Titel: | Zur Berechnung der Flammrohre von Dampfkesseln. |
Autor: | Wehage |
Fundstelle: | Band 242, Jahrgang 1881, S. 236 |
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Zur Berechnung der Flammrohre von
Dampfkesseln.
Wehage, zur Berechnung der Flammrohre von Dampfkesseln.
Da es bisher nicht gelungen ist und vorläufig auch unmöglich erscheint, auf
theoretischem Wege eine Formel aufzustellen, welche die Beziehung zwischen den
Dimensionen, Belastungen und inneren Spannungen der einem äuſsern Ueberdruck
ausgesetzten Flammrohre ausdrückt, bezieh. für gegebene Dimensionen die Pressung
bestimmt, bei welcher ein Zusammenklappen der Rohre erfolgt, so ist man darauf
beschränkt, eine solche Formel auf empirischem Wege aus Versuchsresultaten
abzuleiten. Soviel bekannt, sind derartige Versuche in gröſserer Anzahl bisher nur
von Fairbairn ausgeführt worden. Letzterer selbst hat
auf Grund dieser Versuche die folgende Formel aufgestellt:
p=806300\,\frac{\delta^{2,19}}{l\,d},
worin p den ein Zusammenklappen
herbeiführenden Ueberdruck in Pfund auf den Quadratzoll englisch, δ die Blechdicke und d den
Durchmesser in englischen Zoll und l die Länge in
englischen Fuſs bedeutet. Sämmtliche Maſse auf Millimeter und die Pressung auf
Kilogramm auf 1qc (annähernd gleich der Anzahl der
Atmosphären) bezogen, lautet diese Formel:
p=367937\,\frac{\delta^{2,19}}{l\,d}. In dieser Gestalt ist
dieselbe auch von Reuleaux in den Constructeur aufgenommen.In Reuleaux's Constructeur, 3. Aufl. findet sich an der betreffenden Stelle ein
Druckfehler. Da dort die Pressung auf Quadratmillimeter bezogen ist, so muſs
Formel 261 S. 570 heiſsen:100\,p=n=367937\,\frac{\delta^{2,19}}{l\,D}.
Grashof hat dann unter Beibehaltung der allgemeinen Form
jenes Ausdruckes für p mittels der Methode der
kleinsten Quadrate aus denselben Versuchen die genauere Formel:
n=7790\,\frac{\delta^{2,315}}{l\,d^{1,278}}
hergeleitetZeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure,
1859 Bd. 3 S. 234. , worin n die zum
Zusammendrücken nöthige Pressung in Atmosphären bezeichnet und die Blechstärke δ wie oben in Millimeter, dagegen l und d in Centimeter
auszudrücken ist. Werden auch l und d in
Millimeter genommen und wird die Pressung in Kilogramm auf 1qc ausgedrückt, so lautet die Formel:
p=1526850\,\frac{\delta^{2,315}}{l\,d^{1,278}}.
Leider sind die Versuche von Fairbairn mit sehr dünnem
Blech ausgeführt; bei den meisten Rohren betrug die Blechdicke nur 1mm,1; bei vier Versuchen hatte das Blech eine
Stärke von 3,2 bis 6mm,4. Da diese wenigen
Versuche mit dickwandigeren Rohren jedenfalls eine gröſsere Bedeutung haben als die
übrigen, so hat Grashof noch die weitere Formel:
n=325\,\frac{\delta^{2,081}}{l^{0,564}\,d^{0,889}}
oder, analog der vorhergehenden umgerechnet:
p=9531\,\frac{\delta^{2,081}}{l^{0,564}\,d^{0,889}}
aufgestellt, in welcher der Coefficient 325 sowie die
Exponenten von δ, l und d
so bestimmt sind, daſs die Formel genau jenen vier
Versuchen mit dicken Blechen entspricht.
Ferner hat Love aus den Fairbairn'schen Versuchen eine Formel abgeleitetCivilingenieur, 1861 Bd. 7 S. 238. ,
für welche er jedoch (hauptsächlich wohl um die Logarithmenrechnung zu vermeiden)
die allgemeine Gestalt der Fairbairn'schen Formel nicht
beibehielt, sondern bezüglich der Blechdicke eine Function zweiten Grades zu Grunde
legte. Die Formel von Love lautet:
p=\frac{k\,\delta^2+l\,\delta\,(5\,\delta-1,75)}{0,0078\,l\,d},
worin p, δ, l und d, auf Kilogramm und Centimeter bezogen, die gleiche
Bedeutung wie oben haben, k aber den Bruchmodul für
eine Inanspruchnahme auf Druck bezeichnet. Setzt man k
= 4000 und nimmt δ, l und d in Millimeter und p wie oben in Kilogramm
auf 1qc, so erhält man:
p=512820\,\frac{\delta^2}{l\,d}+64,1\,\frac{\delta^2}{d}-224\,\frac{\delta}{d}.
Hierbei mag bemerkt werden, daſs der Bruchmodul nicht wohl in
Betracht kommen kann, da vermuthlich das Zusammendrücken bald nach Ueberschreitung
der Elasticitätsgrenze eintreten wird; die Gröſse k ist
deshalb in obiger Formel mehr als eine willkürlich angenommene konstante zu
betrachten.
Um eine noch gröſsere Annäherung an die Fainbairn'schen
Resultate als Love zu erzielen, hat auf Veranlassung
Reuleaux's eine Commission des Vereines Hütte eine genauere Bestimmung der Constanten in der
Love'schen Formel ausgeführtVerhandlungen des Vereines zur Beförderung des
Gewerbfleiſses, 1870 S. 115. und ist so zu dem Ausdruck
gelangt:
p=376721\,\frac{\delta^2}{l\,d}+116\,\frac{\delta^2}{d}-93\,\frac{\delta}{d}.
Kürzlich sind nun im Engineer, 1881 Bd. 51 S. 426, die
Resultate einiger neuerer Versuche veröffentlicht, welche Gelegenheit geben, die
obigen Formeln zu prüfen. In der nachfolgenden Tabelle sind die Versuchs- und
Rechnungsresultate zusammengestellt. Wie aus derselben hervorgeht, sind die
Abweichungen der berechneten Pressungen von denen, welche in Wirklichkeit ein
Zusammenklappen herbeiführten, sehr bedeutend; sie betragen in den meisten Fällen
über 100 Procent, und zwar sind die berechneten Werthe von p sämmtlich viel zu groſs. Wenn auch die Zahl dieser Versuche gering ist,
so sind die Resultate doch in so fern sehr beachtenswerth, als die Maſse der
untersuchten Rohre namentlich hinsichtlich der Blechdicke den in der Praxis
vorkommenden entsprechen, was von den Fairbairn'schen
Versuchen nicht gilt. Die Versuche sind allerdings nicht unter gleichen
Verhältnissen ausgeführt. Die Rohre Nr. 1 und 2 gehörten dem Kessel bezieh. dem
Ueberhitzer des Dampfschiffes Pharos an, waren schon in
Gebrauch gewesen, doch noch gut erhalten und sind von Platten und Seaton auf der Schiffswerfte von
Earle in Hüll untersucht. Beide Rohre waren in der
Längsrichtung mit Ueberlappung vernietet, während die Rohre Nr. 3 und 4 geschweiſst
und bei dem Rohre Nr. 5 die Kanten stumpf zusammengestoſsen und mit Laschen
vernietet waren.
Nr.
1
2
3
4
5
Mittlerer Durchmesser
mm
1127,1
939,4
964,8
964,8
1371,4
Länge
mm
977,9
2743,0
2184,8
2134,0
914,4
Blechdicke
mm
8,73
13,49
12,70
9,53
6,35
Pressung, bei welcher das
Zusammenklappen der Rohre erfolgt ist, in k auf 1qc(annähernd = Anzahl der
Atmosphären).
14,06
18,28
31,64
13,18
9,00
Formel
Berechnete Pressung in k auf 1qc
Fairbairn
p=367937\,\frac{\delta^{2,19}}{l\,d}
38,32
42,54
45,56
24,68
16,80
Grashof
a) p=1526850\,\frac{\delta^{2,315}}{l\,d^{1,278}}
b) p=9531\,\frac{\delta^{2,081}}{l^{0,564}\,\delta^{0,889}}
29,6234,48
36,5056,06
38,5154,89
20,4830,60
11,8015,51
Love
p=512820\,\frac{\delta^2}{l\,d}+64,1\,\frac{\delta^2}{d}-224\,\frac{\delta}{d}
38,5
45,2
47,0
26,5
17,3
Hütte
p=376721\,\frac{\delta^2}{l\,d}+116\,\frac{\delta^2}{d}-93\,\frac{\delta}{d}
33,2
47,7
48,0
26,6
15,1
A)
p =
6036099600
\frac{\delta^{2,56}}{l\,d}
14,04
18,30
31,63
15,53
9,02
A1)
p =
70000113000
\frac{\delta^2\,\sqrt{\delta}}{l\,d}
14,30
18,16
30,81
15,39
9,16
B)
p =
90000120000
\frac{\delta}{d}\,\sqrt[3]{\frac{\delta}{d\,l}}
13,90
22,44
28,74
19,75
9,54
Der Versuch mit dem Rohr Nr. 3 ist in Greenock, der mit dem
Rohr Nr. 4 in Leeds und der mit dem Rohr Nr. 5 von dem Chefingenieur der United States Navy in Amerika ausgeführt. Das Rohr Nr.
4 hatte schon vor dem Versuche eine Beule von etwa 6mm Tiefe, an welcher, wie zu erwarten war, die Zusammendrückung ihren
Anfang nahm. Es darf wohl angenommen werden, daſs das Rohr ohne diese Beule eine
etwas höhere Pressung ausgehalten hätte. Das Rohr Nr. 5 endlich war aus zwei
Schüssen von je 0m,9 Länge mit Flanschen
zusammengenietet. Für die Berechnung ist deshalb nicht die Länge des ganzen Rohres,
sondern die eines Schusses in die Formeln eingesetzt. Ueber die Qualität der Bleche,
sowie über die Art und Weise, wie die Versuche ausgeführt wurden, namentlich über
die Befestigung der Rohre an den Enden, ist in der genannten Quelle nichts
angegeben.
Somit scheinen diese Versuche eigentlich nicht sehr geeignet, auf Grund derselben
eine Berichtigung der genannten Formeln vorzunehmen, bezieh. neue Formeln
aufzustellen. Wenn dies dennoch im Folgenden versucht ist, so mag es dadurch
gerechtfertigt sein, daſs die bei den vorliegenden Versuchen vorkommenden Blech
dicken gerade diejenigen sind, für welche brauchbare Formeln wünschenswerth wären,
für diese Blechdicken aber die auf die Fairbairn'schen
Versuche sich gründenden Formeln übereinstimmend viel
zu groſse Werthe des Zerstörungsdruckes liefern.
Mit Rücksicht darauf, daſs die von Fairbairn bei seinen
Versuchen benutzten Rohre fast sämmtlich von gleicher und zwar geringer Blechstärke,
dagegen von sehr verschiedener Länge und sehr verschiedenem Durchmesser waren,
scheint der Fehler der Fairbairn'schen Formel, wenn sie
auf diese Rohre von gröſserer Wandstärke angewendet werden soll, hauptsächlich in
dem Exponenten von d zu liegen, während die von Fairbairn aus seinen Resultaten gezogene Folgerung,
daſs die Pressung p umgekehrt proportional der Länge
l und dem Durchmesser d des Rohres sei, innerhalb gewisser Grenzen annähernd richtig zu sein
scheint. Wenn man nun die Formel:
p=a\,\frac{\delta^x}{l\,d}
zunächst auf die beiden mit Ueberlappung vernieteten Rohre Nr.
1 und 2 anwendet und nach den gegebenen Werthen von p
die Constante a und den Exponenten x bestimmt, so ergibt sich, wenn δ, l und d in Millimeter
und p in Kilogramm auf 1qc genommen werden: a = 60 360 und x = 2,56. In gleicher Weise erhält man dann für die
Rohre Nr. 3 und 5, bei welchen ein ziemlich genau kreisförmiger Querschnitt
vorausgesetzt werden darf (das Rohr Nr. 4 muſs wegen der erwähnten Beule vorläufig
unberücksichtigt bleiben): a = 99 600 und x = 2,56. Die auffallende Uebereinstimmung der beiden
Werthe von x muſs wohl als zufällig angesehen werden.
Sie scheint indessen darauf hinzudeuten, daſs innerhalb der Grenzen, in welchen die Maſse der fünf
untersuchten Rohre liegen, die ein Zusammenklappen herbeiführende Pressung einer
höheren Potenz von δ proportional ist, als in der Fairbairn'schen, bezieh. Grashof'schen Formel ausgedrückt ist. Die beiden erhaltenen Werthe von a stehen in dem Verhältnisse 1 : 1,65; hiernach würde
ein geschweiſstes oder mit Laschen vernietetes Rohr reichlich 1½ mal so viel als ein
mit Ueberlappung vernietetes Rohr aushalten können. Dies stimmt allerdings nicht
genau, aber doch annähernd mit einem von Fairbairn
erhaltenen Ergebniſs überein. Derselbe hat u.a. zwei Rohre untersucht, die genau
gleiche Maſse hatten, von denen jedoch das eine mit Ueberlappung, das andere mit
Laschen vernietet war. Die Pressungen, bei welchen das Zusammenklappen erfolgte,
verhielten sich wie 1 : 1,44. Daſs ein mit Ueberlappung vernietetes Rohr, dessen
Querschnitt nicht unerheblich von der Kreisform abweicht, durch einen viel
geringeren Druck zusammengeklappt wird als ein solches, dessen Querschnitt sich der
Kreisform möglichst gut anschlieſst, ist ja auch selbstverständlich. In Hinsicht
hierauf ist es jedenfalls zunächst empfehlenswerth, nicht alle Rohre nach derselben
Formel zu berechnen, sondern für die mit Ueberlappung vernieteten Rohre den
constanten Factor entsprechend kleiner zu nehmen als für die geschweiſsten und die
mit Laschen vernieteten Rohre. Das Verhältniſs der beiden Factoren zu einander wird
von dem Verhältniſs der Blechdicke zum Rohrdurchmesser abhängig sein. Läſst man für
solche Rohre, deren Dimensionen innerhalb der Grenzen der in der Tabelle enthaltenen
Maſse liegen, das oben erhaltene Verhältniſs 1 : 1,65 gelten, so wird der
Ausdruck:
p=\left\{ {60360\atop 99600}
\right\}\frac{\delta^{2,56}}{l\,d}
zur Berechnung eines annähernden Werthes des zum
Zusammenpressen nöthigen Druckes für solche Rohre brauchbar sein, wenn man die obere
Constante für die mit Ueberlappung vernieteten und die untere für die anderen Rohre
benutzt. Für das Rohr Nr. 4 ergibt sich nach dieser Formel ein gröſserer Werth von
p, als er bei dem Versuche gefunden wurde, wie es
mit Rücksicht auf die erwähnte Beule auch sein muſs.
Nimmt man statt der 2,56ten nur die 2,5te Potenz von δ
und ändert die Constanten entsprechend, so erhält man:
p=\left\{ {\ \ 70000\atop 113000}
\right\}\frac{\delta^2\,\sqrt{\delta}}{l\,d}
welche Formel die Rechnung mit Logarithmen überflüssig macht
und doch, wie aus der Tabelle ersichtlich, mit den Versuchsresultaten gut
übereinstimmende Werthe liefert. Das Verhältniſs der beiden letzten Factoren ist 1 :
1,61, liegt also dem von Fairbairn gefundenen noch
etwas näher als das Verhältniſs der ersten beiden.
Leider passen die vorstehenden Formeln, auf die Fairbairn'schen Versuche angewendet, ebenso wenig, wie die Fairbairn'sche Formel für die genannten neueren Ergebnisse paſst. Legt man
nach der Grashof'schen Formel (a), welche sich noch am
besten den vorliegenden Versuchen anschlieſst, den Ausdruck
p=a\,\frac{\delta^x}{l\,d^{1,278}} zu Grunde und verfährt im
Uebrigen, wie oben angegeben, so erhält man für die vier Rohre Nr. 1, 2, 3 und 5
einen etwas kleineren Exponenten von δ, nämlich
x=2,44 bezieh. x=2,42, im Mittel also
x=2,43, und hiermit a=566600 bezieh.
=939000. Doch auch hiermit läſst sich keine nur annähernde
Uebereinstimmung der berechneten Werthe von p mit den
Fairbairn'schen Versuchsresultaten erzielen. Selbst
für das stärkste Rohr, welches von Fairbairn zum
Zusammenklappen gebracht wurde und das mit Nr. 6 bezeichnet werden mag, fällt p nach diesen Formeln viel zu klein aus. Die
betreffenden Werthe sind:
Nr.
d
l
δ
pgefunden
p berechnet nach
der Formel:
p=70000\,\frac{\delta^2\,\sqrt{\delta}}{l\,d}
p=566600\,\frac{\delta^{2,43}}{l\,d^{1,278}}
6
476,25
1549
6,35
29,53
9,64
12,35
Besondere Beachtung verdienen ferner noch zwei Versuche, welche Fairbairn mit verhältniſsmäſsig langen, in Kesseln
eingebauten Flammrohren angestellt hat. Dieselben wurden allerdings nicht
vollständig platt gedrückt, sondern nur so lange einer steigenden Pressung
ausgesetzt, bis der Querschnitt erheblich oval geworden war. Dennoch liefern die
Ergebnisse einen sehr brauchbaren Anhalt. Zu denselben paſst nämlich annähernd nur
die Grashof'sche Formel (b), welche andererseits sich
den neueren Versuchen am schlechtesten anschlieſst; die anderen Formeln ergeben
einen Zerstörungsdruck, der viel kleiner ist als die Pressung, bei welcher nur ein
Ovaldrücken stattfand. Die Maſse wie die beobachteten gröſsten Pressungen p' dieser beiden Rohre, die mit Nr. 7 und 8 bezeichnet
sein mögen, sind:
Nr.
d
l
δ
p'
7
1066,8
10668
9,53
6,82
8
1066,8
6350
9,53
8,93
Will man nun mit Hilfe der neueren Versuche eine Formel ermitteln, welche innerhalb
weiterer Grenzen, als die Formel (A) bezieh. (A1)
brauchbar ist, so sind jedenfalls die Rohre Nr. 6, 7 und 8 mit zu berücksichtigen.
Die Rohre Nr. 1 bis 5 haben nur eine geringe Länge bei verhältniſsmäſsig groſsem
Durchmesser, wie es für Schiffskessel passend ist; die Rohre von Landkesseln werden
im Allgemeinen gröſsere Länge und kleineren Durchmesser haben. Eine bedeutende Länge
haben aber die Rohre 7 und 8 und einen kleineren Durchmesser hat das Rohr Nr. 6. Eine Formel
von der Form der Fairbairn'schen zu finden, welche für
alle Fairbairn'schen wie auch für die neueren
Versuche nur annähernd paſst, erscheint nach dem Folgenden nicht gut möglich. Wenn
man in die allgemeine Formel:
p=a\,\frac{\delta^x}{d^y\,l^z}
die Werthe von p, δ, d und l einsetzt, welche oben für die Rohre Nr. 1, 2, 6 und 7
angeführt wurden, so ergeben sich vier Gleichungen, aus denen man (wie es Grashof mit vier der Fairbairn'schen Versuche gethan) die vier Unbekannten a, x, y und z bestimmen
kann. Man erhält in diesem Falle:
a=360800,\ x=0,87,\ y=1,37 und
z=0,35.
Zieht man aber statt des Rohres Nr. 2 das kleinste und
schwächste Rohr, das von Fairbairn untersucht wurde
(d=101^{mm},6,\ l=482^{mm},6,\ \delta=1^{mm},092,\ p\mbox{ im Mittel
}=10^k,48), in Rechnung, so wird:
a=2071000,\ x=2,72,\ y=2,10 und
z=0,44.
Das eine Mal ergibt sich also die Potenz von δ kleiner als 1, das andere Mal fast gleich 3. Es ist
hierbei für das Rohr Nr. 7 der Zerstörungsdruck p nur
wenig gröſser als p' gesetzt
(p=7,031), da anzunehmen ist, daſs keine wesentliche
Steigerung von p' nöthig gewesen wäre, um das schon
oval gedrückte Rohr vollends zusammenzuklappen. Nimmt man aber auch p noch etwas gröſser, so wird das obige Ergebniſs nur
unerheblich geändert. Hieraus wie aus einer weiteren Vergleichung der alten und der
neuen Versuche läſst sich schlieſsen, daſs die von Fairbairn zu Grunde gelegte Form des Ausdruckes für p nicht die richtige sein kann, wenn dieser Ausdruck
allgemein gelten soll. Daſs insbesondere die Pressung p
nicht einfach umgekehrt proportional der Länge l oder
einer Potenz von l, sei dieselbe gröſser oder kleiner
als 1, sein kann, zeigt auch schon die folgende Ueberlegung. Fände jene
Proportionalität statt, so müſsten hinreichend lange Röhren, auch wenn sie einen
kleinen Durchmesser und groſse Wandstärke besäſsen, durch einen verschwindend
kleinen Ueberdruck zusammengepreſst werden können, was offenbar unmöglich ist. Es
ist vielmehr anzunehmen, daſs bei gleicher Wandstärke mit wachsendem Werthe von
(l:d) der Einfluſs der Länge mehr und mehr abnehmen und über
eine gewisse Grenze jenes Werthes hinaus ganz unmerkbar werden wird. Sämmtliche
vorliegende Versuchsergebnisse sind jedoch zu wenig zahlreich und auſserdem zu
ungeeignet, um irgend eine andere Grundform einer Formel zu ermitteln, welche
brauchbarer wäre als die von Fairbairn und Grashof benutzte. Da auſserdem die Formel auch nur
innerhalb der in der Praxis vorkommenden Grenzen der Rohrmaſse annähernd richtige
Werthe zu liefern braucht, so sind nun durch vielfaches Probiren in dem Ausdruck
p=a\,\frac{\delta^x}{d^y\,l^z}
die Werthe a, x, y und z so bestimmt,
daſs derselbe möglichst gut sowohl für die Rohre Nr. 1 bis 5, wie auch für die von
Fairbairn untersuchten Rohre Nr. 6, 7 und 8 paſst.
Es sind dann nur die Rohre der Fairbairn'schen
Versuche, deren Wandstärke kleiner als 4mm ist,
unberücksichtigt gelassen. Auf diese Weise wurde die Formel
p=\left\{ {\ \ 90000\atop 120000}
\right\}\frac{\delta^{\frac{4}{3}}}{d^{\frac{4}{3}}l^{\frac{1}{3}}}
oder p=\left\{ {\ \ 90000\atop 120000}
\right\}\frac{\delta}{d}\,\sqrt[3]{\frac{\delta}{d\,l}} . . . . B)
gefunden, in welcher wieder der obere Coefficient für Rohre
mit Ueberlappungsnietung, der untere für geschweiſste oder mit Laschen vernietete
Rohre gilt. Wie dieselbe sich den beobachteten Werthen anschlieſst, ist für die
Rohre Nr. 1 bis 5 aus der obigen Tabelle zu ersehen. Für die (mit Ueberlappung
vernieteten) Rohre Nr. 6, 7 und 8 ergeben sich folgende Werthe:
Nr.
6
7
8
p gefunden
29,53
> 6,82
> 8,93
p berechnet
24,59
7,58
9,01
Die Abweichungen beider Werthe von p sind hiernach jedenfalls nicht groſser, als sie rücksichtlich der
mancherlei in Betracht kommenden Zufälligkeiten und verschiedenartigen Verhältnisse
möglich erscheinen. Das Endresultat ist folgendes: Für Flammrohre, deren Durchmesser
gröſser als 0m,9 und deren Länge kleiner als 3m ist, wird die Formel (A) bezieh. (A1) einen ungefähren Werth für den Druck, bei welchem
das Rohr zusammenklappt, liefern, während die Formel (B) allgemeinere Gültigkeit hat
und auch für Rohre von kleinerem Durchmesser und solche von gröſserer Länge benutzt
werden kann. Bei beiden Formeln ist der kleinere Coefficient für Rohre mit
Ueberlappungsnietung, der gröſsere für solche mit Laschennietung oder mit
Schweiſsnaht in Rechnung zu bringen. Es bleibt abzuwarten, ob weitere Versuche, die
sehr wünschenswerth sein würden, die Brauchbarkeit obiger Formeln bestätigen
werden.
Wehage.