somit auch als Anfangspunkt der Eingrifflinie, der Punkt a dienen, d. i. derjenige Punkt, in welchem die Normale zur Hypocycloide im Punkte b den Kreis F schneidet. Man kann daher den übrigen Theil des Zahnes durch eine beliebige Curve begrenzen, welche den Kreis F im Punkte a tangirt. Gewöhnlich begrenzt man den gedachten Zahntheil durch einen Kreis, der etwas grösser ist als der Triebstockkreis. Die Eingrifflinie wird mit der Pascal'schen Schnecke abc zusammenfallen, deren Gleichung und Construction die nämliche ist, wie bei dem Falle der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff (vgl. oben). Als Endpunkt der Eingrifflinie wird der Punkt c dienen, in welchem die Pascal'sche Schnecke den Kopfkreis K_{1^k} des Zahnrades schneidet. Wenn wir zwei Triebstöcke F und F1 construiren, welche durch die beiden Endpunkte a und c der Eingrifflinie hindurchgehen, so wird der zwischen diesen Triebstöcken eingeschlossene Theil AA1 des Theilkreisbogens als Eingriffbogen dienen. Sollen n Zähnepaare in steter Verzahnung verbleiben, so muss offenbar der Gleichung entsprochen werden: ⌢ AA1 = np welche daher als Gleichmässigkeitsbedingung zu betrachten ist. Durch Betrachtungen, wie solche im ersten Theil dieses Abschnittes angestellt, werden wir zur Möglichkeit der Annahme geführt, dass: ⌢ bA = ⌢ ba = r = εp . . . . . . . . . . 64) Nun kann aber der Bogen bA1 durch den um einen gewissen Theil des Triebstockhalbmessers verkleinerten Bogen bD des Triebstocktheilkreises ersetzt werden. Die Vergleichung von mehreren Constructionen zeigt auch hier, dass der erwähnte Theil sowohl mit der Vergrösserung der Zahnhöhe, als auch mit der Verkleinerung des Uebersetzungsverhältnisses wächst; es kann daher angenommen werden: \frown\,b\,A_1=\frown\,b\,D-1,5\,\frac{k}{k-1}\,\varepsilon_1\,r . . . . . . . . . . 65) Die Grösse von ε1 ist aus der Gleichung x = ε1p zu bestimmen. Beim Bestehen der Gleichungen 64) und 65) gelangt die Gleichmässigkeitsbedingung zur Gestalt: n\,p=\varepsilon\,p\,\left(1-1,5\,\frac{k}{k-1}\,\varepsilon_1\right)+R\,\varphi Zur Bestimmung von ϕ verbinden wir den Punkt D mit C und C1; aus dem Dreiecke CDC1 haben wir alsdann: (R1 – x)2 = (R1 – R)2 + R2 + 2R (R1 – R) cos ϕ oder, nach Kürzung: x\,(x-2\,R_1)=4\,R\,(R-R_1)\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} woraus: sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1-x)}{4\,R\,(R_1-R)}} Lassen wir die Bedingung gelten, den Winkel ϕ nicht grösser als 114° zu machen, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Triebstockzahl nicht unter 4 anzunehmen, so kann angenommen werden: \varphi=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1-x)}{R\,(R_1-R)}} wobei die Gleichmässigkeitsbedingung die Gestalt annimmt: n\,p=\varepsilon\,p\,\left(1-1,5\,\frac{k}{k-1}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{x\,R\,(2\,R_1-x)}{R_1-R}} . . . . . . . . . . 66) Nach Einführung des Uebersetzungsverhältnisses k=\frac{R_1}{R}, der Triebstockzahl m und unter Annahme, dass: x = ε 1 p erhalten wir folgenden Ausdruck als Endgestalt der Gleichmässigkeitsbedingung: n\,\leq\,\varepsilon\,\left(1-1,5\,\frac{k}{k-1}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,.\,\frac{k\,m-\pi\,\varepsilon_1}{k-1}} . . . . . . . . . . 67) Diese Bedingungsgleichung wurde nun in der Voraussetzung abgeleitet, dass das Triebstockrad als kleineres Rad wirkt, was auch geschehen muss, wenn man beabsichtigt, mittels Räder eine kleinere Geschwindigkeit in eine grössere zu übersetzen (vgl. im ersten Theil dieses Abschnittes). Soll dagegen, was übrigens nur sehr selten vorkommt, eine grössere Geschwindigkeit in eine kleinere übersetzt werden, so muss als kleineres Rad das Zahnrad, als grösseres das Triebstockrad verwendet werden. Die Gleichmässigkeitsbedingung für diesen Fall kann nach der früher entwickelten Methode aufgestellt werden. Textabbildung Bd. 288, S. 278 Fig. 11. Es seien (Fig. 11) Kt und K_{1^t} die mit den Radien R und R1 gezogenen Theilkreise des Triebstockrades und des Zahnrades. Nehmen wir einen Triebstock in der Lage F auf der Mittelpunktslinie CC1. Lassen wir den Theilkreis Kt des (grösseren) Triebstockrades auf dem Theilkreis K_{1^t} des (kleineren) Zahnrades sich abwälzen, so wird der Triebstockmittelpunkt b eine Pericycloide bB beschreiben. Die um die Länge des Triebstockhalbmessers r äquidistante Curve aα wird als Profil für den äusseren Theil des Zahnes (Zahnkopf) dienen; der untere Theil dieses letzteren kann, da er mit dem Triebstocke in Verzahnung nicht eingeht, durch einen Kreisbogen αβ begrenzt werden. Als Eingrifflinie wird die Pascal'sche Schnecke abc dienen, deren Gleichung und Construction die nämliche ist, wie in dem vorher betrachteten Falle. Der Bogen AA1 des Triebstocktheilkreises, welcher zwischen den beiden in den Endpunkten der Berührung mit dem Zahne construirten Triebstöcken F und F1 eingeschlossen ist, wird den Eingriffbogen bilden. Die Bedingung, dass n Zähnepaare in steter Verzahnung bleiben, wird, wie vorhin, durch die Gleichung ausgedrückt: ⌢ AA1 = np Als Ersatz für die Theile des Eingriffbogens können wir auf Grund der früher angestellten Betrachtungen annehmen: \left{{\frown\,b\,A=\,\frown\,b\,a=r=\varepsilon\,p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{\frown\,A_1\,b=\,\frown\,b\,D+\frac{15}{k^2}\,\varepsilon_1\,r=R\,\varphi+\frac{15}{k^2}\,\varepsilon_1\,r}}\right\}\ .\ 68) Die Bedeutung von ε1 ist die frühere. Bei Annahme dieser Gleichungen gelangt die Gleichmässigkeitsbedingung zur Gestalt: n\,p=\varepsilon\,p\,\left(1+\frac{15}{k^2}\,\varepsilon_1\right)+R\,\varphi Zur Bestimmung von ϕ verbinden wir den Punkt D mit den Mittelpunkten C und C1 und erhalten aus dem Dreiecke DCC1: (R1 + x)2 = (R – R1)2 + R2 – 2R (R – R1) cos ϕ oder, nach Kürzung: x\,(2\,R_1+x)=4\,R\,(R-R_1)\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} woraus: sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1+x)}{4\,R\,(R-R_1)}} Unter Beibehaltung der früheren Forderung, den Winkel ϕ nicht grösser als 114° zu machen, oder, was gleichbedeutend ist, die Zähnezahl nicht unter 4 anzunehmen, kann angenommen werden, dass: \varphi=\sqrt{\frac{x\,(2\,R_1+x)}{R\,(R-R_1)}} Dabei wird aber die Gleichmässigkeitsbedingung die Gestalt annehmen: n\,p\,\leq\,\varepsilon\,\left(1+\frac{15}{k^2}\,\varepsilon_1\right)\,p+\sqrt{\frac{x\,R\,(2\,R_1+x)}{R-R_1}} . . 69) Nach Einführung des Uebersetzungsverhältnisses k=\frac{R}{R_1}, der Zähnezahl m des kleineren Rades und unter Annahme, dass x = ε1p, erhalten wir folgenden Ausdruck als Endgestalt für die Gleichmässigkeitsbedingung: n\,\leq\,\varepsilon\,\left(1+\frac{15}{k^2}\,\varepsilon_1\right)+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\pi}\,\frac{(m+\pi\,\varepsilon_1)\,k}{k-1}} . . 70) Wie aus den Fig. 10 und 11 zu ersehen, braucht bei dem Falle der Triebstockverzahnung für inneren Eingriff die Zahnkopflänge nicht so gross zu sein, wie bei dem Falle der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Man kann sich daher mit den Grössen beschränken: ε1 = 0,2 bis 0,3. Was nun die Werthe von s anbelangt, so sind diese in erster Linie von dem zur Herstellung der Triebstöcke und Zähne verwendeten Material, dann aber auch von der Zahnbreite b abhängig. Sollen Zähne und Triebstöcke auf gleiche Biegungsfestigkeit berechnet werden, so kann angenommen werden: 1) Für den Fall von schmiedeeisernen Triebstöcken und gusseisernen Zähnen: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,2h = 0,55p und ε = 0,23δ1 = 0,44p und Bei„„ b = 2pε1 = 0,3h = 0,65p und ε = 0,225δ1 = 0,45p δ1 bedeutet hier, wie früher, die Zahndicke, h die gesammte Zahnlänge. 2) Für den Fall von schmiedeeisernen Triebstöcken und hölzernen Zähnen: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,2h = 0,5p und ε = 0,205δ1 = 0,49p und Bei„„ b = 2pε1 = 0,3h = 0,6p und ε = 0,2δ1 = 0,5p 3) Für den Fall von hölzernen Triebstöcken und gusseisernen Zähnen: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,3h = 0,7p und ε = 0,3δ1 = 0,3p 4) Für den Fall von hölzernen Zähnen und Triebstöcken: und Bei„„ b = 2pε1 = 0,2h = 0,6p und ε = 0,275δ1 = 0,35p Ein schmiedeeisernes Rad wird wie ein solches aus Gusseisen berechnet. Bei der Bestimmung der angeführten Werthe von ε, δ1 u.s.w. wurde angenommen, dass die Biegungsfestigkeit der Materialien in dem zu betrachtenden Falle die nämliche ist wie für den Fall der Triebstockverzahnung für äusseren Eingriff. Für die praktisch am meisten gebräuchlichen Werthe von ε und ε1 wurden die nachstehenden Tabellen VI und VII der minimalen Zähnezahlen zusammengestellt; die Zahlen der Tabelle VI wurden aus Gleichung 67), die der Tabelle VII aus Gleichung 70) berechnet. Die eingeklammerten Zahlen in beiden Tabellen sind aus der Gleichmässigkeitsbedingung erhalten und, als in den meisten Fällen für die Praxis untauglich, immer durch die Zahl 4 ersetzt worden. Die Gründe für diesen Ersatz sind im ersten Abschnitte angeführt. Sowohl aus den in dieser Abhandlung angeführten Tabellen, als auch aus sämmtlichen Gleichmässigkeitsbedingungen ist es nicht schwer, einzusehen, welchen Einfluss die Zahnkopflänge in allen Fällen auf die Zähnezahl ausübt. Eine directe Benutzung der Tabellen kann daher nur in solchen Fällen stattfinden, wo die in den projectirten Zahnrädern angenommenen Zahnkopflängen mit den in den Tabellen angeführten übereinstimmen. Im anderen Fall muss man sich entweder zur Benutzung der Gleichmässigkeitsbedingungen selbst wenden oder die Zahlen der Tabellen, unter Berücksichtigung des Einflusses Tabelle VI der minimalen Triebstockzahlen für den Fall der Triebstockverzahnung für inneren Eingriff. Textabbildung Bd. 288, S. 279 Uebersetzungsverhältniss k; Triebstockzahl (m) des kleineren Triebstockrades, unter der Bedingung, dass in steter Verzahnung sich befinden; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaare; Drei Zähnepaare; Bemerkung: Für den zweiten Fall (schmiedeeiserne Triebstöcke und hölzerne Zähne) erhält man bei gleicher Zahnkopflänge dieselbe Triebstockzahl wie für den ersten Fall (schmiedeeiserne Triebstöcke, gusseiserne Zähne). Tabelle VII der minimalen Zähnezahlen für den Fall der Triebstockverzahnung für inneren Eingriff. Textabbildung Bd. 288, S. 279 Uebersetzungsverhältniss k; Zähnezahl (m) des kleineren Zahnrades unter der Bedingung, dass in steter Verzahnung sich befinden; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaare; Drei Zähnepaare; Bemerkung: Für den zweiten Fall werden bei gleicher Zahnkopflänge Zähnezahlen erhalten, welche nur um 1 bis 2 grösser sind als im ersten Fall. der Zahnkopflängen, abändern. (Die Zähnezahlen werden um so kleiner, je grösser die Zahnkopflängen.) Bei der Unvollkommenheit der fabrikmässigen Anfertigung von Rädern ist es praktisch von Vortheil, zur Sicherung der erforderlichen Gleichmässigkeit des Ganges, die Zahlen der Tabellen um 5 bis 10 Proc. zu vergrössern. Sollte daher, mit Rücksicht auf die Verhältnisse der Zahnkopflänge, eine Verkleinerung der Zähnezahlen der Tabelle vorgenommen werden, so thut man besser, dies zu unterlassen. IV. Abschnitt: Bestimmung der Zähnezahlen bei Rädern mit kreisförmigen Zahnprofilen. Bei der Bestimmung der Zähnezahl bei Rädern, deren Zähne durch einfache Kreisbögen zu begrenzen sindDie zur Ausführung dieser Aufgabe dienenden Verfahren finden sich ausführlich beschrieben in meiner Broschüre: Die kreisförmigen Zahnräder, ihre Theorie, Berechnung und graphische Ausführung. 2. Auflage. 1892. (In russischer Sprache.), muss man zwei Fälle unterscheiden: Erster Fall, wenn direct angegeben ist, welche Art von Curven bei der Zahnbegrenzung durch Kreise zu ersetzen sind, und zweiter Fall, wenn eine derartige Angabe nicht vorhanden ist. Im ersten Fall müssen die Zähnezahlen bestimmt werden: aus den Gleichungen und Tabellen des I. Abschnittes, wennKreisevolventen zu ersetzen sind; aus den Gleichungen und Tabellen des II. Abschnittes, wenn man es mit dem Ersätze von Cycloidencurven zu thun hat. Im zweiten Fall muss die Zähnezahl aus den Gleichungen und Tabellen des III. Abschnittes ermittelt werden, indem man die Triebstockräder als gewöhnliche Zahnräder betrachtet. Hierbei ist dasjenige Zahnrad mit dem Triebstockrade zu identificiren, bei welchem die kreisförmigen Zahnprofile aus auf dem Theilkreise liegenden Mittelpunkten gezeichnet sind. Im allgemeinen Fall, wenn die Mittelpunkte der kreisförmigen Zahnprofile sich auf keinem der Theilkreise befinden, müssen diejenigen Tabellen und Gleichungen des III. Abschnittes benutzt werden, bei welchen die maximalen Zähnezahlen erhalten werden, d.h. diejenigen Tabellen und Gleichungen, welche für den Fall der Verzahnung eines kleineren Triebstockrades mit einem grösseren Zahnrade gelten. Dieses Verfahren der Ermittelung der Zähnezahl kann naturgemäss keine genaue Lösung der Frage gestatten und muss daher lediglich als Näherungsverfahren betrachtet werden. Eine genaue Lösung der Frage über die Bestimmung der Zähnezahl bei Rädern mit kreisförmigen Zahnprofilen kann nur durch specielle Untersuchungen herbeigeführt werden, wie das auch in unseren nächsten Studien geschehen wird.