Theorie des Amsler'schen Planimeters; von Prof. Gustav Schmidt in Prag. Mit einer Abbildung. Schmidt, über Amsler's Planimeter. Sei OA = AM = R*Nur für die sogen. Zirkelplanimeter geltend. die Länge der beiden Schenkel des Instrumentes, AB = E die Entfernung der Rolle B vom Drehungspunkte A, und r der Halbmesser der Rolle; φ und ρ seien die Polarcoordinaten des variablen Punktes M, AOM = λ, also ρ = 2 R cos λ. OAM = α = π – 2λ. ist als äußerer Winkel im Dreieck OAC auch = β + γ, und β = φ – λ, also π – 2λ = φ – λ + γ, somit γ = π – λ – φ. Die Coordinaten des Punktes A sind: x₁ = R cos β,   y₁ = R sin β, jene des Punktes B: x = R cos β – E cos γ, y = R sin β + E sin γ,

Aendert sich φ um dφ und zugleich ρ um dφ, so wird dx = – R sin β dβ + E sin γ dγ dy =  R cos β dβ + E cos γ dγ ds = √(dx² + dy²) = bildet gegen OH den Winkel ψ, welcher bestimmt ist durch cos ψ = dx/ds, sin ψ = dy/ds. Gegen die Linie AM ist ds geneigt um ε = π – γ – ψ, also legt die Rolle den Weg BD gleitend, und DB' rollend zurück. Ist also dw der elementare Drehungswinkel der Rolle vom Radius r, so ist rdw = = ds sin ε = ds sin (γ + ψ) = ds sin γ cos ψ + ds cos γ sin ψ rdw = dx sin γ + dy cos γ = R cos (β + γ) dβ + Edγ. Aber β + γ = π – 2λ, β = φ – λ, γ = π – λ – φ, also rdw = – R cos 2 λ (dφ – dλ) – E (dφ + dλ) = R cos 2 λdλ – R dφ (2 cos ²λ – 1) – E (dφ + dλ). Beachtet man, daß R cos λ = ρ/2, R² cos ²λ = ρ²/4 ist, so folgt: Rrdw = 1/2 R² cos2λ . d . 2λ – 1/2 ρ²dφ + R²dφ – ERdφ – ERdλ. Da nun 1/2 ρ²dφ = dF das Flächenelement OMM' bedeutet, welches von zwei nächsten Fahrstrahlen und der Contur MM' eingeschlossen ist, so folgt durch Integration: Rr = (w₂ – w₁) = 1/2 R₂ (sin 2λ₂ – sin 2λ₁) – F + R (R – E) (φ₂ – φ₁) – ER (λ₂ – λ₁). Folgt der Punkt M der Contur einer geschlossenen Fläche in ihrem ganzen Umfange, so ist φ₂ = φ₁, wenn Punkt O außerhalb F liegt, und φ₂ = φ₁ + 2π, wenn Punkt O innerhalb der Fläche F liegt. Im ersten Falle ist: Rr (w₂ – w₁) = – F, im zweiten: Rr (w₂ – w₁) = – F + 2πR (R – E). Ist n die Anzahl Umdrehungen der Rolle, so ist w₂ – w₁ = 2πn, also im ersten Falle: 2 πnRr = – F, im zweiten Falle: 2 πnRr = – F + 2 πR (R – E) F = 2πR (R – E – nr). Ist F ein Kreis vom Radius A, so ist πA² = 2πR (R – E – nr) A² = 2R (R – E – nr) und 2nrR = 2R (R – E) – A², übereinstimmend mit der Gleichung S. 16 in G. A. Hirn: „Théorie du planimètre Amsler“ (Paris 1875), aus deren empfehlenswerthem Studium der vorliegende Aufsatz entstanden ist. Ist A größer als √(2R(R – E)) so ist n negativ, desgleichen wenn Punkt O außerhalb der Fläche F liegt. (Zeitschrift des österr. Ingenieur- und Architektenvereins, 1875 S. 357.)