LVI. Ueber das Wesen der Wärme; von Prof. G. Decher. (Schluß von S. 173 des vorhergehenden Heftes.) Decher, über das Wesen der Wärme. b. Hr. Clausius hat sich in dem obenerwähnten Aufsatze: Ueber die bewegende Kraft der Wärme u.s.f.Poggendorff's Annalen Bd. LXXIX S. 368. die Aufgabe gestellt, die Uebereinstimmung zwischen der Erfahrung und den Folgerungen, welche aus dem Princip der Aequivalenz von Wärme und Arbeit in Bezug auf permanente Gase und Dämpfe im Maximum der Dichte gezogen werden können, nachzuweisen. Dazu sucht er zunächst die Grundgleichung, welche jenes Princip ausspricht für permanente Gase durch folgende Betrachtung abzuleiten. Die Gewichtseinheit eines solchen Gases, welches die Temperatur t, die Spannung p besitzt und den Raum v einnimmt, dehnt sich bei constanter Temperatur, indem es von Außen Wärme aufnimmt, um dv aus, dann noch weiter ohne Wärme aufzunehmen um δv, wobei seine Temperatur um dt sinkt; nun wird es wieder um d'v comprimirt, aber so, daß es die dabei erzeugte Wärme abgeben kann, und die constante Temperatur t – dt behält, und endlich noch bei wachsender Temperatur, ohne Wärme abgeben zu können, um δ'v zusammengedrückt; dabei wird dann vorausgesetzt, daß am Ende wieder dieselbe Temperatur t und dasselbe Volumen v, wie am Anfange vorhanden sey. Die bei diesem Vorgange erzeugte Arbeit wird mittelst des Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetzes unter der Form: pv = R (a + t), aus welchem unter der Voraussetzung, daß v constant und t allein veränderlich sey, der Ausdruck: dp = RdtRat/v gezogen wird, gleich Rdvdt/v gefunden, und für die bei diesem Vorgange verbrauchte Wärmemenge durch eine Rechnung, bei welcher zuerst t constant und v allein veränderlich genommen wird, und dann beide als veränderlich, aber unabhängig von einander betrachtet werden, der Werth: [d/dt (dQ/dv) – d/dv (dQ/dt)] dv dt erhalten, worin Q die Wärmemenge bezeichnet, welche das Gas aufnimmt, wenn es aus einem frühem Zustande in denjenigen übergeführt wird, in welchem seine Temperatur = t und sein Volumen = v ist, und worin die Factoren (dQ/dv) und (dQ/dt) die partiellen Differentialquotienten einer Function Q zweier unabhängigen Veränderlichen v und t in Bezug auf jede dieser Veränderlichen einzeln genommen, vorstellen. Nun ist es ein bekannter Satz der Analysis, daß für jede solche Function d/dt (dQ/dv) – d/dv (dQ/dt) = 0. seyn muß; Hr. Clausius aber stellt kurzweg nach dem Princip der Aequivalenz die Gleichung auf: d/dt (dQ/dv) – d/dv (dQ/dt) = A R/v,                   (1) indem er das constante Verhältniß von Wärme und Arbeit mit A bezeichnet, und sagt: „Diese Gleichung zeigt, daß Q keine Function von v und t seyn kann, so lange die letzteren von einander unabhängig sind. Denn sonst müßte nach dem bekannten Satze der Differentialrechnung die rechte Seite Null seyn.“(!!) Nachdem also in der ganzen vorhergehenden Ableitung v und t als unabhängig angenommen sind, können sie am Ende gar nicht unabhängig seyn, weil sonst das Princip, das man damit begründen will und das um jeden Preis erhalten werden muß, dadurch umgestoßen würde!? Wenn aber auch v und t von einander abhängig sind, ist dann die rechte Seite der obigen Gleichung (1) nicht Null? Wenn man z.B. hat z = ax³y² und y = bx², ist dann d²z/(dx dy) = 6ax²y nicht gleich d²z/(dy dx)  = 6ax²y? Man kann allerdings das erste Differential: dz = 3ax²y² dx + 2ax³y dy worin noch x und y, unabhängig sind, durch theil weise Einführung jene Abhängigkeit so verändern, daß in der Gleichung: dz = X dx + Y dy die Bedingung: dX/dy = dY/dy nicht erfüllt wird; dann ist aber auch nicht nothwendig mehr X = (dz/dx) d.h. nicht mehr die partielle Ableitung nach x allein, als wenn y unveränderlich wäre, oder Y nicht mehr (dz/dy), oder beides nicht. Ich kann z.B. die obige Differentialgleichung schreiben: dz = 3ax²y² dx + ax³y dy + ax³y dy und dann für dy im letzten Glied aus y = bx² den Werth: dy = 2 bx dx einsetzen, so daß ich nun die Gleichung: dz = (3 ax²y² + 2 abx⁴y) dx + ax³y dy erhalte, in welcher allerdings Textabbildung Bd. 148, S. 243 kann man hier aber sagen, es sey noch 3 ax²y² + 2 abx⁴ y = (dz/dx) und ax³y = (dx/dy)? Und was haben solche willkürliche Substitutionen oder Eliminationen, die bei der Untersuchung specieller Fälle im Laufe der Rechnung eintreten können, mit der allgemeinen Betrachtung des Hrn. Clausius zu schaffen. In der Gleichung (1) sind die Formen (dQ/dv) und (dQ/dtdQ/d)ganz bestimmt die Ableitungen einer bestimmten Function Q von v und t je nach v und t als einzige Veränderliche genommen, und wie auch diese Function beschaffen seyn mag, und welche Abhängigkeit zwischen v und t gedacht werden mag, die rechte. Seite jener Gleichung muß immer Null seyn. Durch eine ähnliche Betrachtung, wie bei den Gasen, stellt Hr. Clausius die Gleichung zwischen Arbeit und Wärme bei den Dämpfen im Maximum der Dichte her, und hier kann man ohne alle Differential rechnung nachweisen, daß die verbrauchte Wärme Null ist, wenn man die Sache ganz streng und natürlich betrachtet, und nicht erst, wie Hr. Clausius, die ganz unbekannte Größe h einschiebt. Es soll nämlich in einem Gefäße die Gewichtsmenge μ einer Flüssigkeit von der Temperatur t und die Gewichtsmenge m Dampf aus dieser Flüssigkeit im Maximum seiner Dichte bei dieser Temperatur enthalten seyn; der Raum über der Flüssigkeit wird vergrößert, und es verdampft eine Gewichtsmenge ∆₁m der Flüssigkeit, indem sie Wärme von Außen aufnimmt, so daß die Temperatur constant bleibt; dann wird die Wärmequelle geschlossen und es verdampft eine weitere Quantität ∆₂m der Flüssigkeit, indem sie dieser und dem vorhandenen Dampf die Wärme entzieht und die Temperatur auf τ herabsinkt. Nach diesem wird dann der Dampf comprimirt bis eine Gewichtsmenge ∆₃m condensirt ist, wobei aber die Temperatur τ unverändert bleibt, indem die freiwerdende Wärme abgeleitet wird, und zuletzt wird die ursprüngliche Temperatur t dadurch wiederhergestellt, daß der Dampf auf sein ursprüngliches Volumen zurückgebracht und dadurch die Gewichtsmenge ∆₄m condensirt wird, ohne die freiwerdende Wärme nach Außen abgeben zu können. Bezeichnen wir nun die specifische Wärme der Flüssigkeit, als Function von t betrachtet, mit c, und ersetzen durch qτ das Integral: Textabbildung Bd. 148, S. 244 welches die Wärmemenge ausdrückt, die von der Gewichtseinheit Flüssigkeit aufgenommen wird, wenn sie von 0 bis t⁰ erwärmt wird, ebenso durch qτ das Integral Textabbildung Bd. 148, S. 244 und bezeichnen die latente Wärme der Gewichtseinheit Dampf im Maximum der Dichte bei der Temperatur t mit rt, bei der Temperatur τ mit rτ, so hat man für die Wärmemenge λt welche die Gewichtseinheit Dampf von 0° an aufgenommen hat, um zuerst als Wasser von 0° bis t erwärmt zu werden, und dann bei t⁰ zu verdampfen, wie Hr. Clausius selbst angibt (Poggendorff's Annalen Bd. LXXIX S. 510) λt  = rt + qt; ebenso für die der Temperatur τ entsprechende Wärmemenge λτ = rτ + qτ. Vor dem Anfang des vorher angegebenen Processes war demnach von der Gewichtsmenge μ Flüssigkeit und der Gewichtsmenge m Dampf von der Temperatur t die Wärmemenge: μqt + mλt = (μ + m) qt + mrt mehr als in (μ + m) Gewichtseinheiten der Flüssigkeit von 0° enthalten ist, aufgenommen worden. Nach dem ersten Gange ist die Temperatur geblieben, die Flüssigkeit ist um ∆₁m verringert, die Dampfmenge um eben so viel vermehrt worden; es wurde daher die Wärmemenge: (μ – ∆₁m) qt + (m + ∆₁ m) λt – (μqt + mλt) = ∆₁m (λt – qt) = rt∆₁m aufgenommen. Nach dem zweiten Gange war die Wärmemenge dieselbe, wie nach dem ersten; die Flüssigkeit wurde auf μ – ∆₁m – ∆₂m reducit, die Dampfmenge auf m + ∆₁m + ∆₂m erhöht; die Temperatur war auf τ zurückgegangen, also muß man haben (μ – ∆₁m) qt + (m + ∆₁m) λt =  (μ – ∆₁m – ∆₂m) qt + (m + ∆₁m  + ∆₂m) λτ oder einfacher, da λτ – qτ = rτ, (μ + m) (qt – qτ) + (m + ∆₁m)(rt – rt) – rτ   ∆₂m  = 0.       (2) Nach dem dritten Gange ist die Temperatur noch τ, die Flüssigkeitsmenge hat sich wieder um ∆₃m vermehrt, die Dampfmenge um das Gleiche vermindert; es wurde daher die Wärmemenge: (μ – ∆₁m – ∆₂m) qτ + (m + ∆₁m + ∆₂m) λτ – (μ – ∆₁m – ∆₂m + ∆₃m) qτ – (m + ∆₁m + ∆₂m + ∆₃m) λτ = ∆₃m (λτ – qτ) = rτ ∆₃m nach Außen abgegeben. Nach dem vierten Gange endlich war die Temperatur wieder t geworden, die Flüssigkeitsmenge ist noch weiter ∆₄m gewachsen, die Dampfmenge wieder eben soviel kleiner geworden, und die Wärmemenge dieselbe geblieben; wir haben also die Bedingung: (μ – ∆₁m – ∆₂m + ∆₃m) qτ + (m – ∆₁m + ∆₂m – ∆₃m) λτ = (μ – ∆₁m – ∆₂m + ∆₃m + ∆₄m) qt + (m + ∆₁m + ∆₂m – ∆₃m – ∆₄m) λt , oder (μ + m) (qτ – qt) + (m + ∆₁m + ∆₂m – ∆₃m) (rt – rτ) – rt ∆₄m = 0. Wird davon die Bedingungsgleichung (2) abgezogen, so bleibt (∆₂m – ∆₃m) (rt – rτ) – rt ∆₄m + rτ ∆₂m = 0.              (3) Wir haben aber auch noch die Bedingung: ∆₁m – ∆₂m – ∆₃m – ∆₄m = 0 und wenn diese mit rt multiplicirt von (3) abgezogen wird, so ergibt sich rt ∆₁m = rτ ∆₃m, d.h. es wird im ersten Gang gerade so viel Wärme aufgenommen als im dritten abgegeben; die verbrauchte Wärme ist also Null, wie bei dem vorhergehenden Processe mit einem permanenten Gase. Dieses Resultat kann übrigens auch gar nicht überraschen, wenn man beachtet, daß Hr. Clausius seinen Grundsatz, daß die Wärmemenge, welche ein Gas oder Dampf aufnimmt, nicht bloß von der Aenderung des Zustandes abhängt, sondern auch von der geleisteten äußern Arbeit, gänzlich außer Acht lassend, bei den vorher erörterten Betrachtungen immer nur die Wärme in Rechnung bringt, welche mit der Aenderung des Zustandes an und für sich in Zusammenhang steht, daß derselbe z.B. für die Wärme, welche das permanente Gas aufnimmt wenn es sich bei constanter Temperatur ausdehnt, nur die Wärmemenge: (dQ/dz) dv in Rechnung bringt, welche nur eine Function von v ist und nichts von der Arbeit enthält, welche bei dieser Ausdehnung geleistet wird (es kann sich ja nach dem oben besprochenen Satze von Person ein Gas ausdehnen, und bei constanter Temperatur ausdehnen, ohne Arbeit zu leisten), kurz, da Hr. Clausius bei der ersten Betrachtung die aufgenommene Wärme nur als eine Function und zwar als eine stetige Function von v und t, bei der zweiten nur als eine stetige Function von t allein betrachtet, so muß sich nothwendig für die verbrauchte Wärme der Werth: Null ergeben, wenn v und t die ursprünglichen Werthe wieder angenommen haben. Man möge darnach beurtheilen, welcher Werth der von Hrn. Clausius auf dem angegebenen Wege für die Dämpfe abgeleiteten Gleichung: dr/dt + c – h = A (s – σ) dp/dt und den Folgerungen, welche er aus derselben zieht, beizulegen ist. Ich werde auch auf die merkwürdige Umwandlung, welche diese Gleichung in dem zweiten Theil der Abhandlung (Poggendorff's Annalen Bd. LXXIX S. 500) erfährt, nicht weiter eingehen, sondern zunächst nur noch auf die Folgerung hindeuten, welche Hr. Cl. aus der Gleichung (1) zieht. Nachdem derselbe diese Gleichung wie oben angegeben erhalten und dazu die angeführte Bemerkung gemacht hat, fährt er fort: „Man kann diese Gleichung auch auf die Form einer vollständigen Differentialgleichung bringen, nämlich: dQ = dU + AR (a + t)/v dv,            (4) worin U eine willkürliche (wohl eine in besonderen Fällen zu bestimmende willkürliche doch schwerlich?) Function von v und t ist. Diese Differentialgleichung ist natürlich (?!) nicht integrabel, sondern wird es erst, wenn zwischen den Veränderlichen noch eine zweite (offenbar willkürliche?) Beziehung gegeben wird, derzufolge man t als eine Function von v betrachten kann.“ Wie Hr. Cl. diese Gleichung (4) aus (1) abgeleitet hat, und wie er namentlich die ganz bestimmte Constante a aus dem M. G. Gesetze hineinbringt, das zu erklären, muß ich ihm überlassen; ich will aber diese Gleichung (4) rückwärts mit (1) vergleichen. Man zieht aus (4) die partiellen Differentialquotienten: (dQ/dv) = (dU/dv) + AR (a + t)/v d/dt (dQ/dv) = d/dt (dU/dv) + AR/v, und wenn die letztere Gleichung von (1) abgezogen wird, so folgt die neue Beziehung: d/dv (dQ/dt) = d/dt (dU/dv), und da Hr. Cl. doch zugeben wird, daß für die Function U die Bedingung: d/dt (dU/dv) = d/dv (dU/dt) statthaben muß, so hat man auch d/dv (dQ/dt) = d²U/dvdt; diese Gleichung nach v integrirt, gibt aber (dQ/dt) = dU/dt + f' (t)f¹ (t und daraus folgt dann die vollständige Differentialgleichung: dQ = dU + f' (t) dt + ϕ'' (v) dv, worin f' (t) und ϕ' (v) noch zu bestimmende Functionen von t und v allein sind, und welche deßhalb mit der Gleichung (4) nicht mehr vereinbar ist. Hr. Cl. nimmt nun die Hypothese: „ein permanentes Gas verschluckt, wenn es sich bei constanter Temperatur ausdehnt, nur soviel Wärme, wie zu der äußern Arbeit, die es dabei leistet, verbraucht wird“ , zu HülfeHr. Cl. fügt zwar diesem Gesetz die Clausel bei. daß es wahrscheinlich nur so weit richtig sey, als das M. G. Gesetz, ohne aber dabei anzudeuten, in welchem Zusammenhange beide stehen sollen. Er gibt damit zu, daß ein Gas, welches dem M. G. Gesetze nicht folgt, und nach Regnault thut das gar kein Gas, auch mehr oder weniger Wärme verschlucken kann, wie zu der äußern Arbeit, die es leistet, während es sich bei constanter Temperatur ausdehnt, verbraucht wird, und da bei einem Gase von einer innern Arbeit keine Rede mehr seyn kann, so gibt Hr. Cl. damit eben zu, daß bei einem Gase Wärme latent werden kann, ohne in Arbeit verwandelt zu werden. und kommt zu der neuen Gleichung: dQ = cdt + AR (a + t)/v dv,      (5) welche auch Redtenbacher in seinem „Dynamidensystem“ herleitet (zu erörtern auf welche Weise, würde hier zu weit führen, da ich dazu die ganze Anschauungsweise des Hrn. R. einer Kritik unterziehen müßte), und mit dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze zusammenstellt, ohne jedoch dabei zu bemerken, daß durch diese beiden Gesetze allein Q gar nicht bestimmt werden kann. Bevor ich jedoch in eine weitere Besprechung der Gleichung (5) eingehe, muß ich auch die von Hrn. Hoppe gegebene Ableitung derselben einer Beleuchtung unterziehen. c. Hr. Hoppe hat in einem Aufsatze: „Ueber die Wärme als Aequivalent der Arbeit“, mitgetheilt in Poggendorff's Annalen Bd. XCVII S. 30, die obige Gleichung (5) direct aus dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze als „einziger, auf Erfahrung beruhender Thatsache“ abgeleitet, indem er dabei die Analysis in ähnlicher Weise mißhandelt, wie Clausius. Schon der Gedanke, aus einem Gesetze, welches sich nur auf einen bestimmten augenblicklichen Zustand eines Gases bezieht, und worin nicht das Geringste von Wärmemenge und Arbeit vorkommt, ein anderes Gesetz, welches den Verbrauch an Wärme für die Aenderung dieses Zustandes und für die Leistung einer von dieser Aenderung selbst unabhängigen äußern Arbeit ausdrücken soll, und welches offenbar neben dem M. G. Gesetz in sehr verschiedener Weise bestehen kann, für dessen Begründung also jedenfalls eine neue Hypothese oder ein neuer auf jene Aenderung sich beziehender Erfahrungssatz unumgänglich nothwendig, ist, ableiten zu wollen, zeigt, welche Begriffe manche Leute von den Functionen haben, und was man sich auf diesem Gebiete nicht Alles zutraut. Hr. Hoppe geht dabei ganz von denselben Voraussetzungen aus wie Poisson (Traité de mécanique, t. II §. 634), nur mit dem Unterschiede, daß dieser unter dem Q (ich behalte die von Clausius angewendete Bezeichnung fortan bei) die Wärmemenge versteht, welche die Gewichtseinheit Gas in dem Zustand p v t mehr enthält, als in dem Zustande p₀ v₀ t₀, während Hr. Hoppe wie Clausius unter Q die Wärmemenge versteht, welche das Gas (ich behalte auch die Gewichtseinheit bei) von Außen aufnehmen muß, „um irgend welche Aenderungen in p, v und t hervorzubringen“ ; es ist aber Q bei Hrn. H. wie bei Poisson eine Function von p, v, t, und von beiden wird p und v als unabhängige Veränderliche, und t als eine Function dieser letztern betrachtet. Hr. H. stellt dann auch ganz dieselben Beziehungen auf, wie Poisson, nämlich dQ/dv = C dt/dv,   dQ/dp = c dt/dp, welche nur unter den eben genannten Voraussetzungen einen Sinn haben, und worin C die specifische Wärme bei constantem Druck, c die bei constantem Volumen bezeichnet, und welche mittelst der aus dem M. G. Gesetze unter der oben angenommenen Form gezogenen Werthe von dt/dv und dt/dp', welche wieder nur einen Sinn haben, wenn p und v unabhängig sind, die specielle Form annehmen: dQ/dv = Cp/R,   dQ/dp = cv/R. Diese Werthe setzt dann Hr. Hoppe unter der Voraussetzung, daß C und c constant seyen, in die vollständige Differentialgleichung: dQ = dQ/dv dv + dQ/dp dp ein, und findet so die Gleichung: dQ = 1/R (Cpdv + cvdp),          (6) welche unter den bisherigen Voraussetzungen Unsinn ist, da sie den Bedingungen der Integrabilität nicht genügt. Um diesem Unsinn auszuweichen, macht es Hr. H. wie Hr. Clausius, „er läßt nun das Gas aus einem Zustand in einen beliebigen andern übergehen, so daß sich p und v nach irgend einem bestimmten Gesetze ändern und Functionen von einander werden“ (!), und manipulirt dann weiter, indem er das Integral dieser Gleichung andeutet, dann das M. G. Gesetz differencirt, sogleich darauf wieder formell integrirt und mit c multiplicirt von der Gleichung (6) abzieht, während es wenigstens einfacher gewesen wäre, von der Gleichung (6) das Differential des M. G. Gesetzes in der Form: dt = 1/R (pdv + vdp)          (7) mit c multiplicirt abzuziehen, um sogleich die Gleichung (5) in der Form: dQ = cdt + (C – c)/R pdv           (8) zu erhalten. Daß in der Gleichung (7) p und v jedenfalls völlig unabhängige Veränderliche sind, und dieß in der Gleichung (6) nicht seyn können, wenn sie Sinn haben soll, daß also die Voraussetzung für die ganze Herleitung dieser Gleichung umgestoßen werden muß, um das Resultat zu retten, ist ja für Hrn. Hoppe doch von keiner Bedeutung. Jeder unbefangene Mathematiker wird aus der Gleichung (6) nur erkennen, daß die Voraussetzungen, Q soll eine Function von v und t, und C und c sollen constant seyn, nicht mit dem M. G. Gesetz bestehen können, und zwar nicht nur nicht mit seiner jetzigen Form, sondern überhaupt mit keinem Gesetze, welches eine Beziehung zwischen den drei Veränderlichen p, v, t ausdrückt. Denn wenn man die allgemeinen Werthe dQ/dv = C dt/dv  und  dQ/dp = c dt/dp nimmt, welche noch von der besondern Form des M. G. Gesetzes unabhängig sind, so muß man jedenfalls haben: d²Q/(dv dp) = C d²t/(dv dp) + dt/dv dC/dp = c d²t/(dp dv) + dt/dp dc/dv, und da für jede Form des M. G. Gesetzes d²t/(dp dv) = d²t/(dv dp)   seyn muß, so folgt daraus die Bedingung: (C – c) d²t/(dp dv) = dt/dp dc/dv – dt/dv dC/dp           (9) welche sich für ein constantes C und c auf C – c = 0 reducirt, welche also ausspricht, daß für keine Form des M. G. Gesetzes die Gleichung (6) bestehen kann, wenn man C und c constant und verschieden annimmt. Es genügt daher auch nicht, C und c bloß beliebig veränderlich anzunehmen, wie es später Hr. Hoppe thut; denn diese Größen müssen die bestimmte Bedingung (9), welche für unsere obige Form des M. G. Gesetzes in die einfache Gleichung: C – c = v dc/dv – p dC/dp           (10) übergeht, erfüllen, wenn die Gleichung (6) einen Sinn haben soll. Poisson bleibt seiner Annahme neu und stellt aus den Werthen von C und c nur eine Gleichung mit partiellen Differentialen zusammen, und zwar dadurch, daß er das Verhältniß C/c = γ ausdrückt und dieses für die Integration der daraus sich ergebenden Gleichung: γp dQ/dp – v dQ/dv = 0 als constant annimmt. Bei der Integration dieser Gleichung begeht indessen auch Poisson einen wesentlichen Fehler; denn das Integral derselben ist Q = f (vp1/γ) – f (v₀ p₀1/γ),             (11) wenn v₀ p₀ der willkürlich gewählte erste Zustand des Gases ist, für welchen Q Null werden muß, und nicht bloß Q = f (vp1/γ) wie es Poisson angibt. Es ist deßhalb auch der später von P. daraus abgeleitete Ausdruck: q = A + B (a + t) p1/γ unrichtig und selbst unmöglich, weil ihm das wesentliche Erforderniß der Homogeneität fehlt. Gerade diese Homogeneität dient dazu die noch zu bestimmende Function f in der Gleichung (11) festzustellen; denn da die Einheiten der Wärme, des Volumens und der Spannung gänzlich unabhängig sind, so muß man auch haben, indem man die erste Einheit unverändert läßt, die zweite n mal, die dritte n' mal kleiner nimmt Q = f (vp1/γ) – f (v₀ p₀1/γ ) = f [nv (n'p)1/γ] – f [n v₀ (n'p₀ )1/γ]; die Function f muß demnach eine solche seyn, daß man hat f (xy) = f (x) + f (y); es kann daher f (x) nur die Form; haben, wo b eine beliebige Basis ist, oder auch da man hat Textabbildung Bd. 148, S. 251 wenn man für die Constante die k setzt, die Form: f (x) = k logn x es wird demnach Q = k logn (vp1/γ) – k logn. (v₀ p₀1/γ) = k logn . v/v₀ (p/p₀)1/γ       (12) die bestimmte Form der Function, durch welche unter den von Poisson gemachten Annahmen, daß Q eine Function von p und v, und λ constant ist, das Q ausgedrückt wird, und in welcher k eine auf die Einheit von Q bezogene Größe ist. Man zieht daraus sogleich für den besondere Fall, daß Q Null bleiben, das Gas bei der Aenderung seines Zustandes keine Wärme aufnehmen soll, den oft wiederholten Satz: v/v₀ (p/p₀)1/γ = 1,   p = p₀ (v/v₀)γ.        (13) Man zieht ferner aus (12) Textabbildung Bd. 148, S. 252 wie es die gemachte Voraussetzung und unsere oben abgeleitete Bedingung (10) erfordert. Da nun die Annahme, daß C und c einzeln constant seyen, jedenfalls in der Annahme, daß das Verhältniß dieser Größen constant sey, als besonderer Fall enthalten ist, und da sich Hr. Hoppe sonst auf keine andere Annahme stützt, als Poisson, so müßte die aus seiner Analysis hervorgegangene Gleichung (9), beziehungsweise deren Integral, nothwendig als besonderer Fall in (12) enthalten seyn, wenn diese Analysis richtig wäre; davon sind aber beide, Gleichung und Analysis, himmelweit entfernt; die als elegant gepriesene Ableitung des Hrn. Hoppe ist eben wie die des Hrn. Clausius nur eine analytische Pfuscherei! Statt der Poisson'schen Annahme eines constanten Verhältnisses der beiden Wärmecapacitäten C und c kann man noch eine andere Annahme treffen, welche für die Aequivalenz-Theorie mehr Bedeutung hat, nämlich die Annahme, daß die Differenz C – c constant sey. Bezeichnen wir dieselbe mit q, so erhalten wir durch die obigen Werthe von C und c die Gleichung mit partiellen Differentialen: Textabbildung Bd. 148, S. 252 deren allgemeines Integral zunächst die Form hat: Q = f (hpv) – f (h p₀ v₀) – q pv/R logn p/p₀, worin h eine beliebige constante Größe ist, und welche dann mit der Bedingung der Homogeneität, wie oben, auf die bestimmte Form: Textabbildung Bd. 148, S. 253 gebracht werden kann, worin k eine mit Q und mit q (a + t) homogene Größe ist. Dieses Gesetz ist wieder wesentlich von (12) verschieden, weil auch die Voraussetzungen für beide wesentlich verschieden sind. Nach diesem Gesetze müßten die Wärmecapacitäten C und c nicht bloß von der Temperatur, wie vorher, sondern auch von der Spannung des Gases abhängig, und könnten daher immer wieder nicht constant seyn; die Bedingung (10) befriedigen aber die daraus sich ergebenden Werthe von C und c, wie im vorhergehenden Falle; ferner ergibt sich für Q = 0 nun eine ganz andere Beziehung zwischen p und v oder t, als die im vorigen Falle abgeleitete Bedingung (13); mit der von Hoppe abgeleiteten Beziehung stimmt aber die Gleichung (14 eben so wenig überein, als (12), obgleich die Bedingung: C – c = Constante, die Annahme, daß C und c einzeln constant sind, wieder als besondern Fall enthalten müßte, wenn er überhaupt möglich wäre. d. Nachdem also die analytische Ableitung der Gleichung (5) oder (8) gänzlich mißlungen ist, so bleibt nichts anderes übrig, als das Princip der Aequivalenz von Wärme und Arbeit unmittelbar in einer Gleichung auszudrücken, und als Hypothese hinzustellen, wie es Hr. Clausius in einer spätem Abhandlung („Ueber eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie“ , Poggendorff's Annalen Bd. XCIII S. 481) unter der Form: Q = U + AW             (15) gethan hat, worin U eine bestimmte Function von v und t, und W die äußere Arbeit vorstellt. Gegen diese Aufstellung ist nichts einzuwenden, denn diese Gleichung hat einen vernünftigen Sinn; sie stellt die Größe Q als eine Function dreier unabhängigen Veränderlichen, v, t und W dar (denn wenn auch W eine Function von v ist, so ist diese Function doch eine ganz willkürliche und daher als eine neue unabhängige Veränderliche zu betrachtenWenn daher Hr. Cl. in der zuletzt genannten Abhandlung (S. 486) das Differential von W durch pdv ersetzt, worin p offenbar nur eine willkürliche Function von v seyn kann, und dann aus der Gleichung (15) die Ausdrücke zieht:dQ/dt = dU/dt,   dQ/dv = dU/dv + Ap, um den ersten nach v, den zweiten nach t zu differenziren, und den frühern Unsinn:d/dt (dQ/dv) – d/dv (dQ/dt) = A dp/dt = A df(v)/dt (!) wieder zu erhalten, so bleibt er sich zwar in seiner Pfuscherei consequent, er zeigt aber dabei, daß er seine eigene Gleichung nicht versteht.; sie ist allgemeiner als die Poisson'sche, welche sich bloß auf Q = U reducirt, und dürfte daher der Wahrheit näher kommen, als diese; sie muß aber zunächst durch einen Erfahrungssatz bestätigt worden seyn, ehe man sie als Grundlage weiterer Entwickelungen zulassen kann, und dazu ist es wieder unumgänglich nothwendig, eine passende Annahme für die Function U zu treffen. Sowie aber die HHrn. Clausius und Redtenbacher die Gleichung (15) umwandeln und anwenden (der erstere in Poggendorff's Annalen Bd. LXXIX S. 392 u. f., der letztere in seinem „Dynamidensystem“ S. 42 u. f.), verliert sie jenen Vorzug ganz; diese ersetzen nämlich die Function U einfach durch die Function c (t – t₀), worin wieder c die als constant angenommene specifische Wärme eines Gasts bei constantem Volumen ist, und nehmen in dem Integral Textabbildung Bd. 148, S. 254 welches die äußere Arbeit W ausdrückt, die Größe p, welche zunächst nur den äußern Druck oder zu überwältigenden Widerstand vorstellt, gleichbedeutend mit der Spannung p des Gases in dem M. G. Gesetze: p = R (a + t)/v                    (16) und erhalten so aus der Gleichung (15) die oben angegebene Differentialgleichung (5): dQ = cdt + AR (a + t)/v dv;               (17) sie kommen aber dadurch theils mit der Erfahrung, theils mit ihren eigenen Principien in Widerspruch, und die Ergebnisse, welche sie daraus ziehen, sind nichts weniger als Bestätigungen der Richtigkeit jener Gleichung. Beide nehmen zuerst p constant an und ziehen damit aus (16) und (17) die oben besprochene Formel von Person: C = c + AR oder 1/A = R/(C – c), welche, wie ich gezeigt habe, wenigstens unter Annahme der von Dulong gegebenen Werthe des Verhältnisses: C/c und der von Regnault gegebenen Werthe von C nicht mit der Erfahrung übereinstimmt, weil der Werth von 1/A nicht für alle Gase constant bleibt. Diese Gleichung enthält übrigens implicite auch den ersten Person'schen Satz, daß ein Gas welches sich ausdehnt, ohne äußere Arbeit zu leisten und ohne Wärme aufzunehmen, seine Temperatur nicht ändert; dieser Gatz kann aber aus der Gleichung (17) nicht dargestellt werden. Er geht jedoch aus (15) hervor, wenn man für U nur die Function c (t – t₀) einführt und die äußere Arbeit W = ʃ pdv von dem M. G. Gesetze unabhängig nimmt, also für den Fall, daß sich das Gas in einem leeren Raum ausdehnt, p und damit auch W gleich Null setzt; denn man findet so für Q = 0, t = t₀, wie es der Person'sche Satz verlangt. Vielleicht auch ein Beweis für die Richtigkeit dieses Satzes oder der Gleichung: Q = c (t – t₀) + A ʃ pdv?! Nächst der obigen Ableitung beeilen sich dann Clausius und Redtenbacher aus ihrer Gleichung (17), indem sie dQ = 0 setzen, die Poisson'sche Formel (13) abzuleiten, als wenn damit nur im Geringsten etwas für die Richtigkeit ihrer Theorie bewiesen würde! Denn abgesehen davon, daß die Poisson'sche Formel selbst noch durch gar nichts bestätigt ist, geht aus dieser Uebereinstimmung zwischen der Theorie von Poisson, welche von einer Verwandlung der Wärme in Arbeit noch gar nichts weiß, und den Theorien der HHrn. Cl. und Redt, nur der bekannte Satz hervor, daß man von verschiedenen Hypothesen ausgehen und zu sehr verschiedenen allgemeinen Formeln [die corrigirte Gleichung (12) nach Poisson und die Gleichung (17) sind doch im Allgemeinen himmelweit verschieden?] kommen, und daß man daraus für besondere Fälle doch die gleichen Beziehungen erhalten kann, ohne daß dadurch etwas für die Richtigkeit der einen oder der andern Hypothese bewiesen würde. Es zeugt daher von einer tiefen Einsicht, wenn Hr. Cl. meint, die Uebereinstimmung seiner Gleichung für diesen speciellen Fall (dQ = 0) mit der Poisson'schen beruhe eben darauf, daß auch Poisson das Verhältniß C/c als constant betrachtet habe. Hr. Cl. leitet endlich noch aus der Gleichung (17) für ein constantes t die Gleichung Q = AR (a + t₀) log v/v₀          (18) ab (das Q₀ der Clausius'schen Formel ist Null, weil Q selbst schon die Wärme ist, welche das Gas aufnimmt, wenn es von dem Zustand p₀ v₀ t₀ in den Zustand pvt übergeht), und diese Gleichung geht wieder unter gleicher Voraussetzung sowohl aus der Gleichung (12) als auch aus der Gleichung (14) hervor; aus der erstem in der Form: Q = k (1 – 1/γ) log v/v₀, aus der letztern unter der Form: Q = q (a + t₀) log v/v₀. Wenn demnach dieser Satz auch durch die Erfahrung bestätigt wäre, worüber mir nichts bekannt ist, so würde damit die Richtigfeit der neueren Wärmetheorie nicht im Geringsten mehr bewiesen, als die der ältern, da beide wieder für diesen Fall zu demselben Resultat kommen. Uebrigens steht die Gleichung (18) ebenso wie die Poisson'sche Gleichung (13) sogar mit den Principien der neuern Wärmetheorie im Widerspruch; denn nach dem Person'schen Satze kann sich ja ein Gas ausdehnen, ohne Wärme aufzunehmen und ohne seine Temperatur zu ändern, was nach den genannten Gleichungen nicht möglich ist, da jede Volumenvermehrung bei constanter Temperatur nach der Gleichung (18) mit einer Wärmeaufnahme, und jede Volumenvermehrung ohne Wärmeaufnahme nach der Gleichung (13) in der Form: (a + t)/(a + t₀) = (v₀/v)γ–1 mit einer Verminderung der Temperatur verbunden ist. Dieß nun sind die Ergebnisse, durch welche der Fundamentalsatz der neuern Wärmetheorie begründet und seine Uebereinstimmung mit der Erfahrung nachgewiesen werden soll; sie zeigen im klaren Lichte betrachtet, daß die viel gerühmte Arbeit des Hrn. Clausius, auf welcher dieser selbst und andere Physiker wie auf einem sicher begründeten Fundamente weiter gebaut haben, nicht mehr ist, als eine taube Nuß, welche äußerlich viel verspricht, aber keinen reellen Inhalt hat, und meine ganze Darlegung, die ich nothwendig auf das Vorhergehende beschränken muß, wird wenigstens, hoffe ich, den Nutzen haben, dem Physiker zur klaren Anschauung zu bringen, daß unsere ganze Wärmelehre in einer Uebereinanderthürmung von Hypothesen besteht, von denen nicht eine einzige direct durch die Erfahrung bestätigt ist, daß wir namentlich über die freie Wärme eines Körpers nicht das Allermindeste wissen, und daß deßhalb von einer Vergleichung der latenten oder verbrauchten Wärme mit geleisteter Arbeit auch nicht entfernt die Rede seyn kann. Augsburg, im März 1858.